Analiz Iii 9

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM WEIERSTRASS YAKLAŞIM TEOREMİ Tanım 3.1.( Açık Küme) Reel sayılar kümesinin bir A alt kümesi verilsin. Eğer A kümesi açık aralıkların bir birleşimine eşit oluyorsa A kümesine açık küme denir. Tanım 3.2. (Açık Örtü) Reel sayılar kümesinin herhangi bir alt kümesi E Eğer açık kümelerin bir β = {U i : i ∈ I }

olsun.

ailesi ,için

E ⊆ i∈ I U i kapsaması sağlanıyorsa β ailesine E kümesinin bir açık örtüsü denir. Teorem 3.3. Her sınırlı ve kapalı aralığın her açık örtüsü sonlu bir alt örtüye sahiptir. İspat. Herhangi bir sınırlı ve kapalı aralık [a, b] olsun ve bu aralığın herhangi bir açık örtüsü β olsun. Bu takdirde her bir U i

açık küme olmak üzere [a, b] ⊆

i∈ I U i

kapsaması sağlanır. Şimdi

E = {e : e ∈ [a, b] ve [a, e] aralıra β nıınsonlu sayıay elemanı ile örtülür. } yazalım. a ∈ E

olduğundan dolayı E ≠ φ

dır. Her e ∈ E

için e ≤ b olduğundan, E

kümesi b sayısı ile üstten sınırlıdır. Tamlık aksiyomundan dolayı, reel sayılar kümesinin boş olmayan üstten sınırlı her alt kümesinin bir en küçük üst sınırı var olacağından ,

sup E = c olacak şekilde bir c ∈ IR

vardır. Her e ∈ E için a ≤ e ≤ b

olduğundan a ≤ c ≤ b dir.

Şimdi c sayısının E kümesine ait olduğunu ve c = b olduğunu gösterirsek, ispat tamamlanmış olacaktır. Önce c ∈ E olduğunu gösterelim.

c ∈ [ a , b ] ⊂ i∈ I U i olduğundan, c ∈ U io

olacak şekilde bir io ∈ I bulabiliriz. Açık küme tanımından

]c − ε o , c + ε o [⊂ U io

olacak şekilde bir ε o vardır. c sayısı, E kümesinin en küçük üst

sınırı olduğundan, c − ε o < eo

tanımından [a, c] ⊂

n

U ik

k =1

olacak şekilde bir eo ∈ E

vardır. E kümesinin

olacak şekilde i1 , i2 ,..., in ∈ I

[a, c] ⊂ [a, eo ]∪]c − ε o , c + ε o [⊂

n k =0

vardır, dolayısıyla,

U ik

kapsamasından,

55

[ a, c ] ⊂ elde edilir ki [a, c] aralığı β

n k =0

U ik

sınıfının elemanlarının sonlu adettekilernin bir birleşimi

tarafından örtülür, dolayısıyla da elde edilir. Şimdi de c = b olduğunu gösterelim. c < b olsaydı,

ε b−c ε = min{ o , } 2 2 yazarak

[ a, c + ε ] ⊂ elde ederdik ki, buradan c + ε ∈ E

n

U ik

i =1

ve c + ε < b

olurdu ki bu ise c sayısının

E

kümesinin üst sınırı olması ile çelişirdi.O halde c = b olmak zorundadır. Bu da ispatı tamamlar. Teorem 3.4. Kapalı ve sınırlı herhangi bir [a, b] aralığından IR ye sürekli her fonksiyon [a, b] üzerinde düzgün süreklidir. İspat. Kapalı ve sınırlı herhangi bir aralık [a, b] olsun ve bu aralıkdan IR ye sürekli herhangi bir fonksiyon f

olsun. f fonksiyonunun [a, b] aralığı üzerinde düzgün sürekli

olduğunu göstermek için herhangi bir ε > 0 alalım. f fonksiyonu [a, b] de sürekli olduğundan [a, b] nin her bir noktasında sürekli olacağından, her bir x ∈ [ a, b] (i)

y − x < δ (x) ve

olacak şekilde

y ∈ [a, b] olduğunda

f ( y ) − f ( x) <

için

ε 2

ε > 0 sayısına ve x e bağlı bir δ ( x) > 0 sayısı vardır. Her bir 2

x ∈ [a, b] için, 1 1 1 J ( x) = { y : y − x < δ ( x )} =]x − δ ( x), x + δ ( x )[ 2 2 2 yazalım. Her x ∈ [a, b] için x ∈ J (x) olduğundan

[ a, b] ⊂

x∈[ a , b] J ( x)

dir. Bir önceki teoremden dolayı,

[a, b] ⊂ J ( x1 ) ∪ J ( x 2 ) ∪ ... ∪ J ( x n ) olacak şekilde x1 , x 2 ,..., x n ∈ [a, b] elemanları vardır. Şimdi

δ =

1 min{δ ( x1 ), δ ( x 2 ),..., δ ( x n )} 2

56

yazalım. Bu takdirde δ > 0

y−x <δ

dır.

ve x, y ∈ [a, b] olsun. Bu takdirde

[a, b] ⊂ J ( x1 ) ∪ J ( x 2 ) ∪ ... ∪ J ( x n ) olduğundan, x ∈ J ( x m )

olacak şekilde bir m ∈ {1,2,..., n} vardır. J ( x m )

in tanımından,

1 x − xm < δ ( xm ) < δ ( xm ) 2 olur, dolayısıyla, (i) den

f ( x) − f ( x m ) <

(ii)

ε 2

olur. Diğer taraftan,

1 y − x m = ( y − x) + ( x − x m ) ≤ y − x + x − x m < δ + δ ( x m ) ≤ δ ( x m ) 2 olduğundan, (i) den dolayı,

f ( y) − f ( xm ) <

(iii)

ε 2

bulunur. (iii) ve (i) den

f ( y ) − f ( x) = [ f ( y ) − f ( x m )] + [ f ( x m ) − f ( x )] ≤ ≤ f ( y ) − f ( x m ) + f ( x m ) − f ( x) <

ε ε + =ε 2 2

bulunur. Böylece f fonksiyonunun [a, b] üzerinde düzgün sürekli olduğu elde edilmiş olur. Teorem 3.5. Her n ∈ IN ve her x ∈ IR için n n k x(1 − x) k n−k (x − )2 = ∑  x (1 − x) n n k =0  k 

eşitliği sağlanır. İspat. n n k n−k = [ x + (1 − x)]n = 1n = 1 ∑  x (1 − x) k =0  k 

olduğundan her iki yanı türevi alınırsa, n n k −1 (1 − x) n − k −1 (k − nx) = 0 ∑  x k =0  k 

yazılır. Bu son eşitliğin her iki yanını

x(1 − x) ile çarparsak,

n n k n−k (k − nx) = 0 ∑  x (1 − x) k =0  k 

olur. Her iki yanın türevi alınırsa, 57

n n k −1 (1 − x) n − k −1 (k − nx) 2 = n ∑  x k =0  k 

bulunur. Bu son eşitliğin her iki yanını

x(1 − x) ile çarparsak,

n n k n−k (k − nx) 2 = nx (1 − x ) ∑  x (1 − x) k =0  k 

elde edilir. Her iki yanı n 2

ile bölersek, n n k x(1 − x) k n−k (x − )2 = ∑  x (1 − x) n n k =0  k 

bulunur ki bu da elde etmek istediğimiz eşitsizliktir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Sonuç 3.6. Her n ∈ IN ve her δ > 0

için

x ∈ [0,1] olmak üzere

n k  x (1 − x) n − k ≤ 1   4δ 2 n k =0 k k  x - ≥δ n

∑

n

eşitsizliği sağlanır.

k İspat. x − ≥ δ n

k (x − )2 ve dolayısıyla n ≥ 1 olduğundan, her n ∈ IN 2 δ

için

k (x − )2 n n k n k n−k n    x (1 − x) n − k x ( 1 − x ) ≥ ∑ ∑     2 δ k =0 k =0 k k k  k  x - ≥δ x - ≥δ n

n

n

dir dolayısıyla, n n k n k  x (1 − x) n − k ≤ 1 ∑  x (1 − x ) n − k ( x − k ) 2     n δ 2 k =0 k =0 k k k  k  x - ≥δ x - ≥δ n

∑

n

n

elde edilir. Yukarıdaki teoremden dolayı,

n k  x (1 − x) n − k ≤ 1 x (1 − x )   n δ2 k =0 k k  x - ≥δ n

∑

n

bulunur. h( x) = x (1 − x )

fonksiyonunun [0,1] aralığında aldığı maksimum değer

olduğundan, her n ∈ IN , her δ > 0

1 4

ve her x ∈ [0,1] için

58

n k  x (1 − x) n − k ≤ 1   4δ 2 n k =0 k k  x - ≥δ n

∑

n

bulunur ki bu da ispatı istenen eşitsizliktir. Tanım 3.7. (Bernstein Polinomları) Her n ∈ IN ve her x ∈ [0,1]

için

n  n k Bn ( x) = ∑  x k (1 − x) n − k ( f ( )) n k =0  k 

polinomlarına [0,1] den IR ye tanımlı f

fonksiyonunun Bernstein polinomları denir.

Teorem 3.8. ( [0,1] aralığı için Weierstrass Yaklaşım Teoremi ) [0,1] aralığından IR ye sürekli her f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir polinom dizisi vardır. İspat. [0,1] aralığından IR ye sürekli herhangi bir fonksiyon f olsun. Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli her fonksiyon sınırlı olacağından, f fonksiyonu [0,1] aralığında sınırlıdır, dolayısıyla her [0,1] için

f ( x) ≤ K

olacak şekilde sabit bir K > 0 sayısı vardır.

f fonksiyonunun ( Bn ) Bernstein polinom dizisinin [0,1] aralığı üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu ispat edeceğiz. Bunu göstermek için herhengi bir

ε > 0 alalım. Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli her fonksiyon sürekli olacağından dolayı, f fonksiyonu [0,1] üzerinde düzgün süreklidir, dolayısıyla x − y < δ ve x, y ∈ [0,1] olduğunda f ( x) − f ( y ) <

ε > 0 sayısı için 3

ε olacak şekilde bir δ > 0 vardır, 2

ve bundan dolayı,

n k  x (1 − x ) n − k f ( x) − f ( k ) < ε   n 2 k =0 k k  x − <δ n

(i)

∑

n

ε > 0 için n ≥ no olduğunda 2

dir.Diğer taraftan, (ii)

K 2δ 2 n

<

ε 2

olacak şekilde bir no ∈ IN vardır ve dolayısıyla yukarıdaki sonuçdan dolayı, n ≥ no olduğunda, x ∈ [0,1] için

59

n k  x (1 − x ) n − k f ( x) − f ( k ) ≤ 1 2 K = K < ε   n 4δ 2 n 2δ 2 n 2 k =0 k k  x − ≥δ n

∑

n

olur. O halde n ≥ no olduğunda x ∈ [0,1] için

n k  x (1 − x ) n − k f ( x) − f ( k ) < ε   n 2 k =0 k k  x − ≥δ n

(iii)

∑

n

bulunur. Böylece (i) ve (iii) den n ≥ no olduğunda her x ∈ [0,1] için bulunur. O halde f fonksiyonunun ( Bn ) Bernstein polinom dizisi [0,1] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsar. Bu da teoremin ispatını tamamlar. Örnek. Her n ∈ IN ve

x ∈ [0,1] için

f n ( x) =

1 n  n  k n−k k ∑  x (1 − x) n k =0  k 

şeklinde tanımlanan ( f n ) fonksiyon dizisi f ( x ) = x

fonksiyonuna [0,1] üzerinde düzgün

yakınsaktır. Teorem 3.9. (Weierstrass Yaklaşım Teoremi ) [a, b] aralığından IR ye sürekli her

f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir polinom dizisi vardır. İspat. Herhangi bir kapalı ve sınırlı aralık [a, b] olsun. [a, b] aralığından IR ye sürekli herhangi bir f fonksiyonu verilsin. Önce her x ∈ [0,1] için

h( x) = a + (b − a ) x fonksiyonunu gözönüne alalım. h

fonksiyonu, [0,1] aralığından [a, b] aralığına birebir

ve örtendir, dolayısıyla tersi vardır. ve her x ∈ [ a, b]

h −1 ( x) = dir. Her x ∈ [0,1]

için

x a − b−a b−a

için

g ( x) = f (a + (b − a ) x) dır ve g

fonksiyonu [0,1] aralığından IR ye bir fonksiyondur. h fonksiyonu [0,1]

aralığından [a, b] aralığına sürekli ve f fonksiyonu da [a, b] aralığından IR ye sürekli olduğundan ve sürekli iki fonksiyonun bileşkesi de sürekli olacağından dolayı, g fonksiyonu [0,1] aralığından IR ye sürekli bir fonksiyondur. [0,1] aralığı için Weierstrass

60

Yaklaşım teoreminden dolayı [0,1] aralığı üzerinde

g fonksiyonuna düzgün yakınsak bir

( Bn ) Bernstein polinom dizisi vardır. Her n ∈ IN ve her [0,1] için n  n k Bn ( x) = ∑  x k (1 − x) n − k ( g ( )) n k =0  k 

dir ve her x ∈ [0,1]

için

lim n → ∞ Bn ( x ) = g ( x) olur. Şimdi her n ∈ IN için

Bn* = Bn oh −1 yazalım, yani her x ∈ [ a, b] için

Bn* ( x) = ( Bn oh −1 )( x) = Bn (h −1 ( x )) = Bn (

x a − ) b−a b−a

dir ve her x ∈ [a, b] için

x a x a lim n → ∞ Bn* ( x ) = lim n → ∞ Bn ( − ) = g( − ) = f ( x) b−a b−a b−a b−a dir ve ( Bn* ) polinom dizisi [a, b] aralığı üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Bu da teoremin ispatını tamamlar. Sonuç 3.10. Herhangi bir [a, b] kapalı ve sınırlı aralığında sürekli reel değerli her fonksiyona düzgün yakınsak bir polinom serisi vardır. İspat. Yukarıdaki teoremden dolayı [a, b] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir ( Bn* ) polinom dizisi vardır. Her n ∈ IN

ve her x ∈ [ a, b] için

Qn ( x) = Bn* ( x) − Bn* −1 ( x) ve

Bo* ( x) = 0 yazalım. Bu takdirde

∞

∑ Qn polinom serisi [a, b] üzerinde f

n =1

fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.; Çünkü, her n ∈ IN

ve her x ∈ [a, b] için

n

S n ( x) = ∑ Qk ( x ) = Q1 ( x) + Q2 ( x ) + ...Qn −1 ( x) + Qn ( x) k =1

61

yazarsak, S n ( x) = Bn* ( x )

olacağından,

∞

∑ Qn fonksiyon serisinin ( S n ) kısmi toplamlar

n =1

dizisi [a, b] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olur ve dolayısıyla

∞

∑ Qn

n =1

polinom serisi [a, b] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olur. Sonuç 3.11. Her n ∈ IN için Pn (0) = 0 olacak şekilde [−a, a ] aralığı üzerinde x fonksiyonuna düzgün yakınsak bir ( Pn ) polinom dizisi vardır. İspat. Weierstrass yaklaşım teoreminden dolayı, [−a, a ] aralığı üzerinde x fonksiyonuna düzgün yakınsak bir (Qn ) polinom dizisi vardır. Özel olarak,

lim n → ∞ Qn (0) = 0 = 0 dir. Şimdi her n ∈ IN ve her x ∈ [−a, a ] için

Pn ( x ) = Qn ( x) − Qn (0) yazalım. Bu takdirde her n ∈ IN için

Pn (0) = Q n (0) − Q n (0) = 0 dır ve her x ∈ [ −a, a ] için

lim n → ∞ Pn ( x ) = lim n → ∞ [Qn ( x) − Qn (0)] = = lim n → ∞ Qn ( x) − lim n → ∞ Qn (0)] = x − 0 = x − 0 = x dir ve (Qn ) fonksiyon düzgün yakınsak olduğundan, ( Pn ) fonksiyon dizisi de düzgün yakınsaktır: Gerçekten,, herhangi bir ε pozitif sayısı alalım. (Qn ) fonksiyon dizisi x fonksiyonuna [−a, a ] aralığında düzgün yakınsak olduğundan dolayı,

ε pozitif sayısı için 2

n ≥ n1 olduğunda her x ∈ [ −a, a ] için x − Qn ( x ) <

ε 2

olacak şekilde bir n1 doğal sayısı vardır. Diğer taraftan, lim n → ∞ Qn (0) = 0 = 0 olduğundan,

ε ε pozitif sayısı için n ≥ n2 olduğunda Qn (0) < olacak şekilde bir n2 2 2

doğal sayısı vardır. Şimdi no = max{n1 , n2 } yazalım. Bu takdirde n ≥ no

olduğunda her

x ∈ [−a, a ] için

62

x − Pn ( x) = x − [Qn ( x) − Qn −1 ( x)] = = [ x − Qn ( x )] + Qn −1 ( x) ≤ x − Qn ( x) + Qn −1 ( x) ≤

ε ε + =ε 2 2

bulunur. Böylece ( Pn ) polinom dizisinin [−a, a ] üzerinde x fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğu elde edilmiş olur. Bu da ispatı tamamlar.

63