Analiz Iii 5

 limx → x 0 fn(x) - limx → x 0 f m(x)< ε ⇒

An-Am < ε

olur. O halde (An) sayı dizisi Cauchy şartını sağlar, dolayısıyla yakınsaktır. Teorem 2.3.20. Reel sayılar kümesinin bir E altkümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir (f n) fonksiyon dizisini gözönüne alalım ve x0 noktası da E nin bir yığılma noktası olan bir reel sayı olmak üzere her n ∈IN için

limx → x 0 fn(x) = An olsun. Bu takdirde limx → x 0 f(x) = limn→∞ An dir, dolayısıyla

limx → x 0 limn→∞ fn(x) = limn→∞ limx → x 0 fn(x) dir. İspat. Teorem 2.3.19 dan dolayı (An) sayı dizisinin yakınsak olduğunu biliyoruz. limn→∞ An =A yazalım. Buna göre limx → x 0 f(x) =A olduğunu gösterme-miz gerekiyor. Bunu yapmak için herhangi bir ε>0 alalım. limn→∞ An=A olduğundan

n ≥ n1 olduğunda An-A<

ε 3

olacak şekilde bir n1 vardır. (fn) fonksiyon dizisi E üzerinde f fonksiyona düzgün yakınsak olduğundan

ε 3

> 0 için n ≥ n2 olduğunda

her x ∈E için f(x)-fn(x)<

ε 3

olacak şekilde bir n2 ∈IN vardır. n0=max {n1,n2} yazalım. Bu takdirde özel olarak n=n0 için

31

 A n o -A<

(i)

ε 3

her x ∈E için  fn 0 (x)-f(x)<

( ii )

ε 3

olur. Hipotezden her n ∈IN için limx → x 0 fn(x) =An olarak verildiğinden özel olarak, n=n0 içinde limx → x 0 fn 0 (x)= A n 0 olur dolayısıyla

ε 3

> 0

için

0 < x-x0< δ ve x ∈E

olduğunda

 fn 0 (x) - A n 0 <

( iii )

ε 3

olacak şekilde bir δ>0 vardır. (ii), (iii) ve (i) i sırasıyla kullandığımızda 0 < x-x0< δ ve x ∈E olduğunda f(x)-A=(f(x) - fn 0 (x))+( fn 0 (x)- A n 0 ) + ( A n 0 -A)

≤ f(x)- fn 0 (x)+ fn 0 (x) - A n 0 + A n 0 -A

<

ε ε ε + + =ε 3 3 3

bulunur. O halde

limx → x 0 f(x) =A dır. Dolayısıyla f(x)= limn→∞ fn(x) olduğunu

kullandığımızda hemen

limx → x 0 limn→∞ fn(x) = limn→∞ limx → x 0 fn(x) olduğu görülür.

32

Yukarıdaki teoremi şöyle de ifade edebiliriz. Bir noktada limiti olan fonksiyonların düzgün limiti de o noktada limite sahiptir, ve fonksiyonların o noktadaki limitlerinin oluşturduğu dizinin limiti düzgün limit fonksiyonunun o noktadaki limitine eşittir. Sonuç 2.3.21. Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir (fn) fonksiyon dizisi verilsin ve x0 da E nin bir yığılma noktası ve x0 ∈E olsun. Bu takdirde f n lerin her biri x0 noktasında sürekli ise f fonksiyonu da x0 noktasında süreklidir. Sonuç 2.3.22. Bir [a,b] aralığında bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir (fn) fonksiyon dizisi verilsin. Eğer her bir fn fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ise f fonksiyonu da [a,b] aralığında süreklidir. Teorem 2.3.23. Reel sayılar kümesinin bir E altkümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir (fn) fonksiyon dizisi verilsin. Eğer f n lerin her biri E üzerinde sürekli ise f fonksiyonu da E üzerinde süreklidir. İspat. Herhangi bir x0 ∈E alalım. f nin x0 noktasında sürekli olduğunu göstermek için herhangi bir ε>0 sayısı alalım. (fn) fonksiyon dizisi E üzerinde f

ε >0 için n ≥ n0 olduğunda 3

fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğundan

∀x ∈E için

f n(x)-f(x)<

ε 3

olacak şekilde bir n0 doğal sayısı vardır. Özel olarak n=n0 için

(i)

∀x ∈E için

 f n 0 (x)-f(x)<

ε 3

olur. Hipotezden f n 0 fonksiyonu E üzerinde sürekli dolayısıyla x0 ∈E noktasında da sürekli olduğundan

ε > 0 için x-x0< δ ve x ∈E olduğunda 3

33

( ii )  f n 0 (x) - f n 0 (x0)<

ε 3

olacak şekilde bir δ>0 vardır. (i) ve (ii) yi

kullandığımızda x-x0< δ ve x ∈E olduğunda f(x)-f(xo)= (f(x)- f n 0 (x) )+ ( f n 0 (x) - f n 0 (x0)) + ( f n 0 (x0)) - f(x0)) ≤ f(x) - f n 0 (x)+  f n 0 (x) - f n 0 (x0)+  f n 0 (x0) - f(x0)

<

ε ε ε + + =ε 3 3 3

olur. Bu da f fonksiyonunun x0 noktasında sürekli olması demektir. x0 noktası E nin rastgele bir noktası olduğundan f fonksiyonu E üzerinde sürekli olur. Yukarıdaki teoremin karşıtı her zaman doğru olmak zorunda değildir. Örneğin her n ∈IN ve her x ∈[0,1] için f n(x)= n2 x (1-x2)n ile tanımlanan f n lerin her biri [0,1] de süreklidir. Limit fonksiyonu olan 0 fonksiyonu da [0,1] de süreklidir. Ancak (fn) fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde 0 fonksiyonuna düzgün yakınsak değildir. Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde bir f fonksiyonuna noktasal yakınsak bir

(fn)

fonksiyon dizisi verilsin. Eğer her

n ∈IN için

f n fonksiyonu

E

üzerinde sürekli fakat f fonksiyonu E üzerinde sürekli değilse (f n) fonksiyon dizisi E üzerinde düzgün yakınsak değildir. Örnek 2.3.24.. Her n ∈IN için ve her x ∈ [0,1] için

fn(x) =

nx nx + 1

şeklinde tanımlanan (fn) fonksiyon dizisini gözönüne alalım. Her x ∈ ] 0,1] için limn→∞ f n(x) =1 ve limn→∞ f n(0) = 0 olduğundan

34

0

x=0 ise

limn→∞ fn(x) = f(x) = (x≠0), x ∈]0,1] ise

1 dir. Her bir

f n fonksiyonu

[0,1]

üzerinde süreklidir fakat limit fonksiyonu olan

f

fonksiyonu [0,1] de sürekli değildir. Yukarıdaki sonuçdan (fn) fonksiyon dizisi-nin [0,1] üzerinde düzgün yakınsak olmadığını elde ederiz. Sonuç 2.3.25. Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir Σf n fonksiyon serisi verilsin. Bu takdirde eğer her bir fn fonksiyonu E üzerinde sürekli ise f fonksiyonu da E üzerinde süreklidir. Teorem 2.3.26.

a ∈IR

herhangi bir sabit sayı olmak üzere [a,+∞ [ aralığı

üzerinde düzgün yakınsak bir (fn) fonksiyon dizisi verilsin ve her n ∈IN için limx→+∞ f n(x) = An olsun. Bu takdirde (An) sayı dizisi yakınsaktır. İspat.

(An)

sayı dizisinin yakınsak olduğunu göstermek yerine denk olan

Cauchy şartının sağlandığını göstereceğiz. Bunu yapmak için herhangi bir ε>0 sayısı alalım. (fn) fonksiyon dizisi [a,+∞ [ üzerinde düzgün yakınsak olduğundan, Teorem 2.3.2 den, düzgün Cauchy şartını sağlar, dolayısıyla

ε 2

> 0 sayısı için n,m ≥ n0

olduğunda

her x ∈[a,+ ∞ [ için f n(x)-f m(x)<

ε 2

olacak şekilde bir n0 doğal sayısı vardır. n, m ≥ n0 özelliğini sağlayan n ve m i sabit tutup, x→+∞ iken limite geçilirse

limx→+∞ fn(x)-f m(x)≤

ε <ε 2

35

bulunur. ⇒ limx→+∞fn(x)-f m(x)= limx→+∞ (fn(x)-f m(x)) = limx→+∞ f n(x)-limx→+∞ f m(x)=An-Am olduğundan n,m ≥n0 olduğunda An-Am< ε olur. O halde (An) sayı dizisi Cauchy şartını sağlar. Cauchy şartını sağlayan her sayı dizisi yakınsak olduğundan (An) dizisi yakınsaktır.

36