Al1 - Sebenta Espacos Vectoriais 02

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ESPAÇOS VECTORIAIS

GRUPO

V ,   é um grupo se a operação  , definida em V , satisfaz as seguintes propriedades: G1) Associatividade: x, y , z  V : x   y  z    x  y   z G2)

Existência de elemento neutro:

 V , x V

: x  o  o  x 

G3)

Existência de elemento oposto:

o  V , x  V

: xo  o x  x

GRUPO COMUTATIVO

V ,  

é um grupo comutativo (ou um grupo abeliano ou um módulo) se a operação  , definida em V ,

satisfaz as seguintes propriedades: G1) Comutatividade:

x, y V

: x y  yx : x   y  z   x  y  z

G2)

Associatividade:

x, y , z  V

G3)

Existência de elemento neutro:

 V , x V

: x  o  o  x 

G4)

Existência de elemento oposto:

o  V , x  V

: xo  o x  x

ESPAÇO VECTORIAL

V é um espaço vectorial (ou espaço linear) real (ou complexo) sobre um corpo  (ou  ) se nele estão definidas as seguintes operações: 1.

A operação (binária) de adição, usualmente representada por  e tal que V ,   é um grupo comutativo, isto é, verifica as propriedades seguintes: A1) Comutatividade:

2.

x, y V

: x y  yx : x   y  z   x  y  z

A2)

Associatividade:

x, y , z  V

A3)

Existência de elemento neutro:

 V , x V

: x  o  o  x 

A4)

Existência de elemento oposto:

o  V , x  V

: xo  o x  x

A operação (unária) de multiplicação de elementos do corpo por elementos de V , gozando das seguintes propriedades: M1)

Associatividade mista

a, b  , x V

: a  b  x   a  b  x

M2)

Distributividade em  :

a, b  , x V

:

M3)

Distributividade em V :

a  , x, y  V

:

M4)

Existência de elemento unidade:

1  , x  V

Obs:

No enunciado das propriedades usou-se o corpo  por ser mais genérico (contém  )

a  b  x  a  x  b  x a  x  y  a  x  a  y

: 1  x  x 1  x