Analisis Vectorial Ejercicios Resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS ANALISIS VECTORIAL 1. Hallar el coseno del ángulo que forman los

3. Si se sabe: A  3i  (a  2)j ; B  2ai  (a  1)j

vectores A  12i  5j y B  3i  4 j

son perpendiculares determinar los valores de “a”. a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 1 y –2 e) –2 y 3 Solución: Por propiedad de perpendicularidad:

16 a) 25 16 d) 65

16 b) 45 8 e) 65

16 c) 55

A  B  0  3(2a)  (a  2)(a  1)  0

Solución: cos   cos  

6a  a 2  3a  2  0

AB A

B (12, 5)  (3,  4) 2

12  5 cos  

a 2  3a  2  0 a 2  a  2 a 1  a  1

2

2

3  (4)

2

36  20 13(5)

1y 2

Rpta.

4. Dados los vectores: A  2i  3j , B  i  2j y

cos  

16 65

Rpta.

2. Si se sabe que: A  (x  2)i  (4  x)j y B  4i  xj son vectores paralelos. Hallar el valor positivo de “x” a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6

Solución: Las componentes de ambos vectores deben ser proporcionales debido a que son múltiplos: x  2 4  x  4 x

x 2  2x  16  4x

lineal: mA  nB  C a) 8 b) 7 d) 5 e) 4

Resolviendo el sistema: 2  2m  n  4   3m  2n  1

2(1)  n  4

8

Rpta.

c) 6

Solución: m(2, 3)  n(1,  2)  (4, 1) Igualando componentes:  2m  n  4   3m  2n  1

7m  7  Sustituyendo:

x 2  6x  12  0 x 8 x 2 x

C  4i  j . Hallar el valor de m  n , de tal forma que sea posible expresar la combinación

m  1



Luego: m  n  5

n6

Rpta.

1

www.EjerciciosdeFísica.com 5. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:

magnitud forman un ángulo  . ¿En qué relación están los módulos de los vectores

A  12 u

C 60º B  16 u

a) 6 11

b) 5 13

d) 6 13

e) 5 10

c) 4 13

AB AB

2 2

2

… (1)

2

 A  B  2AB cos  2

2

 12  16  2(12)(16)cos120º  144  256  192

A  B  4 13 Sustituyendo en (1): 3 R  (4 13)  R  2

2

2

2

2

2

2

2

2

D  X  X  2X cos   2X (1  cos ) Dividiendo: 2   2 cos   S 1  cos   2 r   D 1  cos  2   2sen    2 r

6 13

2   cot    2

8. En la figura expresar el vector X  Y en función de los vectores A y B .

los puntos A(3, 4) , B( 2, 5) y C(5,  6) . a) 18 u

b) 20 u

d) 24 u 2

2

c) 22 u

Y

2

A

e) 25 u 2

X

Solución: 1 S 2

S

3 2 5 3

B

4 5

1  (15  12  20  8  25  18) 6 2 4

1 (48)  S  2

Rpta.

Rpta.

6. Hallar la superficie del triángulo formado por 2

 c) tan 2    2

S  X  X  2X cos   2X (1  cos )

3 AB Resultante total: R  3C  2 2

AB y AB?   a) sen 2   b) cos 2    2  2 2   2   d) cot   e) sec    2  2 Solución: Se sabe que:

Solución:

AB

7. Dados dos vectores A y B de igual

24 u 2

Rpta.

a)

11B  3A 12

b)

13B  3A 12

d)

14B  5A 12

e)

14B  3A 12

c)

11B  A 12

Solución: Utilizando A y B como ejes coordenados: 3 1 1 1 X  B A  A B 6 4 4 2 4 2 1 2 Y   B A  A B 6 4 2 3

2

www.EjerciciosdeFísica.com Restando los vectores: 1 7 XY   A B 4 6

10.

A y B.

14B  3A 12

XY 

En la figura OPQR es un cuadrado.

Expresar el vector C en función de los vectores a) 2  2 A  2 B

Rpta.

2

9. En la figura OPQR es un cuadrado, expresar el vector X como combinación lineal de los

c)

d) 2  2 A  2 B

2A  3B a) 4

P

e) 4  2 A  2 B 2 2

b)

3A  2B 4

A

c)

3A  B 2

d)

2

X

A 2OM   B 2 Luego:

A B 2 X  AB 2

Q

S

C

R

O

B

R

Vector unitario en la dirección de OS : P

Q

AB A 2 O

3A  2B 4

X

N

U OS 

AB L 2

OS  L .

AB L

2



AB 2



2 (A  B) 2

En el triángulo OSP: OS  C  A

M

B

A  2B 4

X

R

B

P

Solución: Por la ley del triángulo:

OM  X  A  B Pero observe que:

O

A

B

e) 3A  2B

X  AB

2

M O

S

C

Solución: Sea “L” lado del cuadrado:

N

3A  2B 4

Q

A

22 2 A B 2 2

vectores A y B . Q

P

2

b) 2  2 B  2 A 2 2

R

2 (A  B)  C  A 2

C

2 2 2 A B 2 2

Rpta.

Rpta.

3

www.EjerciciosdeFísica.com 11.

En la figura OPQR expresar el vector X

como combinación lineal de los vectores A y B . a) 3A  2B

M

P

5X 3A  2B  2 2

Q

X

b) 4A  3B c)

3A  2B 4

d)

2A  3B 4

e)

3A  2B 5

A

X

R

O

P

L 2

M

0

N

L

b) 3 e) –9

O

Fig. 1

Fig. 2

R

Hallando los vectores A y B :

A  3i  3j  (3, 3)

A A  2B OQ  B   2 2

A  2B A A  OQ 2 OM   2 2

B  5i  2j  (5, 2) El producto escalar será: A  B  (3, 3)  (5, 2)  15  6

2

L L  5 4 2 En la figura 2 (  OPM) por relaciones métricas: 2 L  2 L  m 5  m X  L 5 5 2  Igualando vectores unitarios: 2

L 

13.

C

Hallar

Rpta.

en

el

paralelepípedo

mostrado, si (A  B)  C  6 29 . Y

8

B

X OM  m OM

4

9

AB 

3A  2B 4

3A  2B 4  2 L L 5 5 5 2

c) –3

Solución:

R

X

X

5

a) 0 d) 9

m

B

Además: OM 

A

Q

A 2

O

B

3 Q

X

OM 

Utilizando los datos de la figura hallar el Y

M

A

Rpta.

producto escalar de los vectores A y B .

B

Solución: En el gráfico: P

12.

N

3A  2B 5

C 4 Z

6

A

10

X

www.EjerciciosdeFísica.com Solución: Ubicando coordenadas:

Solución:

Y (0, 8, 0)

(0, 8, 6)

B

(0, 4, 0)

Vector unitario en la dirección de A : 4i  5j  3k U  A 2 2 2 4  ( 5)  3

(10, 8, 0)

C

Z

U U

(10, 0, 0)

A

X

A  10i  8j  6k

B  10i  6k



1 29

15.

(5i  2j)

C



C 29

(5i  2j)

(20i  8j)  (5i  2j)  6 29

24

C 

Hallar

el

2 (4i  5j  3k) 5 5 c) (4i  5j  3k) 3 1 e) (4i  5j  3k) 5

2

5

2

(4i  5j  3k)

3 (4i  5j  3k) 5

Rpta.

Dados los vectores: A  2i  aj  3bk y

c) 27

4a  a  3b 2  0  a  b 2 Sustituyendo con la condición a  b  6 :

b  6  b2

Rpta. vector

paralelo

A  4i  5j  3k ; cuyo módulo es 3 2 .

a)

3

Solución: Por condición de perpendicularidad: (2, a,  3b) (2a,  1, b)  0

C (100  16)  6(29)

14.

(4i  5j  3k)

A  B . Además: a  b  6 . a) 7 b) 16 d) 40 e) 36

(A  B)  C  6 29

29

5 2

B  2ai  j  bk ; hallar el valor de “ ab ”. Si

En la condición:

C

50 1

B

Expresión vectorial de C :

C C U



4i  5j  3k

B  3 2 U    A

Vector unitario en la dirección de C : 10i  4 j U  C 2 2 10  (4) C

A



El vector paralelo B , será:

(10, 0, 6)

U

A

3 (4i  5j  3k) 5 3 d) (4i  5j  3k) 4

b)

a

b2  b  6  0 b 3  b 3  a9 b  2  b  2  a  4 Finalmente de acuerdo a las alternativas: ab  27 Rpta.

5

www.EjerciciosdeFísica.com 16.

Hallar el módulo de la resultante del siguiente conjunto de vectores. a) 12 Z C(0, 0, 6)

b) 15

Solución: Ubicando las coordenadas: AB  4i  3j BC  4i  3j  12k

c) 16

C(4, 0, 12)

d) 18

P

O

e) 20

X A(8, 0, 0)

B(0, 10, 0)

A(4, 0, 0)

X

AB  8i  10j

BC  10j  6k AC  8i  6j

R  AB  BC  AC R  16i  12k 2

(16)  12

2

20

R 

17.

Hallar

sabiendo

el

Rpta.

vector

además

F,

si

F  TP T  50 N .

que:

P  52 N .

3

d) 48 Y

T 4

a) 24i  18j  48k

b) 24i  18 j  48k

c) 24i  18 j  48k

d) 12i  18j  48k

6

Rpta.

Hallar el módulo de la fuerza resultante

c) 45

12

e) 24i  18j  48k

Y

4

3

de F y T , si: F  25 N y T  30 N . a) 42 Z

P

3

BC

B(0, 3, 0)

T

AB

Como: F  T  P F   24i  18j  48k

b) 44

X

U

Por definición de vector unitario:  4i  3j  T T U  50   AB  (4)2  3 2     4i  3j T  50  T  40i  30j 5 4i  3j  12k   P P U  52   BC 2 2 2  4  (3)  12    4i  3j  12k P  52  P  16i  12j  48k 13

18.

Z

U

12

Y

Solución: Restando coordenadas:

R 

Z

e) 50

F

4

6

X

T 10

Y

www.EjerciciosdeFísica.com Solución: De acuerdo al gráfico: AB  3i  6j  6k

BC  3i  4 j

Z 3

F

C(3, 0, 6)

4 B(0, 4, 6)

6

X

T

Y

10 A(3, 10, 0)

Expresión vectorial de T : 3i  6j  6k  T T U  30  AB  (3)2  (6)2  6 2   3i  6j  6k  T  30   9  

   

T   10i  20j  20k

Expresión vectorial de F : 3i  4 j F F U  25 BC 2 2 3  (4)

 3i  4 j  F  25    F  15i  20j  5  De donde la resultante: R  F  T R  5i  40j  20k R 

2

2

5  (40)  20 R 

2

45 N

Rpta.

7