Analisis Vectorial

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7 7.1. 7.1. 7.2. 7.2. 7.3. 7.3. 7.4. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7.

CAMPOS VECTORIALES EN \ n DEFINICIONES PROPIEDADES CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS INTEGRALES DE LÍNEAS TEOREMA DE GREEN INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1

INTEGRALES DE SUPERFICIES FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS

DE

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. • Aplique el Teorema de Stokes. • Aplique el teorema de Gauss

227

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En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales

JG F :U ⊆ \n → \m , JG F :U ⊆ \n → \n

generales de la forma de la forma

ahora trataremos con funciones

7.1. CAMPOS VECTORIALES EN \ n Sean f1 , f 2 , " , f n funciones escalares de las variables x1, x2 ,", xn definidas en una JG región Ω de \ n . La función F : U ⊆ \ n → \ n JG tal que F = ( f1 ( x x , " , x ) , f 2 ( x x , " , x ) ," , f n ( x x , " , x ) ) se llama Campo vectorial sobre Ω . JG JG F : U ⊆ \ 2 → \ 2 se lo denota como F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) . JG F : U ⊆ \ 3 → \ 3 se lo denota como: JG F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) ) 1,

Si Si

2

n

1,

2

n

1,

2

n

Ejemplo

JG JG F : U ⊆ \ 2 → \ 2 tal que F = ( 2 x + y, x 2 − y 2 )

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas.

∇f , de una función escalar f . ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

Un campo conocido es el Gradiente, Si llamamos el vector

obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.

7.2 DEFINICIONES JG Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector

228

Análisis Vectorial

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⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ JG ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como JG ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

∂M ∂N ∂P + + ∂x ∂y ∂z JG 3. El rotacional de F como el vector i j k JG ∂ ∂ ∂ ∇× F = ∂x ∂y ∂z M N P 4. El Lapalciano de f como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ =

∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

7.3 PROPIEDADES JG JG Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: JG JG JG JG 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G JG JG JG 2. ∇ • f F = f ∇ • F + ( ∇f ) • F JG JG JG 3. ∇ × f F = f ∇ × F + ( ∇f ) × F JG JG JG JG JG JG 4. ∇ • F × G = ∇ × F • G + ∇ × G • F G 5. ∇ × ( ∇f ) = 0 JG G 6. ∇ • ∇ × F = 0

( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( (

)

) )

(

)

)

229

Análisis Vectorial

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JG JG 7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F

(

)

Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.

7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS JG Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe JG alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función JG f se llama función potencial de F .

7.4.1 Teorema. JG Un campo vectorial F es conservativo y si JG G sólo si ∇ × F = 0 . Ejemplo 1

JG Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la

función potencial. SOLUCIÓN:

JG

El rotacional de F sería:

i j k i JG ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ∂x ∂y ∂z ∂x M N P 2 xy JG Por tanto, F si es conservativo. Note que para campos de \ 2 , basta que

j ∂ ∂y x2 − y

k ∂ = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z 0

∂N ∂M = para ser conservativos. ¿Por qué?. ∂x ∂y

Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además:

JG ⎛ ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y ) ⎝ ∂x ∂y ⎠ Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:

∂f = 2 xy ⇒ f = ∂x

∫ ∫(

2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C1

∂f = x2 − y ⇒ f = ∂y

x 2 − y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x 2 y −

Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería:

f ( x, y ) = x 2 y −

230

y2 +C 2

y2 + h ( x ) + C2 2

Análisis Vectorial

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Ejemplo 2

JG Determine si F = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre

la función potencial. SOLUCIÓN:

JG

El rotacional de F sería:

i j k i JG ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ∂x ∂y ∂z ∂x M N P 2 xy JG Por tanto, F si es conservativo.

j ∂ ∂y x2 + z 2

k ∂ = ( 2 z − 2 z , 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z 2 zy

Ahora tenemos:

JG ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Entonces

∫ ∫( ∫(

f =

2 xy dx ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + g ( y, z ) + C1

f = f =

x 2 + z 2 ) dy ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + h ( x, z ) + C2

2 zy ) dz ⇒ f ( x, y, z ) = z 2 y + h ( x, y ) + C3

Haciendo Superposición de soluciones:

f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + C

7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de \ 2 o regiones de \ 3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas.

7.5.1 Integrales de líneas de funciones escalares. Sea f : U ⊆ \ n 6 \ una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita, la integral de línea de f sobre C se define como: n

∫ f ( x , x ,", x ) ds = lim ∑ f ( x , x ,", x ) Δs 1

C

2

n

Δ →0

1

2

n

i

i =1

Supuesto que este límite exista.

231

Análisis Vectorial

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7.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como integral definida.

Sea f continua en una región que contiene una curva suave C, definida por G r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,", xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b, entonces:

∫

f ds =

C

∫

G G ⎡ f D r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦

C

b

=

∫

f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ," , xn ( t ) )

[ x1´( t )] + [ x2´( t )] 2

2

+ " + [ xn ´( t )] dt 2

a

Si f = 1 entonces tenemos

∫ ds , la longitud de la curva. C

Ejemplo. Calcular

∫(x

2

− y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto

C

( 0, 0, 0 ) al punto (1, 2,1) . SOLUCIÓN:

⎧x = 0 + t ⎪ La ecuación de C es ⎨ y = 0 + 2t ; es decir: ⎪ ⎩z = 0 + t Entonces:

∫ ∫ fds =

C

G r ( t ) = ( t , 2t , t ) .

G G ⎡ f D r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦

C

1

=

∫

(t

2

− 2t + 3t ) 1 + 22 + 12 dt

0

1

= 6

∫(

t 2 + t )dt

0

1

⎛ t3 t2 ⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝ 3 2 ⎠0 ⎛1 1⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝3 2⎠ =

232

5 6 6

Análisis Vectorial

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Ejemplo 2 Calcular

∫ xds

donde C : es la curva que se presenta en el gráfico:

C

y (1,1)

y=x

y = x2

( 0, 0 )

x

SOLUCIÓN: Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir:

∫ xds = ∫ xds + ∫ xds C

C1

donde C1 : y = x y C2 : y = x 2 .

C2

⎧x = t ⎩y = t

Para la primera integral C1 = ⎨ 1

∫ ∫ xds =

0

C1

1

⎛ t2 ⎞ 2 t 1 + 1 dt = 2 ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2 ⎠0 2

2

⎧x = t

Para la segunda integral C2 = ⎨

⎩y = t

2

0

∫ ∫ xds =

2

C

xds +

C1

2 (1 + 4t ) dt =

1

∫ ∫ ∫ xds =

∫

t 12 + ( 2t ) dt = t 1 + 4t 2

1

C2

Por tanto:

0

xds =

2

3

3

1 2

=

8

1 1 32 − 5 12 12

0

2 1 1 32 + − 5 2 12 12

C2

233

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7.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales. JG Sea F : U ⊆ \ n → \ n un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada G por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,", xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . La JG integral de línea de F sobre C se define como: JG G JG JG F • d r = F • T ds

∫

∫

C

JG r´( t ) Reemplazando T = r´( t )

y

C

ds = r´( t ) dt

b JG JG JG r´( t ) F • T ds = F • r´( t ) dt r ´ t ( ) C a

∫

∫

Entonces:

∫

JG G JG ⎡ F • d r == F ( x ( t ) , x ( t ) , " , x ( t ) ) • ( r´( t ) ) ⎤ dt ⎣ ⎦

∫(

C

1

2

n

)

C

Ejemplo Calcular

∫

JG G JG F • d r donde F = ( x, − xy, z 2 ) y C es la curva definida por

C

G r ( t ) = ( cos t , sent , t ) desde el punto ( 0, 0, 0 ) hasta el punto (1, 0, 2π ) .

SOLUCIÓN:

∫

2π

JG G F • dr =

∫(

x, − xy, z 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt

0

C

2π

=

∫(

cos t , − cos tsent , t 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt

0

2π

=

∫

( − cos tsent − cos

2

tsent + t 2 ) dt

0

2π

⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞ =⎜ + + ⎟ 3 3⎠0 ⎝ 2

⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟ 2 3 3 2 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 8π 3 = 3

234

Análisis Vectorial

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La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar

JG

como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces:

JG G W = F • dr

∫ C

7.5.2.1 Forma Diferencial

JG ⎡ ⎤ En la integral ⎣ F • r´( t ) ⎦ dt C JG G Suponga que F = ( M , N , P ) y que C : r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) ) JG ⎛ dx dy dz ⎞ entonces tenemos que r´(t ) = ⎜ , , ⎟ dt dt dt ⎠ ⎝

∫

Reemplazando:

JG ⎡ dx dy dz ⎤ ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎢( M , N , P ) • ⎛⎜ , , ⎞⎟ ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎝ dt dt dt ⎠ ⎦ C C⎣

∫

∫

Entonces:

∫

JG ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = Mdx + Ndy + Pdz ⎣ ⎦

∫

C

C

Ejemplo Calcular

∫

JG G JG F • d r donde F = ( y, x 2 ) y C : y = 4 x − x 2 desde el punto ( 4, 0 )

C

hasta el punto (1,3) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial

∫

JG G F •dr =

C

∫

Mdx + Ndy

C

=

∫

ydx + x 2 dy

C

En este caso y = 4 x − x 2 entonces dy = ( 4 − 2 x ) dx Reemplazando:

235

Análisis Vectorial

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∫

1

ydx + x dy = 2

∫

( 4 x − x ) dx + x ( 4 − 2 x ) dx 2

2

4

C

1

=

∫

( 4x − x

2

+ 4 x 2 − 2 x3 ) dx

4

1

=

∫(

4 x + 3 x 2 − 2 x3 ) dx

4

1

⎛ x2 x3 x4 ⎞ = ⎜4 +3 −2 ⎟ 3 4 ⎠4 ⎝ 2 69 = 2

Ejercicios Propuestos 7.1 1. Calcular

∫ F • dr siendo C la trayectoria C

C (t ) = (t − 1)3 + 1, cos 5 (πt ), − cos 8 (πt ) ,

(

t ∈ [1,2] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x − 2 yz, 3x 2 z 2 − y 2

)

2. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x,y,z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) es F (r ) = k

r r

3

,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5).

Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria.

7.5.3 Independencia de la Trayectoria Ejemplo Calcular

∫

JG G JG F • d r donde F = ( 4 xy, 2 x 2 ) y

C

hasta el punto (1,1) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial

∫

JG G F •dr =

C

∫ C

=

∫ C

236

Mdx + Ndy

4 xydx + 2 x 2 dy

C : y = x 2 desde el punto ( 0, 0 )

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA En este caso y = x 2 entonces dy = 2 xdx Reemplazando:

∫

1

4 xydx + 2 x 2 dy =

∫

4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx )

0

C

1

=

∫

8 x3 dx

0

=

8x4 4

1

0

=2 • Si empleamos la trayectoria y = x 3 entonces dy = 3x dx Reemplazando: 2

∫

1

4 xydx + 2 x dy = 2

∫

4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx )

0

C

1

=

∫

10 x 4 dx

0

10 x5 = 5

1

0

=2 • Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx Reemplazando:

∫

1

4 xydx + 2 x dy = 2

∫

4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx )

0

C

1

=

∫

6 x 2 dx

0

6 x3 = 3

1

0

=2

Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias, además observe que el campo

JG F

es conservativo debido a que:

∂N ∂M = ∂x ∂y

∂ ( 2 x2 )

=

∂ ( 4 xy )

∂x ∂y 4x = 4x 237

Análisis Vectorial

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7.5.3.1 Teorema

JG Si F es continuo en una región abierta conexa, JG G entonces la integral de línea F •dr es

∫

JG independiente del camino si y sólo si F es conservativo. C

Ejemplo Calcular

∫

JG G JG F • d r donde F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) y

G C : r ( t ) = (1 − cos t , sent )

C

desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto ( 2, 0 ) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial

∫

JG G F •dr =

C

∫

Mdx + Ndy

C

=

∫(

y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy

C

⎧dx = sentdt ⎧ x = 1 − cos t entonces ⎨ ⎩dy = cos tdt ⎩ y = sent

En este caso ⎨

Reemplazando:

∫(

y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy =

C

∫(

sen3t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt )

C

Se observa que a integral está difícil de evaluar.

JG

Ahora veamos si F es conservativo:

∂N ∂M = ∂x ∂y

∂ ( 3xy 2 + 1) ∂x

=

∂ ( y 3 + 1) ∂y

3y = 3y JG Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria: 2

238

2

Análisis Vectorial

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y

( x − 1)

2

+ y2 = 1

⎧ x = 1 − cos t ⎨ ⎩ y = sent

( 2,0 )

( 0,0 )

x

Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0 Reemplazando:

∫(

2

y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy =

C

∫(

0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0 )

0

2

=

∫

dx

0

= x0

2

=2

Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos.

7.5.3.2 Teorema Fundamental

Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta R dada por dada por G r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) ,", xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . Si JG F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P son continuas en R entonces: JG G G F • d r = ∇f •d r = f final − finicial

∫

∫

JG Siendo f una función potencial de F . C

C

Es decir:

239

Análisis Vectorial

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JG G G ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ F • d r = ∇f •d r = ⎜ , , ⎟ • ( dx, dy, dz ) ∂x ∂y ∂z ⎠ C C C⎝

∫

∫

∫

⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎠ C⎝

∫ ∫

= df C

= f final − f inicial Ejemplo 1 En el ejemplo anterior, como

JG F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1)

es conservativo podemos

encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. ∂f = y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C1 ∂x ∂f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C2 ∂y Entonces: f ( x, y ) = xy 3 + x + y + C

∫

JG G F • d r = f final − finicial

C

= ⎡⎣ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤⎦ − ⎡⎣ 0 ( 03 ) + 0 + 0 + C ⎤⎦ =2

Ejemplo 2 Calcular

∫

JG G JG ⎛ z z ⎞ F • d r donde F = ⎜ , , ln xy ⎟ y x y ⎝ ⎠

G ⎛ 1 ⎞ C : r (t ) = ⎜ , t 2 + t + 1, t ⎟ 2 1 t + ⎝ ⎠

C

−1 ≤ t ≤ 1 . SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos

JG

si F es conservativo:

i JG ∂ ∇× F = ∂x M

240

j ∂ ∂y N

k

i

∂ ∂ = ∂z ∂x P z x

j ∂ ∂y z y

k ⎛ x 1 y 1 ⎞ ∂ = ⎜ − , − , 0 − 0 ⎟ = ( 0, 0, 0 ) ∂z ⎝ xy y xy x ⎠

ln xy

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA JG

Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: ⎛ ⎞ ⎛1 G 1 2 ⎞ r ( −1) = ⎜ , ( −1) + ( −1) + 1, ( −1) ⎟ = ⎜ ,1, −1⎟ ⎜ 1 + ( −1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠

al punto: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 G 2 ⎞ r (1) = ⎜ , (1) + (1) + 1, (1) ⎟ = ⎜ ,3,1⎟ ⎜ 1 + (1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠

O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla:

JG ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ⎜ , ´, ln xy ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ x y ⎠

∫ ∫ ∫

f =

z dx = z ln x + g ( y, z ) + C1 x

f =

z dy = z ln y + h ( x, z ) + C2 y

f =

ln xydz = z ln xy + I ( x, y ) + C3 = z ln x + z ln y + g ( x, y ) + C3

Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C

∫

JG G ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ F • d r = f ⎜ ,3,1⎟ − f ⎜ ,1, −1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

C

⎡ ⎛1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎢1ln ⎜ ( 3) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎣ ⎝2 ⎦ ⎣ ⎦ 3 1 = ln + ln 2 2 3 = ln 4

Ejercicios Propuestos 7.2 1. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x 2 zj + x 2 yk , demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial.

Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces:

v∫

JG G F •dr = 0

C

Ejemplo Calcular

v∫

JG G JG ⎛ − y x ⎞ F • d r donde F = ⎜ 2 y C : x2 + y2 = 1 , 2 2 2 ⎟ ⎝x +y x +y ⎠

C

SOLUCIÓN: JG Veamos si F es conservativo. Como es un campo de \ 2 :

241

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

∂N ∂ ⎛ x = ⎜ ∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2

2 2 ⎞ 1( x + y ) − x ( 2 x ) − x2 + y 2 = = ⎟ 2 2 ⎠ ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 )

2 2 ∂M ∂ ⎛ − y ⎞ −1( x + y ) − y ( 2 y ) − x2 + y2 = ⎜ 2 = = ⎟ 2 2 ∂y ∂x ⎝ x + y 2 ⎠ ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 ) JG Por tanto F si es conservativo.

Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en ( 0, 0 ) , entonces debemos evaluar la integral de línea.

G ⎧ x = cos t y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent ) ⎩ y = sent

La curva en forma paramétrica es C : ⎨ La Integral de línea sería:

v∫

JG G F •dr =

C

v∫

JG G F • r´ dt =

2π

∫

⎛ −y x ⎞ , 2 − sent , cos t ) dt ⎜ 2 2 2 ⎟( ⎝x +y x +y ⎠

0

C

2π

=

∫

⎛ − sent cos t ⎞ , ⎜ ⎟ ( − sent , cos t ) dt 1 ⎠ ⎝ 1

0

2π

=

∫(

sen 2 t + cos 2 t ) dt

0

2π

=

∫

dt

0

= 2π

Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados.

7.6 TEOREMA DE GREEN JG Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de \ 2 . Sea R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂N ∂M antihorario. Si M , N , , son continuas en ∂x ∂y una región abierta que contiene a R , entonces: JG G ⎛ ∂N ∂M ⎞ F • d r = Mdx + Ndy = ⎜ − ⎟dA ∂ x ∂ y ⎠ C C R ⎝

>∫

242

>∫

∫∫

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

Ejemplo 1 Calcular

>∫

JG G JG F • d r donde F = ( y 3 , x 3 + 3 xy 2 ) y C : es el camino desde ( 0, 0 )

C

a (1,1) sobre y = x 2 y desde (1,1) a ( 0, 0 ) sobre y = x . SOLUCIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados.

y

(1,1) y=x

y = x2

x

( 0,0 )

PRIMER MÉTODO: Por integral de línea:

>∫

JG G F •dr =

C

>∫

Mdx + Ndy =

C

>∫

y 3 dx + ( x 3 + 3xy 2 ) dy

C

Hay 2 trayectorias: C1 : y = x 2 entonces dy = 2 xdx

∫

1

y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy =

∫

(x )

2 3

(

dx + x3 + 3x ( x 2 )

2

) ( 2 xdx )

0

C1

1

=

∫

(x

6

+ 2 x 4 + 6 x 6 )dx

0

1

=

∫

(7x

6

+ 2 x 4 )dx

0

x7 x5 =7 +2 7 5 =

1

0

7 5

243

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA C2 : y = x entonces dy = dx

∫

0

y dx + ( x + 3 xy ) dy = 3

3

2

∫( )

(

x dx + x 3 + 3 x ( x ) 3

2

) ( xdx )

1

C2

0

=

∫(

x 3 + x 3 + 3 x 3 )dx

1

0

=

∫(

5 x 3 )dx

1

=5

Por lo tanto:

x4 4

0

1

5 =− 4

>∫

JG G F •dr =

C

∫

JG G F •dr +

C1

∫

JG G 7 5 3 F •dr = − = 5 4 20

C2

SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN

>∫

JG G F •dr =

C

∫∫

⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ⎝ ∂x ∂y ⎠

R

∫∫ R

⎛ ∂ ( x 3 + 3xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠

La región R es:

y

(1,1) y=x

R

y = x2

( 0,0 )

244

x

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

∫∫

1

⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ⎝ ∂x ∂y ⎠

R

x

∫∫

=

+ 3 y 2 − 3 y 2 ) dydx

x

∫∫( 0

2

x2

0

1

( 3x

3x 2 ) dydx

x3

1

=

∫

3x 2 y

x x2

dx

0

1

=

∫

3x 2 ( x − x 2 ) dx

0

1

=

∫

( 3x

3

− 3x 4 ) dx

0

x4 x5 −3 4 5 3 3 = − 4 5 3 = 20 =3

Ejemplo 2 Calcular

>∫

JG G JG F • d r donde F = ( arc senx + y 2 , cos y − x 2 ) y C : es el camino

C

que se describe en la gráfica: y

2

x2 + y 2 = 4

x2 + y 2 = 1 1

−2

−1

1

2

x

SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué?

245

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

>∫

JG G F •dr =

C

∫∫ ∫∫ ∫∫ (

⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA ⎝ ∂x ∂y ⎠

R

=

R

=

⎛ ∂ ( cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞ ⎜ ⎟dA − ⎜ ⎟ ∂x ∂y ⎝ ⎠ −2 x − 2 y )dA

R

Pasando a Polares:

∫∫ (

π

−2 x − 2 y )dA = −2

R

2

∫∫( 0

π

= −2

1

2

∫∫( 0

r cos θ + rsenθ ) rdrdθ

cos θ + senθ ) r 2 drdθ

1

π

= −2

∫

( cos θ + senθ )

2

r3 dθ 31

0

⎛ 23 13 ⎞ π = −2 ⎜ − ⎟ ( senθ − cos θ ) 0 ⎝ 3 3⎠ ⎛8 1⎞ = −2 ⎜ − ⎟ ⎡⎣1 − ( −1) ⎤⎦ ⎝3 3⎠ 28 =− 3

7.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA. Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones planas. En la formula de Green, si tomamos

∫∫

⎛ ∂N ∂M ⎞ − ⎜ ⎟dA = ∂ x ∂ y ⎝ ⎠

∫∫

⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ 2 − ⎜ − 2 ⎟ ⎟dA = ⎝ ⎠⎠ ⎝

R

R

∫∫ R

246

dA =

1 2

y

N=

>∫ Mdx + Ndy C

>∫ C

1 1 − ydx + xdy 2 2

>∫ xdy − ydx C

1 M =− y 2

1 x 2

entonces

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7.7.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C . El área de R viene dada por: 1 A= xdy − ydx 2C

>∫

Ejemplo 1 Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por ⎧ y = 2x +1 ⎨ 2 ⎩y = 4 − x SOLUCIÓN:

Haciendo un dibujo de la región y

4

C2 : y = 4 − x 2

(1,3)

3

R −3

1

x

C1 : y = 2 x + 1

( −3, −5)

−5

La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados. Primero: C1 : y = 2 x + 1 entonces dy = 2dx Reemplazando y evaluando:

247

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

1 2

∫

1

1 xdy − ydx = 2

∫(

x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx

−3

C1

1

=

1 2

∫(

2 x − 2 x − 1) dx

−3 1

1 = 2

∫

−dx

−3

1 1 = − x −3 2 = −2 Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = −2 xdx

Reemplazando y evaluando:

1 2

∫

−3

1 xdy − ydx = 2

C2

∫

x ( −2 xdx ) − ( 4 − x 2 ) dx

1

−3

=

1 2

∫(

−2 x 2 + x 2 − 4 ) dx

1

−3

=

1 2

∫(

− x 2 − 4 ) dx

1

−3

⎞ 1 ⎛ x3 = − ⎜ + 4x ⎟ 2⎝ 3 ⎠1 38 = 3 Finalmente, sumando:

A = −2 +

38 32 = 3 3

Ejemplo 2 Hallar el área de la elipse con ecuación

x2 y2 + =1 a 2 b2

SOLUCIÓN:

⎧ x = a cos t ⎩ y = bsent

Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C : ⎨ Entonces

⎧dx = − asent dt ⎨ ⎩dy = b cos t dt

Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta:

248

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

1 A= 2

>∫

2π

∫(

1 xdy − ydx = 2

C

a cos t )( b cos tdt ) − ( bsent )( −asentdt )

0

2π

=

1 2

∫

ab cos 2 tdt + absen 2 tdt

0

2π

=

1 2

∫

ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt

0

2π

=

1 2

∫

abdt

0

2π

∫

1 = ab dt 2 0

1 2π ab t 0 2 = π ab =

Ejercicios Propuestos 7.3

∫x

3. Calcular

3

dy − y 3 dx

donde C es el círculo unitario centrado en el origen.

C

(

2 2 4. Sea F ( x, y ) = xe − y , − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2

contorno del cuadrado determinado por: x ≤ a

∫x

5. Evaluar la integral

2

;

) , calcular el trabajo de F en el

y ≤a

ydx − y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco

C

4 y = x de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0) 3

6. Verificar el teorema de Green en la integral

∫ 2 (x

2

)

+ y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el

C

contorno del triángulo con vértices en los puntos (1,1),(2,2), (1,3). 7. Hallar

∫ xydx + 2 x

2

dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (-

C

2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 para x>0 y y>0. 8. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo largo de la semicircunferencia y =

4 − x 2 hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre

(

)

esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y ) = x, x 3 + 3 xy 2 . 9.

Calcular:

∫

⎡ x 2 + y 2 dx + y ⎢ xy + ln⎛⎜ x + x 2 + y 2 ⎝ ⎣

⎞⎤ dy ⎟⎥ ⎠⎦

, donde C es la

circunferencia x 2 + y 2 = a 2 10. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva 2

2

2

x 3 +y 3 =a 3 11.

Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las

gráficas y = x 2 + 2 ; y = − x ; x = −2 ; x = 2 .

249

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo:

∫∫ f ( x, y, z ) dS S

Ejemplo. Calcular

∫∫ (

xyz ) dS donde S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer

S

octante.

SOLUCIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie:

z

3

S : z = 3− x − y

3

3

x

Proyectamos la superficie en el plano xy , por tanto:

∫∫ S

( xyz ) dS =

∫∫ R

La región de integración sería:

250

( xyz )

1 + z x 2 + z y 2 dydx

y

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

y

3

y = 3− x

x

3

Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble:

∫∫ (

3− x

3

xyz ) 1 + z x + z y dydx = 2

2

R

∫ ∫( 0

2

3− x

∫∫ 0 3

= 3

2

0

3

= 3

xy ( 3 − x − y ) ) 1 + ( −1) + ( −1) dydx

∫

( 3xy − x

2

y − xy 2 )dydx

0

3− x

2 ⎡ y3 ⎤ 2 y ⎢( 3 x − x ) − x ⎥ dx 2 3 ⎦0 ⎣

0 3

= 3

∫ 0

2 3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤ −x ⎢ x (3 − x ) ⎥ dx 2 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3

⎛1 1⎞ = 3⎜ − ⎟ ⎝ 2 3⎠

∫

3 − x ) dx Nx (  

3

u

dv

0

⎡ 4 3 ⎢ (3 − x ) x = − 6 ⎢ −4 ⎢⎣

∫

(3 − x ) −4

3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) − = ⎢x 6 ⎢⎣ −4 20 4

= =

3

4

5

⎤ dx ⎥ ⎥ ⎥⎦ 0

3

⎤ ⎥ ⎥⎦ 0

3 ⎡ 35 ⎤ ⎢ ⎥ 6 ⎣ 20 ⎦ 81 3 40

Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma:

∫∫

G G f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r u × r v dudv

R´

251

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

Ejercicios propuestos 7.4 1.

Evaluar

∫∫ (x

2

)

(

)

+ y 2 dS , siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y

S

z=3 2.

Considere la superficie S = S1 ∪ S 2 , siendo S1 la superficie del cilindro x 2 + y 2 = 4 entre z=1 y z=2, S2 la superficie semiesférica x + y + ( z − 2 ) = 4, 2

F = (z , x, y ) , evaluar la integral

2

2

z ≥ 2 . Si

∫∫ (∇ × F )• ndS S

Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual tenemos una generalización del teorema de GREEN.

7.8.2 TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo JG contorno es una curva cerrada simple C , suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C , entonces: JG G JG F • dr = ∇ × F • N dS

∫∫ (

>∫ C

)

S

Ejemplo. Comprobar el Teorema de Stokes

JG para F = ( 2 z , x, y 2 ) , S : superficie del

paraboloide z = 5 − x 2 − y 2 y C : traza de S en el plano z = 1 . SOLUCIÓN: Identificando S y C : z

S : x2 + y 2 + z = 5 JJG ∇S N= ∇S

C : x2 + y 2 = 4

z =1 y

x

252

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA POR INTEGRAL DE LÍNEA.

>∫ >∫

JG G F •dr =

C

>∫

Mdx + Ndy + Pdz

C

=

2 zdx + xdy + y 2 dz

C

⎧ x = 2 cos t ⎧dx = −2 sent dt ⎪ ⎪ En este caso C : ⎨ y = 2 sent entonces ⎨ dy = 2 cos t dt ⎪z = 0 ⎪dz = 0 ⎩ ⎩ Reemplazando y evaluando:

>∫

2π

∫

2 zdx + xdy + y dz = 2

2 ( 0 ) [ −2sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent ) ( 0 ) 2

0

C

2π

=

∫

4 cos 2 tdt

0

2π

=4

∫

(1 + cos 2t ) 2

dt

0

2π

⎛ sen 2t ⎞ = 2⎜t + ⎟ 2 ⎠0 ⎝ = 4π

APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.

>∫

JG G F •dr =

C

∫∫ (∇ × F ) • N dS JG

S

Calculando el rotacional, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie:

i j k JG ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ( 2 y, 2,1) ∂x ∂y ∂z 2z x y2 JJG ∇S ( 2 x, 2 y,1) N= = 2 2 ∇S ( 2x) + ( 2 y ) +1

dS =

( 2x )

2

+ ( 2 y ) + 1 dydx 2

Reemplazando:

∫∫ (∇ × F ) • N dS = ∫∫ JG

S

R

=

∫∫ (

( 2 y, 2,1) •

( 2 x, 2 y,1) 2 2 ( 2 x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 ( 2x) + (2 y ) +1

4 xy + 4 y + 1) dydx

R

En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2, pasando a coordenadas cilíndricas:

253

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

∫∫ (

2π

∫ ∫( (

4 r cos θ )( rsenθ ) + 4rsenθ + 1) rdrdθ

4 xy + 4 y + 1) dydx =

0

R

2π

=

2

∫

0

2

⎡ r4 r3 r 2 ⎤ ⎢ 2 sen2θ + 4senθ + ⎥ dθ 4 3 2 ⎦0 ⎣

0

2π

=

∫

⎡ 24 23 2 2 ⎤ + 4senθ + ⎥ dθ ⎢ 2 sen2θ 4 3 2⎦ ⎣

0

2π

⎡ ⎛ − cos 2θ ⎞ 32 ⎤ = ⎢8 ⎜ ⎟ + ( − cos θ ) + 2θ ⎥ 2 ⎠ 3 ⎣ ⎝ ⎦0 = 4π

Ejercicios propuestos 7.5 1.

Calcular

∫∫ (rotF )• ndS , donde

F ( x, y, z ) = y 2 i + xyj + xzk y S es la superficie

S

semiesférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 con z >0 2.

Comprobar el teorema de Stokes si F ( x, y, z ) = ( y − z )i + ( z − x ) j + ( x − y )k calculando la circulación a lo largo de la curva de intersección de x 2 + y 2 = 1 con

x + z = 1. 3.

Calcule

el

(

trabajo

) (

efectuado

F ( x, y , z ) = x + z i + y + x x

2

y

2

) j + (z

por z

)

el

campo

de

fuerza

+ y k ;cuando una partícula se mueve 2

bajo su influencia alrededor del borde de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra en el primer octante, en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba. 4.

Calcular

∫ ( y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz . Donde C es la curva de intersección entre C

las superficies x 2 + y 2 = 1 ; x + z = 1 . 5.

6.

(

)

Dado el campo de fuerzas F ( x, y , z ) = 2 x + 2 y,2 x,3 z 2 . Encontrar el trabajo que

realizará F al mover una partícula a través de los puntos: (0,0,0 ) → (1,2,0 ) → (1,2,5 ) Evaluar

⎛

x⎞

⎛

∫ F • dr , siendo F = ⎜⎜⎝ arctg y ⎟⎟⎠i + ⎜⎝ ln

C

x 2 + y 2 ⎞⎟ j + k y C: el triángulo ⎠

con vértices (0,0,0), (1,1,1), (0,0,2). 7.

Evaluar

∫ ( y + z )dx + (x + z )dy + (x + y )dz

donde C es la frontera de la superficie

C 2

x + y + z2 =1 ; z ≥ 0 2

8.

Calcular

∫− y

3

dx + x 3 dy − z 3 dz ;donde C es la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 ,

C

y el plano x+y+z=1, y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 9.

Calcular

∫ (y

2

) (

) (

C

intersección de la superficie del cubo 0 ≤ x ≤ a;

x+ y+z =

254

)

− z 2 dx + z 2 − x 2 dy + x 2 − y 2 dz ; donde C es la curva de

3 a 2

0 ≤ y ≤ a; 0 ≤ z ≤ a ; y el plano

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7.8.3

INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS VECTORIALES. INTEGRALES DE FLUJO

JG F

Se trata ahora de determinar el efecto de funciones vectoriales atravesando una superficie S , para esto se empleará integrales de superficie de la forma:

∫∫

JG JJG F • N dS

S

Este tipo de integrales son llamadas integrales de Flujo.

Ejemplo. Calcular

∫∫

JG JJG JG F • N dS para F = ( 2 z , x, y 2 ) y S : porción del plano x + y + z = 3

S

en el primer octante. SOLUCIÓN: z

JG F

3

JJG N

S:x+ y+z =3

3

y

−x

y=3

3 x

El flujo a través del plano estaría dado por:

∫∫

( 2 z , x, y ) • (

∫∫ ( ∫∫

JG JJG F • N dS =

S

S

=

2

2z + x + y2 ) 3

1,1,1) 3

dS

dS

S

255

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

Proyectando la superficie en el plano xy , la región de integración sería:

y

3

y = 3− x

x

3

Reemplazando y evaluando:

∫∫

( 2 z + x + y ) dS = 2

3

S

3

3− x

∫∫ 0

3

=

3

=

∫

2

1 + 1 + 1 dydx

3

0

3− x

∫∫ 0

( 2 (3 − x ) + x + y ) ( 6 − x + y ) dydx 2

0

3− x

⎡ y3 ⎤ ⎢( 6 − x ) y + ⎥ 3 ⎦0 ⎣

dx

0 3

=

∫ 0 3

=

∫ 0

3 ⎡ (3 − x ) ⎢( 6 − x )( 3 − x ) + 3 ⎢⎣ 3 ⎡ (3 − x ) ⎢18 − 9 x + x 2 + 3 ⎢⎣

⎤ ⎥ dx ⎥⎦

⎤ ⎥ dx ⎥⎦ 3

4 ⎡ x 2 x3 ( 3 − x ) ⎤ = ⎢18 x − 9 + + ⎥ 2 3 −12 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 2 3 4 ⎡ ( 3) ( 3) ( 3 − 3) ⎤ ⎡ 34 ⎤ = ⎢18 ( 3) − 9 + + ⎥ − ⎢− ⎥ 2 3 −12 ⎥⎦ ⎣ 12 ⎦ ⎢⎣ 81 27 81 = 24 − + + 2 3 12

Si la superficie es cerrada tenemos otra opción para evaluar la integral de flujo. 256

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

7.8.4 TEOREMA DE GAUSS

Sea Q una región sólida limitada por una superficie S orientada JG por un vector normal unitario dirigido al exterior de Q . Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q , entonces: JG JJG JG F • N dS = ∇ • F dV

∫∫∫ (

w ∫∫ S

)

Q

Es decir, que en lugar de emplear una integral de superficie para calcular el flujo a través de una superficie cerrada se puede emplear una integral de volumen. Ejemplo 1

JG Comprobar el teorema de Gauss para F = ( 2 x, 2 y, z ) y Q el sólido limitado por

las superficies z 2 = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 8 ; z ≥ 0 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo

z

S2 : x 2 + y 2 + z 2 = 8 ρ= 8

S1 : x 2 + y 2 − z 2 = 0

φ=

π

4

y

x +y =4 2

2

x

PRIMER MÉTODO: POR INTEGRAL DE SUPERFICIE.

Como hay dos superficies que definen el sólido, calculamos el flujo por cada una y Luego los sumamos. Primero, el flujo por el cono:

∫∫ S1

JG JJG F • N dS =

∫∫

( 2 x, 2 y , z ) •

( 2 x, 2 y, −2 z )

4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2

dS

S1

257

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA Proyectamos la superficie en el plano xy

∫∫

( 2 x, 2 y, −2 z )

( 2 x, 2 y , z ) •

4x + 4 y + 4z 2

2

2

dS =

S1

∫∫ ( ∫∫

( 2 x, 2 y , z ) •

( 2 x, 2 y, −2 z ) 4x + 4 y + 4z 2

2

2

4x2 + 4 y 2 + 4z 2 dA 2z

R

=

4x2 + 4 y2 − 2z 2 ) 2z

dA

R

Pasando a coordenadas cilíndricas:

∫∫

( 4x

2

+ 4 y2 − 2z 2 ) 2z

2π

∫∫

dA =

0

R

2π

=

∫∫

JG JJG F • N dS =

S2

∫∫

2

− 2r 2 ) 2r

rdrdθ

0

2

∫∫ 0

Segundo, el flujo por la esfera

( 4r

2

r 2 drdθ

0

3 2

=

r θ 3 0

=

16 π 3

2π 0

( 2 x, 2 y , z ) •

( 2 x, 2 y , 2 z ) 4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2

dS

S2

Proyectamos la superficie en el plano xy

∫∫

( 2 x, 2 y, −2 z )

( 2 x, 2 y , z ) •

4 x2 + 4 y2 + 4z 2

dS =

S1

∫∫ ( ∫∫

( 2 x, 2 y , z ) •

( 2 x, 2 y , 2 z ) 4x2 + 4 y 2 + 4z 2

4x2 + 4 y 2 + 4z 2 dA 2z

R

=

4x2 + 4 y2 + 2 z 2 ) 2z

dA

R

Pasando a coordenadas cilíndricas:

∫∫

( 4x

2

+ 4 y2 + 2z2 ) 2z

2π

dA =

∫∫ 0

R

2π

=

=

( 4r

2

+ 2 (8 − r 2 )

2

0

(8 − r )

) rdrdθ

2

2

∫∫ 0

0

2π

2

∫∫ 0

2

0

2r 2 + 16 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢

(8 − r )

rdrdθ

2

r3

(8 − r ) 2

+ 8 (8 − r 2 )

−1

2

La primera integral es por sustitución trigonométrica y la segunda por sustitución. El resultado es:

∫∫

JG JJG 176 ⎞ ⎛ 160 2− F • N dS = ⎜ ⎟π 3 ⎠ ⎝ 3

S2

Sumando los dos flujos

258

⎤ r ⎥ drdθ ⎥ ⎥⎦

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

w ∫∫

∫∫

JG JJG F • N dS =

S

JG JJG F • N dS +

S1

∫∫

JG JJG F • N dS

S2

176 ⎞ 16 ⎛ 160 =⎜ 2− ⎟π + π 3 ⎠ 3 ⎝ 3 160 π 2 −1 π = 3

(

)

SEGUNDO MÉTODO: APLICANDO EL TEOREMA DE GAUSS

w ∫∫

JG JJG F • N dS =

S

∫∫∫ (∇ • F ) dV JG

Q

=

∫∫∫ ( ∫∫∫

2 + 2 + 1) dV

Q

=5

dV

Q

Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas:

5

∫∫∫

π

2π

dV = 5

Q

=5

4

8

∫∫∫ 0

0

ρ3

8

3

ρ 2 senφ d ρ dφ dθ

0

π

( − cos φ ) 0 4 θ 0

2π

0

( 8) =5 3

3

⎛ 2⎞ ⎜⎜ 1 − ⎟ ( 2π ) 2 ⎟⎠ ⎝

16 2 ⎛ 2⎞ ⎜⎜ 1 − ⎟ ( 2π ) 3 ⎝ 2 ⎟⎠ 160 2 −1 π = 3 =5

(

)

Ejemplo 2 Sea Q la región limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 4 , el plano x + z = 6 y el plano JG xy . Hallar el flujo de F = ( x 2 + senz , xy + cos z , xz + e y ) a través de la superficie que limita a Q . SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo:

259

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

z

x+z =6

x2 + y2 = 4

y

x

Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss.

w ∫∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

JG JJG F • N dS =

S

JG

( ∇ • F ) dV

Q

=

( 2 x + x + x ) dV

Q

=

4 xdV

Q

Pasando a coordenadas cilíndricas:

∫∫∫

2π

4 xdV = 4

Q

2

∫∫ ∫ 0

2π

=4

=4

=4

6− r cosθ

0

r cos θ dzrdrdθ

0

2

∫∫ ∫∫ ∫ ∫( ∫ ∫(

6− r cosθ

r 2 cos θ z 0

0

0

2π

2

drdθ

r 2 cos θ ( 6 − r cos θ )drdθ

0

0

2π

2

0

6r 2 cos θ − r 3 cos 2 θ )drdθ

0

2π

=4

2

⎛ r3 r4 ⎞ 2 ⎜ 6 cos θ − cos θ ⎟ dθ 3 4 ⎠0 ⎝

0

2π

=4

16 cos θ − 4 cos 2 θ ) dθ

0

2π ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 1 + cos 2θ dθ ⎟ = 4 ⎜16senθ − 4 2 ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎠ ⎝

∫

⎛ sen 2θ ⎛ = 4 ⎜16senθ − 2 ⎜ θ + 2 ⎝ ⎝ = 4 ( −2 ( 2π ) ) = −16π

260

2π

⎞⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎠0

Análisis Vectorial

MOISES VILLENA

Ejercicios propuestos 7.6 1.

(

)

Sea F = 2 yzi + (− x + 3 y + 2 ) j + x 2 + z k , evaluar

∫∫ (∇ × F )• dS , donde S es el

cilindro x 2 + y 2 = 81 , 0 ≤ z ≤ 1 2.

Calcular

∫∫ F • dS , donde F ( x, y, z) = 3xy

2

i + 3 xy 2 j + z 3 k ; y S es la superficie de

S

la esfera unitaria. 3.

Sea Q la región sólida en R3 limitada por los planos coordenados y el plano 2 x + 2 y + z = 6 , y F ( x, y, z ) = xi + yj + zk . Calcular la integral de Superficie de F en el contorno de Q.

4.

Calcular

∫∫ rotF • ndS , donde

F ( x, y, z ) = ( y − z , yz,− xy ) . S consta de las cinco

S

caras del cubo 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 2 ; no situadas en el plano xy, y n es el vector normal unitario exterior a cada cara. 5.

Evaluar

∫∫∫ E

x x + y2 + z2 2

los planos y = x ; y =

dV , donde E es el sólido en el primer octante limitado por

3 x ; el cono z = x 2 + y 2 ; el plano z = 0 ; y las esferas

x2 + y2 + z2 = 2 y x2 + y2 + z2 = 8 . 6.

(

)

Sea F ( x, y , z ) = z arctg y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + zk . Encuentre el flujo de F a través de la porción de la superficie x + y + z = 2 , que se encuentra arriba del plano z = 1 y está orientada hacia arriba. 2

7.

2

(

)

Calcular el flujo del campo vectorial F ( x, y, z ) = xz 2 , x 2 y − z 3 ,2 xy + y 2 z a través de toda la superficie S de la región semiesférica limitada por z =

8.

(

9 − x2 − y2 ,

) (

z=0

)

Calcular el flujo del vector F = x 3 i + y 3 − y j + z 3 + z − xy k , a través de la superficie x 2 + y 2 + z 2 = a 2

⎛ z2 ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟k , a través de la superficie ⎟ ⎠

10. Verificar el teorema de la divergencia de Gauss para evaluar

∫∫ F • dS , donde S es la

9.

Calcular el flujo del vector F = (2 x + 1)i + y ( z + 1) j − ⎜ del sólido x + y + z = 1

S

superficie cerrada determinada por x + y 2

(

vectorial F ( x, y, z ) = 4 x,−2 y , z 11. Evaluar

∫∫ F.dS

2

2

2

)

= 4, z =0 y

donde F = xy 2 i + x 2 yj +

S

z = 2 , y F es el campo

1 3 z k 3

y

superficie del elipsoide x 2 + y 2 + z 2 = 1 12. Calcular

∫∫ F • dS , donde S

S es la

(

)

F ( x, y , z ) = (2 x + 3 z )i − (xz + y ) j + y 2 + 2 z k donde

(

S es la superficie externa del sólido limitado por z 2 = 4 x 2 + y 2

)

;0 ≤ z ≤ 4

Calcular el flujo de F ( x, y, z ) = xi + yj + zk , a través de la región limitada por

261