La Derivada

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2 2.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

2.2

2.1.1 DEFINICIÓN 2.1.2 NOTACIÓN 2.1.3 FORMA ALTERNATIVA DERIVACIÓN 2.2.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. 2.2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 2.2.3 REGLA DE LA CADENA 2.2.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 2.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA(OPCIONAL) 2.2.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS (OPCIONAL)

2.3 2.4

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO APLICACIONES DE LA DERIVADA 2.4.1 MONOTONIA 2.4.2 MÁXIMOS Y MINIMOS 2.4.3 CONCAVIDAD

OBJETIVOS: Se pretende que el estudiante: • Defina derivada. • Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva • Calcule derivadas. • Interprete la derivada como la razón de cambio de una variable con respecto a otra variable. • Determine intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento. • Determine máximos y mínimos. • Determine intervalos de concavidad. • Elabora gráficas elementales.

13

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Desde la antigüedad (épocas de los griegos) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto con los estudios de ISAAC NEWTON (1642-1727) y GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), preocupados también por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria. Empecemos primero estudiando posteriormente el problema mecánico.

el

problema

geométrico

y

2.1 INTERPRETACION GEOMETRICA Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica de una función f , en un punto x0 . y

y = f ( x)

y0

x0

x

La ecuación de la recta tangente estaría dada por: y − f ( x0 ) = m tg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe el gráfico:

14

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

y = f ( x)

y

{

f ( x0 + h )

f ( x0 )

f ( x0 + h ) − f ( x0 )

{ h

x0

x0 + h

x

La pendiente de la recta secante entre los puntos

( x 0 + h, f ( x 0 + h ) )

sería msec =

(x0 , f ( x0 ) )

y

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

m tg = lím h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f . 2.1.1 DEFINICIÓN

La derivada de f en " x0 “, denotada como f ´( x0 ) , está dada por: f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ´( x0 ) = lím h →0 h Siempre que este límite exista.

15

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2.1.2 NOTACIÓN. Existen otras notaciones para la derivada:

dy . dx

y´ ,

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

f ( x + h) − f ( x) h

f ´( x ) = lím h →0

2.1.3 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma diferente para la derivada, que para algunos casos resultaría muy útil. Observe el gráfico: y

y = f ( x)

f ( x0 )

{

f ( x)

f ( x ) − f ( x0 )

{ x − x0

x0

x

x

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y ( x, f ( x) ) f ( x) − f ( x 0 ) sería: msec = . Entonces la pendiente de la recta tangente, que es x − x0 la derivada de f , sería en este caso:

mtg = f ´( x0 ) = lím x → x0

16

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN:

f ´( x) = lím h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h  2 ( x + h ) + 1 − [ 2 x + 1]

h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0

h→0

f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa:

f ( x) − f ( x0 ) x − x0

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0

x → x0

= lím

2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0

= lím

2 x − 2 x0 x − x0

x → x0

x → x0

= lím

x → x0

2 ( x − x0 )

( x − x0 )

= lím 2 x → x0

f ´( x0 ) = 2

Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím h →0

= lím

f ( x + h) − f ( x ) h

(x + h )2 − x 2 h

h →0

2

x + 2 xh + h 2 − x 2 h →0 h h(2 x + h ) = lím h →0 h = lím (2 x + h ) = lím

h →0

f ´(x) = 2 x

17

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz Empleando la forma alternativa:

f ´( x0 ) = lím

x → x0

= lím

x → x0

= lím

f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0

( x − x0 )( x + x0 )

x → x0

x − x0

= lím ( x + x0 ) x → x0

= x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0

Ejercicios propuestos 2.1 2.1 1.

Sea

f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .

f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de

d) Calcule el valor de

2.

Hallar

.

f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

f ´(3) , considerando la gráfica:

y = f ( x)

3.

18

Empleando la definición, determine la derivada de: a) f ( x) = 3 x + 2 b)

f ( x) = −2 x + 1

c)

f ( x) = x 2 + 2 x − 3

d)

f ( x ) = −2 x 2 + x − 1

e)

f ( x) = 2 x 3

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2.2 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 2.2.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

d (k ) = 0 ; ∀k ∈ R (Derivada Derivada de una constante) constante dx d ( x) = 1 dx d n ( x ) = n ( x n −1 ) dx d x (e ) = e x dx d x (a ) = a x ln a dx d 1 (ln x) = dx x d 1 (log a x) = dx x ln a d (sen x) = cos x dx d (cos x) = − sen x dx d (tan x) = sec 2 x dx d (co t x) = − csc 2 x dx d (sec x) = sec x tg x dx d (csc x) = − csc x cot gx dx

La demostración de estas fórmulas se la dejamos para el lector, de necesitar hacerlas.

19

Cap. 2 La derivada

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Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0 (FORMULA 1)

Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x (FORMULA 3)

Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x )

1

2

entonces f ´( x ) =

1 2

( x)

1 −1 2

=

1 2 x

(FORMULA 3)

Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN:

f ( x ) = x3

La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m ( x − x0 ) El punto sería:

x0 = 1

y

3

y0 = f ( x0 ) = (1) = 1

La pendiente sería:

mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3x 2

x =1

=3

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)

20

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 2.2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) 2. 3. 4. 5.

dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d  f ( x)  f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente)  = 2 dx  g ( x)  [ g ( x) ]

Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:

1.

d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím h →0 dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h→0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h→0 h = kf ´( x) 2.

[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím h → 0 dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h→0 h f ( x + h) − f ( x ) ] [ [ g ( x + h) − g ( x ) ] = lím + lím h→0 h → 0 h h = f ´( x) + g´( x)

Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma:

21

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) =

4 3

x

= 4 x−

1

entonces f ´( x ) = 4

3

d − 13 4 4 − 1 −1 x = 4 − 13 x 3 = − x − 3 dx 3

(

) (

)

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) 2 + 3 entonces x  1  d d d −2 f ´( x ) = 4 x − ( 2 x −1 ) + ( 3) = 4   + 2x + 0 dx dx dx 2 x

Si f ( x ) = 4 x −

(

)

Ejemplo 3 (Derivada del producto) d  d  Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) =  ( x )  e x + x  ( e x )  = 1e x + xe x = e x (1 + x )  dx   dx 

Ejemplo 4 (Derivada del producto)

(

)(

)

Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces:

d  d  f ´( x ) =  ( x 2 + 2 )  ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )  ( x 3 + 1)  dx dx     = ( 2 x + 0 ) ( x3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x 4 + 6 x2 + 2 x

Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si

22

f ( x ) = e x senx ln x

entonces

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

d  d  d  f ´( x ) =  e x  senx ln x + e x  senx  ln x + e x senx  ln x  dx dx dx       1   = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx   x

Ejemplo 6 (Derivada de cociente) Si f ( x ) =

x2 + 2 entonces x3 + 1

d 2  3 d 3  2  dx ( x + 2 )  ( x + 1) − ( x + 2 )  dx ( x + 1)  ( 2 x ) ( x 3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3 x 2 )  f ´( x ) = = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1) =

2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2

(x

3

+ 1)

2

=

− x4 − 6 x2 + 2 x

(x

3

+ 1)

2

Ejemplo Ejemplo 7 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤

π 2

SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando que x =

2 sen x = 2 cos x entonces tg x = 1 lo cual quiere decir

π 4

Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 , Si f ( x ) =

2 sen x entonces f ´( x ) = 2 cos x que reemplazando tenemos:

 2  =1 m1 = 2 cos π4 = 2    2 

23

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Si g ( x ) =

2 cos x entonces g´( x ) = − 2 sen x que reemplazando tenemos: m 2 = − 2 sen

π 4

 2  = −1 = − 2   2  

Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.

Ejercicios Propuestos 2.2 2.2 1.

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e

(

3

b) f ( x ) = x + 2

)( x

2

2.

xe x senx + 1

f)

f ( x) =

1 2 x x e ln x 2

x2 + 1 x senx

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto

3.

f ( x) =

+ 1)

c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) =

e)

x

f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 en el

(1,5 ) .

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia

f ( x ) = 3x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3 x + y + 2 = 0 . 4.

Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación

5.

( 2,5 )

y que son tangentes a la curva definida

2

y = 4x − x . 3

2

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x) = 2 x + 3 x − 24 x y que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 2.2.3 Regla de la Cadena

Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable en " g ( x0 ) " entonces la función compuesta

( f o g )( x ) = f ( g ( x ) )

diferenciable en " x0 " y

d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0 O lo que es lo mismo

24

es

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

dy dy du = dx du dx

u=g( x)

Ejemplo 1

(

)

20

2 20 y = x2 + 2 haciendo u = g ( x ) = x + 2 tenemos y = f (u ) = u dy du = 20u 19 y = 2x . du dx dy dy du Por tanto = = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 dx

Si

(

(

(

de donde

)

)

)

(

)

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica, esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.

Ejemplo 2 Si f ( x ) = sen ( x 3 − 3 x ) entonces 1 424 3 u

d  d 3  3 2 f ´( x ) =  ( senu )   ( x − 3x )  = cos ( x − 3x )  3x − 3   du u = x3 − 3 x   dx

Ejemplo 3  x 3 +3x 2 + x   x2 − 1  144 244 3

Si f ( x ) = 

30

entonces

u 29

 x 3 +3 x 2 + x   x 3 +3 x 2 + x  f ´( x ) = 30   Dx   2 2  x −1   x −1   x 3 +3 x 2 + x  = 30   2  x −1 

29

 ( 3 x 3 + 6 x + 1)( x 2 − 1) − ( x 3 +3 x 2 + x ) ( 2 x )    2 2   − 1 x ( )  

25

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Para el caso de funciones de la forma y = f ( g (h( x) ) haciendo que v = h(x) tenemos y = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v) tenemos dy dy du dv y = f (u ) ; entonces = . dx du dv dx O más simplemente y´= [ f ´( g (h( x)) )][g´(h( x)][h´(x)]

Ejemplo 4 4

  Si f ( x ) = cos ( 3 x ) = cos ( 3 x 2 )  entonces:  { v 1424 3 4

2

u

d cos ( 3x 2 )   dx  3 d = 4 cos ( 3x 2 )   − sen ( 3x 2 )  ( 3x 2 ) dx

f ´( x ) = 4 cos ( 3x 2 ) 

3

3

= 4 cos ( 3x 2 )   − sen ( 3x 2 )  [ 6 x ]

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

Sea u = u (x) , entonces: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

26

d n (u ) = n ( u n −1 ) u´ dx d u (e ) = eu u´ dx d u (a ) = a u ( ln a ) u´ dx d 1 (ln u ) = u´ dx u d 1 (log a u ) = u´ dx u ln a d (sen u ) = ( cos u ) u´ dx d (cos u ) = ( − sen u ) u´ dx d (tan u ) = ( sec 2 u ) u´ dx d (Co t u ) = ( − csc 2 u ) u´ dx

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

10. 11.

d (sec u ) = ( sec u tg u ) u´ dx d (csc u ) = ( − csc u cot gu ) u´ dx

Ejercicios Propuestos 2.3 2.3 1.

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a)

f ( x ) = x2 − 2 x + 1

b)

f ( x) =

1 2x − 3

c)

f ( x) =

e x − e− x e x + e− x

d)

f ( x) =

x2 − 1 x2 + 1

 senx    cos 2 x 

3

e) f ( x ) = 

f) f ( x ) = ln ln ( x + 1)  g) f ( x ) =

1  x2  1 ln  − 4  x2 − 4  x2 − 4

2.2.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: y´= f ´( x) =

dy f ( x + h) − f ( x ) = lím dx h →0 h

La segunda derivada es: d d2y f ´( x + h) − f ´( x) ( y´) = y´´= f ´´( x) = 2 = lím h →0 dx dx h

La tercera derivada es: d d3y f ´´( x + h) − f ´´( x) ( y´´) = y´´´= f ´´´( x) = 3 = lím h →0 dx dx h

En fin, La

n − ésima

derivada es:

27

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

y n = f n ( x) =

dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) = lím dx n h →0 h

Ejemplo 1 Sea f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 2 + 4 . Hallar f ´´( x ) SOLUCIÓN: 3

La primera derivada sería: f ( x ) = 20 x − 6 x 2

Entonces la segunda derivada sería: f ´´( x ) = 60 x − 6

Ejemplo 2 (Aplicando la Regla de la cadena) f ( x) =

1 Hallar f ´´( x ) 1 − 2x

SOLUCIÓN: Aquí tenemos: f ( x ) =

1 −1 = (1 − 2 x ) . 1− 2x

La primera derivada sería: (empleando la regla de la cadena)

f ´( x ) = − (1 − 2 x )

−2

( −2 ) = 2 (1 − 2 x )

−2

Entonces la segunda derivada sería:

f ´´( x ) = 2 ( −2 )(1 − 2 x )

−3

( −2 ) = 8 (1 − 2 x )

−3

Ejercicio Propuesto 2.4 1.

Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

d2 cos ( x 2 )   dx 2  d2  xe x  b. dx 2   d2  5  c.   dx 2  4 − x  a.

28

d.

d ´3 1 + x  dx3 1 − x 

e.

d3 [ xsenx ] dx 3

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA (OPCIONAL) Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en forma implícita F ( x, y ) = 0 . Suponga que no se pueda ponerla en forma explícita y = f (x) , que no se pueda despejar y , pero que se desea hallar y´ . Entonces considerando que F ( x, f ( x)) = 0 y tomando en cuenta la regla de la cadena lograríamos lo deseado. Ejemplo 1 2

2

Sea x + y = 1 hallar y´ SOLUCIÓN: PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar y , tenemos y = ± 1 − x 2

(

y´= ± 12 1 − x 2 Entonces:

)

− 12

x

=−

± 1− x

2

(− 2 x )

=−

x y

SEGUNDO MÉTODO. 2

Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x 2 + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a

d ambos miembros de la igualdad: dx

(x

2

2

+ [ f ( x) ]

) = dxd (1)

2 x + 2 f ( x) f ´( x) = 0 que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despejando y´ resulta: y´= −

x x =− y ± 1− x 2

Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo 2 Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.

Sin embargo, vamos a suponer que siempre que tengamos que derivar estaremos ante ecuaciones que sí representan lugar geométrico. Ejemplo 3 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:

29

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

d ( 4 x3 + 7 xy 2 ) = dxd ( 2 y3 ) dx 12 x 2 + ( 7 y 2 + 7 x 2 yy´) = 6 y 2 y´ 12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´ Despejando y´ resulta: y´=

12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy

Ejemplo Ejemplo 4

( )

Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

d d x + ln ( x 2 y ) + 3 y 2 = ( 2 x 2 − 1) dx dx 1 2 1 + 2  2 xy + x y´ + 6 yy´= 4 x x y 2 y´ 1 + + + 6 yy´= 4 x x y

(

)

Despejando y´ resulta: y´=

2 x

4x − 1 − 6y +

1 y

Ejemplo Ejemplo 5

( )

Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

d d 2 cos ( xy 2 ) = y +x x+ y dx dx

(

)

(

)

− sen ( xy 2 ) 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x  12 ( x + y ) 2 (1 + y´)    x xy´ − y 2 sen ( xy 2 ) − 2 xyy´sen ( xy 2 ) = 2 yy´+ x + y + + 2 x+ y 2 x+ y Despejando y´ resulta: −1

( )

− y 2 sen xy 2 − x + y − y´= 2y +

x 2 x+ y

( )

x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y

Ejercicios Ejercicios Propuestos 2.5 2.5 (OPCIONAL) 1.

Encontrar

a.

30

dy para: dx 2

2

x 3 + y 3 =1

c.

e xy + ln y = 0

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

b.

ln ( xy ) + y = 1

d. sec y + tan y = xy e. ln ( xy ) +

2.

y =5

3 3 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x + 3 xy + y = 5 en el punto

(1,1)

(

)

3.

2 23 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x + y = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)

4.

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2

[2

]

en el punto (1,1) 3

5.

3

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a la recta x + y + 6 = 0

6.

2 2 2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1) (4 − y ) en

7.

Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen ( x + y ) en el

el punto (0,−2 ) . punto (0,0 ) . 8.

2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente

a f sea horizontal.

2.2.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS (OPCIONAL) 2.2.6.1 Teorema de existencia de la función inversa.

Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa. 2.2.6.2 Teorema de la derivada de la función inversa.

Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1  d −1  f ( y ) =  dx  f ´(x)

31

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de −1 la recta tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma la inversa f

−1

,

m2 =

1 m1

. Y que se puede encontrar la derivada de

trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,

sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f

−1

.

2.2.6.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas d 1 ; −1 < x < 1 ( arcsen x ) = dx 1 − x2 1 d ; −1 < x < 1 ( arccos x ) = − dx 1 − x2 d 1 ( arctan x ) = dx 1 + x2 d 1 ; x >1 ( arc sec x ) = dx x x2 − 1 Generalizando para una función u = u (x) d 1 u´ ; −1 < u < 1 ( arcsen u ) = dx 1− u2 d 1 u´ ; −1 < u < 1 ( arccos u ) = − dx 1− u2 d 1 u´ ( arctan u ) = dx 1+ u2

32

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

d 1 u´ ; u > 1 ( arc sec u ) = dx u u2 −1

Ejercicios Propuestos 2.6 2.6 (OPCIONAL) Calcular

dy , para : dx a.

f ( x ) = arctan ( e x )

b.

f ( x) = e

arctan ( senx )

c. f ( x ) = x arcsenx

x  2

d. f ( x ) = x arctan 

2.3 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Suponga que se tiene y = f (t ) , una función del tiempo; suponga ahora que se da una variación en t , denotada como ∆t , esto provoca una variación en la función, denotada como ∆y . La variación de la función sería:

∆y = f (t + ∆t ) − f (t ) Se considera la variación media de la función como:

∆y f (t + ∆t ) − f (t ) = ∆t ∆t Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio instantáneo de la función, es decir:

∆y f (t + ∆t ) − f (t ) = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t lim

Observe que la última expresión es la derivada de la función f (t ) ; entonces, la derivada experimenta la función.

f ´(t )

expresa el cambio instantáneo que

33

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2.3.1 DEFINICIÓN.

Sea y = f (t ) . La razón o rapidez de cambio de y con respecto a t , se define como: f ´(t ) = lim

∆t → 0

f (t + ∆t ) − f (t ) ∆t

Ejemplo 1 Suponga que el espacio recorrido por un móvil esta dado por s (t ) = 2t 2 + 3t + 1 Km., t horas después de iniciado su movimiento. • El espacio recorrido a las 2 horas es: 2

s(2) = 2 ( 2 ) + 3 ( 2 ) + 1 = 15 Km • El espacio recorrido a las 2.2 horas es: 2

s(2.2) = 2 ( 2.2 ) + 3 ( 2.2 ) + 1 = 17.28 Km Calculemos ahora la variación del espacio sobre la variación del tiempo (velocidad media). ∆s s ( 2.2 ) − s ( 2 ) 17.28 − 15 km = = = 11.4 h ∆t 2.2 − 2 0.2 2

• El espacio recorrido a las 2.1 horas es: s(2.1) = 2 ( 2.1) + 3 ( 2.1) + 1 = 16.12 Km.

∆s s ( 2.1) − s ( 2 ) 16.12 − 15 km = = = 11.2 h ∆t 2.1 − 2 0.1 • El espacio recorrido a las 2.05 horas es: Ahora

2

s(2.05) = 2 ( 2.05) + 3 ( 2.05 ) + 1 = 15.555 Km. ∆s s ( 2.05 ) − s ( 2 ) 15.555 − 15 km = = = 11.1 h ∆t 2.05 − 2 0.05 km Se observa que la velocidad media converge a 11 que sería la velocidad instantánea. h • Por otro lado, la derivada del espacio con respecto al tiempo: ds = s´(t ) = 2t 2 + 3t + 1 dt km En t = 2h , sería: s´(2) = 4 ( 2 ) + 3 = 11 h Ahora

Ejemplo 2 Las estadísticas indican que " t " años después de 1999, el impuesto predial estaba dado por I (t ) = 10t 2 + 70t + 500 dólares. ¿A qué razón aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 2005?.

34

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

SOLUCIÓN: La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de I (t ) , es decir:

I ´(t ) = 20t + 70 dólares por año desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto: I ´(6) = 20 ( 6 ) + 70 = 190 Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 190 dólares por año.

Ejemplo 3 Un estudio indica que la demanda de cierto artículo estará dada por D( p ) =

4000 p2

artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por p(t ) = 2t 2 + t + 3 dólares por artículo. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? SOLUCIÓN El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será;

d [D( p)] dt

Como la demanda D es función de precio p , debemos aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de la demanda con respecto al tiempo t , es decir:

d [D( p)] = dD dp dt dp dt  8000  =  − 3 (4t + 1)  p  2

Después de 10 semanas el precio de los artículos será: p (10) = 2(10 ) + 10 + 3 = 213 dólares por artículos. Entonces:

  d (4t + 1) [D( p)] =  − 8000 3  dt p    8000  (4(10) + 1) =  −  2133  artículos / semana = −7.23 semana En 10 semanas, la demanda semanal estará disminuyendo a una razón de 7.23

Problemas Propuestos 2.7 3

1. Dentro de " t " segundos, el espacio recorrido por un móvil está dado por s(t ) = 6t + 5t + 8 metros a) Encuentre la velocidad instantánea a los 5 segundos. b) Determine la aceleración del móvil a los 5 segundos ( a

=

dv dt

=

d2s dt 2

)

35

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por U (t ) = 0.1t 2 + 10t + 20 miles de dólares, " t " años después de su formación en 2001. ¿A qué razón crecieron las utilidades anuales de la compañía, con respecto al tiempo, en el 2005?.

3. Dentro de " t " AÑOS la población de cierta ciudad está dada p(t ) = 8 −

64

( t + 1)

2

miles de habitantes. Un

2

estudio ambiental revela que la contaminación estará dada por C ( p) = 2 p + p + 4 UNIDADES cuando la población sea

p

MILES DE HABITANTES, ¿a qué RAZÓN VARIARÁ la contaminación después de 3 años?

2.4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 2.4.1 MONOTONIA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de Decrecimiento de una función. Empecemos primero recordando las definiciones de función estrictamente creciente y estrictamente decreciente. 2.4.1.1 Definición

Sea ƒ definida en un intervalo [a, b]. Entonces: 1. ƒ es estrictamente creciente en [a, b] , si ∀x1 , x2 ∈ [a, b] se cumple que x1 < x2 → f ( x1 ) < f ( x2 )

2. ƒ es estrictamente decreciente en [a, b] , si ∀x1 , x2 ∈ [a, b] se cumple que x1 < x 2 → f ( x1 ) > f ( x 2 )

36

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Pero para saber en que intervalo la función crece y en que intervalo la función decrece hacemos uso de siguiente teorema. 2.4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b] 2. Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] . DEMOSTRACIÓN. (OPCIONAL) Se demostrará el primer inciso del teorema. f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ; es decir >0. Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím x → x0 x − x0 x − x0 Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente. Para el caso f ´( x) < 0 , la demostración es análoga.

Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5

SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´( x) = 4 x − 4 El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x) = 4( x − 1) ; se observa que:

37

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz x

x <1 x >1

f ´(x ) Negativa (-) Positiva(+)

f decrece crece

Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x 2 − 6 x En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que: x x<0 0< x<2 x>2

f ´(x ) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+)

f crece decrece crece

Ejercicios Propuestos 2.8 1.

Determine los intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento: 1.

f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

2.

f ( x) =

3.

x5 4 3 − x 5 3 1 f ( x) = x 3 − 4 x + 2 3

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

f ( x) = x 3 − 1

(

(

)

4

)

4

2.4.2 MÁXIMOS Y MINIMOS Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada 2.4.2.1 DEFINICIÓN

Sea f : I ⊆ R a R . Suponga “ x0 ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. f ( x0 ) es el valor máximo de f en I , si f ( x0 ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El mayor de todos) 2. f ( x0 ) es el valor mínimo mínimo de f en I , si f ( x0 ) ≤ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El menor de todos) Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.

38

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 2.4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos

Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b] entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [a, b ]. Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos. 2.4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.

Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”. Entonces “ x0 ” es llamado Punto Crítico Crítico si es: • Un punto extremo del intervalo, es decir x0 = a , x0 = b . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. Frontera O bien, • Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir f ´( x0 ) = 0 . Estos serán denominados Puntos Críticos Estacionarios. Estacionarios. (En estos puntos la recta tangente es horizontal).

O bien, • Un punto donde la derivada no existe; es decir f ´( x0 ) no está definida. Estos serán

39

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

denominados Puntos Críticos Singulares. Singulares

(En estos puntos la grafica tiene unos picos. Por ejemplo y = x , tiene un punto crítico singular (pico) en x = 0 ) 2.4.2.4 TEOREMA

Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”. Si f ( x0 ) es un valor extremo entonces “ x0 ” es un Punto Crítico. Crítico Para el caso de puntos críticos de fronteras, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares.

DEMOSTRACIÓN. (OPCIONAL) Sea f ( x 0 ) un valor máximo; es decir f (x 0 ) ≥ f ( x) , entonces: f ( x) − f ( x 0 ) ≤ 0 Si x > x 0 , dividiendo por x − x 0 tenemos Ahora obteniendo límite lím + x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≤0 x − x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≤ lím + 0 resulta f ´( x 0 + ) ≤ 0 . x − x0 x → x0

Para x < x 0 , tenemos, obteniendo límite lím − x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≥ lím − 0 resulta f ´( x 0 − ) ≥ 0 x − x0 x → x0

Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´( x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´( x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo.

Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.

40

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Además, el teorema anterior nos hace concluir de algunas formas: • Si “ x 0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos • Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x 0 ” sea un punto crítico. • Que “ x 0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.

Ejemplo 1 2 Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3]

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.

1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada f ´( x ) = 4 x − 4 Ahora

f ´( x ) = 0 , entonces sería: x 0 = 1 . 4( x − 1) = 0

41

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Observando la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo R . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos:

f (0 ) = 2(0 )2 − 4(0 ) + 5 = 5 f (3) = 2(3)2 − 4(3) + 5 = 11 f (1) = 3 Por inspección, se determina que: En x 0 = 3 se encuentra el Valor Máximo f . Y en x 0 = 1 se encuentra el Valor Mínimo de f .

Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos.

1. Puntos críticos de Frontera: x´0 = −2 y x0 = 3 2 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) = 3 x − 6 x , tenemos:

f ´( x ) = 0 3x2 − 6 x = 0 3 x( x − 2) = 0 Entonces serían: x 0 = 0 y x0 = 2 .

3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función: 3

2

f ( −2 ) = ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 3 = −8 − 12 + 3 = −17 f ( 3) = (3)3 − 3(3) 2 + 3 = 27 − 27 + 3 = 3 f (0) = 3 f (2) = (2)3 − 3(2) 2 + 3 = −1 De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 = 3 como en x0 = 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en

x0 = −2 .

42

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 2.9 1. 1.

Determine el valor máximo y el valor mínimo :

f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 en [ −2,3]

x5 4 3 − x en [ −3,3] 5 3 1 3 3. f ( x) = x − 4 x + 2 en [ −5,3] 3 2. f ( x) =

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5 en [ −1,1]

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

(

(

)

4

en [ −2,2]

)

4

f ( x) = x 3 − 1 en [ −1, 2]

Hasta el momento nos habíamos preocupados de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfecho con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos.

2.4.4 Máximos y Mínimos Locales O Relativos

Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f ; se dice que: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor máximo de f en (a, b ) . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo mínimo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor mínimo de f en (a, b ) . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos.

43

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.

2.4.4.1 Teorema: Criterio de la primera derivada.

Sea f continua en (a, b ) que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ (a, x 0 ) y f ´(x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor mínimo mínimo local de f . 3. Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f

.

Ejemplo Para f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observó que: x x<0 0< x<2 x>2

Entonces:

44

f ´(x ) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+)

f crece decrece crece

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz 1. 2.

Como antes de x = 0 la derivada es positiva y después es negativa se concluye que f (0) = 3 es un máximo local. Como antes de x = 2 la derivada es negativa y después es positiva se concluye que f (2) = −1 es un mínimo local.

Ejercicios Propuestos 2.10 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales: 1.

f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

2.

f ( x) =

3.

x5 4 3 − x 5 3 1 f ( x) = x 3 − 4 x + 2 3

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

f ( x) = x 3 − 1

(

(

)

4

)

4

Ahora consideremos problemas prácticos. Ejemplo 1 Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de $100 cada uno y estima que si se venden a " x " DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán 50 − x ARTÍCULOS POR DÍA. ¿A qué PRECIO debe el fabricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? SOLUCIÓN: La función utilidad sería

U = Ingresos − Costos = x ( 50 − x ) − 100 ( 50 − x ) U = 50 x − x 2 − 5000 + 100 x U = − x 2 + 150 x − 5000 Obtengamos los puntos críticos.

U ´= −2 x + 150 = 0 ⇒ x = 75

El fabricante debe vender los artículos a $75 para obtener la máxima utilidad.

Ejemplo 2 Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva y = 3 − x 2 . Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:

45

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

El área de triángulo se la calcula con la fórmula

A=

b×h 2

2 Se observa que h = y = 3 − x y que b = 2 x

Reemplazando, obtenemos el área en función de una sola variable:

A=

( 2 x ) (3 − x2 )

2 A = 3x − 2 x3

Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:

dA = 3 − 6 x2 dx dA Ahora, dx

=0

por tanto, despejando resulta x = ±

3 − 6 x2 = 0

2 2

Las dimensiones del triangula de área máxima sería:

b = 2x = 2

2 = 2 2

por consiguiente: Amáx =

b×h = 2

2 y h = y = 3− x = 3−

( 2 ) (1) = 2

( 2)

2

=1

2 2 u 2

Ejemplo 3 Se tiene un sólido en forma de cono circular recto de radio 3 cm. y altura 12 cm. De este cono se desea obtener un cilindro circular recto de volumen máximo. Encuentre sus dimensiones. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos:

El volumen del cilindro se lo calcula con la fórmula V = πr 2 h Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos:

46

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Del gráfico observamos que: Entonces:

2

2

r 12 − h = 3 12

4r = 12 − h h = 12 − 4r

2

Reemplazando, tenemos: V = π r h = π r (12 − 4r ) = 12π r − 4π r

3

dV = 24π r − 12π r 2 dr dV =0 dr 24π r − 12π r 2 = 0 y para el óptimo:

Entonces:

12π r ( 2 − r ) = 0 r = 0∨ r = 2 Escogemos r = 2 cm. Por lo tanto: h = 12 − 4r = 12 − 4 ( 2 ) = 4 cm.

Ejercicios Propuestos 2.11 2.11 1. Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de x

unidades de cierto artículo es:

2

I ( x ) = x − 100 x + 200 . ¿En qué nivel de ventas el ingreso es máximo? 2. Un estudio de eficiencia en una imprenta indica que un empleado que llega a las 8h00 compaginará

3 Q ( t ) = −t 3 + t 2 + 18t páginas/ hora. ¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia 2 máxima? 3. En una página de un libro debe haber 150 cm 2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 3

4. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 250π cm . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta 2 2 centavos el cm . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente? 3 5. Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 2000πcm . Para 2 elaborar la base se dispone de un material que cuesta 4 centavos el cm y el material usado para 2

la superficie lateral cuesta 2 centavos el cm . Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especificaciones dadas de tal forma que el costo de fabricación sea mínimo.

47

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las dos funciones anteriores, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo.

Ejemplo 1 Trazar la gráfica de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3] . SOLUCIÓN: Se ha obtenido x 0 = 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de 2

este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:

•(3,11)

f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 5

(0,5)

•

• (1,3)

Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.

Ejemplo 2 Graficar f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios x 0 = 0 y x0 = 2 , también se determinó que antes de x 0 = 0 la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto

x0 = 2 ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:

48

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

ymáx.

f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3

ymín

Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficiente para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Ejemplo Graficar f ( x) = x

4

5

SOLUCIÓN: Analizando la derivada f ´( x) = Punto Crítico Singular: x 0 = 0 x x<0 x>0

4 − 15 4 x = 5 , tenemos: 5 5 x f ´(x ) Negativa (-) Positiva (+)

f decrece crece

Por tanto, se puede decir que su gráfica es:

y=x

4

5

49

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos:

2.4.3 CONCAVIDAD 2.4.3.1 Teorema de concavidad

Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si f ´´(x) > 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2. Si f ´´(x) < 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia abajo en I.

Ejemplo 1 Analizar la concavidad de

f ( x) = x

4

3

SOLUCIÓN: Como la primera derivada de

f ´´( x) = −

f

es

f ´( x) =

4 − 15 x entonces la segunda derivada es 5

4 −65 4 x =− 25 25 5 x 6

Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x

f ´´(x)

f

x<0

Negativa (-) Negativa (-)

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo

x>0

Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.

50

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 2.4.3.2 Puntos de Inflexión

Sea f continua en “ x0 ”, llamamos a (x0 , f ( x0 ) ) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de

f

es

f ´( x) = 3 x 2 − 6 x entonces la segunda derivada es

f ´´( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) x

f ´´(x)

f

x <1 x >1

Negativa (-) Positiva (+)

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función.

f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3

51

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, este es el punto de inflexión. Ejercicios Propuestos 2.12 2.12 Determine los intervalos de concavidad: 1.

f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

2.

f ( x) =

x5 4 3 − x 5 3

3.

f ( x) =

1 3 x − 4x + 2 3

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

f ( x) = x 3 − 1

(

(

)

4

)

4

Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 2.4.4.2 Teorema: Criterio de la segunda derivada

Supóngase que f ´ y f ´´ existen en (a, b ) que contiene a “ x0 ” y que f ´(x0 ) = 0 . 1. Si f ´´( x0 ) < 0 entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´´( x0 ) > 0 entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos Aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x) = x3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x = 0 y x = 2 .

Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:

f ´´( x) = 6 x − 6 a) f ´´(0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. b) f ´´(2) = 6 ( 2 ) − 6 = 6 > 0 (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.

Ejercicios Propuestos 2.13 Emplee una calculadora para obtener las gráficas de: 1.

52

f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17

4.

f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

2.

f ( x) =

x5 4 3 − x 5 3

3.

f ( x) =

1 3 x − 4x + 2 3

(

)

5.

f (x ) = x 2 − 1

6.

f ( x) = x 3 − 1

(

4

)

4

Misceláneos 1.

Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a)

3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .

b)

La expresión lim x→

sen x − 1

π 2

2.

x− π

es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π . 2

2

c)

3 La función f ( x) = 6 x + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.

d)

Si tenemos las curvas

e)

Si f y g son funciones de R en R tales que f ´= g´ entonces f = g

f ( x) = x 2 + ax + b y g ( x) = x3 + cx . Entonces no existen valores a, b, c ∈ IR , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) .

2 2 Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x + ax + b y y = cx − x tienen una recta tangente

común en el punto (1,0) . 3.

Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .

4.

Determine la ecuación de la recta tangente a la función

f cuya regla de correspondencia es

2

f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la parábola. 5.

Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es: y

x

−1

−3

2

Suponga que f (−1) = −1 , f (−3) = 3 , f (2) = −4 6.

Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es:

5

−2

2

−5

53

Cap. 2 La derivada

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Suponga que f (0) = 0 , f (−2) = f ( 2 ) = 4 7.

Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua.

50 4

20

15 25 8.

Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde?

9.

Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?

10. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicas y cuyo fondo

sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura:

x 2x Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie. 11. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus

otros dos vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: y = 8 − x 2 , y > 0 . 12. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies

de altura, hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro.

E d i f i c i o

Escalera 1'

Pared Piso

54

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

13. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a

su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

10 km

Excursionista

Cabaña 2 km

Bosque

θ

θ

Carretera 14. Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra

la figura.

π/2

1

θ

15. Hallar el valor del área máxima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de

longitud L y ancho W.

θ W L

16. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el

mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen. 17. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una

esfera de radio igual a 10 cm. 18. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.

19. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el

(

gráfico de f (x ) = x 2 + 4

)

−1

y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.

y

x

55

Cap. 2 La derivada

Moisés Villena Muñoz

20. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un

granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área?

GRANERO

CORRAL

21. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al

suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su distancia más corta?

22. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R.

Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de modo que AP =

2 AM 3

C

P

A

56

M

B

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Cap. 2 La derivada

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