Sebenta

Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Paulo Jorge Afonso Alves _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

Matemática I, EST-IPCB

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Matemática I, EST-IPCB

Capítulo 1

Matrizes Objectivo Neste capítulo vamos introduzir um novo conceito, o de matriz; os diferentes tipos de matrizes existentes; estudar algumas operações que se podem efectuar com matrizes e as suas propriedades; dar o conceito de operação elementar; calcular a característica de uma matriz, quer pela definição, quer utilizando operações elementares, a que chamaremos método da condensação e, finalmente, calcular a inversa de uma matriz.

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Matrizes

Introdução Exemplo: Considere a seguinte tabela de dupla entrada da multiplicação: *

2

3

4

5

6

12

18

24

30

7

14

21

28

35

8

16

24

32

40

Esta a tabela dá-nos os resultados da multiplicação de 6, 7 e 8 por 2, 3, 4 e 5. Por exemplo, na 3ª linha, 4ª coluna está o número 28, resultante da multiplicação de 7 por 4. A entidade matemática que representa uma tabela deste género é uma matriz. Definição:

Uma matriz A = [aij]mxn, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, do tipo mxn é um

quadro com m linhas e n colunas cujos elementos aij são escalares, representando-se por:  a 11 a A =  21  M  a m1

a 12 a 22 M a m2

L a 1n  L a 2 n  ou A = O M   L a mn 

 a11   a 21  M  a  m1

a12 a 22 M a m2

L a1n   L a 2n  O M   L a mn 

As matrizes são representadas, normalmente, por letras maiúsculas (A, B, C, …) e os seus elementos pela respectiva letra minúscula com dois índices, o primeiro, normalmente representado pela letra i, corresponde ao número da linha e o segundo, normalmente representado pela letra j, corresponde ao número da coluna, sendo então representado por aij. Excepcionalmente podem aparecer matrizes representadas por letras minúsculas, por exemplo, na representação de um sistema sob a forma de matriz, Ax = b, como iremos ver num outro capítulo. A matriz, A, é delimitada por parênteses rectos ou por parênteses curvos. Daqui para a frente vamos utilizar a notação de parênteses rectos. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

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Exemplo: O exemplo anterior pode ser convertido numa matriz B=[bij]4x5. Substituindo o operando * pelo número 0 obtém-se a seguinte matriz

0 2 3 4 5  6 12 18 24 30  B= 7 14 21 28 35   8 16 24 32 40 O resultado da multiplicação de 7 por 4, que se encontra na 3ª linha, 4ª coluna, matematicamente representa-se por b34 = 28. Podemos então concluir que as matrizes são ferramentas que nos vão ajudar na vida real, nomeadamente a programar, na resolução de sistemas (circuitos eléctricos), na organização de informação, etc. Matrizes do mesmo tipo são matrizes com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, isto é, A = [aij]mxn e B = [bij]pxq são do mesmo tipo se e só se m=p e n=q. Exemplo: Dadas as 4 matrizes

são do mesmo tipo as matrizes C e D e a matrizes E e F. (estas matrizes vão servir para exemplificar alguns conceitos) Elementos homólogos, de matrizes do mesmo tipo, são os que têm índices iguais, isto é, pertencem respectivamente à mesma linha e à mesma coluna, isto é, dadas duas matrizes A = [aij]mxn

e

B = [bij]mxn diz-se que o elemento aij da matriz A é

homólogo do elemento bij da matriz B. Exemplo: Nas matrizes C e D são elementos homólogos, os elementos c23 = 6 e d23 = f; c12 = 2 e d12 = b; c33 = 9 e d33 = i; Exemplo: Nas matrizes E e F são elementos homólogos, os elementos e12 = 22 e f12 = k; e23 = 66 e f23 = o; e13 = 33 e f13 = l;

etc. etc.

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Matrizes

Diagonal principal, em matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, são os elementos cujo índice da linha é igual ao da coluna, isto é, dada a matriz A = [aij]nxn, os elementos aij com i=j são os elementos da diagonal principal. Nota: Só existem diagonais principais em matrizes quadradas. Exemplo: As diagonais principais nas matrizes C e D são as seguintes Na matriz C: c11 = 1 c22 = 5 c33 = 9 d22 = e d33 = i Na matriz D: d11 = a Elementos opostos, ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, isto é, dada a matriz A = [aij]mxn, diz-se que o elemento aij é o oposto do elemento aji. Exemplo: Na matriz C, os elementos c12 = 2 e c21 = 4 são elementos opostos.

Tipos de matrizes Alguns tipos de matrizes Matriz linha Matriz coluna

Matriz rectangular

Matriz quadrada

Matriz nula

Descrição Matriz com uma só linha A = [a1j]1xn A = [a 11 a 12 L a 1n ] Matriz com uma só coluna A = [ai1]mx1  a 11  a  A =  21   M    a m1  Matriz com m linhas e n colunas A = [aij]mxn  a 11 a 12 L a 1n  a a 22 L a 2 n  A =  21  M M O M    a m1 a m 2 L a mn  Matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas A = [aij]nxn  a 11 a 12 L a 1m  a a 22 L a 2 m  A =  21  M M O M    a m1 a m 2 L a mm  Matriz A = [aij]mxn com aij= 0 ∀i ∀j

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Matrizes

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Matriz diagonal

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz identidade (ou unidade)

Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos acima e abaixo da diagonal são iguais a zero, e pelo menos um elemento da diagonal principal é diferente de zero a 11 0 L 0  0 a 0  22 L  ∃ aij≠0 i ∈{1,2, … n} A=  M M O M    0 L a nn  0 Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos abaixo da diagonal são todos nulos a 11 a 12 L a 1n   0 a 22 L a 2 n   A=  M M O M    0 L a nn  0 Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos acima da diagonal são todos nulos 0 L 0   a 11 a a 22 L 0  21  A=  M M O M    a m1 a m 2 L a mm  Matriz diagonal, A = [aij]mxm, cujos elementos da diagonal são todos iguais a um 1 0 L 0  0 1 L 0   Imxm =  M M O M   0 0 L 1 

Igualdade de matrizes Duas matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, são iguais, se e só se, são do mesmo tipo e todos os seus elementos homólogos são iguais, isto é, aij = bij, i = 1, 2, …,m, j = 1, 2 …, n.

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Matrizes

Matriz transposta Matriz que se obtém da matriz dada, A = [aij]mxn, trocando ordenadamente as suas linhas pelas suas colunas, designa-se por AT = [aji]nxm. Exemplo: As matrizes transpostas das matrizes C e F são:

Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn: I – (AT)T = A Exemplo:

II – (A + B)T = AT + BT III – (AB)T = BT AT Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Exercício: "Algumas propriedades acima nem sempre se verificam.", diga em que casos é que isto acontece, para cada uma das propriedades. Matriz simétrica: Matriz quadrada em que A = AT.

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Matrizes

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Operações com matrizes Adição de matrizes Só se podem adicionar matrizes do mesmo tipo. Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn da soma destas matrizes resulta uma outra matriz C = [cij]mxn (do mesmo tipo) cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos de A e B: cij = aij + bij (i = 1, 2, …,m; j = 1, 2 …, n).

Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: I - Comutatividade: A + B = B + A Exemplo:

II – Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) III – Existência de elemento neutro (matriz nula): A + 0 = 0 + A = A IV – Existência de elemento oposto:

A + (-A) = (-A) + A = 0

V – Se A = B e C = D, então A + C = B + D Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Multiplicação de uma matriz por um escalar Dada a matriz A = [aij]mxn, da multiplicação do escalar k pela matriz A resulta uma outra matriz C = [cij]mxn, do mesmo tipo, cujos elementos são iguais ao produto do escalar, k, por cada elemento da matriz A: cij = kaij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2 …, n.

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Matrizes

Subtracção de matrizes Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn

a subtracção destas matrizes

corresponde à adição de uma outra matriz que resulta da segunda por multiplicação desta pelo escalar -1, isto é, A - B = A + (-1)B. Exemplo: C - D = C + (-1)D

Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k e t escalares reais: I – k(A + B) = kA + kB II – (k + t) A = kA + tA III – (kt) A = k (tA) = t (kA) IV – 1A = A V – A = B ⇒ kA = kB Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Multiplicação de matrizes Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxp , onde o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, o produto destas matrizes é uma n

outra matriz, C = [cij]mxp tal que cij = ∑ a ik b kj (i= 1, 2, …,m; j= 1, 2 …, p). k =1

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Matrizes

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Exemplo: 1 2 3  j k l   =  j *1 + k * 4 + l * 7 j * 2 + k * 5 + l * 8 j * 3 + k * 6 + l * 9  4 5 6 FC =      m * 1 + n * 4 + 0 * 7 m * 2 + n * 5 + o * 8 m * 3 + n * 6 + o * 9 m n o     7 8 9

Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: I – Associatividade

(A B) C = A (B C)

II – Existência de elemento neutro A I = I A = A III – Distributividade da multiplicação à direita e à esquerda em relação à adição (A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C

IV – A = B e C = D ⇒ A C = B D Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Nota: Normalmente a multiplicação de matrizes NÃO É COMUTATIVA, mas quando tal acontece as matrizes dizem-se permutáveis, isto é, Matrizes permutáveis: Matrizes A e B tais que AB = BA. Exercício: Encontre algumas matrizes permutáveis. Exercício: Demonstre que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

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Matrizes

Combinação linear de linhas e colunas  a 11   a 12   a 1n  a  a  a  21  22    Dadas as matrizes coluna A1 = , A2 = ,..., A k =  2 n  , e dada uma  M   M   M        a m1  a m 2  a mn 

matriz C, diz-se que C é combinação linear de A 1 , A 2 , K , A n , se e só se n

∃α 1 , α 2 , K, α n ∈ ℜ : C = α1 A1 + α 2 A 2 + K + α n A n = ∑ α i A i i =1

Dependência e independência linear Colunas linearmente dependentes As matrizes coluna A 1 , A 2 , K , A n , dizem-se linearmente dependentes se e só se: ∃α1 , α 2 , K, α n ∈ ℜ \{0}: α1 A1 + α 2 A 2 + K + α n A n = 0

Colunas linearmente independentes As matrizes coluna A 1 , A 2 , K , A n , dizem-se linearmente independentes se e só se: α1A1 + α 2 A 2 + K + α n A n = 0 ⇒ α1 = α 2 = K = α n = 0

Analogamente para as linhas. Exercício: Dê a definição de combinação linear, dependência e independência linear para as linhas. Nota: A dependência e independência linear das colunas (linhas) de uma matriz não se altera quando se efectuam operações elementares.

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Matrizes

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Característica de uma matriz Definição A característica de uma matriz corresponde ao número máximo de colunas (linhas) linearmente independentes. Nota: O número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes.

1 2 3  Exemplo: Para a matriz A = 0 4 5 calcule 2 4 6 a) as linhas linearmente independentes; b) as colunas linearmente independentes; c) a característica da matriz A. a)

α = −2δ α (1,2,3)+ β(0, 4,5) + δ(2,4,6 ) = (0,0,0 ) ⇒  β = 0 L1, L2 e L3 são linearmente dependentes; β = 0 β (0,4,5)+ δ(2,4,6 ) = (0,0,0 ) ⇒  δ = 0 L2 e L3 são linearmente independentes;

α (1, 2, 3) + δ (2, 4, 6) = (0, 0, 0) ⇒ α = −2δ L1 e L3 são linearmente dependentes; α = 0 α (1,2,3)+ β(0,4,5) = (0,0,0 ) ⇒  β = 0 L1 e L2 são linearmente independentes; Concluindo, temos dois conjuntos de duas linhas linearmente independentes, {L2,L3} e {L1,L2}. b) C1, C2 e C3 são linearmente dependentes, porque L1, L2 e L3 o são;

α = 0 α (1, 0, 2) + β (2, 4, 4) = (0, 0, 0) ⇒  β = 0 C1 e C2 são linearmente independentes; _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

β = 0 β (2, 4, 4) + δ (3, 5, 6) = (0, 0, 0) ⇒  δ = 0 C2 e C3 são linearmente independentes; α = 0 α (1, 0, 2) + δ (3, 5, 6) = (0, 0, 0) ⇒  δ = 0 C1 e C3 são linearmente independentes; Concluindo temos três conjuntos de duas colunas linearmente independentes, {C2,C3}, {C1,C3} e {C1,C2}. c) A característica de uma matriz é igual ao número máximo de linhas/colunas linearmente independentes. Logo, das alíneas anteriores, podemos concluir que a característica da matriz é igual a 2.

Operações elementares sobre matrizes Existem três operações elementares: I)

Permuta de duas linhas (colunas);

II) Multiplicação de uma linha (coluna) por um número diferente de zero; III) Adição aos elementos de uma linha (coluna) os elementos correspondentes de uma outra linha (coluna) paralela multiplicada por um número qualquer. Exemplo: Aplicando a operação elementar tipo I) à matriz C vem:

Aplicando a operação elementar tipo II) à matriz C vem:

Aplicando a operação elementar tipo III) à matriz C vem:

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Matrizes

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Matrizes equivalentes Duas matrizes dizem-se equivalentes, e escreve-se A ~ B, se uma delas puder ser obtida da outra realizando um número finito de operações elementares. Exemplo: As matrizes do exemplo anterior são matrizes equivalentes, isto é,

Método da condensação Vamos apresentar o método da condensação. Veremos posteriormente como utilizar este método no cálculo da característica, da inversa e do determinante de uma matriz e na resolução de sistemas de equações lineares. A condensação de uma matriz A = [aij]mxn consiste nas seguintes fases: a) Tome-se a 11 ≠ 0 (se a 11 = 0 , troca-se a primeira linha com outra, de modo a que a 11 seja não nulo, a esta operação chama-se pivotagem, se a primeira linha for toda nula, troca-se com a última linha e repete-se o raciocínio), designando-se este por elemento redutor ou pivot; b) Fixado o elemento a 11 , procuram-se escalares λ i tais que λ i a 11 + a i1 = 0 ,

i = 2,..., m ; soma-se à linha i a primeira multiplicada por λ i , anulando-se, assim, todos os elementos abaixo de a11 , diz-se então que se condensou a primeira coluna; c) Na matriz obtida procede-se do mesmo modo, desta vez tomando como elemento redutor a 22 , e assim sucessivamente, até um determinado elemento a rr . A condensação termina, obtendo-se a matriz condensada A', quando já não existem: _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

i)

mais colunas, ou seja, r = n

a '11  0   M  A'=  0  0   M  0 

L a '1n  L a ' 2n  O M   L a ' rn  L 0   O M  L 0 

a '12 a ' 22 M 0 0 M 0

ii) mais linhas, ou seja, r = m a '11  0 A' =   M   0

a '12

L a '1m

a '1,m +1

a ' 22 L a ' 2 m

a ' 2,m +1

M

O

M

0

L a ' mm

M a ' m,m +1

L a '1n  L a ' 2 n  O M   L a ' mn 

iii) apenas linhas nulas, ou seja, r < m

a '11  0   M  A' =  0  0   M  0 

a '12 a ' 22 M 0 0 M 0

L a '1r L a '2r O M L a ' rr L 0 O M L 0

a '1,r +1 a ' 2,r +1 M a ' r ,r +1 0 M 0

L a '1n  L a ' 2n  O M   L a ' rn  L 0   O M  L 0 

Note-se que todas as matrizes A' contêm uma submatriz triangular superior de ordem máxima, r, de elementos diagonais não nulos. A passagem da matriz inicial, A, para a matriz condensada, A', foi realizada utilizando unicamente operações elementares, logo as matrizes A e A' são equivalentes.

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Matrizes

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Exemplo: Vamos aplicar o método da condensação a várias matrizes

Característica de uma matriz utilizando o método da condensação Como a independência linear não se altera quando se efectuam operações elementares, a característica de uma matriz pode ser obtida por condensação, e corresponde à ordem da submatriz triangular superior da matriz condensada, ou seja, car(A) = r. Exemplo: No exemplo dado para exemplificar as operações elementares vimos que as matrizes C, CI, CII, CIII, CIV, CV e CVI são matrizes equivalentes, isto é, foram obtidas umas das outras através de operações elementares, e pode escrever-se

Logo, têm a mesma característica, car(C) = car(CI) = car(CII) = car(CIII) = car(CIV) = car(CV) = car(CVI) _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

Exemplo: Dos exemplos da condensação de matrizes, temos:

A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a característica desta matriz é 3.

A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 2, logo a característica desta matriz é 2.

A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a característica desta matriz é 3.

Inversa de uma matriz Inversa esquerda e inversa direita de uma matriz Seja A = [aij]mxn. Chama-se inversa esquerda da matriz A, a qualquer matriz M do tipo nxm tal que M A = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. Chama-se inversa direita da matriz A, a qualquer matriz N do tipo nxm tal que A N = I, onde I é a matriz identidade de ordem m.

Definição de inversa de uma matriz Chama-se inversa da matriz A a uma matriz, que se representa por A-1, tal que A-1 A = A A-1 = I Nota: Uma condição necessária para uma matriz ter inversa, é que seja quadrada. _____________________________________________________________________________________________ No entanto, nem todas as matrizes quadradas têm inversa. Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

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Exercício: Dê um exemplo de uma matriz quadrada que não tenha inversa. Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k escalar inteiro: I – (A B)-1 = B-1 A-1 II – Se A é quadrada e invertível então (A-1)-1 = A III – I-1 = I IV– A-1 (A B) = 0 ⇒ B = 0 V – Se A é quadrada e invertível então (Ak) -1 = (A-1) k VI - (AT)-1 = (A-1)T Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades. Cálculo da inversa de uma matriz por condensação A inversa de uma matriz A pode ser calculada através da realização de um número finito de operações elementares sobre linhas (colunas), a este método chama-se método da condensação. Neste método o objectivo é, aplicando operações elementares às linhas:

A I

~

operações elementares sobre linhas

I A

-1

ou

I A ~

A I -1

operações elementares sobre linhas

ou, aplicando operações elementares às colunas:

A ~ I A I operações elementares sobre colunas

-1

I ~ A I A

-1

ou

operações elementares sobre colunas

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Matrizes

Exemplo:

1 2 A=  3 4 

1 1 2 1 0 1 2  3 4 0 1 L2=L~2-3L1 0 − 2 − 3    1 0  1 0 − 2 1 ~  ~  L2=L2/-2 0  0 − 2 − 3 1  1

0 ~ 1 L1=L1 + L2 −2 1  3 1  2 − 2

1  −2 A−1 =   3/ 2 − 1 / 2

Exercícios 1 - Considere as seguintes matrizes sobre ℜ:

 1 2 3 A=    2 1 4

 3 − 2 D=   2 4 

1 B = 2 3 2  E = 0  3

0 1  2

 3 − 1 3   C =  4 1 5  2 1 3

− 4 5  1 4 2 1

 − 4 5 F=    2 3

a) Para as matrizes A, B e C, identifique: i) a12, a22, a23 ii) b11, b21, b32 iii) c13, c31, c33 b) Para as matrizes A, B, C, D, E, F, se possível calcule: i) C+E ii) AB e BA iii) 2D - 3F iv) CB+D v) (3)(2A) e 6A vi) A(BD) e (AB)D vii) A(C+E) e AC+AE viii) 3A+2A e 5A ix) DF+2A x) (-4A)(3C) e (-12)(AC) T T T xi) A e (A ) T T T xii) (C+E) e C +E T T T xiii) (AB) e B A T T T xiv) (BC) e C B

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Matrizes

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2 - Dadas as seguintes matrizes sobre ℜ:  1 2 0 A = − 1 2 3  0 1 2

1 2 1   B = 0 − 1 2   0 − 1 − 3

1 0 − 2  C = 2 − 3 1  1 2 5 

Determine a matriz X tal que: T T a) A+X =B +C b) (A+B)T+X=B-CT T c) X+AB=C A 2 d) X+B -A=2I+C T 2 e) (A+X) =BC+A  1 −1 3 - Dada a matriz A =  , verifique se 3A+A2=A(3I+A).  − 1 2 

a − b c − d  a  c 4 - Dadas a matriz A =  eB=  sobre ℜ, mostre que são  d  b  a − b c − d permutáveis. 5 - Sejam i,j ∈ ℵ e A=[aij] uma matriz nxn. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: 2 2 a) (A+I) =A +2A+I 2 2 2 b) (A+B) =A +2AB+B 2 2 c) se AB=BA, então (A+B)(A-B)=A -B

1 2  3 6 - Seja A =   , encontre f(A) onde f(X)=2X -4X+3. − 4 3   7 - Encontre todas as matrizes B que permutam com a matriz A dada em 6. 2 8 - Determine uma matriz B de 2ª ordem, sem elementos nulos, tal que B =0.

− 1 2 0   9 - Para A =  2 5 − 3 , B =  0 − 3 0 

 − 1 3 4  2 − 2 0 e C =    0 2 1 

 1 0 1 − 2   3 − 1 0 1   2 − 1 0 2 

a) simplifique a expressão AB+5B+BTB-M=0 b) determine o valor de M da expressão anterior c) verifique se A e B são permutáveis d) verifique se A e C são permutáveis

_____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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20

Matrizes

2 1  − 1 0 1 2 − 1 3  10 - Para M =  , calcule MMT e classifique a matriz produto.  2 −1 2 0    1 − 3 3 − 2  − 1 2 3 11 - Para a matriz A=  1 3 5 calcule  0 4 6

a) as linhas linearmente independentes b) as colunas linearmente independentes c) a característica de A 12 - Calcule a característica das seguintes matrizes: 1 2 3 A= 0 1 1 1 2 3

1 1 1 1  B= 1 1 0 1  1 0 0 2

0 0 1  C= 0 1 0 1 0 0

1 1 D=  0  0

0 1 0 0

0 1 0  1

13 - Dadas as matrizes A, B e C determine as matrizes X que verifiquem as condições: 1 − 1 2 3 1 0  B=  C=  A=     0 1  1 5 0 8  a) AX=B2+C T b) BX=A +BC 2 c) XC=(AB) d) XC=(A-B)2

a 3 14 - Dadas as matrizes A=  5  a

1 4 0 2

b 2 a 3

2 1 − 2 − 2b  2a   a −1 1 − 1  1  e B= − 10 − 1 b 1 7     b −1 −1 2   0

a) Calcule AB b) Determine a e b, tal que A=B-1 1 2 3 15 - Para A= 2 5 3 1 0 8

1 2 3  B= 0 4 5 5 3 2

1 2 3  C= 2 4 6 3 6 9

1 2 3  D= 0 4 5 2 4 6

-1 -1 -1 a) Verifique que (AB) =B A b) Utilizando o método da condensação calcule car(A), car(B), car(C) e car(D)

_____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

21

16 - Calcule a característica das seguintes matrizes:  − 2 2a −1 a − 2  A= a − 2 a −1 a − 2   a −1 2a −1 2a − 1

 − 2 2a − 1 a − 2 1 B=  a − 2 a − 1 a − 2 a  a − 1 2 a − 1 2 a − 1 1

π π     2  5   2cis 4  2cis 4 1    π  cis0 cisπ 3π  π e  3 cis  ,  cis  17 - Dadas as matrizes  1 2 cis   2  0 2  2  π   cis 3π  0 cis 0      2 2   a) Identifique cada uma das matrizes acima indicadas com as letras A, B e C tal L L que D=AB=  . L 2i  b) Calcule a matriz D. c) Simplifique a expressão X = (BTATC)T+AB d) Determine o valor da matriz X.  4 − 10i  1 2   π  eC=  18 - Dadas as matrizes A = 2 + i 2cis  , B =     2   2cis(π ) 3 4 a) Determine C-1, utilizando o método da condensação. b) Simplifique a expressão AB+ACB+X = 0. c) Determine o valor da matriz X.  1 0 0 1 2    B =  2 1 19 - Dadas as matrizes A =   2 1 a 1  − 1 1 T T T a) Verifique se (AB) = B A . T T T b) Determine o valor da matriz X tal que X = (AB) xA+ B A xA.   3π   3π  2cis  cis   1 + 2i i   2   2  e C= 1 2 20 - Dadas as matrizes A=  , B=  1 3     cis π   3 − i 1 cis0    2  a) Simplifique a expressão AX+BX+X-C=0. b) Determine a matriz X que verifica a condição AX+BX+X-C=0.

Soluções

1 - a) i) 2;1;4

ii) 1;2;2

iii) 3;2;3

5 − 5 8  1 2 3  14 8   4 5 10 iii)  18 − 19 ; b) i) 4 2 9  ii)  − 2 − 1     16 9     _____________________________________________________________________________________________ 5 3 4 7 8 17  Paulo Alves, 2006/07

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22

Matrizes

 6 12 18  v)   12 6 24

iv) IMP

 5 10 15  viii)   10 5 20

ix) IMP

 5 4 5 xii) − 5 2 3  8 9 4

14 16 xiii)   8 9

1 2 - a) − 2 − 2 3  d) 1  1

 58 4 vi)    66 4

 − 204 − 48 − 264 x)    − 216 − 36 − 276

2 − 6 3 − 3 0

− 2 1 0   b)  − 4 1 0  1 − 7 − 7

3 − 4  2 12  − 1 2 

4 −5 −6 e)  3 10 − 2  11 20 − 11

5

28 8 38 vii)   34 4 41  1 2   xi)  2 1 ; A  3 4

xiv) IMP; IMP

− 2 7 3  c)  4 3 1   − 3 6 17 

3 - Verdadeira 5 - a) Verdadeira

b) Falsa

c) Verdadeira

− 15 52  6-    104 − 119 2 y + w 7-   2y

y w 

1  1 8 - Por exemplo:    − 1 − 1

T

9 - a) (A+5I+B )B-M=0 c) Não Permutáveis 0 2 3  6 0 15 − 2 − 14  10 -  2 − 2 9 11    3 − 14 11 23 

1 12   5 b) M =  11 − 3 19  − 10 30 22 d) Não Permutáveis

Matriz Simétrica

11 - a) as 3 linhas b) as 3 colunas c) 3 _____________________________________________________________________________________________ 12 - Car(A)=2 Car(B)=3 Car(C)=3 Car(D)=3 Paulo Alves, 2006/07

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Matrizes

23

 15  b)  7 3 −  7

15 57 13 - a)    7 36

3 −  7 58   7 

 5 d)  5 

3  −1 − 2  c)  23  6  8  

20  8 20   8

2a 2 − 1 −10b a − b −1 − 2a + b 2 −1 − 2ab + 7 b + 3    − a + 2b − 2 6a − 24 5−a 2a − 6b + 10   14 - a)  0 4−a ab −11 7a −10b + 2    2 a − b −1 − 2a + 2b + 2 − 2ab + 2b + 19  2a − 32 b) Por exemplo a=4 ∧ b=3 15 - a) Verdadeira b) Car(A)=3; 16 -

Car(B)=3;

Car(C)=1;

Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Se a = -1 ∨ a = 1 ∨ a = 0

Car(A) = 3 Car(A) = 2

Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Se a = 0 Se a = 1 Se a = -1 Resumo: Se a ≠ -1 Se a = -1

Car(B) = 3 Car(B) = 3 Car(B) = 3 Car(B) = 2 Car(B) = 3 Car(B) = 2

Car(D)=2

17 - a) B, A, C

0 2 − i  b)   3 2i 

c) X = (CT + I)(AB)

− 2 1  1 18 - a)  3  2 − 2 

b) X = - A(I + C)B

 96 − 8i  c)   − 8 − 24i 

 4a 2 19 - a) Verdadeiro b) X = 2 (AB)TA =  2 2 + 2a

20 - a) X = (A + B + I)-1 C

4a 4 2

6 + 2a + 2a

 1  b)  2 1 −  6

d) IMP

4a 2 4



2

14 + 2a 

 1  0 

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Matrizes

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Capítulo 2

Determinantes Objectivo

O objectivo deste capítulo é introduzir o conceito de determinante de uma matriz, ver algumas regras práticas para o calcular, a redução da ordem de um determinante utilizando o teorema de Laplace e as suas propriedades. Além disso, veremos como calcular a inversa de uma matriz utilizando determinantes, bem como a definição e o cálculo dos valores próprios e vectores próprios de uma matriz.

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26

Determinantes

Introdução Permutação de n elementos Permutação Seja S = {1, 2, ..., n} o conjunto dos inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente. Um rearranjo j1 j2 ... jn dos elementos de S é chamado uma permutação de S. Exemplo:

4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4}.

Inversão Uma permutação j1 j2 ... jn de S = {1, 2, ..., n} tem uma inversão se um inteiro maior jr precede um inteiro menor js. Exemplo:

4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4} e temos 4 > 2 uma inversão 4 > 3 uma inversão 4 > 1 uma inversão 2 > 1 uma inversão 3 > 1 uma inversão Concluindo em 4231 temos cinco inversões. Permutação principal Permutação por ordem crescente, isto é, sem inversões. Exemplo:

1234 é a permutação principal de S = {1, 2, 3, 4}.

Classes Uma permutação é de classe par se o número total de inversões for par. Uma permutação é de classe ímpar se o número total de inversões for ímpar. Nota: As permutações principais são consideradas de classe par. Exemplo:

Em 4132 temos

4 > 1 uma inversão 4 > 3 uma inversão 4 > 2 uma inversão 3 > 2 uma inversão Temos quatro inversões, logo a permutação é de classe par. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Determinantes

Exemplo:

27

Na permutação do exemplo anterior temos cinco inversões, logo 4231 é de classe ímpar.

Para construir uma permutação do conjunto S = {1, 2, ..., n} , podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na primeira posição, qualquer um dos restantes n-1 elementos na segunda posição, qualquer um dos restantes n-2 elementos na terceira posição, e assim sucessivamente, até que a n-ésima posição só pode ser preenchida pelo elemento que falta. Donde, podemos concluir que existem

n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅...⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 permutações em S, ou seja, n! permutações. Exemplo: Conjunto S = {1} S = {1, 2}

Número de permutações 1! = 1 2! = 2*1 = 1

S = {1, 2, 3}

3! = 3*2*1 = 6

Permutações 1 12 21 123 231 312 132 213 321

Inversões 2>1 2>1, 3>1 3>1, 2>1 3>2 2>1 3>2, 3>1, 2>1

Classes par par ímpar par par par ímpar ímpar ímpar

Na tabela acima podemos verificar que o número de permutações pares e ímpares para cada conjunto S é igual. Generalizando, para n > 1, S = {1, 2, ..., n} tem

permutações pares e

n! 2

n! permutações ímpares. 2

Teorema de Bezout: Se numa permutação trocarmos entre si dois elementos a

permutação muda de classe.

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Determinantes

Determinante Dada a matriz A = [aij]nxn, definimos o determinante da matriz A, e escrevemos |A|, det(A) ou simplesmente ∆, como |A| =

∑± a

1j1

a 2 j2 Ka njn

(1)

onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 ... jn, do conjunto

S = {1, 2, ..., n} . O sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1 j2 ... jn seja par ou ímpar, respectivamente. Em cada termo, ± a 1j1 a 2 j2 Ka njn , do determinante da matriz A, os subíndices relativos às linhas estão na sua ordem natural, enquanto que os subíndices relativos às colunas estão na ordem j1 j2 ... jn. Como a permutação j1 j2 ...jn é simplesmente um rearranjo dos números de 1 a n, não contém repetições. Assim, cada termo do determinante da matriz A é o produto de n elementos de A com sinal apropriado, com exactamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Como estamos a somar todas as permutações do conjunto S = {1, 2, ..., n} , o determinante da matriz A tem n! termos na equação (1). Exemplo: A = [a11] n=1 1! = 1 permutação Só tem a permutação principal, de classe par, logo |A| = a11. Exemplo:

 a11 A =  a 21

a12  a 22 

n=2

2! = 2*1 = 2 permutações

Pela equação (1) vem a11a22 (permutação de classe par) a12a21 (permutação de classe ímpar) Logo, |A| = ? a11a22 ? a12a21 ou seja, |A| = +a11a22 - a12a21 Nota: Só é possível calcular determinantes de matrizes quadradas. A ordem de um

determinante é igual ao número de linhas (colunas). _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Determinantes

29

Para simplificar, "porque quando as coisas se complicam, vêm os Matemáticos e simplificam", surgiram algumas regras práticas.

Regras práticas Para matrizes 2x2

A=

a11

a12

a21 a22

= + a11a22 − a12 a21

Para matrizes 3X3, temos a regra de Sarrus:

a11 A = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 = + a11 a 22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a 23 − a13 a 22 a31 − a23 a32 a11 − a33 a12 a21 a33

a11 a21

a12 a 22

a13 a23

ou ainda,

a11 A = a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

termos

positivos

a11 A = a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

termos

negativos

NOTA: Estas regras práticas para o cálculo de determinantes só podem ser

aplicadas a matrizes de ordem inferior ou igual a três. Como se poderá calcular o determinante de uma matriz de ordem superior a três? Podemos utilizar a definição, mas tem a desvantagem de ser pouco eficiente. Por exemplo, para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 4, vamos ter 4! = 4*3*2*1 = 24 parcelas, correspondentes às respectivas permutações de um conjunto de quatro elementos. Novamente para simplificar o cálculo do determinante de uma matriz, surgiu o _____________________________________________________________________________________________ teorema de Laplace. Paulo Alves, 2006/07

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30

Determinantes

Antes de vermos o teorema de Laplace vamos aprender dois novos conceitos. Menor complementar de um elemento, aij, de uma matriz A, é o determinante da

matriz que se obtém da matriz A, suprimindo-lhe a linha i e a coluna j, ou seja, a linha e a coluna que cruzam nesse elemento. Complemento algébrico de um elemento, aij, de uma matriz A, é o produto do

menor complementar desse elemento por (-1)i+j, onde i e j são as ordens da linha e da coluna, respectivamente, que se cruzam nesse elemento, e representa-se por Aij.

Exemplo:

1 − 1 Seja A =  1  3

4 0 2 − 2 . 2 1 − 1  1 −1 5  2

3

1 2 3 O menor complementar do elemento a44 é − 1 0 2 e o respectivo complemento 1 2 1 1 2 3 algébrico é A44 = (-1)4+4 − 1 0 2 . 1 2 1

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz A é igual à soma dos produtos que se obtêm multiplicando cada um dos elementos de uma das suas linhas (ou colunas) pelo respectivo complemento algébrico. Exemplo:

Vamos desenvolver o determinante da matriz A, do exemplo anterior, segundo a 4ª linha: det(A) = a41A41 + a42A42 + a43A43 + a44A44 2 3 1+ 4

= 3 ⋅ (-1)

4

⋅ 0 2 − 2 + 1 ⋅ (-1) 2 1

−1

1

2 3

1 2+ 4

3

4

⋅ − 1 2 − 2 + (−1) ⋅ (-1) 1

1

1 3+ 4

2

4

⋅ −1 0 − 2 +

−1

1

2

−1

+ 5 ⋅ (-1) 4 + 4 ⋅ − 1 0 2 1

2 1

= (-3)(-28) + (-21) + (-10) + 5(-4) = 33

_____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Determinantes

31

Propriedades •

O valor do determinante de uma matriz não se altera quando se trocam, ordenadamente, as suas colunas com as suas linhas, isto é, |A| = |AT|

Demonstração:

Sejam A = [aij] e AT = [bij] onde bij = aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n). Então, por (1), temos |AT| =

∑± b

1j1

b 2 j2 Kb njn = ∑ ± a j11a j2 2 Ka jn n

(2)

Reordenando os factores do termo a j11a j2 2 Ka jn n , de forma a que os índices de linha estejam ordenados, vem

b1j1 b 2 j2 Kb njn = a j11a j2 2 Ka jn n = a 1k1 a 2 k 2 Ka nk n Supondo que as permutações, k1 k2 ... kn, que determina o sinal associado a

a 1k1 a 2 k 2 Ka nk n , e j1 j2 ... jn, que determina o sinal associado a b1j1 b 2 j2 Kb njn , são ambas pares ou ambas ímpares. Exemplo: b13b24b35b41b52 = a31a42 a53a14 a25 = a14 a25 a31a42 a53 O número de inversões na permutação 45123 é seis e em 34512, também é seis. E como os termos e o sinal correspondentes em (1) e (2) coincidem, conclui-se que |A| = |AT|. Nota: Desta propriedade conclui-se que podemos aplicar as propriedades tanto às linhas como às colunas. 1 2 4 Exemplo: |A| = − 1 0 − 2 = 0 − 8 − 4 − (0 − 4 + 2) = −10 1 2 −1

|AT|

1 −1 1 = 2 0 2 = 0 − 4 − 8 − (0 − 4 + 2) = −10 4 − 2 −1

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32

•

Determinantes

Se os elementos de uma linha (coluna) da matriz A forem todos nulos, então |A| = 0.

Demonstração:

Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A é formada por zeros. Cada termo da definição de determinante da matriz A, em (1), contém um factor da r-ésima linha, então cada termo do determinante da matriz A será nulo, logo |A| = 0, isto é, |A|=

Exemplo:

•

∑± a

1j1

a 2 j2 Ka r −1jr −1 ⋅ 0 ⋅ a r+1jr +1 Ka njn = ∑ ± 0 = 0

1 2 4 0 0 0 = 0 + 0 + 0 − ( 0 + 0 + 0) = 0 1 2 −1

Se uma matriz B resulta da matriz A pela troca da posição relativa de duas linhas (colunas) de A, então |B| = - |A|.

Demonstração:

(linhas) Suponhamos que a matriz B provém da matriz A devido à troca da posição relativa das linhas r e s da matriz A, com r < s. Temos então que bij = aij, i ≠ r; i ≠ s,

brj = asj,

bsj = arj

Logo, por (1), B = ∑ ± b1j1 b 2 j2 Kb rjr Kb sjs Kb njn =

= ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka sjr Ka rjs Ka njn =

= −∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka rjs Ka sjr Ka njn = =− A

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Determinantes

33

A permutação j1 j2...js ...jr ... jn resulta da permutação j1 j2...jr ...js ... jn devido à troca da posição de dois números. Logo, pelo teorema de Bezout, há uma mudança na classe da permutação, isto é, o número de inversões na primeira difere do número de inversões da segunda por uma "quantidade" ímpar. Isto significa que o sinal de cada termo em |B| é simétrico do sinal do termo correspondente em |A|. Assim, |B| = -|A|. (colunas) Aplicando a primeira propriedade à matriz A e à matriz B estamos perante o caso de troca de duas linhas, já demonstrado.

Exemplo:

1 2 4 − 1 0 − 2 = −10 1

2

−1

Trocando a primeira linha com a segunda, obtemos o determinante −1 0 − 2 1 2 4 = 2 − 4 + 0 − (−4 − 8 + 0) = 10 1 2 −1

•

Se uma matriz B é obtida de uma matriz A, multiplicando uma linha (coluna) da matriz A por um número real k, então |B| = k*|A|.

Demonstração:

Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A=[aij] é multiplicada por k para se obter a matriz B = [bij]. Então, bij=aij se i ≠ r e brj = k*arj. De (1), obtemos B = ∑ ± b1j1 b 2 j2 Kb rjr Kb njn =

= ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Kk ⋅ a rjs Ka njn = = k ⋅ ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka rjs Ka njn =

= k⋅ | A |

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34

Determinantes

Nota: Podemos simplificar o cálculo de |A|, encontrando o máximo divisor

comum de cada linha e coluna de A.

Exemplo:

1 2 4 − 1 0 − 2 = −10 1 2 −1

Multiplicando a 1ª linha por 2, obtemos o determinante

2 4 8 − 1 0 − 2 = 0 − 16 − 8 − (0 − 8 + 4) = −20 1 2 −1

•

Se duas linhas (colunas) da matriz A forem iguais, então |A|= 0.

Demonstração

Suponhamos que as linhas r e s da matriz A são iguais. Se trocarmos as posições relativas das linhas r e s da matriz A obtemos uma nova matriz, B. Por um lado, |B| = -|A| (por uma propriedade anterior). Por outro lado, como B = A então |B| = |A|. Logo |A| = -|A| ⇒ 2*|A|= 0 ⇒ |A| = 0

Exemplo:

•

1 2 4 1 2 4 = − 2 + 8 + 8 − ( − 2 + 8 + 8) = 0 1 2 −1

Um determinante de uma matriz com duas linhas (colunas) paralelas proporcionais é nulo.

Demonstração:

| A |=

a 11

a 12

L ka 1i

L a 1i

L a 1n

a 21

a 22

L ka 2i

L a 2i

L a 2n

M

M

O

O

O

a n1

M

a n 2 L ka ni

M

L a ni

M

L a nn

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Determinantes

35

Por uma propriedade anterior

| A |= k

a 11

a 12

L

a 1i

L

a 1i

L

a 11nn

a 21 M

a 22 M

L O

a 2i M

L O

a 2i M

L O

a 2n M

a n1

a n2

L

a ni

L

a ni

L

a nn

Este determinante tem duas colunas iguais, logo, por uma propriedade anterior, concluímos que |A| = 0.

Exemplo:

•

1 2 4 3 6 12 = −6 + 24 + 24 − (24 + 24 − 6) = 0 1 2 −1

Se cada elemento de uma linha (coluna) do determinante de uma matriz é igual à soma de duas parcelas, ele poder-se-á decompor na soma de dois determinantes, que se obtêm daquele substituindo os elementos dessa linha (coluna) sucessivamente pelas primeiras e pelas segundas parcelas dessa somas, mantendo inalteradas as restantes linhas (colunas).

Demonstração:

Pela definição (1) |A|= ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka iji Ka njn (m parcelas), então Se a iji = b ij(1)i + b ij(2)i + K + b ij(m) i |A|= ∑ ± a 1j1 a 2 j2 K(b ij(1)i + b ij(2)i + K + b ij(m) )Ka njn i Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição obtemos

∑±a + ∑ ± a

|A | =

1 j1

a 2 j 2 K b ij(1i ) K a nj n +

1 j1

a 2 j 2 K b (ij2i ) K a nj n +

1 j1

a 2 j 2 K b (ijmi ) K a nj n

+K +

∑±a

_____________________________________________________________________________________________

ou seja, |A|=|A1|+|A2|+ ... + |Am| Paulo Alves, 2006/07

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36

Determinantes

Exemplo:

•

1 + 1 2 + 2 4 + (− 1) 1 2 4 1 2 −1 −1 0 − 2 = 1 0 − 2 + − 1 0 − 2 = − 10 + 0 = −10 1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1

Se uma matriz B for obtida de uma matriz A adicionando a cada elemento da r-ésima linha (coluna) da matriz A, o elemento correspondente da s-ésima linha (coluna) da matriz A, r ≠ s, multiplicado por k, então |B| = |A|.

Demonstração:

Temos bij = aij para i ≠ r e brj = arj + k*asj e r ≠ j, por exemplo, para r < s, por (1) vem B = ∑ ± b1j1 b 2 j 2 Kb rj r Kb nj n =

= ∑ ± a 1j1 a 2 j 2 K(a rj r + k ⋅ a sj r )Ka sjs Ka nj n

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição B = ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka rjr Ka sjs Ka njn + ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Kk ⋅ a sjr Ka sjs Ka njn

= | A | + k ⋅ ∑ ± a 1j1 a 2 j2 Ka sjr Ka sjs Ka njn

mas,

∑±a

j1 1

a j 2 2 K a sj r K a sj s K a jn n =

a 11

a 12

L

a 1n

a 21

a 22

L

a 2n

M

M

O

M

a ss11 M

a s2 M

L O

a sn M

a ss11

a s2

L

a sn

M

M

O

M

a n1 n1

a n2

L

a nn

=

0

Logo, |B| = |A|+ 0 = |A|.

Exemplo:

1 2 4 − 1 0 − 2 = −10 1 2 −1

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Determinantes

37

Somando à 2ª linha a 1ª multiplicada por 1, obtemos o determinante 1 2 0 2

4 2 = −2 + 0 + 4 − (8 + 4 + 0) = −10

1 2 −1

•

O determinante de uma matriz triangular superior ou triangular inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Demonstração:

Recordando a definição de determinante de uma matriz |A|=

∑± a

1j1

a 2 j2 Ka iji Ka njn

onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 … jn, do conjunto S = {1, 2, ..., n} e o sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1j2

... jn seja par ou ímpar, respectivamente. Com efeito, se para um dos lados da diagonal principal todos os elementos da matriz são nulos, então todos os termos diferentes do termo principal têm pelo menos um factor nulo, logo, |A|= a 11a 22 Ka nn

Exemplo:

1 2 4 − 1 0 − 2 = −10 1

2

−1

1 2 4 −1 0 − 2 1

2

1 2 0 2

4 = 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ (−5) = −10 L 2 = L 2 + L1 L 3 = L 3 − L1 −1 0 0 −5

Inversa de uma matriz utilizando determinantes Para o cálculo da inversa de uma matriz utilizando determinantes necessitamos de aprender mais uma definição, a de matriz adjunta, que vamos representar por Adj(A).

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38

Determinantes

Matriz Adjunta

Matriz adjunta de uma matriz quadrada, A, é a matriz que se obtém da matriz A da seguinte forma: a) Calculam-se os complementos algébricos de todos os elementos de A; b) Constrói-se, a partir de A, a matriz Adj(A), substituindo cada elemento de A pelo seu complemento algébrico. Inversa da matriz A A −1 =

Exemplo:

1 2 A=   3 4

1 1 (Adj( A)) T = Adj( A T ) | A| | A|

1 2

A =

3 4

= 4 − 6 = −2

 4 − 3 Adj( A) =   − 2 1 

A11 = (-1)1+1|4|=4 A12 = (-1)1+2|3|=-3 A21 = (-1)2+1|2|=-2 A22 = (-1)2+2|1|=1 T

1  1  4 − 3 1  4 − 2  − 2 A = ⋅ = ⋅ =    − 2 − 2 1  − 2 − 3 1  3/ 2 − 1/ 2 −1

Valores próprios e vectores próprios Definição: Dada uma matriz quadrada A, diz-se que um número real λ é um valor próprio de A se existir uma matriz coluna, não nula, X, com

elementos pertencentes a ℜ , tal que AX = λX

Qualquer matriz coluna, não nula, X, que verifique a relação anterior, é chamada um vector próprio de A associado a λ . Seja A = [ a ij ] uma matriz quadrada de ordem n, então _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Determinantes

39

 a11 a 21 AX = λX ⇔   M   a n1

L a1n   x1  L a 2n   x 2  =λ O M  M    L a nn   x n 

a12 a 22 M an2

 x1  x   2 M    xn 

Aplicando multiplicação de matrizes, temos a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = λx1 (a11 − λ ) x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 a x + a x + ... + a x = λx a x + (a − λ ) x + ... + a x = 0  21 1  21 1 22 2 2n n 2 22 2 2n n ⇔  ................................................ ................................................ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = λx n a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + (a nn − λ ) x n = 0

Que é equivalente, na forma matricial, a a 12 a 11 − λ  a a 22 − λ  21  M M  a n2  a n1

a 1n  a 2 n  L O M   L a nn − λ 

L

 x 1  0   x  0   2 =    M  M       x n  0 

ou seja, ( A − λI ) X = 0 , sendo 0 a matriz coluna nula de tipo n ×1 . Definição:

Seja A uma matriz quadrada de tipo n × n . O determinante a 11 − λ f (λ) = A − λI =

a 21

a 12

L

a 22 − λ L

M

M

a n1

a n2

O

a 1n a 2n M

L a nn − λ

é designado por polinómio característico de A. A equação f (λ) = A − λI = 0 é designada por equação característica de A. Teorema:

Os valores próprios da matriz A são as raízes reais do polinómio característico de A.

Depois de obter todos os valores próprios de A, resolvendo a equação A − λI = 0 , substituindo na igualdade (A − λI)X = 0 , λ por cada um dos valores próprios e _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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40

Determinantes

resolvendo o sistema daí resultante, obtém-se o conjunto dos vectores próprios de A associados a cada valor próprio.

Seja, A = 5 3 para encontrar os valores próprios de A, resolvemos a  1 3   equação |A - λI|=0

Exemplo:

5−λ

3

1

3− λ

= 0 ⇔ λ 2 − 8λ + 12 = 0 ⇔ λ = 2 ∨ λ = 6

Temos então como valores próprios para a matriz A, λ1 = 2 e λ2 = 6. Vamos então calcular os vectores próprios associados a cada um deles. Para λ1 = 2, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo 3   x1  0 3x1 + 3x 2 = 0  x = − x2 3 3  x1  0 5 − λ1 ⇔ 1 = ⇔ = ⇔       1  3 − λ1   x 2  0 1 1  x 2  0  x1 + x 2 = 0  0=0  Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ1, que vamos designar por Vλ , é 1  − x2   Vλ1 =   : x 2 ≠ 0    x2  Para λ2 = 6, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo 3   x1  0 − x1 + 3 x 2 = 0  x = 3x 2 5 − λ 2  − 1 3   x1  0 ⇔ 1 = ⇔ = ⇔       1  3 − λ 2   x 2   0  x1 − 3 x2 = 0  0=0   1 − 3  x 2   0  Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ2, que vamos designar por Vλ2 , é

 3x 2   Vλ2 =   : x 2 ≠ 0    x2 

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Determinantes

41

Exercícios 1. Encontre o número de inversões para cada uma das seguintes permutações de S = {1,2,3,4,5}. a) 52134 b) 45213 2.

c) 42135

d) 13542

e) 35241

f) 12345

Determine se cada uma das seguintes permutações de S = {1,2,3,4} é par ou ímpar. a) 4213

b) 1243

c) 1234

d) 3214

e) 1423

3.

Verifique para o conjunto S = {1, 2, 3} o teorema de Bezout.

4.

Dadas as seguintes matrizes sobre R: 3 1 2  C = 4 − 2 3  2 5 − 1

a  b − a B=  b + a   a

 3 − 2 A=   4 5 

f) 2431

a) Calcule os determinantes das matrizes A e C utilizando a definição. b) Calcule os determinantes das matrizes A, B e C utilizando as regras práticas.

5.

Determine os valores de k, para os quais:

6.

Calcule os determinantes:

1 8 a) 7 4

1 0 2

b) 3 1 4 2 5 7

k k = 0. 4 2k

1 0

4

c) 2 2 −1 2 1 5

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42

Determinantes

7.

Aplicando propriedades e os resultados do exercício anterior, calcule os

determinantes: 1

2

a) 0 2 1 4 −1 5 1

0

2

e) 3 3 4 2 15 7

8.

0 1

1 20 30

−2 −2 −2

b) − 1 2 2 5 1 2

c) 0 0 0 7 56 32

d) − 6 − 2 − 6 3 2 3

2

4

1

0

1 −1 3

2

f) 6 6 8 2 15 7

1 0 Calcule o valor do determinante 2 0 2

g) 0 2

1 3

0 1 2 1 1

2 4 2 0 0 −1 3 0 0 5

0 2 0 0 0

0 6

a) Aplicando o Teorema de Laplace à 1ª linha; b) Aplicando o Teorema de Laplace à 3ª linha; c) Aplicando propriedades. 9.

Sejam i,j ∈ N e A=[aij] e B=[bij] uma matriz nxn. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) |A| ≥ 0 b) |A|= 0 se e só se A = 0 c) |-A|= -|A| d) |AB|=|BA|

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Determinantes

43

10. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, prove que: a+b b+c b) c+d d+a

1 2 3 4 3 5 9 10 a) =0 101 202 305 408 0 0 1 2

c+d d+a a+b b+c

d+a a+b =0 b+c c+d

a b c d a a+b a+b+c a+b+c+d d) = a4 a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d

a −b d−e g−h

c) b − c e − f c−a f −d

b+c c+d d+a a+b

h − i =0 i−g

11. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, calcule: a a a) a a

a b b b

a b c c

a b c d

a+b

d)

1 bc bc 2 + b 2 c

b) 1 ca ca + c a 1 ab ab 2 + a 2 b 2

−1

0

a 2a + b a a + 3b − 1 − 2a − b 2b 2

1

2

2a

x+z

y x

c) x + y y x 2x x x

3a − b

a

e) b − a 2b − 2a −a 3a − b 5a − 3b 2a − b

3

f) 2α + 1 α + 2 3α + 1 , para α ≠ 0 e β ≠ 0 (sol: -9) 2 + β 1 + 2β β 12. Calcule:

1 1 a) 1 ... 1

1 2 1 ... 1

1 1 3 ... 1

... ... ... ... ...

1 1 1 ... n

1 1 1 2 3 2 3 3 5 b) ... ... ... n −1 n −1 n −1 n n n

... 1 1 ... 2 2 ... 3 3 ... ... ... ... 2n − 3 n − 1 ... n 2n − 1

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44

Determinantes

1 1 1 −1 0 1 c) − 1 − 1 0 ... ... ... −1 −1 −1

... ... ... ... ...

1 2 2 d) ... 2 2

1 1 1 ... 0

2 2 2 ... 2 2

2 2 3 ... 2 2

... 2 ... 2 ... 2 ... ... ... n −1 ... 2

2 2 2 ... 2 n

1 2 3 ... n 2 6 6 ... 2n e) 3 6 12 ... 3n ... ... ... ... ... 2 n 2n 3n ... n + n

1 1 1 1 1+ a 1 h) 1 1 1+ b ... ... ... 1 1 1

... 1 ... 1 ... 1 ... ... ... 1 + n

1 1 1 3 3−k 3 i) 4 4 4−k ... ... ... n n n

1 + x a 12 x 1 j) x 1 ... ... x 1

... a 1n ... 0 ... 0 ... ... ... 1

... 1 ... 3 ... 4 ... ... ... n − k

1− x 2 2 2 2 1− x 2 2 1− x k) ... ... ... 2 2 2 2 2 2

... 2 2 ... 2 2 ... 2 2 ... ... ... 2 ... 1 − x ... 2 1− x

a 13 0 1 ... 1

1+ x 2 3 1 2+x 3 i) 1 2 3+ x ... ... ... 1 2 3

... n ... n ... n ... ... ... n + x

13. Determine as raízes das equações: 1+ x 2 3 4 1 2+x 3 4 a) =0 1 2 3+ x 4 1 2 3 4+x a a a a−x b b b−x b d) =0 c c−x c c d−x d d d

2 0 x

b) 0 x 2 = 0 x 2 0

1

x 2

c) x x 2 x3

1 2 =0 4

x a b c x x d e e) =0 x x x f x x x x

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Determinantes

45

1

1

− x − 2 − 13x − 6 7 x −10

1

g) 3x − 5 3x + 2

a +1 b +1 = 0 f) x + 1 2 2 x + x a + a b2 + b

− 8 − 6x

4x − 6 = 0

14x + 19

11 − 6 x

b c −x a a −x c b h) =0 b c −x a c b a −x

14. Mostre que a b a) c d

b c d a

b2 + c2 b2 b) c2 x+z k + x2 c) yzw 1

c d a b

d a = 0 se a+b+c+d = 0 b c

a2 a 2 + c2

a2 b2

c2

a 2 + b2

y+z k + y2 xzw 1

2z k + z2 xyw 1

0 = 2 b2 c2

− c2 a2

− b2 0

0

a2

w+z 1 x 2 k+w 1 y = xyz 1 z 1 1 w

x2

x3

y2

y3

z2

z3

w2

w3

15. Das matrizes que se seguem , inverta as que forem invertíveis:

1 1 A=   0 1

 2 6 B=    3 9

2 2 0  C= 1 − 1 0  0 0 − 1

 1 −1 1  D= −1 1 0  2 1 2

16. Determine a e b de forma a que as matrizes A e B sejam invertíveis:

1 1 1 A= 1 a a  0 1 2

 1 1 −1 1 2 b B=   1 −1 3  −1 2 −1

0 1  b  b

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46

Determinantes

2 1 17. Sendo A=  0  2

0 2 1 1 1 −1 2 −1 1   1 2 −1

a) Calcule A-1 utilizando o método da adjunta; b) Represente uma matriz de 5ª ordem cujo determinante seja igual ao det(A). Sejam A=[aij]nxn e B=[bij]nxn matrizes regulares:

18.

a) Sabendo que det(AB) = det(A)*det(B) mostre que det(A)*det(A-1) = 1 b) Mostre que det(A+B) ≠ det(A) + det(B) c) Mostre que (A*B)-1 = B-1 * A-1

1+ i 1+ i 1+ i 19. Sabendo que 2 3 3 = −1 − 2i e utilizando somente as propriedades, i 1+ i 2 + i x + xi 2 i + 1 resolva a equação x + xi 3 i + 2 = 2 + 2i , apresentando o resultado na forma x + xi 3 i mais simples.

20. Sabendo que

x

y

z

x2 1

y2 2

z 2 = 2 e utilizando somente propriedades, calcule 3

x

2x

x +1

y+2

z+3 .

x +x

y +y

z2 + z

2

2

3x

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Determinantes

47

21. Determine o valor do determinante da matriz A, utilizando somente propriedades

  1+ i  A =  − i −1  3 2cis π  4

1− i 2i +4− −4

1 i − −  3 3 1 i  +  3 3  0  

22. Determine os valores e vectores próprios das matrizes

1 1  6 3 a)    b)  0 2  −2 1

c)

14 9   6 11  

d)

 −2 1 2     −5 3 3  −3 1 3

e)

 5 −6 −8     12 −13 −16  −4 4 5 

(Obs: Em d) e e) os valores próprios são inteiros.)

Soluções 1.

a) 5

2.

a) +

b) -

4.

a) 23;

79

5.

k=0 ∨ k=2

6.

a) -52

7.

a) 3

b) -3

c) 0

e) 39

f) 78

g) 0

8.

-66

9.

a) Falsa

b) 7

c) 4 c) +

d) 4 d) -

b2-2a2;

b) 23;

b) 13

f) +

c) 3

b) Falsa

d) 0

c) Falsa

d) Verdadeira

b) 0 c) x(y-x)(z-y)

e) b(a+b)(a-b)

f) -9

a) (n-1)!

e) +

f) 0

79

11. a) a(b-a)(c-b)(d-c)

12.

e) 7

b) (n-1)!

c) 1

d) (a+b)(2a+b)(a+2b)

d) -2(n-2)!

e) n!

f) (n+x)xn-1

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48

Determinantes

g) (x-1)(x-2) ... (x+1-n)

i) (-k)n-2

h) abc ... n

j) 1+x(1-a12)

h) (2n-1-x)(-1-x)n-1 13. a) (10+x)x3

-10; 0 (raíz tripla)

c) -x(2-x)(x2-2)

0; 2; ±

e) x(x-a)(x-d)(x-f)

0; d; f; a

g) (5x-5)(x-1)(10x+96)

2

−

b) -(x+2)(x2-2x+4)

16. a ≠ 1

b≠

3i

d) -x3(a+b+c+d-x)

a+b+c+d; 0 (raíz tripla)

f) (a-x)(b-x)(a-b)

a; b sse b≠a

48 ; 1(raíz dupla) 5

h) (-x+a+b+c)(-x+a-b-c)(-x-a+b-c)(x+a+b-c) 1 2 1  2 0 

1 − 1 15.   ; IMP; 0 1 

-2; 1 ±

 1  −1 1  ;  0 − 1  0

a+b+c; a-b-c; -a+b-c; -a-b+c  2 − 3  2 −  3  1 

−1 0 1

1 3 1  3 0 

−11 ± 281 10

9  − 3 −11 1 1 4 0 − 3 17. a)  3 10 − 1 − 8   2 0 − 2 1

1 0  b)   0 A 

19. -6/5+2/5i 20. 2x 21. -2+2i 22. a) λ=1 [x 0]T; λ=2 [x x]T

b) λ=4 [x -2x/3]T; λ=3 [x -x]T

c) λ=20 [x 2x/3]T; λ=5 [x -x]T

d) λ=1 [x x x]T; λ=2 [x 2x x]T

e) λ=1 [x 2x -x]T; λ=-1 [x x 0]T; λ=-3 [-2z -4z z]T

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Capítulo 3

Sistemas de Equações Lineares Objectivo Neste capítulo vamos introduzir um novo processo de resolver sistemas de equações lineares, utilizando os conhecimentos adquiridos sobre matrizes e a sua característica. Veremos como discutir um sistema de equações lineares, em função de um, ou mais, parâmetros. Finalmente, iremos ver dois casos particulares de sistemas, sistemas de Cramer, resolvidos utilizando determinantes, e sistemas homogéneos, resolvidos utilizando a matriz inversa.

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Sistemas de Equações Lineares

Introdução Vamos considerar um sistema de equações lineares, ou seja, a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 22 2 2n n 2  21 1 ................................................  ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi ................................................  a m1 x1 + a m 2 x2 + ... + a mn xn = bm

onde aij , i = 1,...,m , j = 1,...,n e bi , i = 1,...,m são escalares conhecidos pertencentes a ℜ e x j , j = 1,...,n são escalares a determinar, também pertencentes a ℜ . Teremos

então um sistema de m equações lineares a n incógnitas, x j , j = 1,...,n , com coeficientes aij , i = 1,...,m , j = 1,...,n e com termos independentes bi , i = 1,...,m . Definindo as matrizes:  a11 a  21  M A=  ai1  M  a m1

a12 a 22 M ai 2 M am2

L a1n  L a 2 n  O M   L ain  O M   L a mn 

 x1  x   2 M x=   xi  M    x n 

 b1  b   2 M  b=   bi  M    bm 

onde A é designada como matriz do sistema ou matriz dos coeficientes, x como matriz das incógnitas e b como matriz dos termos independentes, este sistema pode ser representado sob forma matricial como Ax = b . Vamos, além disso, definir uma nova matriz A , que designaremos por matriz completa do sistema, como

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 a11 a  21  M A=  ai1  M  a m1

a12

L a1n

a 22

L a2n

M ai 2

O L

M ain

M

O

M

a m 2 L a mn

b1  b2  M   bi  M   bm 

Chamamos solução do sistema a qualquer ponto (c1 , c2 ,..., c n ) ∈ ℜ n tal que, fazendo ( x1 , x2 ,..., xn ) = (c1 , c2 ,..., cn ) as m equações do sistema se verificam. Se o sistema não tiver soluções diz-se impossível, e no caso de ter, pelo menos, uma solução diz-se possível. Se existir apenas uma solução o sistema diz-se determinado e se existir mais do que uma solução indeterminado.

Resolução de sistemas Resolver um sistema é determinar todas as suas soluções ou concluir que estas não existem. Dois sistemas dizem-se equivalentes se e só se têm as mesmas soluções. A equivalência entre sistemas permite resolver um sistema, resolvendo outro, equivalente ao sistema dado. Os métodos de resolução de sistemas consistem precisamente em passar do sistema inicial para outros, em passagens sucessivas, todos equivalentes entre si, de modo que o último seja um sistema muito simples, do qual seja imediato determinar as suas soluções, que serão, também, as do problema inicial. Vamos ver um método de resolução de sistemas de equações lineares: o método da condensação, baseado na condensação da matriz completa do sistema.

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Método da condensação Seja o sistema definido anteriormente, Ax = b , de m equações a n incógnitas. Consideremos a matriz completa do sistema A , de tipo m × (n +1) , e vamos proceder à sua condensação utilizando operações elementares sobre linhas e colunas até obtermos uma matriz que contenha uma submatriz triangular inferior, de ordem r, de elementos diagonais não nulos. a '11  0   M   0  0   M  0 

a'12 a' 22

L a '1r L a' 2r M

a '1,r +1 L a '1n a ' 2,r +1 L a ' 2 n

M

O

M

O

M

0

L a ' rr

0

L

0

0

L

0

M

O

M

M

O

M

0

L

0

0

L

0

a ' r ,r +1 L a ' rn

b'1  b' 2  M   b' r  b' r +1   M  b' m 

Note-se que, durante a condensação da matriz A , nunca podemos realizar nenhuma operação elementar sobre a coluna dos termos independentes, nem todas as operações elementares sobre linhas e colunas. Vejamos a que corresponde cada operação elementar na equivalência de sistemas:

Operações elementares sobre linhas: I)

corresponde à troca de ordem de duas equações;

II) corresponde à multiplicação de ambos os membros de uma equação por um escalar qualquer; III) corresponde à soma de uma equação com o produto de outra equação por um escalar qualquer.

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Operações elementares sobre colunas: I)

corresponde à troca dos coeficientes de duas incógnitas, ou seja, à troca da ordem das incógnitas;

II) corresponde à multiplicação dos coeficientes de uma incógnita por um escalar qualquer; III) corresponde à soma dos coeficientes de uma incógnita com o produto dos coeficientes de outra incógnita por um escalar qualquer. Então, poderemos realizar todas as operações elementares sobre linhas, pois para todas elas se obtém uma matriz que representa um sistema equivalente ao anterior, mas apenas operações elementares de tipo I sobre colunas, o que corresponde à troca de ordem das incógnitas, devendo por isso ser anotada e tida em conta no final da resolução do problema. Obtivemos assim uma nova matriz que representa um sistema equivalente ao primeiro, como vimos a partir da correspondência entre operações elementares sobre linhas e colunas de uma matriz e as operações elementares possíveis de realizar sobre um sistema de modo a obter um sistema equivalente. É evidente, a partir da observação da nova matriz, que o novo sistema só será possível se as últimas r equações forem satisfeitas, ou seja, se e só se b'i = 0 ,

i = r + 1,..., m , o que nos leva ao seguinte teorema: Teorema: É condição necessária e suficiente para que uma sistema de equações lineares seja possível que a matriz dos coeficientes e a matriz completa tenham a mesma característica, isto é,

car( A) = car( A )

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Temos então, como consequência imediata do teorema, que se car( A) ≠ car( A) o sistema é impossível.

 x1 − x 2 = 1 Exemplo: Consideremos o sistema − x1 + 2x 2 + 3x3 = −1  x + 3x = 2 3  1  1 −1 0 1   1 − 1 0 1 1 − 1 0 1       A = − 1 2 3 − 1 ~ 0 1 3 0 ~ 0 1 3 0 L2 = L2 + L1 L3 = L3 − L2  1 0 0 0 1 0 3 2  L3 = L3 − L1 0 1 3 1 Temos, então, car(A) = 2 ≠ car( A ) = 3, logo o sistema é impossível (SI). No caso de o sistema ser possível, obtemos o sistema equivalente ao primeiro: a'11 x1 + a'12 x2 + ... + a'1r x r + a'1,r+1 x r+1 + ... + a'1n x n = b'1  a' 22 x2 + ... + a' 2r x r + a' 2,r+1 x r+1 + ... + a' 2n x n = b' 2   ....................................................................   a' rr x r + a' r ,r +1 xr+1 + ... + a' rn x n = b' r

Este novo sistema contém apenas r equações, a que chamaremos equações principais, designando as restantes por equações não principais ou redundantes. As incógnitas correspondentes à matriz triangular superior são designadas por incógnitas principais e as restantes por incógnitas não principais. Teremos, assim, r incógnitas principais e n-r incógnitas não principais. Note-se que, se r=n, não existem incógnitas não principais e, portanto, o sistema será reduzido a: a'11 x1 + a'12 x 2 + ... + a'1n xn = b'1  a' 22 x 2 + ... + a' 2n xn = b' 2   .............................   a' nn x n = b' n _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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sendo, portanto, um sistema possível e determinado, bastando apenas para encontrar a sua solução realizar a substituição sucessiva dos valores das incógnitas

xn , xn−1 ,..., x2 , x1 .

Exemplo: Consideremos o sistema

0 − 1 − 1 1 0  1 0 2 ~  2 1 1  L2 = L2 − 2 L1 0  L3 = L3 + L1  3 0 2  L4 = L4 − 2 L1 0  1 0 − 1 − 1 0 1 2 4  ~  L4 = L4 − L3 0 0 − 4 − 8   0 0 0 0 1 2 A= − 1  2

 x1 − x3 = −1 2x + x = 2  1 2  − x + 2x 2 + x3 = 1  1 2x1 + 3x2 = 2 0 − 1 − 1 1  0 1 2 4  ~ 2 0 0  L3 = L3 − 2 L2 0  L4 = L4 −3 L2  3 2 4 0

− 1 4 2 ~ 0 − 4 − 8  0 − 4 − 8

0 1

−1

Temos, então, car(A) = car( A ) = r = 3, n = 3, n – r = 0, logo o sistema é possível e determinado (SPD). Além disso, contém uma equação não principal, que é, por coincidência, a última. Passemos ao sistema condensado equivalente, e a partir deste à solução do sistema:

 x1 − x3 = −1   x 2 + 2x3 = 4 ⇔ − 4x = −8 3 

 x1 − 2 = −1   x2 + 2 × 2 = 4 ⇔ x = 2  3

 x1 = 1   x2 = 0 x = 2  3

S = (1,0,2)

Se r
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Neste caso, o sistema terá várias soluções, dizendo-se, portanto, indeterminado. O número de incógnitas não determinadas é igual ao de incógnitas não principais, n-r, designando-se este número por grau de indeterminação do sistema, e o sistema diz-se possível e n-r vezes indeterminado. As soluções do sistema inicial são encontradas do mesmo modo que no caso anterior, ou seja, por substituição sucessiva dos valores das incógnitas xr , xr −1 ,..., x2 , x1 .

Exemplo: Consideremos o sistema

 x1 + 2x 2 − x3 + 3x4 = 2 2x − x + 3x − x = 1 2 3 4  1  x1 − 3x 2 + 4x3 − 4x4 = −1  x + 7x − 6x + 10x = 5 2 3 4  1 4x  1 − 2x 2 + 6x3 − 2x 4 = 2

−1 3 2 2 2 1 1 2 −1 3  0 − 5 5 − 7 − 3 2 −1 3 −1 1      A = 1 − 3 4 − 4 −1 ~ 0 − 5 5 − 7 − 3 ~ =L 2 - 2L1    LL32 =L  3 - L1 −5 7 3 1 7 − 6 10 5  L4 =L 4 -L1 0 5 4 − 2 6 − 2 2  L5 =L5 -4L1 0 −10 10 −14 − 6 2 1 2 −1 3 0 − 5 5 − 7 − 3   0 0 0 ~ 0 0 L3 =L3 −L 2  L4 =L 4 +L 2  0 0 0 0 L5 =L5 - 2L 2  0 0 0 0 0 0 

Temos então car(A) = car( A ) = r = 2, n = 4, n – r = 2, logo o sistema é possível e duplamente indeterminado (SP2D). Além disso, contém três equações não principais, por coincidência as três últimas e duas incógnitas não principais, x3 e x4. Obtemos o sistema condensado equivalente:

x 1 + 2 x 2 = 2 + x 3 − 3x 4 x 1 + 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 2 ⇔  ⇔   − 5 x 2 = − 3 − 5x 3 + 7 x 4  − 5x 2 + 5 x 3 − 7 x 4 = − 3 x 1 + 2 (3 / 5 + x 3 − 7 / 5x 4 ) = 2 + x 3 − 3x 4  x 1 = 4 / 5 − x 3 − 1 / 5x 4 ⇔ ⇔  x 2 = 3 / 5 + x 3 − 7 / 5x 4 x 2 = 3 / 5 + x 3 − 7 / 5x 4 7 3 1 4  S =  − x3 − x4 , + x3 − x4 , x3 , x4  5 5 5 5 

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Discussão de sistemas Por vezes surgem casos em que não necessitamos de resolver um sistema de equações lineares, mas apenas de o classificar. Normalmente, nesse tipo de sistemas os coeficientes das incógnitas dependem de um ou mais parâmetros e o que se pretende é simplesmente determinar se o sistema é impossível, possível e determinado ou possível e indeterminado, e, neste último caso, qual o grau de indeterminação, em função dos ditos parâmetros, sem nunca chegar a resolver realmente o sistema. Assim, a matriz obtida por condensação a partir da matriz completa, não necessita de representar um sistema equivalente ao inicial, podendo, portanto, realizar-se todas as operações elementares sobre colunas, excluindo, unicamente, a última, sobre a qual continua a não se poder realizar qualquer operação. Exemplo: Consideremos o sistema

 x1 + x 2 − ax3 = 3a − 1  (a − 2) x1 − x 2 − 4x3 = 2a + 1  x + ax + (a + 3)x = −3a 2 3  1

− a 3a −1 −a 1 1 3a −1  1 1    ~  2 2 A = a − 2 −1 − 4 2a +1 2 =L2 + ( − a +2) L1 0 1 − a a − 2a − 4 − 3a + 9a −1 ~ L =L −L  1 0 a −1 a a + 3 − 3a  L3 3 1 2a + 3 − 6a + 1  −a 1 3a −1 1   2 2 ~ 0 1 − a a − 2a − 4 − 3a + 9a −1 L3 = L3 +L2 0 − 3a 2 + 3a  0 a 2 −1 Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam quando 1− a = 0 ⇔ a = 1 Logo, teremos a ≠ 1 ∧ a ≠ −1

a =1

a 2 −1 = 0 ⇔ a = ±1 car( A) = car( A) = 3 n=3

1 1 − 1 2  1 1 − 1 2  0 0 − 5 5 ~  0 − 5 0 5   C2 ↔C3   0 0  0 0 0 0 0 0

sistema possível e determinado (SPD)

car( A) = car( A) = 2 n=3

sistema possível e simplesmente indeterminado(SP1D) _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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1 1 1 − 4  a = −1  0 2 − 1 − 13  0 0 0 − 6 

car( A) = 2 car( A) = 3 sistema impossível (SI)

Exemplo: Consideremos o sistema

 − 4x 1 − 2x 2 + bx 3 = −1   ax 1 + x 2 + 3x 3 = a  4x + 2x + bx = b 2 3  1

−2 −1  b − 4  − 4 − 2 b − 1  − 4 − 2 b − 1      A= a 1 3 a  ~  4a 4 12 4a  ~ 0 4 − 2a 12 + ab 3a   L2 = 4L2 L 2 =L2 +aL1  4  4 2 b b  2 b b  L 3 =L3 +L1  0 0 2b b − 1 Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam quando 4 − 2a = 0 ⇔ a = 2

2b = 0 ⇔ b = 0

Logo, teremos

car( A) = car( A) = 3 SPD n=3 b −1  b −1  −2 − 4 − 2 − 4    a=2 0 12 + 2b 6  ~  0 12 + 2b 0 6  ~ 0 C2 ↔C3  0  0 b − 1 0 2b 2b 0 b − 1 −1  −1  − 4 − 2 b − 4 − 2 b    ~ 0 12 0 7 − b  ~ 0 12 0 7 − b  L2 = L2 − L3  L3 = L3 −bL2  L3 =6 L3  0 12b 0 6b − 6 0 0 b 2 − b − 6  0 

a ≠ 2 ∧ b ≠0

car( A) A) = 2

Vamos ver, para a=2, quando se anula o último elemento da coluna dos termos independentes b 2 − b − 6 = 0 ⇔ b = −2 ∨ b = 3 a = 2 ∧ (b = −2 ∨ b = 3) a = 2 ∧ b ≠ −2 ∧ b ≠ 3

car( A) = car( A) = 2 n=3 car( A) = 2 car( A) = 3

SP1I SI

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Sistemas de Cramer Vamos agora ver um caso particular dos sistemas possíveis e determinados, que pode ocorrer quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, quando m = n . Definição:

Um sistema de equações lineares diz-se um sistema de Cramer se

forem satifeitas as condições seguintes: a) O número de incógnitas é igual ao número de equações; b) O determinante da matriz do sistema é não nulo. Consideremos então o sistema: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ................................................ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn xn = bn

ou, na forma matricial, Ax = b , com  a11 a12 a a22 A =  21  M M   an1 an 2

L a1n   x1   b1   b    x2  L a2 n   , x= e b =  2. M M O M       L ann   xn  bn 

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O número de equações e de incógnitas é o mesmo, e, portanto, se A ≠ 0 então estamos perante um sistema de Cramer, cuja solução pode ser obtida utilizando as chamadas fórmulas de Cramer: O valor de cada incógnita, xi , i = 1,..., n , pode ser obtido a partir do quociente

xi =

∆i , i = 1,..., n ∆

onde o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes, ∆ = A , e o numerador, ∆ i , é o determinante da matriz que se obtém da matriz dos coeficientes, A, substituindo a coluna de ordem i, isto é, a coluna dos coeficientes da incógnita xi , pela coluna dos termos independentes, b.

Exemplo: Seja o sistema de equações lineares

 x1 + x2 − x3 = −1  2x1 − x2 + 2x3 = 3  3x + x + x = 4 2 3  1

1 1 − 1 então A =  2 − 1 2  e |A| = -4. Calculemos os determinantes ∆i, i = 1,2,3.    3 1 1 

−1 1 −1 ∆1 = 3 − 1 2 = 1 4 1 1 x1 =

1 −1 −1 ∆ 2 = 2 3 2 = −8 3 4 1

1 1 =− 4 −4

x2 =

−8 =2 −4

1 1 1 ∆ 3 = 2 − 1 3 = − 11 3 1 4 − 11 11 x3 = = 4 −4

Vejamos outro método de resolução de um sistema de Cramer, Ax = b , utilizando a inversa da matriz do sistema, A −1 , que existe sempre, pois A ≠ 0 . Multiplicando à esquerda ambos os membros de Ax = b por A −1 , tem-se A −1 Ax = A −1b , e, como

A −1 A = I , teremos Ix = A −1b , ou seja, x = A −1b . _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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 1 1 − 1 Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, temos A =  2 − 1 2     3 1 1  1/ 2 − 1 / 4   3/ 4  Logo A-1 = 1  , e portanto, x = A-1b = −1  −1  − 5 / 4 − 1/ 2 3 / 4 

 − 1/ 4  2 .    11 / 4 

Sistemas homogéneos Definição: Um sistema de m equações lineares a n incógnitas diz-se um sistema homogéneo se todos os termos independentes das equações do sistema forem nulos, ou seja, se tivermos a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 a x + a x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  ................................................ a m1 x1 + a m 2 x2 + ... + a mn x n = 0

ou, na forma matricial, Ax = 0 , com 0 a matriz coluna nula com m elementos. Este sistema é sempre possível, pois admite, pelo menos a solução nula, x j = 0 ,

j = 1,...,n . Vejamos em que condições ele admite soluções não nulas. Teorema: Um sistema homogéneo, Ax = 0 , admite soluções não nulas se e só se

car( A) = r < n . Neste caso, o sistema será indeterminado, com grau de indeterminação n-r. Do teorema anterior, conclui-se que o sistema tem soluções não nulas se e só se |A|= 0, ou seja, se a matriz do sistema, A, for singular. No caso de |A|≠ 0, ou seja, se a matriz A for regular, o sistema admite apenas a solução nula, sendo, portanto, possível e determinado. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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 x1 + 2x2 − x3 = 0  Exemplo: 2x1 − x2 + 3x3 = 0  x − 3x + 2x = 0 2 3  1  1 2 − 1 0  1 2 − 1 0 1 2 − 1 0       2 − 1 3 0  L2 = L~2 −2L1 0 − 5 5 0 L3 = L~3 − L2  0 − 5 5 0   0 0 − 2 0 1 − 3 2 0 L3 = L3 − L1 0 − 5 3 0 car( A) = car( A) = 3 n=3

x + 2 y − z = 0  − 5 y + 5 z = 0 ⇔ − 2z = 0 

SPD

x + 2 y = 0 x = 0   − 5 y = 0 ⇔  y = 0 z = 0 z = 0  

S = (0,0,0)

 x1 + 2 x2 − x3 = 0  Exemplo: 2 x1 − x2 + 3x3 = 0  x − 3x + 4 x = 0 2 3  1 1 2 − 1 1 2 − 1 1 2 − 1     2 − 1 3   L2 = L~2 −2 L1 0 − 5 5  L3 = L~3 − L2 0 − 5 5   1 − 3 4  L3 = L3 − L1 0 − 5 5  0  0 0 car( A) = car( A) = 2 n=3

x + 2 y − z = 0 ⇔  − 5 y + 5 z = 0

SP1I

 x + 2 z − z = 0  x = −z ⇔  y = z y = z

S = (−z , z , z )

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Sistemas de Equações Lineares

Exercícios: 1. Dados os seguintes sistemas:

x − 2 y + z + w = 1  a)  x − 2 y + z − w = −1  x − 2 y + z + 5w = 5 

2 x + y = 5 x + z = 4  b)  x + y − z = 1 2 x − z = 2   y + z = 3

2 x − y + z + t = 1  c)  x + 2 y − z + 4t = 2  x + 7 y − 4 z + 4t = 4 

x + y + z + t = 4 2 x − y − z + t = 1  d)  3x + 2t = 5 4 x − 2 y − 2 z + 2t = 3

x − y − z = 1  e) 2x = 1 − x + 2z = 1 

 y − z + w = −1  f)  x − y + z = 0 x + y + 2z − w = 1 

x + y + w = 1  y + 2z + w = 0  g)   x − y − 5 z + 3w = 1 − 3 y − 7 z + w = 2

6 x + 3 y + 3t = −3 2 x + 2 y − 4 z + 3t = 2  h)  3x + y − 2 z + t = 1 − x + z = 0

i) Resolva, quando possível, os sistemas, utilizando o método da condensação e classifique-os; ii) Verifique se algum dos sistemas é de Cramer e, caso afirmativo, resolva-o, utilizando as fórmulas de Cramer. 2. Que valores deverá tomar o parâmetro a para o sistema seguinte seja de Cramer?  x + ay − (a + 1)z = 1  2 x − y + 3z = −1 − x + 3y + 4z = 2 

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3. Faça a discussão dos sistemas:

 x + 2 y + 3z − t = 1 3x + 2 y + z − t = 1  a)  2 x + 3 y + z + at = 1 2 x + 2 y + 2 z − t = a

− 2x + (2a −1) y + (a − 2)z = 1  b) (a − 2)x + (a −1) y + (a − 2) z = a (a −1)x + (2a −1) y + (2a −1)z = 1 

x + y − z = 2 3x + 2 y − z + 4t = −1  c)  3x + 3 y − mz − 2t = p −1 2 x + 2 y − 2 z + t = p

(a + 1)x + (a + 1) y + 2z = 1  d) (a + 1)x + 2 y + (a + 1)z = 2 (2a + 1)x + 3y + (a + 2) z = a 

2x + 2z = 4  e) 2x + ay + 2z = 5  x − ay − az = 3 − b 

 x + 2 y − z + 2t = 3 my + z + 3t = 0  f)  − 2my + (m − 3) z − 6t = 2 p 3my + 3z + 9t = p

4. Determine uma relação entre os parâmetros a, b, c e d, de modo que o sistema  x + y + az = 1  seja: 4 y + bz = 0  x + 2 y + cz = d 

a) Possível e determinado; b) Possível e indeterminado; c)

Impossível.

x − y + z = 4 5. Dado o sistema  x − y − z = 6 a) “O sistema é indeterminado”. Justifique a afirmação. b) Acrescente uma 3ª equação de modo que o sistema seja i)

Possível e determinado;

ii) Impossível; iii) Possível e indeterminado.

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Sistemas de Equações Lineares

Soluções:

1.

1  22 − 7z 2 + 3z c)  , , z,  SP1I 5 7  35

ii) a) (2y-z,y,z,1) SP2I b) (2,1,2) SPD

d) SI e) (1/2,-5/4,3/4) SPD

f) (1-w,0,1+w,w) SP1I

g) SI

h) (-2,11,-2,-8) SPD ii) e),h) 2.

a ≠3

3.

a) a≠1 SI

a=1 SPD

b) m≠3 SPD

4.

m=3 ∧ p=5 SP1I

m=3 ∧ p≠5 SI

c) a≠1 ∧ a≠-2 SPD

a=1 ∨ a=-2 SI

d) a≠0 ∧ a≠1 ∧ a≠3 SPD

a=0 ∨ a=1 SP1I

e) a≠0 ∧ a≠-1 SPD

a=0 SI

f) p≠0 SI m≠1 ∧ p=0 SP1I

m=1 ∧ p=0 SP2I

a) b-4c+4a≠0

b) b=4c-4a ∧ d=1

a=3 SI

a=-1 ∧ b=2 SP1I

a=-1 ∧ b≠2 SI

c) b=4c-4a ∧ d≠1

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Capítulo 4

Geometria Analítica Objectivo Neste capítulo vamos começar por fazer uma breve revisão sobre geometria analítica no espaço, e tentar dar uma perspectiva diferente desta. Irão ser dados novos conceitos, nomeadamente, o produto vectorial, o produto misto e o cálculo da distância entre um ponto e uma recta e entre um ponto e um plano.

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Geometria Analítica

Introdução Comecemos por rever alguns conceitos de geometria no espaço, adquiridos no secundário.

Colineariedade Dois vectores são colineares quando têm a mesma direcção, isto é, quando podem ser representados sobre a mesma recta. Teorema: Se dois vectores não nulos, v1 , v 2 , pertencentes ℜ 3 , são colineares, é possível determinar um e um só número real k, tal que v1 = k v2 , isto é,

k ∈ ℜ, v1 , v 2 ∈ ℜ 3

v1 = k v2

Exemplo: Se, v1 = (1, 2, 3) e v 2 = (2, 4, 6), então v1 e v2 são colineares, isto é, 1 v1 = v 2 2 Complanaridade Três ou mais vectores são complanares quando são representados por segmentos orientados de um mesmo plano.

Teorema: Se três vectores, v1 , v 2 e v3 , são complanares e os dois primeiros são não colineares, então o terceiro é combinação linear dos dois primeiros e esta combinação linear é única. v3 = α v1 + β v 2

α, β ∈ ℜ, v1 , v 2 , v3 ∈ ℜ 3

Exemplo: Se v1 = (1, 2, 3) , v 2 = (3, 2, 5) , v3 = (4 , 4, 8) e v1

e v2

são não

_____________________________________________________________________________________________

colineares, então, v3 = 1 v1 + 1 v 2 . Paulo Alves, 2006/07

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Geometria Analítica

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Teorema: Dados três vectores v1 , v 2 e v3 não complanares, qualquer vector, v , do espaço é combinação linear dos três primeiros e esta combinação linear é única. v = α v1 + β v 2 + λ v3

α, β, λ ∈ ℜ, v1 , v 2 , v3 ∈ ℜ 3

Exercício: Encontre um conjunto de três vectores não complanares.

Referenciais em ℜ 2 O par de vectores v1 , v 2 de ℜ 2 , não colineares, é chamado base do plano, pois a partir deles é possível obter qualquer vector do plano, isto é, um terceiro vector, v , de ℜ 2 , é combinação linear dos dois primeiros e esta combinação linear é única, isto é v = β v1 + α v 2

α, β ∈ ℜ, v1 , v 2 , v ∈ ℜ 2

Os escalares β e α são as coordenadas de v em relação à base { v1 , v 2 } e o vector v representa-se como o par ordenado (β,α). Ao vector β v1 chama-se projecção de v sobre v1 segundo a direcção de v 2 ,

Q

α v2

v2 P

v=Q-P v1

β v1

analogamente o vector α v 2 é a projecção de v sobre v 2 segundo a direcção de v1 . Ao comprimento do vector v , chamamos módulo do vector e representamos por _____________________________________________________________________________________________ | v |. Paulo Alves, 2006/07

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Geometria Analítica

As bases mais utilizadas são as bases ortonormadas. A base { i, j } chama-se base ortonormada se os seus vectores forem unitários (comprimento igual à unidade) e forem perpendiculares, isto é i ⊥ j ∧ | i | = | j |= 1 2 Exemplo: Referencial em ℜ {(1, 0), (0, 1)}

y

(0, 1)

j O

x i

(1, 0)

Referenciais em ℜ 3 O estudo feito para ℜ 2 , pode ser generalizado para ℜ 3 . Dados três vectores v1 , v 2 e v3 não complanares, { v1 , v 2 , v3 } é uma base de ℜ 3 , se qualquer vector, v , do espaço é combinação linear dos três vectores da base, isto é, v = α v1 + β v 2 + λ v3

α, β, λ ∈ ℜ, v1 , v 2 , v3 ∈ ℜ 3

Os escalares α, β e λ são as coordenadas de v em relação à base { v1 , v 2 , v3 } e o vector v representa-se como o terno ordenado (α, β, λ).

_____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Uma base no espaço, ℜ 3 , { i, j, k } chama-se base ortonormada se os seus vectores forem unitários (comprimento igual à unidade) e ortogonais (perpendiculares) dois a dois, isto é i⊥ j ∧

j⊥k

∧ k ⊥ i ∧ |i| = | j | = | k |= 1

y

1º octante

(0, 1, 0)

j (0, 0, 1)

k

O i

x (1, 0, 0)

z

Exemplo: Referencial em ℜ 3 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Produto escalar ou produto interno Dado o triângulo OAB e aplicando a lei dos cosenos1 ao triângulo temos:

B

v2 θ

O

θ − π /2

π−θ

A

v1

| v 2 − v1 | 2 = | v1 | 2 + | v 2 | 2 −2 | v1 | | v 2 |cos θ

(1)

Por outro lado, pelas propriedades dos módulos

Fazendo c = | v | , b = | v1 | e a = | v 2 | , então, c = b - a, e, pelo teorema de Pitágoras e pela definição de coseno e seno, obtemos a lei dos cosenos no triângulo OAB:

1

c = (a + b cos(π − θ ) ) 2

2

2

π   +  b cos(θ − )  = 2  

= (a − b cos θ )2 + (− b sen θ )2 = a 2 − 2ab cos θ + b 2 cos 2 θ + b 2 sen 2 θ =

_____________________________________________________________________________________________ 2 2

= a − 2ab cos θ + b

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Geometria Analítica

(v

2

− v1

)

2

=|v 2 − v 1|2 = |v 1 |2 +|v 2 |2 −2 v 1 v 2

(2)

Donde, de (1) e (2), vem: | v1 | 2 + | v 2 | 2 −2 | v1 | | v 2 | cos θ = | v1 | 2 + | v 2 | 2 −2 v1 v 2

ou seja, v1 v 2 = | v1 | | v 2 | cos θ

ao qual chamamos produto escalar, que representamos por v1 v 2 , v1 ⋅ v 2 ou v1 | v 2 .

Módulo de um vector Dado um vector v = (a, b, c)

v v = | v || v |cos 0 =| v | 2 ⇒| v |= v v

ao qual chamamos módulo de um vector.

Propriedades do produto escalar Para todo v1 = (a, b, c ) , v 2 = (a ' , b' , c') e v3 = (a ' ' , b' ' , c' ') e k ∈ ℜ , é fácil verificar que:

i)

v1 v1 ≥ 0 e v1 v1 =0 se e só se v1 = (0,0,0 )

ii) Anulamento do produto v1 v 2 = 0 ⇒ v1 ⊥ v 2 ∨ v1 = 0 ∨ v 2 = 0

iii) Comutatividade v1 v 2 = v 2 v1 iv) Distributividade

da

multiplicação

em

relação

à

adição

v1 ( v 2 + v3 )= v1 v 2 + v1 v3 _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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v) (k v1 ) v 2 = k( v1 v 2 ) = v1 (k v 2 ) Exercício: A partir da definição de produto escalar demonstre as propriedades anteriores. Expressão cartesiana do produto escalar Fixado um referencial cartesiano ( O, i, j, k ) se u = (a, b, c) e v = (a', b', c') neste referencial temos u= ai + b j+ ck

v = a ' i + b' j + c'k

e

u v = ( a i + b j + c k ) ( a ' i + b ' j + c' k )

(3)

Aplicando a (3) as propriedades do produto escalar obtemos: u v = ( a i + b j + c k ) ( a ' i + b' j + c ' k ) =

= aa ' ii + ab' i j + ac' i k + ba ' ji + bb' j j + bc' j k + ca' k i + cb' k j + cc' k k = = aa ' ii + bb' j j + cc' k k + (ab'+ba ')i j + (ac'+ca')i k + (bc'+cb')k j

(4)

Em particular, se os três vectores da base forem unitários e perpendiculares entre si, o referencial diz-se ortonormado e tem-se ii = j j = k k = 1 ∧ i j = j k = k i = 0

(5)

substituindo (5) em (4) vem u v = aa '+bb'+cc' que é a expressão cartesiana do produto interno num referencial ortonormado ou em coordenadas cartesianas. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Geometria Analítica

Num referencial ortonormado, podemos escrever | u | = u u = a 2 + b 2 + c 2 . Exemplo: Dado um referencial ortonormado determine |(-1, -4, -2)|. |(-1, -4, -2)|=

(−1) 2 + (− 4) 2 + (−2) 2 = 21

Exemplo: Dado um referencial tal que

( )

r r r r π r r π ângulo i , j = ângulo (i , k ) = ; ângulo j , k = ; 2 3

( )

r j = 2;

r r i = k =1

determine |(-1, -4, -2)|. 2

|(-1, -4, -2)| = ( − 1i − 4 j − 2 k ) ( − 1i − 4 j − 2 k ) = = ii + 4i j + 2i k + 4 j i + 16 j j + 8 j k + 2 k i + 8k j + 4k k Mas,

i i = | i |2 = 1

j j = | j |2 = 4

k k = | k |2 = 1

π =0 2 π 1 j k = k j = | j || k | cos = 2 *1 * = 1 3 2 π k i = i k = | i || k | cos = 0 2

i j = j i = | i || j | cos

Então, fazendo as respectivas substituições, obtemos:

|(-1, -4, -2)|= 85

Exercício: Compare os resultados obtidos nos dois exemplos anteriores. Ângulo entre dois vectores O ângulo θ entre dois vectores v1 , v 2 , não nulos, varia entre 0 e π. Vejamos como determiná-lo. Da definição de produto escalar de dois vectores v1 v 2 vem: v1 v 2 = | v1 || v 2 | cos θ

onde θ é o ângulo formado pelos dois vectores, v1 v 2 . Resolvendo em ordem a θ obtém-se: _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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 v v θ = arccos 1 2  |v || v  1 2

  | 

ou seja o ângulo formado pelos vectores v1 e v 2 . Exemplo:

Calcular o ângulo entre os vectores v1 =(1,1,-2) e v 2 =(-2,1,1)

cos θ =

(1,1,-2)(­ 2,1,1) − 2 +1− 2 = = | (1,1,-2) | ⋅ | (-2,1,1) | 1+1+ 4 4 +1+1

−3 6 6

=−

3 1 =− 6 2

 1  2π θ = arccos −  =  2 3 Condição de ortogonalidade de dois vectores Da propriedade ii) do produto escalar podemos concluir que: dois vectores não nulos, v1 e v 2 , são ortogonais se e só se o produto escalar entre eles for nulo, isto é, se: v1 v 2 = 0

Exemplo: Os vectores v1 = (1, 2, 3) e v 2 = (-1, - 1, 1) são ortogonais, porque v1 v 2 = 1*(-1)+2*(-1)+3*1=0 Ângulos directores e cosenos directores de um vector Dado o vector u = a i + b j + c k . Os ângulos directores de u são os ângulos α, β e γ que u forma com os vectores da base i, j e k , respectivamente.

y

1º octante u

j

x

O i k

_____________________________________________________________________________________________ z Paulo Alves, 2006/07

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Geometria Analítica

Os cossenos dos ângulos directores são os seus cossenos directores, isto é, cosα, cosβ, e cosγ, ou seja,

cos α =

cos β =

cos γ =

ui | u || i |

(a, b, c )(1,0,0 )

=

uj | u || j | uk |u||k |

a 2 + b 2 + c 2 ⋅1 =

=

a

=

(a, b, c )(0,1,0 ) a 2 + b 2 + c 2 ⋅1

a2 + b2 + c2

=

(a, b, c )(0,0,1) a 2 + b 2 + c 2 ⋅1

=

b a2 + b2 + c2 c a2 + b2 + c2

Produto vectorial Considerem-se dois vectores u e v , que podemos supor representados por segmentos orientados com origem num mesmo ponto, P. Chama-se produto vectorial ou externo, e representa-se por u × v ou u ∧ v , ao vector, w , assim

C uX v

v

B

θ

caracterizado:

P

u

A

a) w é perpendicular ao plano PAB

b) o triedro u , v , w é directo, isto é, um observador orientado segundo w verá u realizar uma rotação, de ângulo inferior a π, da sua direita para a sua esquerda, se pretender que u rode de modo a ficar assente sobre a linha de acção de v ; _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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c) | w | = | u × v | = | u | | v | sen θ

Interpretação geométrica Geometricamente, o módulo do produto vectorial dos vectores u e v é igual à área do paralelogramo ABCD:

C v θ

D h

A

B

u

Demonstração: A área do paralelogramo é igual à base vezes a altura, isto é: A ABCD =|u | h , onde, h = | v | sen θ , ou seja, A ABCD =|u | | v | sen θ

Como | u× v |= | u | | v | sen θ então | u× v | = A ABCD .

Propriedades Para todo v1 = (a, b, c ) , v 2 = (a ' , b' , c') e v3 = (a ' ' , b' ' , c' ') e k ∈ ℜ , é fácil verificar que:

i)

v1 × v1 = 0, qualquer que seja v1

ii) O produto vectorial não é comutativo, é antissimétrico v1 × v 2 = − v 2 × v1

iii) Distributividade

da

multiplicação

em

relação

à

adição

v1 × (v 2 + v3 ) = v1 × v 2 + v1 × v3

iv) v1 × v 2 = 0 se e só se um dos vectores é nulo ou v1 e v 2 são colineares.

v)

( k v ) × v = k (v × v ) = v × ( k v )

1 2 1 2 1 2 _____________________________________________________________________________________________

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Geometria Analítica

Expressão cartesiana do produto vectorial Fixado um referencial cartesiano ( O, i, j , k ) se u = (a,b,c) e v = (a',b',c'), neste referencial temos u = a i + b j + c k e v = a ' i + b' j + c' k . Num referencial ortonormado temos: i×i = j × j = k × k = 0 i× j = − j ×i = k

(6)

j×k = − k × j = i k ×i = − i× k = j Por (6) e pelas propriedades do produto escalar obtemos: u × v = ( a i + b j + c k ) × ( a ' i + b' j + c ' k ) =

= (bc'−cb') i + (ca'− ac') j + (ab'−ba ') k =

=

a c a b b c i− j+ k b' c ' a' c' a ' b'

ou seja,

i

j

k

u×v = a

b

c = ( a ' ' , b' ' , c ' ' )

a ' b' c '

onde (a'', b'', c'') ⊥ u e (a'', b'', c'') ⊥ v .

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79

Exemplo: Determine a área do paralelogramo em que os vectores u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 5) são os lados desse paralelogramo. i j k u × v = 1 2 3 = (4,4,− 4) 3 2 5 2 2 2 Área = (4,4,−4) = 4 1 + 1 + (−1) = 4 3

Condição de paralelismo u × v = (0,0,0) se e só se u // v , ou seja,

a b c = = a' b' c'

Produto misto Dados três vectores v1 = (a, b, c ) , v 2 = (a ' , b' , c') e v3 = (a' ' , b' ' , c' ') , chama-se produto misto ao número real que se obtém da expressão v1 (v 2 × v3 ) , e representa-se por ( v1 , v 2 , v3 ).

Interpretação geométrica Geometricamente, o produto misto de três vectores v1 , v 2 e v3 , é igual, em módulo,

v2 X v3 D v1 h θ h

C v3

A

ao volume do paralelepípedo:

v2

B

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Geometria Analítica

Demonstração O volume do paralelepípedo é igual à área da base vezes a altura, isto é:

V = Ab ⋅ h

mas A b = | v 2 × v3 | e h = | v1 | cos θ , logo,

V = | v 2 × v3 || v1 | cos θ = | v1 || v 2 × v3 | cos θ = (v1 , v 2 , v3 )

Propriedades Para todo v1 = (a, b, c ) , v 2 = (a ' , b' , c') , v3 = (a' ' , b' ' , c' ') e v 4 = (a ' ' ' , b' ' ' , c' ' ') e k ∈ ℜ , é fácil verificar que:

i) ( v1 , v 2 , v3 ) = 0 se um dos vectores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são complanares. ii) O produto misto é independente da ordem circular dos vectores, isto é,

( v1 , v 2 , v3 ) = ( v 2 , v3 , v1 ) = ( v3 , v1 , v 2 ) Nota: Se trocarmos de posição dois vectores consecutivos o produto misto muda de sinal, isto é, ( v1 , v2 , v3 ) = -( v 2 , v1 , v3 ).

iii)

( v1 , v 2 , v3 + v 4 ) = ( v1 , v 2 , v3 ) + ( v1 , v 2 , v 4 )

( v1 + v 2 , v3 , v 4 ) = ( v1 , v3 v 4 ) + ( v 2 , v3 , v 4 )

( v1 , v 2 + v3 , v 4 ) = ( v1 , v 2 v 4 ) + ( v1 , v3 , v 4 ) _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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iv)

81

( v1 , v 2 ,k v3 ) = ( v1 ,k v 2 , v3 ) = (k v1 , v 2 , v3 ) = k ( v1 , v 2 , v3 )

Expressão cartesiana do produto misto Fixado

um

referencial

cartesiano

(O, i, j , k ) ,

v1 = (a, b, c ) ,

v 2 = (a ' , b' , c')

e

v3 = (a' ' , b' ' , c' ') , neste referencial temos v1 = a i + b j + c k , v 2 = a ' i + b' j + c' k , v3 = a ' ' i + b' ' j + c' ' k . Num referencial ortonormado temos:

v 2 × v3 =

b' c ' a' c' a ' b' i− j+ k b' ' c ' ' a ' ' c' ' a ' ' b' '

logo,

( v1 , v 2 , v3 ) = v1 ( v 2 × v3 ) = a

b'

c'

b' ' c' '

−b

a'

c'

a ' ' c' '

+c

a'

b'

a ' ' b' '

a

b

c

= a ' b' c' a ' ' b' ' c ' '

Observação: Atendendo à expressão cartesiana do produto misto é fácil verificar as suas propriedades.

Exemplo: Verifique se os vectores v1 = (1, 2, 3) , v 2 = (3, 2, 5) e v3 = (4 , 4, 8) são complanares. 1 2 3 ( v1 ,v 2 , v3 ) = 3 2 5 = 16 + 36 + 40 − (24 + 20 + 48) = 0 4 4 8 Logo, são complanares.

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Geometria Analítica

Recta Recta definida por um ponto e um vector Seja r uma recta que passa pelo ponto A = (x0, y0, z0) e tem a direcção do vector não nulo u = (a, b, c). Para que um ponto P = (x, y, z), pertencente a ℜ3, pertença à recta r, é necessário e suficiente que os vectores AP e u sejam colineares, isto é: AP = λ u , λ∈ℜ

ou seja, P-A=λ u

Equação vectorial da recta Resolvendo em ordem a P vem: P=A+λ u

(7)

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (a, b, c)

(8)

ou

A qualquer uma das equações (7) e (8) chamamos equação vectorial da recta r.

O vector u = (a, b, c) é chamado vector director da recta r, e representa-se por dr, e

λ o parâmetro.

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Equações paramétricas da recta Sabemos, por (8), que (x, y, z) = (x0+aλ, y0+bλ, z0+cλ) x = x 0 + aλ   y = y 0 + bλ z = z + cλ 0 

então

a que chamamos equações paramétricas da recta r.

Equações cartesianas da recta No sistema anterior podemos resolver a primeira equação em ordem a λ, e substituir nas outras duas, obtendo

  x − x0   y = y 0 + b a      z = z 0 + c x − x 0    a 

(9)

x − x 0 y − y0 z − z0 = = b c a

(10)

ou

A qualquer uma das equações (9) e (10) chamamos equações cartesianas da recta r.

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Geometria Analítica

Exemplo: Determine as equações vectorial, paramétricas e cartesianas da recta, r, que passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e tem a direcção do vector u = (2, 5, 7). r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ (2, 5, 7) equação vectorial x = 1 + 2λ  r :  y = 2 + 5λ z = 3 + 7λ  r:

x−1 2

y−2

=

5

equações paramétricas

=

z−3 7

equações cartesianas

Recta definida por dois pontos A recta definida pelos pontos A = (x0, y0, z0) e B = (x1, y1, z1) é a recta que passa por um dos pontos A ou B e tem a direcção do vector u = AB = (x1-x0, y1-y0, z1-z0).

Rectas paralelas aos eixos coordenados Os eixos Ox, Oy e Oz são rectas particulares

y = 0 Ox:  z = 0

x = 0 Oy:  z = 0

x = 0 Oz:  y = 0

Uma recta r é paralela ao eixo Ox se e só se o seu vector director for paralelo ao vector director da recta Ox, ou seja, i = (1, 0, 0). Dado um ponto A = (x', y', z') pertencente à recta r,

 y = y' r // Ox ⇒   z = z' Analogamente para r // Oy e r // Oz.

x = x' r // Oy ⇒   z = z'

x = x' r // Oz ⇒   y = y'

Nota: Duas rectas são paralelas se e só se os seus vectores forem colineares. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Plano Plano definido por um ponto e dois vectores Seja π um plano que contém o ponto A = (x0, y0, z0) e é paralelo aos vectores, não nulos e não colineares, u = (a, b, c) e v = (a', b', c'). Para que um ponto P = (x, y, z), pertencente a ℜ3, pertença ao plano π, é necessário e suficiente que AP se possa escrever como combinação linear de u e v , isto é AP = λ0 u +λ1 v , λ0,λ1∈ℜ

ou seja P - A = λ0 u +λ1 v

Equação vectorial do plano Resolvendo em ordem a P vem: P = A + λ0 u + λ1 v

(11)

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ0(a, b, c) + λ1(a', b', c')

(12)

ou

A qualquer uma das equações (11) e (12) chamamos equação vectorial do plano π.

Equações paramétricas do plano Sabemos, de (12), que (x, y, z) = (x0+aλ0+a'λ1, y0+bλ0+b'λ1, z0+cλ0+c'λ1) então x = x 0 + aλ 0 + a'λ1   y = y 0 + bλ 0 + b' λ1 z = z + cλ + c' λ 0 0 1  _____________________________________________________________________________________________

a que chamamos equações paramétricas do plano π. Paulo Alves, 2006/07

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Geometria Analítica

Equação cartesiana do plano Do sistema anterior, podemos tirar λ0 e λ1 e obtemos A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

(13)

Ax + By + Cz + D = 0

(14)

ou

com A = bc' - b'c, B = -ac' + a'c, C = ab' - a'b e D = -(Ax0 + By0 + Cz0). A qualquer uma das equações (13) e (14) chamamos equação cartesiana do plano π. Ao vector formado pelos coeficientes das incógnitas x, y, z da equação (14), (A,B,C), chamamos vector normal do plano, e designa-se por Nπ, este vector é perpendicular ao plano. Logo, Nπ pode ser obtido a partir do produto vectorial de dois vectores quaisquer, não colineares, do plano, isto é

i

j

k

Nπ = u × v = a b c a' b' c'

Plano definido por um ponto e pelo seu vector normal A equação cartesiana do plano pode ser obtida por: x − x0

y − y0

z − z0

a a'

b b'

c c'

= 0 ⇔ A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

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Plano definido por três pontos O plano definido pelos pontos A = (x0, y0, z0), B = (x1, y1, z1) e C = (x2, y2, z2), é o plano que passa por um dos pontos A, B ou C e é paralelo aos vectores, não nulos e não colineares, u e v , definidos pelos três pontos, por exemplo. u =B - A e v =C - A. Exemplo: Determine as equações vectorial, paramétricas e cartesiana do plano, π, que passa pelo ponto A = (1, 2, 3) e contém as direcções dos vectores u = (2, 5, 7) e v = (0, 1, 1). π: (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ0(2, 5, 7) + λ 1= (0, 1, 1)

equação vectorial

x = 1 + 2λ 0  π :  y = 2 + 5λ 0 + λ 1 z = 3 + 7λ + λ 0 1 

equações paramétricas

x -1 y - 2 z - 3 π: 2 5 7 =0 0

1

equação cartesiana

1

Planos paralelos aos planos coordenados Os planos coordenados, xOy, yOz e xOz, são planos particulares, de equações cartesianas xOy: z = 0

yOz: x = 0

xOz: y = 0

Um plano π é paralelo ao plano xOy se e só se o seu vector normal for paralelo ao vector normal ao plano xOy, ou seja, k = (1, 0, 0). Dado um ponto A = (x', y', z') pertencente ao plano π,

π // xOy ⇒ z = z' Analogamente para π // yOz e π // xOz

π // yOz ⇒ x = x'

π // xOz ⇒ y = y'

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Geometria Analítica

Intersecção de dois planos Dados dois planos α : Ax + By + Cz + D = 0 e β : A' x + B' y + C' z + D' = 0 , podemos saber a sua posição relativa e qual a sua intersecção, a partir da resolução do

α sistema  β Se o sistema for possível e simplesmente indeterminado, então a sua intersecção é uma recta. β

α

Se o sistema for possível e duplamente indeterminado, então os planos são coincidentes.

α=β

Se o sistema for impossível, então estamos perante dois planos paralelos, ou seja,

A B C = = = constante A' B' C' α

β _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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Intersecção de três planos Dados

três

planos

α : Ax + By + Cz + D = 0 ,

β : A'x + B' y + C' z + D' = 0

e

γ : A' ' x + B' ' y + C' ' z + D'' = 0 , sabemos a sua posição relativa a partir da resolução do α  sistema β . γ 

Se o sistema for possível e determinado, então a sua intersecção é um ponto.

γ

β Ι

α

Se o sistema for possível e simplesmente indeterminado, então a sua intersecção é uma recta.

γ

β

α

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Geometria Analítica

Se o sistema for possível e duplamente indeterminado, então os planos são coincidentes.

α=β=γ

Se o sistema for impossível, então podem acontecer quatro situações: α

α // β // γ

β γ

(α ≡ β ) // γ α= =β

γ

α // γ, α ∩ β = recta e α ∩ γ = recta γ β

α

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α ∩ β = recta e β ∩ γ = recta e α ∩ γ = recta

α

γ

β

Intersecção de uma recta com um plano Dados uma recta r: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (a, b, c) e um plano

α : Ax + By + Cz + D = 0 ,sabemos a sua posição relativa a partir da resolução do r sistema  . α Se o sistema for possível e determinado, então a sua intersecção é um ponto.

Ι α

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Geometria Analítica

Se o sistema for possível e simplesmente indeterminado, então a sua intersecção é uma recta.

r

α

Se o sistema for impossível então a recta é paralela ao plano, ou seja, dr ⊥ Nα. r

α

Ângulos Ângulo entre duas rectas Dadas duas rectas r: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ0 (a, b, c) e s: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ1 (a', b', c'), o ângulo, θ, formado pelas duas rectas é igual ao menor ângulo formado pelos vectores directores de r e s. Da definição de ângulo entre dois vectores, dr e ds, vem  drds θ = arccos  |d r || d s

e como 0 ≤ θ ≤

  | 

π , 0 ≤ cos θ ≤ 1 , temos 2

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θ = arccos

drds |d r || d s |

ou seja o ângulo formado pelas rectas r e s. Se estivermos perante um referencial ortonormado, temos:

θ = arccos

drds aa' + bb' + cc' = arccos |d r || d s | a 2 + b 2 + c 2 a' 2 + b' 2 + c' 2

x = 3 + λ  Exemplo: Calcular o ângulo entre as rectas r :  y = λ  z = −1 − 2λ  dr=(1,1,-2)

s:

x+2 y−3 z = = −2 1 1

ds=(-2,1,1)

(1,1,-2) (-2,1,1) = | (1,1,-2) | ⋅ | (-2,1,1) |

cos θ =

e

− 2 +1− 2 1+1+ 4 4 +1+1

=

−3 6 6

=

1 −3 = − 2 6

1 π θ = arccos  =  2 3

Rectas ortogonais Num referencial ortonormado as rectas r e s são ortogonais se e só se aa' + bb' + cc' = 0

Ângulo entre dois planos Dados dois planos α : Ax + By + Cz + D = 0 e β : A' x + B' y + C' z + D' = 0 , o ângulo, θ, formado pelos dois planos é igual ao menor ângulo que formam os vectores normais de α e β. Da definição de ângulo entre dois vectores, Nα e Nβ, vem:

 Nα Nβ θ = arccos  | N α || N β  e, como 0 ≤ θ ≤

  | 

π , 0 ≤ cos θ ≤ 1 , temos 2

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Geometria Analítica

N α Nβ

θ = arccos

| N α || N β |

ou seja o ângulo formado pelos planos α e β. Se estivermos perante um referencial ortonormado, temos:

θ = arccos

Exemplo:

N α Nβ | N α || N β |

= arccos

AA' + BB' + CC' 2

A + B 2 + C 2 A'2 + B'2 +C' 2

Calcular o ângulo entre os planos α: 2x-3y+5z-8=0 e β : 3x+2y+5z-4=0 Nα=(2,-3,5)

Nβ=(3,2,5)

(2,-3,5)(3,2,5) = | (2,-3,5) | ⋅ | (3,2,5) |

cos θ =

6 − 6 + 25 4 + 9 + 25 9 + 4 + 25

=

25 38 38

=

25 25 = 38 38

 25  θ = arccos   38  Planos ortogonais Num

referencial

ortonormado

os

planos

α : Ax + By + Cz + D = 0

e

β : A' x + B' y + C' z + D' = 0 são ortogonais se e só se AA' + BB' + CC' = 0

Ângulo entre uma recta e um plano Dados uma recta r: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ0 (a, b, c) e um plano

α : Ax + By + Cz + D = 0 , o ângulo, φ, formado pela recta e pelo plano, é igual ao complementar do ângulo θ, que a recta r forma com o vector normal ao plano α, ou seja, o ângulo formado pelo vector director da recta, dr, e o vector normal ao plano, Nα. Como θ + φ =

π , então cos θ = sen φ e da definição de ângulo entre dois vectores, 2

dr e Nα, vem _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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 dr Nα φ = arcsen  |d r || N α

e, como 0 ≤ θ ≤

  | 

π , 0 ≤ cos θ ≤ 1 , temos 2

φ = arcsen

dr Nα |d r || N α |

ou seja o ângulo formado pela recta r e pelo plano α. Se estivermos perante um referencial ortonormado, temos:

φ = arcsen

drNα aA + bB + cC = arcsen |d r | N α | a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2

 x = 1 − 2λ  Exemplo: Calcular o ângulo entre a recta r :  y = −λ e o plano α: x+y-5=0 z = 3 + λ  dr=(-2,-1,1) sen θ =

Nα=(1,1,0)

(-2,-1,1) 1,1,0) = | (-2,-1,1) | ⋅ | (1,1,0) |

− 2 −1+ 0 = 4 + 1+ 1 1+1+ 0

−3 −3 3 3 = = − = 2 2 6 2 2 3

 3 π = θ = arcsen   2  3 Ortogonalidade entre uma recta e um plano

Num referencial ortonormado uma recta, r, e um plano, α, são ortogonais se e só se o vector director da recta r for paralelo ao vector normal do plano α.

a b c = = = constante A B C

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Distâncias Distância de um ponto a um plano

Dado um ponto P (x0, y0, z0) e um plano α: Ax + By+ Cz +D = 0, para calcularmos a distância de P a α temos três passos: 1º Determinar a recta, r, que contém o ponto P e é perpendicular a α. x = x 0 + λA  r:  y = y 0 + λB  z = z + λC 0 

2º Determinar o ponto I, de intersecção de r com α

r I:  α 3º Determinar a distância entre os pontos P e I d(P, α) = d(P, I) = | P - I |

Exemplo:

Calcular a distância do ponto P(-4,2,5) ao plano α: 2x+y+2z+8=0  x = −4 + 2λ  1º  y = 2 + λ z = 5 + 2λ 

 x = −4 + 2λ  y = 2 + λ 2º I:  ⇔ z 5 2λ = +  2x + y + 2z + 8 = 0

 x = −20 / 3  ___ y = 2 / 3  ___   ⇔   z = 7 / 3  ___ 2(−4 + 2λ ) + (2 + λ ) + 2(5 + 2λ ) + 8 = 0 λ = −4 / 3

I (-20/3,2/3,7/3) 2

20 3º d(P,α) = d(P,I) =  − 4 +  +  2 − 3   

2

2

7 2   + 5 −  = 3 3 

64 16 64 144 12 + + = = =4 9 9 9 9 3

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Distância de um ponto a um recta

Dado o ponto P de coordenadas (x0, y0, z0) e a recta r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ0 (a, b, c), para calcularmos a distância de P a r temos três passos: 1º Determinar o plano, α, que contém o ponto P e é perpendicular a r

α: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 2º Determinar o ponto, I, de intersecção de r com α.

r I:  α 3º Determinar a distância entre os pontos P e I. d(P, r) = d(P, I) = | P - I | Exemplo: Calcular a distância do ponto P(2,0,-3) à recta s : 1º α: 2(x-2)+2(y-0)+(z+3)=0

x y−2 z+3 = = 2 2 1

α: 2x+2y+z-1=0  x = 0 + 2λ   y = 2 + 2λ ⇔ 2º I:  = + λ z -3  2x + 2y + z - 1 = 0 

 ___ x = 0  ___ y = 2   ⇔    ___  z = −3 2(2λ ) + 2(2 + 2λ ) + (-3 + λ ) − 1 = 0 λ = 0

I(0,2,-3)

2 2 2 3º d(P,α)=d(P,I) = (2 − 0) + (0 − 2) + (−3 + 3) = 4 + 4 = 8 = 2 2

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Exercícios 1.

Verifique se são colineares os pontos: a) A = (1,2,3), B = (1,3,5), C = (2,-1,4) b) A = (1,2,-1), B = (0,1,-2), C = (-2,-1,-4)

2. Determine a área do triângulo formado pelos pontos A = (1,0,-2), B = (5,1,0) e C = (3,-1,4). 3.

r r r Um paralelipípedo é gerado pelos vectores a = (1,1,1) , b = (2,1,0) e c = δ (1,−1,1) . Calcule δ de modo que o volume do paralelipípedo seja igual a 6 unidades.

4.

Sendo P0 = (5,-5,6) e P1 = (4,-1,12) pontos da recta r, determine as suas equações: a) Vectorial; b) Paramétricas; c) Cartesianas.

5.

Determine um sistema de equações cartesianas da recta r que passa pelos pontos A = (2,4,0) e B = (3,7,1).

6.

Determine as equações paramétricas das seguintes rectas:

r1 : 7.

x y−1 = = −z− 1 5 6

 x = 5z + 6 r2 :   y = − 2z − 5

Determine a ordenada e a cota do ponto P, cuja abcissa é 2, e que pertence à recta que passa pelo ponto A = (3,-1,4) e tem a direcção do vector

r r r r v = i − 2 j − 5k . 8.

Citar um ponto e um vector director de cada uma das seguintes rectas:

x +1 z − 3  = r1 :  3 4  y = 1

 x = 2t  r2 :  y = −1 z = 2 − t 

r3 : x = y = z

4 y − x − 3 = 0 x = 0 r4 :  r5 :  2 z − 4 x = −10 y = 0 _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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9.

99

Determine as equações cartesianas das rectas: a) r1: passa pelo ponto A = (1,-2,4) e é paralela ao eixo Ox; b) r2: passa pelo ponto B = (3,2,1) e é perpendicular ao plano xOz.

10. Verifique se os pontos P = (3,2,-1) e Q = (1,1,-1) pertencem à recta de equação vectorial P = (2,4,1) + k(-1,2,2). 11. Determine uma equação da recta que: a) Passa pelo ponto P0 = (-1,2,3) e é paralela à recta definida pelo ponto

r M = (1,0,-1) e pelo vector v = (−2,1,−3) ; b) Passa pelo ponto P0 = (1,3,-2) e é paralela à recta que passa pelos pontos

A = (-1,2,1) e B = (5,-4,1). 12. Determine a recta r representada pelo seguinte sistema de equações cartesianas e determine uma equação vectorial desta recta

x + y + z = 0  x − y − z − 2 = 0 13. Determine uma equação vectorial e uma representação cartesiana dos eixos Ox, Oy e Oz. 14. Determine m e n, de modo que sejam paralelas as seguintes rectas:  x = −3 + 8λ  r1 : y = 4 − 6λ  z = 2 + 2λ 

r2 :

x +1 y − 2 = = −z − 3 n m

15. Determine m de modo que sejam ortogonais as seguintes rectas:  x = − 1 + 2λ  r1 : y = 3 − λ  z = 5λ 

 y = mx − 3 r2 :  z = −2 x

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100

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x = 3 + λ x+2  16. Considere as rectas r1 : y = λ e r2 : = y − 4 = z . Determine: − 2  z = − 1 − 2λ 

a) a posição relativa das rectas; b) o ângulo formado pelas rectas; c) o ponto de intersecção das rectas. 17. Estudar a posição relativa das rectas:  x = 1 − 3λ  a) r1 : y = 4 − 6λ  z = 3λ 

r2 :x =

z = 2x b) r1 : y = 3

r2 :x = y = z

y+3 = −z 2

c) r1 :

x+5 y−7 z+2 = = 5 4 2

r2 :

x − 3 y + 5 7 z − 14 = = −5 6 − 35

d) r1 :

x − 2 y − 3 z −1 = = 1 2 1

r2 :

x − 5 y − 2 z −1 = = 2 4 2

e) r1 :

x − 2 y − 3 z −1 = = 1 2 2

r2 :

x +1 y − 2 z + 3 = = −1 2 2

18. Comente a afirmação: “Duas rectas complanares são sempre concorrentes”. 19. Verifique as posições relativa das rectas r e s:  x = 2α + 7  r : y = α − 2  z = 3α + 3 

s:

x−3 y +4 z +3 = = 4 2 6

20. Calcule a equação vectorial do plano que passa nos pontos P1 = (1,0,3), P2 = (1,3,-1) e P3 = (1,3,1). 21. Calcule a equação cartesiana do plano que passa em A = (1,2,3) e contém as

r r direcções dos vectores u = (2,3,4) e v = (1,2,3) .

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Geometria Analítica

101

22. Sejam os pontos não colineares, A = (2,-3,1), B = (4,9,-4) e C=(2,6,-2). Determine as equações do plano que passa por eles: a) vectorial; b) paramétricas; c) cartesianas. 23. Determine a equação cartesiana do plano:  x = −4 + 3α  a) que passa pelo ponto P0 = (2,1,-2) e é perpendicular à recta r : y = 1 + 2α ; z = α  x = 4  b) que passa pelo ponto P1 = (-3,2,1) e contém a recta r : y = 3 ; z = α   x = −1 + 3β x −3 y − 4   = c) contém as rectas r1 : y = 2 − 4 β e r2 : 6 −8 .  z=3  z = 3 

24. Verifique se as seguintes rectas estão no mesmo plano e, se estiverem, calcule a equação desse plano. a) P=(1,2,3)+k(-1,2,3) e Q=(0,1,1)+t(1,1,-2); b) P=(1,-1,1)+k(2,1,1) e Q=(1,0,1)+t(2,1,1). 25. Determine as equações paramétricas dos planos xOy, xOz, yOz. 26. Considere os planos

α: kx + ky + z - 1 = 0 β: x + y - z + k = 0 π: x + ky + z = 0 e determine, se existirem, os valores de k tais que: a) Os 3 planos se intersectam num ponto; b) Os 3 planos se intersectam segundo uma recta; c) Os planos α e β são perpendiculares. _____________________________________________________________________________________________ Paulo Alves, 2006/07

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27. Considere a recta r :

x −1 y − 2 = =z 2 3

a) Determine uma equação vectorial do plano α que passa pelo ponto P = (1,2,0) e é perpendicular à recta r; b) Verifique se a recta s, que passa pelo ponto A = (0,0,8) e tem a direcção do

r vector u = (1,−1,1) , está contida no plano α. 28. Determine a posição relativa dos planos: a) x + 2y + z = 0

x - 2y - 8z = 0

x + y + z - 3 = 0;

b) x + 3y + 4z + 1 = 0

2x + y - z + 2 = 0

3x + 4y + 3z + 3 = 0;

c) P = (1,-2,0) + t(2,1,3) + k(5,4,0)

P = (4,0,2) + t(7,5,3) + k(1,1,-1).

29. Determine as equações paramétricas da recta de intersecção dos planos: a) 3x + 3y - z + 7 = 0

x + 6y + 2z - 6 = 0;

b) 2x - 3y + z - 1 = 0

2x + 3y - z - 2 = 0.

30. Quais os ângulos entre os vectores?

r r a) u = (2,−5,3) e v = (−1,5,−2) ; r r b) u = (2,−3,4) e v = (1,1,1) .

r r 31. Mostre que os vectores u = (1,−3,4) e v = (−8,−4,−1) são perpendiculares. 32. Dadas

α :3 x −

as

equações

cartesianas

dos

planos

π :x + 2 y − z = 0

e

1 x −1 y + 2 y + 2 z − 1 = 0 e a recta r : = = z determine: 2 2 4

a) o ângulo entre os planos; b) o ângulo entre o plano π e a recta r; c) a intersecção dos planos; d) a intersecção do plano π com a recta r.

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33. Determine o ângulo entre os planos: a) x + y - z = 2

y - z = 8;

b) x - 3y + 4z = 8

2x - 6y + 8z = 8;

c) P = (1,0,3) + t(-2,3,5) + k(0,1,1)

P = (0,0,3) + t(5,2,3) + k(7,2,3).

34. Determine o ângulo entre as seguintes rectas e planos: a) x + y - z = 2

P = (0,3,1) + α(3,0,5);

b) 2x - 6y + 8z = 8

P = (5,4,1) + α(3,0,2).

35. Determine os valores de m e n, para que o plano π : (2m − 1) x − 2 y + nz − 3 = 0 seja paralelo ao plano α : 4 x + 4 y − z = 0 . 36. Determine o valor de m, de modo que os planos π : 2mx + 2 y − z = 0 e

α : 3x − my + 2 z − 1 = 0 sejam perpendiculares. 37. Determine a distância entre os pontos P = (7,3,4) e Q = (1,0,6). 38. Determine a distância do ponto P = (2,0,7) à recta r :

x y−2 = = z + 3. 2 2

39. Determine a distância do ponto P = (-4,-7,-5) ao plano π: 2x + 4y + 2z + 8 = 0.  x = −1 − 2γ  y = −2 x + 3  e s :  y = 1 + 4γ 40. Determine a distância entre as rectas r :  z = 2x  z = −3 − 4γ 

41. Determine

a

distância

entre

os

planos

π : 2x − 2 y + z = 5

e

α : 4 x − 4 y + 2 z + 14 = 0 . x = 3 42. Determine a distância da recta r :  ao plano π: x + y - 12 = 0. y = 4

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43. Considere o plano π definido por (x,y,z) = (1,2,3)+k(1,0,1)+t(0,2,1), k,t ∈ ℜ e o plano β definido pelos pontos A = (1,2,3), B = (2,0,1) e C = (0,0,0). Determine justificando: a) a intersecção dos planos dados; b) o ângulo formado pelos planos; c) a recta r que passa pelo ponto P = (1,1,1) e não intersecta nenhum dos dois planos; d) a distância entre a recta r e cada um dos planos. 44. Determine t tal que o ponto T = (t, -1, 5) diste 5 unidades do plano α que contém o ponto A = (1, -1, -2) e é paralelo aos vectores u = (0, 1, 1) e v = (2, 1, 0). 45. Determine as equações cartesianas da recta t, que passa pelo ponto A = (-2,1,3) e é perpendicular às rectas r e s

1 − x  = −z r: 3  y = 2

x = 2 − γ  s :  y = 1 + 2γ  z = −3γ 

46. Dado um prisma ortogonal tal que A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 0), C = (-1, 1, 0) a) Determine o plano β definido pelos pontos A, B e C; b) Determine a recta que passa por A e é perpendicular a β; c) Determine a projecção ortogonal dos pontos A, B, C na outra base do prisma, sabendo que a altura deste é uma unidade (sem utilizar a fórmula da distância); d) Calcule o volume do prisma utilizando a interpretação geométrica de produto misto.

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47. Considere os pontos A = (1,1,0), B = (1,3,-1), C = (1,2,1) e o plano

β : ( x, y, z ) = (1,0,0) + k (2,1,1) + λ(1,−1,2) a) Determine a equação cartesiana do plano α que contém o ponto A e é paralelo ao plano π, sabendo que π é perpendicular ao vector de coordenadas (2,2,6) e contém o ponto B. b) Determine a recta que contém o ponto C e é perpendicular ao plano β. c) Determine a distância do ponto C ao plano β. d) Determine o ponto C’, simétrico de C em relação ao plano β. 48. Dado um referencial tal que

( )

r r π r r r r π ângulo(i , j ) = , i ⊥k , ângulo j , k = , 3 3

r j = 1,

r r i = k =2

Verifique se são perpendiculares as rectas  x − 1 = −y r:  2  z = 2

x = 3 + y s:   z = 2y

49. Dado um referencial tal que

( )

r r π r r r r π π ângulo (i , j ) = ; ângulo(i , k ) = ; ângulo j , k = ; 4 3 2

r j = 4;

r i = 2;

r k =1

 x= y Determine o ângulo que a recta r:  faz com o plano α: z = 4 . z = 4 + 2 y

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Soluções: 1.

a) Não

2.

5 5

3.

δ= ±

7.

y=1, z=9

b) Sim

3 2

14. n = -4; m = 3 15. m = -8 16. a) Complanares, concorrentes, não perpendiculares b) θ = π/3

c) I = (4, 1, -3)

17. a) Paralelas (não coincidentes)

b) Não complanares

c) Perpendiculares, reversas (não complanares)

d) Paralelas (não coincidentes)

e) Complanares, concorrentes, não perpendiculares 18. Falsa 19. Coincidentes 24. a) Não

b) Sim

26. a) k ≠ ± 1

b) Impossível

c) k = 1/2

27. b) Sim 28. a) Intersectam-se num ponto

b) Intersectam-se numa recta

c) Planos coincidentes 30. a) arccos

11 285 190

32. a) π/2

b) arcsen

33. a) arccos

6 3

b) arccos 3 14 14

b) 0

c) recta

c) arccos

6 87 87

5 2 1 d)  ,− ,   3 3 3

5 39 39

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34. a) arcsen

107

102 51

b) arcsen

11 338 338

35. m = -1/2, n = 1/2 36. m = 1/2 37. 7 38.

2 218 3

39.

19 6 6

40.

13

41. 4 42.

5 2 2

43. a) recta b) arccos

17 5 45

d) d(r,π) = 1, d(r,β) =

5 5

44. -28 46. a) z=0

b) x=1;y=1

47. a) x+y+3z=2

c)

d) 2

b) x-1=2-y=1-z

c)

3

d) (3,0,-1)

48. Não  2 49. arcsen   44 + 12 2 

   

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