Anal Iii 6

[a,+∞ [ kümesi üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün

Teorem 2.3.27.

yakınsak bir (fn) fonksiyon dizisi verilsin ve her bir n ∈IN için limx→+∞ fn(x) = An olsun. Bu takdirde limx→+∞ f(x)= limn→∞ An dir ve dolayısıyla limx→+∞ limn→∞ fn(x) = limn→∞ limx→+∞ fn(x) dir. İspat. Bir önceki teoremden, Teorem 2.3.26 dan, dolayı (An) sayı dizisi yakınsaktır. A=limn→∞ An yazalım. Herhangi bir ε>0 sayısı alalım. limn→∞ An =A ε ε olduğundan > 0 sayısı için n ≥ nı olduğunda An-A< olacak şekilde bir n1 3

3

doğal sayısı vardır. (fn) fonksiyon dizisi [a, +∞ [ üzerinde f fonksiyonuna düzgün ε yakınsak olduğundan, > 0 sayısı için n ≥ n2 olduğunda her x ∈[a,+∞ [ için  3

f(x)-fn(x)<

ε olacak şekilde bir n2 doğal sayısı vardır. n0 = max {n1,n2} yazalım. 3

Bu takdirde  A n -A<

(i)

o

ε 3

ve (ii) her x ∈[a,+∞[ için f(x)-fno(x)< →+∞

<

fno(x)= A n olduğu verildiğinden 0

ε 3

ε elde edilir. Hipotezden 3

lim x

>0 sayısı için x>M olduğunda f n (x)- A n  0

0

ε olacak şekilde M>a özelliğini sağlayan bir M pozitif sayısı vardır. Buna göre 3

(ii) ve (i) i kullandığımızda x>M olduğunda f(x)-A= f(x) - f n 0 (x)+ ( f n 0 (x) - A n 0 ) + ( A n 0 -A)) < f(x) - f n 0 (x)+ f n 0 (x)+ A n 0 + A n 0 - A<

37

ε ε ε + + =ε 3 3 3

elde edilir. O halde limx→+∞ f(x)= limn→∞ An dir. ⇒ x→+∞ iken f(x) in limiti var ve limn→∞ An e eşittir. f(x) = limx→+∞ fn(x) ve her n ∈ IN için An = limx→+∞ fn(x) olduğu gözönüne alınırsa, limx→+∞ limn→+∞ fn(x) = limn→∞ limx→+∞ fn(x) bulunur. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. ]-∞,a] aralığı üzerinde düzgün olarak bir f fonksiyonuna yakınsak olan bir (fn) dizisi verildiğinde ve her n ∈IN için limx→-∞ fn(x) = an olduğunda (an) sayı dizisinin yakınsak olduğu Teorem 16 nın ispatına benzer olarak elde edilebilir ve Teorem 17 nin ispatına benzer olarak da limx→+∞ f(x) = limn→∞ limx→+∞ fn(x) olduğu ve dolayısıyla limx→+∞ limn→∞ fn(x) = limn→∞ limx→+∞ fn(x) olduğu görülür. Şimdi belirli integral ile düzgün yakınsaklık arasındaki bir özelliği aşağıdaki teoremde veriyoruz. Teorem 2.3.28. Bir [a,b] aralığında bir f fonksiyonuna düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisi (fn) olsun. Eğer her bir n ∈IN için fn fonksiyonu [a,b] de (Riemann) integrallenebiliyorsa f fonksiyonu da [a,b] integrallenebilirdir ve

∫

b

a

f(x)dx = limn→∞

∫

b

a

f n (x)dx

dir.

38

de (Riemann)

İspat. (fn) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğundan, Teorem 2 den dolayı her n ∈IN için Mn = supt ∈[a,b] fn(x)-f(x) supremumu mevcuttur ve limn→∞ Mn = 0 dır. Her n ∈IN ve her x ∈[a,b] için fn(x) - f(x)≤ supx ∈ [a,b] fn(t) - f(t)= Mn

dir. Dolayısıyla her n ∈IN ve her x ∈ [a,b] için (i) fn(x)-Mn ≤ f(x) ≤ fn(x)+ Mn bulunur. Her x ∈[a,b] için g(x)≤ f(x) ≤ h(x) eşitsizliği sağlanıyor ve g ile h nın [a,b] de Riemann integralleri mevcutsa f fonksiyonun alt ve üst Riemann integralleri varolacağından fn(x) -Mn ile fn(x)+Mn nin özel olarak diyelim ki f1(x) - M1 ile f1(x)+M1 fonksiyonlarının [a,b] de Riemann integrallenebilmesinden f fonksiyonunun [a,b] de alt Riemann ve üst Riemann integrallerinin var olduğunu ve her n ∈IN için

∫

b

a

(fn(x) - Mn) dx ≤

buluruz. Böylece

∫

b

−a

∫

b

f(x)dx ≤

−a

f(x)dx ve de

∫

b

−a

∫

−b

a

∫

−b

b

f(x)dx ≤ ∫a (fn(x)+Mn) dx

a

f(x)dx in varolduğunu elde etmiş olduk. Şimdi

f(x)dx=

eşitliğinin sağlandığını gösterelim. (I) den Her n ∈IN için

39

∫

−b

a

f(x) dx

0≤

∫

−b

a

∫

f(x) dx -

b

f(x) dx ≤ 2Mn (b-a) bulunur.

−a

Buradan limite geçirilirse −b

limn→∞ 0 ≤ limn→∞ ( ∫a 0≤

∫

−b

⇒

0≤

∫

−b

⇒

∫

−b

a

a

a

b

f(x)dx -

∫

f(x) dx -

∫

f(x) dx =

∫

∫

b

−a

f(x) dx) ≤ limn→∞ 2Mn (b-a)

f(x)dx ≤ 2(b-a) limn→∞ Mn= 2(b-a). 0=0

−a

b

f(x) dx ≤ 0

−a

b

f(x)dx -

f(x) dx

−a

∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx = ∫

bulunur. O halde f fonksiyonunun [a,b] de Riemann integrali vardır. Şimdi de

∫

f(x)dx = limn→∞

b

a

fn(x)dx olduğunu ispat edelim.

∫

−b

a

b

b

a b

−a

a

f(x)dx olduğunu kullanırsak, (I) eşitsizliğinden her n ∈IN için

∫

b

fn(x)dx - Mn(b-a) ≤

a

∫

b

a

f(x)dx ≤

∫

b

a

fn(x) dx + Mn (b-a)

bulunur. Buradan her n ∈IN için b

( ∫a fn(x)dx -

∫

b

a

b

f(x)dx) ≤ Mn(b-a) ve - ( ∫a fn(x)dx -

elde edilir ki bunlardan da her n ∈IN için b

0 ≤  ∫a fn(x)dx -

∫

b

f(x)dx  ≤ Mn (b-a)

a

eşitsizliği bulunur. Buradan ⇒

limn→∞

∫

b

a

fn(x)dx -

∫

b

a

f(x) dx = 0

40

∫

b

a

f(x)dx) ≤ Mn (b-a)

⇒

∫

b

a

∫

f(x) dx = limn→∞

b

a

fn (x) dx

bulunur. Bu da ispatı tamamlar. Örnek2.3.29. Her n ∈IN için ve her x ∈ [0,1] için fn(x) = n2 x (1-x2)n olsun. limn→∞ fn(x) = 0(x) dir.

∫

n2 fn(x)dx = ve 2n + 2

1

0

∫

1

0

f(x)dx =

∫

1

0

odx = 0 olup, lim

n2 = +∞ dır. 2n + 2

Teorem 18’den dolayı (fn) fonksiyon dizisi [0,1] üzerinde 0 fonksiyonuna düzgün yakınsak değildir. Sonuç 2.3.30. Bir [a,b] aralığı üzerinde bir f fonksiyonunu düzgün yakınsak bir Σfn fonksiyon serisi verilsin. Eğer her bir n ∈IN için fn fonksiyonu [a,b] de (Riemann) integrallenebiliyorsa f fonksiyonu da [a,b] de (Riemann) integrallenebilirdir ve

∫

b

a

f(x)dx =

∞

∑ ∫ n= 1

b

fn(x) dx

a

dir ve dolayısıyla ∞

∫ ∑ b

a

n= 1

fn(x) dx =

∞

∑ ∫

b

a

n= 1

fn(x) dx

dir. İspat. Her n ∈IN ve her x ∈ [a,b] için n

sn(x) =

∑

fi(x)

i =1

yazalım. Sonlu adette (Riemann) integrallenebilen fonksiyonun toplamı da Riemann integrallenebildiğinden her n ∈IN için sn fonksiyonu [a,b] de Riemann integrallenebilir. Σfn fonksiyon serisi f e düzgün yakınsak olduğundan Σfn serisinin kısmi toplamlar dizisi (sn) de f e düzgün yakınsaktır. Teorem 18 den f fonksiyonu [ a,b] de Riemann integrallenebilir olur ve

∫

b

a

f(x) dx = limn→∞

∫

b

a

sn(x) dx

41

dir. limn→∞

∫

b

a

sn(x) dx = limn→∞

∫

n

( ∑ fi(x) dx

b

a

i=ý

∞

=∑ i =1

∫

b

a

fn(x) dx

olduğundan,

∫

b

a

ve

∞

f(x) dx = ∞

a

n= 1

b

fn(x) dx

a

n= ý

∫ ∑ b

∑ ∫

(fn(x)) dx =

∞

∑ ∫ n= 1

b

a

fn(x)dx

bulunur. Bu da ispatı tamamlar. Teorem 2.3.31. Bir [a,b] kapalı ve sınırlı aralığı üzerinde türevlenebilen fonksiyonların bir (fn) dizisi verilsin ve en az bir x0 ∈ [a,b] için (fn(x0)) sayı dizisi yakınsak olsun. Bu takdirde eğer (fın) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak ise (fn) fonksiyon dizisi de [a,b] üzerinde düzgün yakınsaktır. İspat. (fn) fonksiyon dizisinin düzgün Cauchy şartını sağladığını göstermemiz yeterli olacaktır. Bunu yapmak için herhangi bir ε>0 alalım. (fn(x0)) ε sayı dizisi yakınsak olduğundan Cauchy şartını sağlar dolayısıyla > 0 için n,m ≥ 2

n1 olduğunda (i)fn(x0) - fm(x0)<

ε olacak şekilde bir n1 doğal sayısı vardır. (f'n) 2

fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak olduğundan düzgün Cauchy ε şartını sağlar dolayısıyla > 0 sayısı için n,m ≥ n2 olduğunda 2(b − a )

(ii)

∀x ∈ [a,b] için fn'(x) - f'm(x) )<

42

ε 2(b − a )