Analiz Iii 7

İspat. (fn) fonksiyon dizisinin düzgün Cauchy şartını sağladığını göstermemiz yeterli olacaktır. Bunu yapmak için herhangi bir ε>0 alalım. (fn(x0)) ε sayı dizisi yakınsak olduğundan Cauchy şartını sağlar dolayısıyla > 0 için n,m ≥ 2

n1 olduğunda (i)fn(x0) - fm(x0)<

ε olacak şekilde bir n1 doğal sayısı vardır. (f'n) 2

fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak olduğundan düzgün Cauchy ε şartını sağlar dolayısıyla > 0 sayısı için n,m ≥ n2 olduğunda 2(b − a )

(ii)

∀x ∈ [a,b] için fn'(x) - f'm(x) )<

ε 2(b − a )

olacak şekilde bir n2 doğal sayısı vardır. Diğer taraftan fn-fm fonksiyonuna diferensiyel hesabın ortalama değer teoremini uygularsak, herbir x ∈ [a,b], için (f n − f m )(x) − (f n − f m )(x) = (f n − f m ) 1 ( ξ) x − x0

olacak şekilde bir ξ sayısını x ile x0 arasında bulabiliriz. (ii) den n,m ≥ n2 olduğunda ∀x ∈ [a,b] için (f n − f m )(x) − (f n − f m )(x) x − x0

= (fn-fm)1(ξ)<

S 2(b − a)

bulunur. Buradan n,m ≥ n2 olduğunda ∀x ∈[a,b] için (fn -fm)(x) - fn - fn)(x0)< x-x0

ε ε ε .(b − a) = ≤ 2(b − a) 2(b − a) 2

bulunur. ⇒ n,m ≥ n2 olduğunda x ∈[a,b] için fn(x)-fn(x)-fn(x0)+fn(x0)<

ε 2

olur. Şimdi n0 = max {n,n2} yazalım. Bu takdirde n,m ≥ n0 olduğunda

43

ε

(I)

fn(x0) - fm(x0)<

(II)

∀x ∈[a,b] için fn(x)-fm(x)-(fn(x0) - fm(x0)<

2

ve ε 2

bulunur. (I) ve (II) den n, m ≥ n0 olduğunda her x ∈ [a,b] için fn(x)-fm(x)=fn(x) - fm(x) - (fn(x0) - fm(x0)) + fn(x0)-fm(x0) ≤ fn(x)-fm(x) - (fn(x0) - fm(x0))+fn(x0) - fm(x0) <

ε ε + ε 2 2

bulunur. O halde (fn) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün Cauchy şartını sağlar. Teorem 1 den (fn) fonksiyon dizisinin [a,b] üzerinde düzgün yakınsak olduğu elde edilir. Bu da teoremin ispatını tamamlar. Teorem 2.3.32. Bir [a,b] aralığı üzerinde türevlenebilen fonksiyonların bir dizisi (fn), ve bir x0 ∈ [a,b] için (fn(x0)) sayı dizisi yakınsak olsun. Bu takdirde eğer (f'n) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak ise (fn) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır ve [a,b] nin her noktasında f in türevi vardır ve her x ∈[a,b] için f'(x) = limn→∞ f'n(x) dir. İspat. Teorem 20 den, (fn) fonksiyon dizisinin

[a,b] üzerinde düzgün

yakınsak olduğunu elde ederiz. (fn) nin [a,b] üzerinde düzgün yakınsadığı fonksiyonu f ile gösterelim. O halde her x ∈ [a,b] için limn→∞ fn(x) = f(x) dir. f fonksiyonun [a,b] nin her noktasında türevlenebildiğini göstereceğiz. Herhangi bir

44

x0 ∈[a,b] verilsin. f nin x0 noktasında türevlenebildiğini yani limx → x

0

f(x) − f(x 0 ) x − x0

limitinin varolduğunu göstereceğiz. Bunun için her n ∈IN için ve her x ∈ [a,b] \ {x0 } için φn(x) =

f n (x) − f n (x) x − x0

ve

φ(x) =

f(x) − f(x) x − x0

fonksiyonlarını tanımlayalım. (φn) fonksiyon dizisi E= [a,b] \ {x0} üzerinde düzgün yakınsaktır. Gerçekten; herhangi bir ε>0 verilsin. fn ler [a,b] de türevlenebilir olduğundan fn -fm fonksiyonları da [a,b] de türevlenebilirdir dolayısıyla diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden (f n − f m )(x) − (f n − f m )(x) = (fn -fm)’ (ξ) x − x0

olacak şekilde x ile x0 arasında bir ξ sayısı vardır. Buradan ve dolayısıyla (i)

(f n (x) − f m (x) − [ f n (x 0 ) − f m (x 0 )] x − x0

= fn’(ξ) - f’m(ξ)

olur. Hipotezden (fn’) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak olduğundan Teorem 1’den dolayı Cauchy şartını sağlar dolayısıyla n,m ≥ n0 olduğunda her x ∈ [a,b] için fn’(x) - fm’(x)< ε olacak şekilde bir n0 ∈IN vardır. Ayrıca her n,m ∈IN ∀x ∈E için,

45

f n (x) − f n (x 0 ) f m (x) − f m (x 0 ) f m (x) − f n (x 0 ) − (f m (x) + f m (x 0 )) − = x − x0 x − x0 x − x0

φn(x)-φm(x)=

=

f n (x) − f m (x) − [ f n (x 0 ) − f m (x 0 )] x − x0

olduğundan (i) den dolayı n,m ≥ n0 olduğunda ∀x ∈E için φn(x) - φm(x)< ε elde edilir. O halde (φn) fonksiyon dizisi E= [a,b] \ {x0} kümesi üzerinde düzgün Cauchy şartını sağlar. Teorem 1 den (φn) fonksiyon dizisi E üzerinde düzgün yakınsaktır. Her x ∈E için lim φn(x)

f n (x) − f n (x 0 ) = φ(x) elde edilir ki (φn) x − x0

fonksiyon dizisinin E üzerinde φ fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu elde ederiz. x0 noktası E nin bir yığılma noktası ve her bir n ∈IN için limx → x φn(x)= 0

limx → x 0

f n (x) − f n (x 0 ) = f’ n(x0) olduğundan φn fonksiyonunun x0 noktasında limiti x − x0

vardır dolayısıyla Teorem 11 den dolayı φ nin de x0 noktasında limiti vardır. ve limx → x φ(x) = limn→∞ limx → x φn(x) 0

dir. lim φ(x)= lim

0

f(x) − f(x 0 ) ’ = f (x0) olduğundan x0 noktasında f nin türevi vardır x − x0

ve f n (x) − f n (x) = lim fn’(x0) x − x0

f’(x0) = limn→∞ limx → x φn(x) = lim 0

olur. O halde f’(x0) = limn→∞ fn’(x0) dır. Böylece teoremin ispatını tamamlamış olduk. Sonuç 2.3.33. Bir [a,b] aralığı üzerinde türevlenebilen fonksiyonların bir (fn) dizisi verilsin ve bir x0 ∈[a,b] için

∞

∑f

n

(x0) sayı serisi yakınsak olsun. Bu

n= 1

takdirde eğer Σfn’ fonksiyon serisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsaksa Σfn fonksiyonu

46

[a,b] üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır ve f in de [a,b] de türevi vardır ve her x ∈[a,b] için f’(x)=

∞

∑f

1 n

(x)

n=1

eşitliği sağlanır dolayısıyla (Σfn(x))’= Σf’n(x) dir.

İspat. ∀n ∈IN ve her x ∈ [a,b] için n

sn(x) =

∑ f (x) i

i= ý

yazalım. Her bir fi fonksiyonu [a,b] de türevlenebilir olduğundan ve sonlu adette türevlenebilen fonksiyonun toplamı da türevlenebilir olacağından her bir n ∈IN için sn

fonksiyonu

yakınsaktır. Σf

’ n

[a,b]

h

de türevlenebilirdir. (sn(x0)) = ( ∑ f i (x 0 ) sayı dizisi i= ý

fonksiyon serisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsak olduğundan

bunun kısmi toplamlar dizisi olan (sn’) fonksiyon dizisi [a,b] üzerinde düzgün yakınsaktır. Teorem 21 den dolayı (sn) fonksiyon dizisi [a,b] de bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır dolayısıyla Σfn fonksiyon serisi [a,b] üzerinde f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır ve f in [a,b] de türevi vardır ve her x ∈[a,b] için f’(x)= limn→∞ s1n(x) dir. Her n ∈IN için ve her x ∈[a,b] için

47

n

n

i =ý

i =ý

s n(x) = ( ∑ f i (x) ' = ∑ f i (x) ’

n

olduğundan limn→∞ s’n (x) = limn→∞

∑ f i (x) = i =ý

f’(x)=

∞

∑f'

n

∞

∞

i= ý

n=ý

∑ f' i (x) = ∑ f' n (x) olacağından

(x)

n =1

∞

bulunur. ∑ f’n(x)= f(x) olduğunda n=1

 ∞   ∑ f n ( x )  n =1 

ý

∞

=

∑f

n

( x)

n =1

eşitliği yazılabilir. Örnek 2.3.34. Her x ∈[-1,1] için ϕ (x) = (x) yazalım ve ϕ (x+2) = ϕ (x) ile tanımlayıp ϕ yi IR ye genişletelim. Bu takdirde her x ∈IR için ∞

3

∑ (4)

n

ϕ (4n x)

n= 0

şeklinde tanımlanan fonksiyon serisi IR üzerinde bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır ve f IR de süreklidir ancak f fonksiyonu IR nin hiç bir noktasında türevlenemez.

48

Tanım 2.3.35.(Düzgün Süreklilik) Reel sayılar kümesinin bir E alt kümesinden IR ye bir fonksiyon f olsun. Eğer her ε>0 için x-y< δ ve x,yεE olduğunda f(x)-f(y)< ε olacak şekilde, ε a bağlı, bir δ>0 sayısı bulunabiliyorsa f fonksiyonuna E üzerinde düzgün süreklidir denir. Bu tanıma göre düzgün sürekli her fonksiyon süreklidir. Ancak sürekli her fonksiyon her zaman düzgün sürekli olmak zorunda değildir. Örnek 2.3.36. Her x ∈IR için f(x)=x2 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu IR üzerinde süreklidir fakat düzgün sürekli değildir. Gerçekten; f(x)=x2 fonksiyonunun IR üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayalım. Bu takdirde her ε>0 için  x-y< δ olduğunda f(x)-f(y)< ε olacak şekilde bir δ>0 vardır. Özel olarak ε=1 sayısı içinde x-y< δ, olduğunda f(x)-f(y)< 1 olacak şekilde bir δ>0 sayısı δ δ vardır. n→∞ iken nδ1+ ( ý ) 2 → + ∞ olduğundan n ≥ n2 olduğunda nδ1+ ( ý ) 2 > 2

2 δý 2 δ olacak şekilde bir n2 ∈IN vardır, dolayısıyla n2δı+ ( ) >2 olur. Şimdi x= n2+ ý ve 2 2 δý δý δý y=n2 yazalım. Bu takdirde x-y= (n2+ )-n2=   = < δı olur fakat 2 2 2 2

f(x)-f(y)= f(n2+

δ δý - f(n2)= (n2+ ý ) 2 - n 22  2 2

=  n 22 + n2 δ,+ (

= n2δ1+ (

δ δ1 2 ) -= n2 δ1+ ( ý ) 2 n 22  2 2

δý 2 ) > 2 >1 2

yani f(x)-f(y)>1 olur. Bu ise çelişkidir. Bu çelişkiye f in IR üzerinde düzgün sürekli olduğunu varsayarak düştük. O halde f(x)=x2 fonksiyonu IR üzerinde düzgün sürekli değildir.

49