Analiz Iii 10

Teorem 3.12. Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak olan reel değerli fonksiyonların herhangi bir dizisi ( f n ) olsun. Bu takdirde her x ∈ E ve E de x e yakınsayan her ( x n ) dizisi için

lim n → ∞ f n ( x n ) = f ( x) dir. İspat. Reel sayılar kümesinin E alt kümesi üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak olan reel değerli fonksiyonların herhangi bir dizisi ( f n ) olsun. E kümesinin herhangi bir

x elemanı ve E de x elemanına yakınsayan herhangi bir dizi ( x n ) olsun.

( f n ( x n )) dizisinin

f (x) sayısına yakınsadığını göstereceğiz. Bunun için lim n → ∞ f ( x) − f n ( x n ) = 0

olduğunu göstermek yeterlidir. f fonksiyonu x noktasında sürekli olduğundan ve bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için gerek ve yeter koşul o noktaya yakınsak olan her dizinin görüntü dizisinin o noktanın görüntüsüne yakınsak olması olduğundan dolayı,

lim n → ∞ f ( x n ) = f ( x) dir ve dolayısıyla lim n → ∞ f ( x) − f ( x n ) = 0 dir. ( f n ) fonksiyon dizisi E üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğundan, her bir n ∈ IN için

M n = sup x∈E f ( x) − f n ( x) sonlu olarak mevcuttur ve lim n → ∞ M n = 0 dır. Diğer taraftan, her n ∈ IN için

f ( x) − f n ( x n ) = [ f ( x) − f ( x n )] + [ f ( x n ) − f n ( x n )] ≤ ≤ f ( x ) − f ( x n ) + f ( x n ) − f n ( x n ) ≤ f ( x) − f ( x n ) + M n dir. lim n → ∞ f ( x) − f ( x n ) = 0 ve lim n → ∞ M n = 0 olduğundan,

lim n → ∞ f ( x) − f n ( x n ) = 0 bulunur, dolayısıyla lim n → ∞ [ f ( x) − f n ( x n )] = 0 elde edilir ki bundan da lim n → ∞ f n ( x n ) = f ( x ) bulunur. Bu da ispatı tamamlar. Bu teoremden şu sonucu çıkarabiliriz: Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna noktasal yakınsak olan reel değerli fonksiyonların bir

( f n ) dizisi verildiğinde eğer E nin bir x noktası ve E de x noktasına yakınsayan bir ( x n ) dizisi için ( f n ( x n )) dizisi f (x) sayısına yakınsamıyorsa ( f n ) fonksiyon dizisi E üzerinde düzgün yakınsak değildir. Yukarıdaki teoremden elde edilebilen bir diğer sonuç da aşağıda verilmiştir.

63

Sonuç 3.13. . Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak olan reel değerli sürekli fonksiyonların herhangi bir dizisi ( f n ) olsun. Bu takdirde her x ∈ E ve E de x e yakınsayan her ( x n ) dizisi için

lim n → ∞ f n ( x n ) = f ( x) dir. İspat. Sürekli fonksiyonların düzgün yakınsadığı fonksiyon da sürekli olacağından, f fonksiyonu süreklidir. Yukarıdaki teoremden ispat elde edilir. Örnek. Her n ∈ IN ve her x ∈ [0,1] için f n ( x) =

1 ile tanımlanan ( f n ) nx + 1

0 x∈]0,1] için  fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde f (x) =   ile tanımlanan f fonksiyonuna  1 x = 0 için  düzgün yakınsak değildir. Teorem 3.14. Her bir n ∈ IN için f n fonksiyonu [a, b] kapalı ve sınırlı aralığında pozitif değerler alsın ve

x e göre monoton artan olsun. Bu takdirde eğer her bir x ∈ [ a, b]

için ( f n ( x)) sayı dizisi monoton azalan ve lim n → ∞ f n ( x) = 0 oluyorsa, ∞

∑ ( −1)

k +1

k =0

fk

alterne fonksiyon serisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsaktır. İspat. Her n ∈ IN ve x ∈ [a, b]

n

s n ( x) = ∑ (−1) k f k ( x ) yazalım. ( s n )

için

k =1

fonksiyon dizisi [a, b] üzerinde noktasal yakınsaktır, çünkü; Leibniz kriterinden dolayı, her bir

x ∈ [a, b] için

∞

∑ ( −1)

k =0

k +1

f k ( x) alterne serisi yakınsaktır. Her x ∈ [a, b] için ∞

s ( x ) = ∑ (−1) k +1 f k ( x) k =0

yazalım. ( s n ) fonksiyon dizisinin [a, b] üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu göstereceğiz. Her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

64

∞

n

s ( x ) − s n ( x) = ∑ (−1) k +1 f k ( x ) − ∑ (−1) k +1 f k ( x ) = =

= =

k =1 ∞

∑ (−1)

k +1

k =1 ∞

∞

f k ( x ) = ∑ (−1) n + k +1 f n + k ( x) =(−1) n ∑ (−1) k +1 f n + k ( x) =

k = n +1 k =1 k =1 (-1) n {[ f n +1 ( x) − f n + 2 ( x)] + [ f n + 3 ( x) − f n + 4 ( x)] + [ f n + 5 ( x) − f n + 6 ( x )] + ...}} = ∞ (-1) n ∑ [ f n + 2k −1 ( x) − f n + 2k ( x )] k =1

dir. O halde ∞

(−1) n [ s( x) − s n ( x)] = ∑ [ f n + 2 k −1 ( x ) − f n + 2k ( x)] ≥ 0 k =1

dir. Çünkü her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

f n +1 ( x ) ≤ f n ( x ) dir. Böylece

(−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≥ 0

(i)

eşitsizliğinin her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için gerçeklendiğini göstermiş olduk. Ayrıca her

n ∈ IN ve x ∈ [ a, b] için (−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 ( x)

(*)

dir. Çünkü, ( f n ) fonksiyon dizisi n e göre monoton azalan olduğundan dolayı,

f n + 2k ( x) ≥ f n + 2k +1 ( x) dolayısıyla, f n + 2k ( x) − f n + 2k +1 ( x) ≥ 0 olup, ∞

∑ [ f n + 2k ( x) − f n + 2 k +1 ( x)] ≥ 0 dır. Diğer taraftan, hipotezden, her bir n ∈ IN için f n

k =1

fonksiyonu x e göre monoton artan olduğundan, x ∈ [ a, b]

f n ( x ) ≤ f n (b )

dir, dolayısıyla

için

x ∈ [ a, b] için

f n +1 ( x) ≤ f n +1 (b) dir. (*) dan dolayı, her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b] için (−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 (b) bulunur. (i) ve (ii) den dolayı, her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

0 ≤ (−1) n [ s ( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 (b)

(iii) elde edilir.

Her n ∈ IN için

65

M n = sup x∈[ a, b ] s( x) − s n ( x) = sup x∈[ a, b] (−1) n [ s( x) − s n ( x)] = = sup x∈[ a, b] (−1) n [ s ( x) − s n ( x )] = sup x∈[ a, b] [ s ( x ) − s n ( x)] ≤ f n +1 (b) bulunur, yani her n ∈ IN için

0 ≤ M n ≤ f n +1 (b) bulunur. Hipotezden, lim n → ∞ f n +1 (b) = 0 olduğundan, sıkıştırma teoreminden dolayı,

lim n → ∞ M n = 0 bulunur. Böylece ( s n ) fonksiyon dizisinin [a, b] aralığı üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğu elde edilmiş olur. ( s n ) fonksiyon dizisi

alterne fonksiyon serisinin kısmi toplamlar dizisi olduğundan

∞

∑ (−1)

k =0

k +1

fk

∞

∑ ( −1)

k +1

k =0

fk

alterne

fonksiyon serisi [a, b] aralığı üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar. Sonuç 3.15. Her bir n ∈ IN için f n fonksiyonu [a, b] kapalı ve sınırlı aralığında pozitif değerler alsın ve

x e göre monoton azalan olsun. Bu takdirde eğer her bir x ∈ [ a, b]

için ( f n ( x)) sayı dizisi monoton azalan ve lim n → ∞ f n ( x) = 0 oluyorsa, ∞

∑ ( −1)

k +1

k =0

fk

alterne fonksiyon serisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsaktır. İspat. Her n ∈ IN ve x ∈ [a, b]

için

n

s n ( x) = ∑ (−1) k f k ( x ) yazalım. ( s n ) k =1

fonksiyon dizisi [a, b] üzerinde noktasal yakınsaktır, çünkü; Leibniz kriterinden dolayı, her bir

x ∈ [a, b] için

∞

∑ ( −1)

k =0

k +1

f k ( x) alterne serisi yakınsaktır. Her x ∈ [a, b] için ∞

s ( x ) = ∑ (−1) k +1 f k ( x) k =0

yazalım. ( s n ) fonksiyon dizisinin [a, b] üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu göstereceğiz. Her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

66

∞

n

s ( x ) − s n ( x) = ∑ (−1) k +1 f k ( x ) − ∑ (−1) k +1 f k ( x ) = =

= =

k =1 ∞

∑ (−1)

k +1

k =1 ∞

∞

f k ( x ) = ∑ (−1) n + k +1 f n + k ( x) =(−1) n ∑ (−1) k +1 f n + k ( x) =

k = n +1 k =1 k =1 (-1) n {[ f n +1 ( x) − f n + 2 ( x)] + [ f n + 3 ( x) − f n + 4 ( x)] + [ f n + 5 ( x) − f n + 6 ( x )] + ...}} = ∞ (-1) n ∑ [ f n + 2k −1 ( x) − f n + 2k ( x )] k =1

dir. O halde ∞

(−1) n [ s( x) − s n ( x)] = ∑ [ f n + 2 k −1 ( x ) − f n + 2k ( x)] ≥ 0 k =1

dir. Çünkü her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

f n +1 ( x ) ≤ f n ( x ) dir. Böylece

(−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≥ 0

(i)

eşitsizliğinin her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için gerçeklendiğini göstermiş olduk. Ayrıca her

n ∈ IN ve x ∈ [ a, b] için (−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 ( x)

(*)

dir. Çünkü, ( f n ) fonksiyon dizisi n e göre monoton azalan olduğundan dolayı,

f n + 2k ( x) ≥ f n + 2k +1 ( x) dolayısıyla f n + 2k ( x) − f n + 2k +1 ( x) ≥ 0 olup, ∞

∑ [ f n + 2k ( x) − f n + 2 k +1 ( x)] ≥ 0 dır. Diğer taraftan, hipotezden, her bir n ∈ IN için f n

k =1

fonksiyonu x e göre monoton azalan olduğundan, x ∈ [a, b]

f n ( x) ≤ f n (a )

dir, dolayısıyla

için

x ∈ [a, b] için

f n +1 ( x) ≤ f n +1 (b) dir. (*) dan dolayı, her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b] için (−1) n [ s( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 (b) bulunur. (i) ve (ii) den dolayı, her n ∈ IN ve x ∈ [ a, b]

için

0 ≤ (−1) n [ s ( x) − s n ( x)] ≤ f n +1 (a )

(iii’) elde edilir.

Her n ∈ IN için

67

M n = sup x∈[ a, b ] s( x) − s n ( x) = sup x∈[ a, b] (−1) n [ s( x) − s n ( x)] = = sup x∈[ a, b] (−1) n [ s ( x) − s n ( x )] = sup x∈[ a, b] [ s ( x ) − s n ( x)] ≤ f n +1 ( a) bulunur, yani her n ∈ IN için

0 ≤ M n ≤ f n +1 ( a ) bulunur. Hipotezden, lim n → ∞ f n +1 (a ) = 0 olduğundan, sıkıştırma teoreminden dolayı,

lim n → ∞ M n = 0 bulunur. Böylece ( s n ) fonksiyon dizisinin [a, b] aralığı üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğu elde edilmiş olur. ( s n ) fonksiyon dizisi

alterne fonksiyon serisinin kısmi toplamlar dizisi olduğundan

∞

∑ (−1)

k =0

k +1

fk

∞

∑ ( −1)

k +1

k =0

fk

alterna

fonksiyon serisi [a, b] aralığı üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsak olur. Bu da sonucun ispatını tamamlar. KUVVET SERİLERİ Şimdi özel tip fonksiyon serileri olan kuvvet serilerini inceleyeceğiz. ∞

f ( x) = ∑ cn x n

(1)

n =0

veya daha genel olarak, (2)

∞

f ( x) = ∑ cn ( x − a) n n =0

şeklindeki fonksiyonlara analitik fonksiyonlar denir. Eğer x ∈] − R, R[ (veya x ∈ IR ) için

∞

∑ cn x

n =0

n

serisi yakınsak olacak şekilde bir

R pozitif sayısı bulunabiliyorsa (veya her R pozitif sayısı için oluyorsa), f fonksiyonu x = 0 noktası civarında bir kuvvet serisine açılabilir denir. Benzer şekilde (2) deki seri

]a − R, a + R[ açık aralığındaki her x için (veya her x reel sayısı için ) yakınsak olacak şekilde bir R pozitif sayısı bulunabiliyorsa (veya her R > 0 için oluyorsa), f fonksiyonuna x = a noktası civarında bir kuvvet serisine açılabilir denir. Biz burada a = 0 halini inceleyeceğiz, diğer durumlar ise benzer şekilde incelenebilir. Teorem 3.16. Her x ∈] − R, R[ için

68

∞

∑ cn x

(3)

n

n =0

serisi yakınsak olacak şekilde sabit bir R sayısı bulunsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır. (a)

∞

∑ cn x

n

fonksiyon serisi her ε pozitif sayısı için [− R + ε , R + ε ] kapalı aralığı

n =0

üzerinde bir

f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.

(b) Her x ∈] − R, R[

için

∞

f ( x) = ∑ cn x n

ile tanımlanan f fonksiyonu ] − R, R[

n =0

de

süreklidir. c)

f fonksiyonu ] − R, R[ de türevlenebilirdir ve x ∈ [ − R + ε , R − ε ] için

(4)

f ' ( x) = ∑ nc n x n −1

∞

n =1

dir. İspat. Her x ∈] − R, R[

∞

∑ cn x

için

n

yakınsak olsun ve her x ∈] − R, R[

n =0

için

∞

f ( x) = ∑ c n x n n =0

yazalım. ∞

n (a) Herhangi bir ε pozitif sayısı verilsin. ∑ c n x fonksiyon serisinin [− R + ε , R − ε ] n =0

kapalı aralığı üzerinde düzgün yakınsak olduğunu göstereceğiz. R − ε ∈] − R, R[ olduğundan

dolayı

∞

∑ cn ( R − ε )

n =0

n

sayı serisi yakınsaktır.

Her n ∈ IN ve her x ∈ [− R + ε , R − ε ] için

cn x n ≤ cn ( R − ε ) n eşitsizliği sağlandığından Teorem 2.3.13 den dolayı

[− R + ε , R − ε ] kapalı aralığı üzerinde

∞

∑ cn x

n =0

n

fonksiyon serisi

∞

f ( x) = ∑ c n x n düzgün yakınsaktır. n =0

69

(b) f fonksiyonunun ] − R, R[

de sürekli olduğunu göstermek için ] − R, R[

aralığının her noktasında sürekli olduğunu göstereceğiz. Bunu yapmak için ] − R, R[

aralığının herhangi bir xo noktasını alalım ve ε = ∞

xo ε [− R + ε , R − ε ] dır. (a) dan dolayı, ∑ c n x n n =0

R − xo 2

yazalım. Bu takdirde ε > 0 ve

fonksiyon serisi [− R + ε , R − ε ] kapalı

aralığı üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Her bir

nεIN için ve her

xε [− R + ε , R − ε ] için f n ( x) = c n x n şeklinde tanımlanan f n fonksiyonu, [− R + ε , R − ε ] kapalı aralığı üzerinde sürekli olduğundan ve sürekli fonksiyonların serisinin düzgün yakınsadığı fonksiyon da sürekli olacağından dolayı, f fonksiyonu ] − R + ε , R + ε [ aralığında süreklidir dolayısıyla da xo ∈ [ − R + ε , R − ε ] noktasında süreklidir. xo elemanı

] − R, R[ nin herhangi bir elemanı olarak alındığından, f fonksiyonu ] − R, R[ nin her noktasında süreklidir, yani f fonksiyonu ] − R, R[ aralığında süreklidir.

f fonksiyonunun ] − R, R[ aralığında türevlenebilir olduğunu göstermek için

c)

herhangi bir xo ∈] − R, R[ alalım. lim n → ∞ n n = 1 olduğundan, (5)

lim sup n → ∞ n nc n = lim sup n → ∞ n n c n = lim sup n → ∞ n n c n = = lim sup n → ∞ n n n c n = lim sup n → ∞ n c n

olacak ve dolayısıyla,

1 lim sup n → ∞ n nc n ∞

∑ ncn x

n =1

n −1

=

∞

∑ ncn x

n −1

n =1

kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı,

1 lim sup n → ∞ n c n

=R

dir. O halde her

x ∈] − R, R[ için

fonksiyon serisi yakınsaktır ve (a) dan dolayı, her ε > 0 için

∞

∑ ncn x

n −1

n =1

fonksiyon serisi [− R + ε , R − ε ] aralığı üzerinde düzgün yakınsaktır. Şimdi f

fonksiyonunun xo noktasında türevlenebilir olduğunu elde edebiliriz. ε =

R − xo 2

yazalım.

70

Bu ε sayısı pozitiftir ve xo ∈ [ − R + ε , R − ε ] dır.

[− R + ε , R − ε ] aralığı üzerinde f

∞

∑ ncn x

n −1

n =1

fonksiyon serisi

fonksiyonuna düzgün yakınsak ve bir ∞

∞

n =0

n=0

n n ∑ c n x = ∑ c n 0 =co = f (0) dır,

z ∈ [− R + ε , R − ε ] için diyelim ki, z = 0 için

x ∈ [− R + ε , R − ε ] için

dolayısıyla, Sonuç 2.3.33 den dolayı, her

∞

f ( x) = ∑ c n x n ile n =0

tanımlanan f fonksiyonu [− R + ε , R − ε ] aralığında türevlenebilirdir ve her

x ∈ [− R + ε , R − ε ] için ∞

∞

n =0

n =1

f ' ( x) = ∑ (c n x n )' = ∑ nc n x n −1 ∞

n −1 dir. xo ∈ [ − R + ε , R − ε ] olduğundan f ' ( x) = ∑ nc n xo dir. Böylece teoremin ispatı n =1

tamamlanmış olur. Sonuç 3.16. Her x ∈] − R, R[ için ∞

∑ cn x

n

n =0

∞

n serisi yakınsak olacak şekilde sabit bir R sayısı bulunsun ve . f ( x) = ∑ c n x yazalım. n =0

Bu takdirde

f fonksiyonunun ] − R, R[ de her mertebeden türevi vardır ve her

x ∈] − R, R[ için (6)

f k ( x) = ∑ n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)c n x n − k

(her k ∈ IN )

dır ve özel olarak, (7)

f ( k ) (0) = k!c k

( k = 1,2,..., n,...)

dir. İspat. Yukarıdaki teoremi f , f ' , f ' ' ,... f ( k −1) fonksiyonlarına arka arkaya uygularsak, (6) eşitliğini elde ederiz ve x = 0 yazarsak da (6) dan (7) eşitliğini elde ederiz. (7) formülü, f fonksiyonunun ve f ile f ' nin türevlerinin bir tek noktadaki değerleri cinsinden yazılabileceğini göstermektedir, ancak, elde edilen serinin f

71

fonksiyonunun x = 0 için yakınsak olması gerekir, aksi halde

f fonksiyonuna eşit

yazılamaz.

   Örnek. f ( x) =  0 

−

e

1 x2

     

x ≠ 0 ise x =0

ise

fonksiyonunu göz önüne alalım.

−

1

f ( x) − f (0) f ( x) − 0 f ( x) e x lim x → 0 = lim x → 0 = lim x → 0 = lim x → 0 x−0 x x x olduğundan, f ' (0) = 0 dır. Benzer şekilde k = 0,1,2,3,..., n,... için Ancak x ≠ 0

=0

f ( k ) = 0 bulunur.

için −

e −

2

1 x2

f ( k ) (0) k ≠ ∑ x k! k =0 ∞

1

2 e x ≠0

dır, dolayısıyla

f

f ( k ) (0) k fonksiyonu ∑ x k! k =0

Teorem 3.17.

∞

∞

∑ c n sayı serisi yakınsak ise, her x ∈] − 1,1[

n =0

serisi yakınsaktır ve her her x ∈] − 1,1[

(8)

serisine eşit değildir.

için

için

∞

∑ cn x

n

n =0

kuvvet

∞

f ( x ) = ∑ c n x n yazarsak, n =0

∞

lim x →1− 0 f ( x) = ∑ c n n=0

dir. İspat. Her n ∈ IN için s n = co + c1 + ...c n −1 + c n

ve

s −1 = 0 yazalım.

∞

∑ cn

n =0

sayı serisi yakınsak olduğundan, ( s n ) kısmi toplamlar dizisi yakınsak ve her yakınsak dizi sınırlı olacağı için de ( s n ) dizisi sınırlı sınırlıdır yani her n ∈ IN için şekilde bir

sn ≤ K

olacak

K > 0 sabiti vardır. Böylece her n ∈ IN ve her x ∈] − 1,1[ için

72

sn x n = sn x n = sn x

n

≤Kx

n

olduğundan, her x ∈] − 1,1[ için

dolayısıyla,

∞

∑ sn x

n =0

n

∞

n

∑ x .K

n =0

∞

n yakınsak olduğundan ∑ s n x n =0

yakınsak

serisi her x ∈] − 1,1[ için yakınsaktır. Ayrıca yakınsak her serinin

genel terim dizisi sıfıra yakınsak olacağından ya da her m ∈ IN için her x ∈] − 1,1[ için

0 ≤ sm x m = sm x m ≤ K . x m m eşitsizliğinden ve lim m → ∞ x = 0

olmasından dolayı lim m → ∞ s m x m = 0

bulunur. Diğer

taraftan, her m ∈ IN için her x ∈] − 1,1[ için m

m −1

n =0

n =0

t m = ∑ c n x n = (1 − x ) ∑ s n x n + s m x m ∞

n olduğundan, lim m → ∞ t m = (1 − x) ∑ s n x elde edilir.Böylece her x ∈] − 1,1[ n =0

∞

∑ cn x

n

kuvvet serisinin yakınsak olduğunu elde etmiş olduk. Her x ∈] − 1,1[

n =0

m

∞

n=0

n =0

için

için

f ( x ) = ∑ c n x n = (1 − x) ∑ s n x n ∞

yazalım. Şimdi lim x →1− 0 f ( x) = ∑ c n n=0

∞

olduğunu göstereceğiz. ∑ c n = s n =0

yazalım. O

halde lim x →1− 0 f ( x) = s olduğunu ispatlamalıyız. Bunu yapmak için herhangi bir ε pozitif sayısı alalım. lim n → ∞ s n = s

s − sn <

olduğundan,

ε pozitif sayısı için n ≥ no olduğunda 2

ε olacak şekilde bir no doğal sayısı vardır. lim x →1− 0 (1 − x ) = 0 olduğundan, 2

ε pozitif sayısı için 1 > x > 1 − δ 2

olduğunda

1− x <

ε no

2 ∑ sn − s n=0

73

olacak şekilde 0 < δ < 1 özelliğini sağlayan bir δ

pozitif sayısı vardır. Burada

no

∑ s n − s > 0 kabul ediyoruz, çünkü, aksi halde durum aşikar olur. x < 1 için

n =0

∞

(1 − x) ∑ x n = 1 olduğundan dolayı, 1 > x > 1 − δ n=0

∞

olduğunda

f ( x) − s = (1 − x) ∑ s n x n − s < n =0

ε ε + =ε 2 2

∞

bulunur. O halde lim x →1− 0 f ( x) = ∑ c n dir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. n=0

74