Analisis Vectorial

Tema 0 Introduccion al analisis vectorial 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.-

El operador gradiente Flujo de un campo vectorial. El operador divergencia. Teorema de la divergencia. Expresion de la divergencia en coordenadas cartesianas. Circulación de un campo vectorial El operador rotacional Teorema de Stokes Expresion del rotacional en coordenadas cartesianas. El operador laplaciano.

Ejercicios propuestos

Gradiente de un campo escala Sea un campo escalar F(r).

dr

La variación de la función al pasar del punto r -donde el campo es F(r)-

r+dr

al punto r+dr es:

r

dF=F(r+dr )-F(r) Si la función varia lentamente, la variación de la función dF y la de la variable dr son proporcionales:

dF= A dr

La magnitud que hace proporcional un escalar y un vector ha de ser un vector. El vector que hace proporcionales dF y dr es el gradiente de F en el punto r.

dF= [grad F ]dr El vector

grad F esta definido en todos los puntos fi campo vectorial.

El gradiente es la generalización de la derivada en funciones RÆR, donde df=f’dx

F(r)= F0

Moviéndose en una superficie equipotencial -F(r)= F0- se tiene: dF=0 , para cualquier dr que descanse sobre esa superficie dF= [grad F ]dr=0 fi [grad F ]^dr

Es decir, el grad F(r) es un vector normal a las superficies equipotenciales.

El gradiente en coordenadas cartesianas. En coordenadas cartesianas el vector r esta dado por las componentes x,y,z r=xux+yuy+zuz. Una variación arbitraria dr del vector r se obtiene variando infinitesimalmente las tres componentes dr=dxux+dyuy+dzuz.

dF = F (r + dr) - F (r) = F (x + dx, y + dy,z + dz) - F (x, y,z) =

†

∂F ∂F ∂F dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Definición de gradiente

†

= gradF dr = gradF x dx + gradF y dy + gradF z dz † Igualando los coeficientes de dx,dy,dz

†

∂F gradF x = ∂x

∂F ∂F ∂F gradF = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z †

A veces el resultado anterior

∂F ∂F ∂F gradF = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z se escribe

gradF = —F donde † — es el operador nabla

† †

∂ ∂ ∂ — ≡ ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z

Flujo de un campo vectorial Campo vectorial E(r): correspondencia "r ΠR3fi E(r) Dada una superficie S, se define una magnitud escalar

Flujo =

Ú E(r) ds S

= Â E(r)Ds s

E

Ds

S r

El vector Ds: Módulo: área del elemento Ds.

†

Dirección: normal a la superficie. Sentido: - en superficies cerradas se toma de dentro hacia fuera. - en superficies no cerradas hay una ambigüedad en la elección del sentido de Ds.

Divergencia de un campo vectorial Sea S una superficie cerrada

1 div E = lim DV Æ0 DV

ds

E

Ú ds E(r¢) S

DV es el volumen encerrado por la superficie S.

r

†

En el límite DVÆ0, la superficie S define un punto, al cual se le asocia el escalar div E

Teorema de la divergencia Sea una superficie cerrada S que contiene un volumen interior V,

"E,

Ú E ds = Ú [div E] dV S

† E

ds

†

S

V

div E

dV V

Este teorema relaciona los valores del campo sobre la frontera S de un dominio de integración V, con los valores (de la divergencia) del campo en el interior de dicho dominio

El operador divergencia en coordenadas cartesianas Usando un sistema de coordenadas cartesianas, dado por el triedro de vectores unitarios ux, uy,uz. Sea el campo E(r)=Ex(r) ux+ Ey(r) uy + Ez(r) uz , y el vector r≡(x,y,z) De la definición anterior se obtiene fácilmente

∂E x ∂E y ∂E z divE = + + ∂x ∂y ∂z = —.E donde — es un operador diferencial vectorial definido como

†

∂ ∂ ∂ — ≡ ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z

— se llama operador nabla

Sentido físico de la divergencia La divergencia está definida div E = lim DV Æ0

1 DV

Ú ds E(r¢) S

En las zonas donde el campo “sale” Eds > 0 fi contribución positiva En las zonas donde † el campo “entra”

ds E

Eds < 0 fi contribución negativa En los puntos donde div E >0, la contribucion positiva mayor que la negativa fi hay una fuente de campo. En los puntos donde div E <0 fi hay un sumidero.

E ds

En los puntos donde div E =0 el campo no hay ni fuentes ni sumideros

La divergencia da las fuentes y sumideros del campo. Ejemplos r Ley de Gauss divE = e0

Campo magnético div B=0

Circulación de un campo vectorial Sea un campo vectorial E(r) Dada una curva G recorrida en un sentido dado se define una magnitud escalar

E Dl

Circulación =

G

Ú E(r)dr = G

r

= Â E(r)Dl G

Dl es un vector tangente a la curva G en el punto r.

†

Hay que determinar el sentido en que se recorre la curva a fin de que el sentido de quede bien definido. Si el campo E(r) es una fuerza, la circulación representa el trabajo necesario para recorrer la curva G.

Rotacional de un campo vectorial Sea G una curva cerrada, que contiene una superficie Ds

E

un

dl G

1 rot E u n = limDsÆ0 Ds

Ú E(r)dl G

un es un vector unitario normal a la superficie Ds

r

dl es un elemento de la línea G

†

- En el límite DsÆ0 la curva G define un punto. La expresión anterior es proyección de rot E en este punto en la dirección un.

-La superficie Ds no es cerrada fi el sentido de un no esta bien definido. Generalmente se elige el sentido de un como el de avance de un sacacorchos que recorre G en la dirección dada. -El campo resultante es pues un pseudovector. Si E es un campo de fuerzas conservativo la circulación se anula fi rot E=0. Los campos de fuerzas conservativas se llaman irrotacionales.

Teorema de Stokes Sea una curva G, que limita una superficie S, entonces E

ds

"E,

Ú Edl = Ú rot Eds

rot E

G

†

S

G dl

E

† Este teorema relaciona los valores del campo sobre la frontera G de un dominio de integración S, con los valores (del rotacional) del campo en el interior de dicho dominio

Rotacional en coordenadas cartesianas Usando un sistema de coordenadas cartesianas, dado por el triedro de vectores unitarios ux, uy,uz. Sea el campo E(r)=Ex(r) ux+ Ey(r) uy + Ez(r) uz , y el vector r≡(x,y,z) De la definición anterior se obtiene:

È∂E z ∂E y ˘ È∂E y ∂E z ˘ È∂E x ∂E z ˘ rot E = Í uy + Í ˙ ux + Í ˙ uz = ˙ Î ∂z ∂x ˚ ∂y ˚ Î ∂y ∂z ˚ Î ∂z = —¥ E donde — es el operador nabla visto anteriormente

†

∂ ∂ ∂ — ≡ ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z

El operador Laplaciano —2 Sea un campo escalar F, se define el laplaciano —2F como sigue: —2F=div grad F

es un campo escalar, y por lo tanto su divergencia es un escalar. Su expresión en coordenadas cartesianas se obtiene fácilmente a partir de las expresiones de la divergencia y el gradiente: 2 2 2 ˘ È ∂ ∂ ∂ — 2F = Í 2 + 2 + 2 ˙ F ∂y ∂z ˚ Î∂x

†

Ejercicios propuestos: 1.Obtener la expresión div E= — E aplicando la definición de la divergencia en coordenadas cartesianas 2.-

Ídem para el operador rotacional.

Nota: Estos desarrollos están en el 1er capitulo del Reitz Mildford: Fundamentos de la teoria electromagnética.

3.-

Sea el campo vectorial E(r)

r E(r) = k 3 r

donde r≡(x,y,z) es el vector de posición. - Calcular la divergencia de E(r) aplicando su expresión en coordenadas cartesianas. - Calcular el flujo del campo E(r) † sobre una esfera de radio a centrada en el origen. - Comprobar el teorema de la divergencia con el flujo obtenido en el apartado anterior. ¿Se verifica el teorema ? Discutir este resultado. - Calcular el rotacional de E(r) aplicando su expresión en coordenadas cartesianas.

4.-

Calcular —2F(r), donde F(r), =k r -1.

5.- Dado el campo vectorial E=kuz (el campo gravitatorio): Z

a) Demostrar que div E=0. b) Verificar que se cumple el Teorema de la divergencia, para la superficie de la figura. c) Demostrar a partir de la definición

rot E u n = limDsÆ0

1 Ds

Ú E(r)dl G

que rot E=0

†

Y X