Al1 - Sebenta Determinantes

CENTRO DE ESTUDOS PEDAGÓGICOS Explicações de Matemáticas Secundário e Superior Álgebra Linear

Prof: Eng.º Manuel Cerqueira Tel. 21 938 94 71 TM : 96 647 58 70 [email protected]

DETERMINANTES

27-Jan-05

D.1.1

DETERMINANTES DE 2ª E 3ª ORDENS DETERMINANTES DE 2ª ORDEM DETERMINANTES DE 3ª ORDEM (REGRA SARRUS) a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a11 a12 = a11a22 − a21a12 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a21 a22 = a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 Determinantes de ordem superior à 3ª a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 fazem-se pelo Teorema de Laplace. TEOREMA DE LAPLACE Menores dum determinante→ Chama-se menor dum elemento aij de um determinante de ordem n, ao determinante de ordem (n-1) que se obtém , suprimindo a linha i e a coluna j do determinante dado. Complemento algébrico→ É o produto do menor por ( −1)i + j = ( −1)n º linha + nº coluna, ou seja

Cij = ( −1)i + j .Mij Teorema de Laplace→ O valor de um determinante de qualquer ordem ,é igual à soma dos produtos dos elementos duma fila pelos respectivos complementos algébricos. 3 −4 −2 3 5 3 5 −2 −2 3 = 2.( −1)1+ 1 + 3( −1)1+ 2 + ( −4 )( −1)1+ 3 = −61 1 2 3 2 3 1 3 1 2

2

Exemplo → 5

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Propriedade 1→ Se os elementos duma fila são todos nulos então o det.=0 Propriedade 2→ Se trocarmos duas filas paralelas este si então o det. troca de sinal (é simétrico). Propriedade 3→ Se existem duas filas paralelas iguais , então o det. é nulo. Propriedade 4→ Se existirem duas filas proporcionais , então o determinante é nulo, Propriedade 5→ O determinante dum produto é igual ao produto dos det.--» | A.B|=|A|.|B| Propriedade 6→ O determinante duma matriz é igual ao det. da sua transposta--»Pode-se trocar as linhas com as colunas. |A|=|At | Propriedade 7→ O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal (Esta propriedade é muito útil em det. de ordem grande) Propriedade 8→ Se multiplicarmos os elementos duma fila por k, então o det. vem multiplicado por k. Propriedade 9→ Se multiplicarmos os elementos duma fila por k e somarmos com outra fila paralela o det. não se altera. ( O uso desta propriedade aplica-se na condensação para depois aplicar o teorema de Laplace (cond. uma fila); ou a propriedade 7) Propriedade 10→ Desdobramento dum determinante:

a b +k a b a k = + c d+h c d c h

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Álgebra Linear

DETERMINANTES

27-Jan-05

D.1.2

APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES Adjunta---» Chama-se adjunta duma matriz quadrada à matriz que resulta de substituir cada elemento pelo respectivo complemento algébrico, seguida da transposição. t

A = aij ⇒ Adj( A ) = Cij ---» Donde se pode fazer a inversa ---» A −1 =

Adj(A ) ; | A|

A.Adj(A)=|A|.I

Adj(A.B)=Adj(B).Adj(A)

, |A.B|=|A|.|B|

Propriedades da adjunta→ A −1 =

A=

Adj(Adj(A )) | A|n− 2

;

Adj(A ) | A| | Adj(A )| =| A|n−1

, | A −1| =

1 | A|

, |AT|=|A|

Regra de Cramer→ Outra aplicação é na resolução de sistemas pela regra de Cramer É uma regra que resolve sistemas de (n por n) , com base em determinantes :Dado um sistema : AX=B (A é quadrada) , tem-se: D1 D2 Dn x1 =

D

; x2 =

D

,........xn =

D

Onde D=|A| e Dk , (k = 1,2,...n) , é o determinante que resulta de D substituindo os elementos da coluna k , pelos termos independentes. GENERALIZAÇÃO DOS MENORES Seja A uma matriz quadrada de ordem n e B uma submatriz quadrada de ordem m
Chama-se ordem de um menor , à soma da ordem das linhas e das colunas que nele tomam

⎡a ⎢e parte. Exemplo → A = ⎢ ⎢i ⎢m ⎣

b f j o

c g k p

d⎤ h⎥ ⎥ l⎥ q⎥⎦

⎡ a c⎤ M1 = ⎢ ⎥ ⎣e g⎦

⎡j l⎤ M2 = ⎢ ⎥ ⎣o q⎦

⎡ a c⎤ M3 = ⎢ ⎥ ⎣ i k⎦

M1 e M2 são complementares M3 é um menor principal Ordem(M1)=(1+2)+(1+3)=7 ; Ordem(M2)=(3+4)+(2+4)=11 ; Ordem(M3)=(1+3)+(1+3)=8 NOTA: A ordem dos principais é sempre par. Complemento algébrico (Cofactor) →Seja σ =ordem do menor. Chama-se complemento algébrico de um menor , ao produto do seu menor complementar , por (−1)σ ---»É o complementar afectado dum sinal de mais ou menos. Teorema de Laplace Generalizado→Um determinante é igual à soma dos produtos dos menores de ordem m contidos em m filas paralelas , pelos respectivos complementos algébricos

⎡a ⎢e A=⎢ ⎢i ⎢m ⎣

A =

b f j o

c g k p

d⎤ h⎥ ⎥ l⎥ q⎥⎦

Vamos considerar todos os menores das duas 1ªs linhas. a--»b ; a--»c ; a---»d ; b---»c ; b---»d ; c----»d e--»f ; e---»g ; a---»h ; f---»g ; f----»h ; g----»h 1º)--»1+2+1+2=6--»+ 2º)--»1+2+1+3=7---» Sinais→ 3º)--»1+2+1+4=8--»+ 4º)---»1+2+2+3=8--»+ 5º)--»1+2+3+4=9--» 6º)----»1+2+3+4=10--»+

a b k l a c j l a d j k b c i l b d i k c d i j . − . + . + . − . + . e f o p e g m p e h m o f g n p f h n o g h n m