Limites De Funciones De Variable Real

Cap. Cap. 1 Límites de Funciones

Moisés Villena Muñoz

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS CONTINUIDAD EN UN PUNTO

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina Límites. • Describa gráficamente los límites. • Calcule límites.

1

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Moisés Villena Muñoz

1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto. Precisar características de este comportamiento puede ser necesario y además en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos, lo cual no lo vamos a tratar aquí. Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección determinar características obvias. Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función

f de variable real con regla de

correspondencia f ( x ) = 2 x + 1 , en la vecindad de x = 2 . Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 2, tenemos: x

y = 2x + 1

1.90 1.95

4.80 4.90

1.99

4.98

2.01 2.05

5.02 5.10

2.10

5.20

Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5 . x→2

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:

2

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Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de otra función

f de variable real con regla de

2

correspondencia f ( x) =

x + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

x 0.90 0.95 0.99

y=

x2 + 5x − 6 x −1 6.90 6.95 6.99

1.01

7.01

1.05 1.10

7.05 7.10

Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1 Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.

independiente x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím

Por otro lado, la regla de correspondencia

f ( x) =

x 2 + 5x − 6 x −1

es equivalente a

f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿PORQUÉ?). Desde su gráfica podemos ilustrar este comportamiento:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos emitir la siguiente definición:

Una función f tiene límite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que simbólicamente se denota como: lím f ( x) = L x → x0

3

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Ejercicios Propuestos 1.1 Emplee una calculadora para estimar los siguientes límites:

1. lím x →1

x −1 x −1

2− x

2. lím

x→ 2 x 2

Senx 3. lím x →0 x

−4

4. lím (1 + x )

1

x

x →0

1.1.1 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE

Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en x = x0 , entonces este es único. 1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.2.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y g funciones con límite en x0 ; es decir, suponga que lím f ( x) = L y lím g ( x) = M . Entonces: x→ x x→ x 0

0

1.

lím k = k , ∀k ∈ R

2.

lím x = x0

3.

lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R

4.

lím[ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M

5.

lím[ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M

6.

lím[ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM

7.

f ( x) L  f ( x)  lím x→ x lím =  lím g ( x) = M ;siempre que x→ x  g ( x )   x→ x

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

0

0

[

0

]

8.

lím[ f ( x)] = lím f ( x) = Ln ,

9.

n f ( x ) = n lím f ( x ) = n L lím x→ x x→ x

n

x → x0

0

n

x → x0

lím g ( x) ≠ 0 x → x0

∀n ∈ N

siempre que cuando n es par

4

lím f ( x) ≥ 0 x → x0

0

.

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El teorema permite establecer límites de funciones. Ejemplo

(

Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2

)

SOLUCIÖN: Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

(

)

lim x 2 + 3x − 2 = lim x 2 + lim 3 x − lim 2 (inciso 4 y 5) x→ 2

x→2

x→2

x→2

2

=  lim x  + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→2  x→2  = 2 2 + 3(2) − 2 =8

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.2.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) , siempre que f ( x 0 ) esté definida y x→ x 0

que el denominador no sea 0 para el caso de una función racional. 1.3 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar; pero se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞ 0.∞ 1∞ 00 ∞0

5

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Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos

0 , 0

suponga que sea igual a

entonces 0 = 0c sería verdadera para todo indeterminaciones.

c.

c,

0 =c 0

es decir

Analice el resto de

Ejemplo 1 x 2 + 5x − 6 x →1 x −1 SOLUCIÓN: Calcular lím

x 2 + 5 x − 6 12 + 5(1) − 6 0 = = una x →1 x −1 1 −1 0

Empleando el teorema de sustitución tenemos lím

indeterminación, que para destruirla se debe simplificar la expresión, es decir factorizando lo lograremos:

x 2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) = lím (x + 6) = lím x →1 x →1 x →1 x −1 x −1

lím

Y finalmente aplicando el teorema de sustitución:

lím (x + 6) = 1 + 6 = 7 x →1

Ejemplo 3 Calcular lím x →1

x −1 x −1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1 0 = 1−1 0

Racionalizando el numerador y simplificando:

 x −1 x + 1 x −1 lím  • = lím  = lím x →1 x − 1 x → 1 x + 1  (x − 1) x + 1 x→1 

(

)

1

(

)

x +1

=

1 2

Ejemplo Ejemplo 4 Calcular lím

x →1 3

x −1 x −1

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 −1 3

1 −1

=

0 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:

PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

6

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 x −1 x +1 lím  • • x →1 3 x − 1 x + 1 

(x − 1) (3 x )

2

 (x − 1)

lím

(

x →1

( x) ( x) 3

2

3

2

+ 3 x + 1  3 + x + 1 

2   + 3 x + 1  3 1 + 3 1 + 1 =  =3 2 x +1 1 +1

( ) (

)

)

SEGUNDO METODO: cambio de Variable: x = u

6

. Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1

u 6 −1

Reemplazando tenemos: lím

u →1 3

u 6 −1

= lím

u 3 −1

u →1 u 2

−1

(u − 1)(u + u + 1) = lím (u + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 (u − 1)(u + 1) u →1 (u + 1) (1 + 1) 2 u →1 2

2

Y factorizando: lím

Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: 1.

x2 − 9 x →3 x − 3

2.

lím

3.

4.

5.

x→4

x2 − 4 x + 3 x →1 x −1  x2 − 2 x + 1   lim  2 x →1    ( x − 1)  lím

3

lím

7.

x →8

8.

lím 3 x →8

x −2 x −8 8− x

x −2 3

9.

2− x

x→ 2 x 2

x −2 x−4

lím

6.

lím

lím

x −1

2

x + x−2  2 3  10. lím  −  3 x →1 − x − x 1 1  6 (Sugerencia: x = u ) x →1

−4

x3 − 8 x→2 x − 2

lím

1.3.1 Otros Límites. (OPCIONAL) Ciertos límites se calculan empleando la expresión lím x→0

Senx = 1 que x

Sen u = 1; donde u = u ( x) u →0 u

en forma generalizada sería: lím Ejemplo jemplo 1 Calcular lím x →0

Sen(kx ) x

7

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SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

Sen(k (0)) 0 = 0 0

Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por

teorema principal sobre límites resulta: lím k x →0

k , y aplicando el

Sen ( kx ) Senkx = k lím = k (1) = k x →0 kx kx 14243 1

Ejemplo Ejemplo 2 Sen3x Sen5 x SOLUCIÓN: Calcular lím

x →0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

Sen(3(0 )) 0 = Sen(5(0)) 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación multiplicamos y dividimos el numerador por 3 x y el denominador por 5 x , y luego aplicando el teorema principal sobre límites resulta: 1 48 647 Sen3x Sen3x 3x 3 lím Sen3 x 3 x = x →0 3 x = 3 lím = lím Sen5 x Sen5 x 5 x → 0 Sen5 x x →0 5x 5 lím x →0 5 x 5x 1 4243 1

Ejemplo Ejemplo 3 1 − cos x x2 SOLUCIÓN:

Calcular lím x →0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0 0

2

=

0 0

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: 2

sen x8 64 74 1 − cos 2 x

1 − cos x 1 + cos x  lím  • = lím 1 + cos x  x →0 x 2 (1 + cos x ) x2

x→0 

sen 2 x

= lím x →0

2

= lím

x (1 + cos x) 2

x →0

senx   1  1  =  lím   =  x →0 x   2  2

Ejemplo Ejemplo 4 1 − cos x x→0 x SOLUCIÓN:

Calcular lím

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1 − cos 0 0 = 0 0

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

8

sen 2 x x

2

lím

1

x →0 1 + cos

x

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1 − cos 2 x 1 − cos x 1 + cos x  lím  • = lím  x→0 x 1 + cos x  x →0 x(1 + cos x ) lím = x→0

sen 2 x senx senx = lím lím x(1 + cos x) x →0 x x →0 1 + cos x

senx  0   =  lím   = 0  x →0 x  2 

1.4 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, es decir cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L x→∞

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L . x → −∞

Ejemplo 1

Ejemplo Ejemplo 2

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y = L .

Para calcular límite al infinito, usualmente se divide para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.

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Ejemplo Ejemplo Calcular lím

2 x 2 + 3x − 1

x → −∞

5x2 + x − 1

SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación:

∞ ∞ 2

Dividiendo numerador y denominador para x , tenemos:

2x2 2 lím x 2 x → −∞ 5 x

x2

1 3 2+ − x x 2 = lím 1 x → −∞ 1 5+ − + 2− 2 x x x +

3x x2 x

−

1 x2 = 2 1 5 x2

Ejercicios propuestos 1.3 1. Calcular: 1.

2.

3x 2 + 2 x + 1 x →∞ x2 + 5 5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3 lím x →∞ x3 + 3x + 1 3

3.

4.

lím

lím

(2 x + 3) (3x − 2)

x →∞

lím

x →∞

5. lím 2

x →∞

(2 x + 3) x+3 x

(2 x − 3)(3x + 5)(4 x − 6) 3 x3 + x − 1

x5 + 5

1.5 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir lím f ( x ) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin x → x0

límite o que f no tiene límite en x0 . Ejemplo

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Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, x → x0

que f decrece sin límite o que f no tiene límite en x0 . Ejemplo

1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que si al trazar su gráfica no se requiere alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.

Sea f una función definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) , Entonces f es continua en " x0 " si lím f ( x ) = f ( x0 ) . x→ x 0

Ejemplo Una función continua en un punto x0

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