Al1 - Sebenta Espacos Vectoriais 01

Cap´ıtulo

4

Espac¸os Vectoriais 4.1

Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

4.1obs Apresenta-se na definição que se segue a generalização da noção de “vector” entendido como uma entidade com um tamanho e uma direcção. O estudo genérico de um espaço vectorial permite-nos estabelecer propriedades válidas para um conjunto alargado de entidades matemáticas.

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4 Espac¸os Vectoriais

4.2def Jespaço vectorialK Sejam V um conjunto não vazio e as operações ⊕: V ×V (x, y)

: K×V (α, x)

−→

V

7−→ x ⊕ y,

−→

V

7−→ α x.

Diz-se que o sêxtuplo (V, ⊕, , K, +, ·) é um espaço vectorial se: (a) ∀x, y ∈ V : x ⊕ y = y ⊕ x. (b) ∀x, y, z ∈ V : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z). (c) ∃1 elemento de V (representado por 0V ), ∀x ∈ V : x ⊕ 0V = x. (d) ∀x ∈ V, ∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) = 0V . (e) ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y. (f) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β) x = α x ⊕ β x. (g) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β) x = α (β x). (h) ∀x ∈ V : 1 x = x. 4.3def Seja o espaço vectorial definido por (V, ⊕, , K, +, ·). (a) JescalarK Chama-se escalares aos elementos de K. (b) JvectorK Chama-se vectores aos elementos de V . (c) Jsoma de vectoresK Chama-se soma de vectores à operação ⊕. Jmultiplicação de um escalar por um vectorK Chama-se multiplicação de um escalar por um vector à operação .

(d) Jespaço vectorial realK Diz-se que V é um espaço vectorial real se K = R.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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(e) Jespaço vectorial complexoK Diz-se que V é um espaço vectorial complexo se K = C. 4.4obs

(a) Para simplificar a linguagem, em vez de “seja o espaço vectorial definido por (V, ⊕, , K, +, ·)” diz-se “seja V um espaço vectorial sobre K” quando as operações de soma de vectores e de multiplicação de um escalar por um vector estiverem subentendidas. (b) Se não causar confusão, em vez de x ⊕ y escreve-se x + y, em vez de x ⊕ (−y) escreve-se x − y e em vez de α x escreve-se αx.

4.5obs Na definição que se segue, relembram-se ou introduzem-se conjuntos e as respectivas operações usuais, que serão usados na apresentação de exemplos de espaços vectoriais. 4.6def

(a) JKn K Seja n ∈ N. Representa-se por Kn o conjunto dos n-tuplos com elementos em K, i.e., Kn = {(x1 , x2 , . . . , xn )|x1 , x2 , . . . , xn ∈ K}. As operações usuais neste conjunto são: (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ). (b) JMm×n (K)K Sejam m, n ∈ N. Representa-se por Mm×n (K) o conjunto das matrizes com m linhas e n colunas com elementos em K, i.e., Mm×n (K) = {A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → K}.

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4 Espac¸os Vectoriais

As operações usuais neste conjunto são: [(A + B)ij ] = [(A)ij + (B)ij ], [(αA)ij ] = [α(A)ij ]. (c) JKn [x]K Seja n ∈ N. Representa-se por Kn [x] o conjunto dos polinómios na variável x com coeficientes em K e que têm grau menor ou igual a n, i.e., Kn [x] = {a0 xn + · · · + an−1 x + an |a0 , . . . , an−1 , an ∈ K}. As operações usuais neste conjunto são: (a0 xn + · · · + an−1 x + an ) + (b0 xn + · · · + bn−1 x + bn ) = (a0 + b0 )xn + · · · + (an−1 + bn−1 )x + (an + bn ), α(a0 xn + · · · + an−1 x + an ) = (αa0 )xn + · · · + (αan−1 )x + (αan ). (d) JK[x]K Representa-se por K[x] o conjunto dos polinómios na variável x de qualquer grau com coeficientes em K. As operações usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Kn [x]. (e) JC(a, b), C k (a, b), C ∞ (a, b)K Sejam a, b ∈ R tais que a < b e k ∈ N. Representa-se por C(a, b) o conjunto das funções reais

de variável real contínuas em (a, b), por C k (a, b) o conjunto das funções reais de variável real tais que existem todas as derivadas de f até à ordem k (inclusivé) e f e todas as derivadas de f até à ordem k (inclusivé) são contínuas em (a, b), e por C ∞ (a, b) o conjunto das funções reais de variável real tais que existem todas

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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as derivadas de f e f e todas as derivadas de f são contínuas em (a, b), i.e., C(a, b) = {f : (a, b) → K|f é contínua em (a, b)}, C k (a, b) = {f : (a, b) → K|f ∈ C(a, b) e C ∞ (a, b) = {f : (a, b) → K|f ∈ C(a, b) e

dp f dxp dp f dxp

∈ C(a, b), p = 1, . . . , k}, ∈ C(a, b), ∀p ∈ N}.

As operações usuais nestes conjuntos são: (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x). 4.7exe Mostre que R2 com as operações usuais é um espaço vectorial real. res As operações usuais em R2 são x + y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ), αx = α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ). com x1 , x2 , y1 , y2 , α ∈ R (como já se disse, quando estão em causa as operações usuais, em vez de x ⊕ y escreve-se x + y e em vez de α x escreve-se αx). No que se segue, verificam-se as oito propriedades de 4.2def . Propriedade (a) Definição geral: ∀x, y ∈ V : x ⊕ y = y ⊕ x. Exemplo presente: ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 : x + y = y + x.

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4 Espac¸os Vectoriais

x + y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) (1)

= (x1 + y1 , x2 + y2 ).

(a.1)

y + x = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) (1)

= (y1 + x1 , y2 + x2 )

(2)

= (x1 + y1 , x2 + y2 ).

(a.2)

(1) por definição da operação soma de vectores.

(2) pela propriedade comutativa da soma de números reais.

Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Definição geral:

∀x, y, z ∈ V : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z).

Exemplo presente:

∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2 : (x + y) + z = x + (y + x).

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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(x + y) + z = ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) + (z1 , z2 ) (1)

= (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )

(1)

= ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 )

(2)

= (x1 + y1 + z1 , x2 + y2 + z2 ).

(b.1)

x + (y + z) = (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 )) (1)

= (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 )

(1)

= (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 ))

(2)

= (x1 + y1 + z1 , x2 + y2 + z2 ).

(b.2)

(1) por definição da operação soma de vectores. (2) pela propriedade associativa da soma de números reais. Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (b) é válida. Propriedade (c) Definição geral: ∃1 elemento de V (representado por 0V ), ∀x ∈ V : x ⊕ 0V = x. Exemplo presente: ∃1 0R2 = (a, b) ∈ R2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x + 0R2 = x.

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4 Espac¸os Vectoriais

x + 0R2 = x ⇔ (x1 , x2 ) + (a, b) = (x1 , x2 ) (1)

⇔ (x1 + a, x2 + b) = (x1 , x2 ) (2)

⇔ x1 + a = x1 ∧ x2 + b = x2 (3)

⇔ a = 0 ∧ b = 0. (1) por definição da operação soma de vectores. (2) pela definição da igualdade de dois elementos de R2 . (3) pelas propriedades dos números reais. Assim, conclui-se que 0R2 = (0, 0) é o elemento neutro da soma de vectores, sendo a propriedade (c) válida. Propriedade (d) Definição geral: ∀x ∈ V, ∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) = 0V . Exemplo presente: ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , ∃1 − x = (a, b) ∈ R2 : x + (−x) = 0R2 .

x + (−x) = 0R2 ⇔ (x1 , x2 ) + (a, b) = (0, 0) (1)

⇔ (x1 + a, x2 + b) = (0, 0) (2)

⇔ x1 + a = 0 ∧ x2 + b = 0 (3)

⇔ a = −x1 ∧ b = −x2 . (1) por definição da operação soma de vectores.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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(2) igualdade de dois elementos de R2 . (3) pelas propriedades dos números reais. Assim, conclui-se que −x = (−x1 , −x2 ) é o elemento simétrico do elemento x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , sendo a propriedade (d) válida. Propriedade (e) Definição geral: ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y. Exemplo presente: ∀α ∈ R, ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 : α(x + y) = αx + αy.

α(x + y) = α((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) (1)

= α(x1 + y1 , x2 + y2 )

(2)

= (α(x1 + y1 ), α(x2 + y2 ))

(3)

= (αx1 + αy1 , αx2 + αy2 ).

(e.1)

αx + αy = α(x1 , x2 ) + α(y1 , y2 ) (2)

= (αx1 , αx2 ) + (αy1 , αy2 )

(1)

= (αx1 + αy1 , αx2 + αy2 ).

(e.2)

(1) por definição da operação soma de vectores. (2) por definição da operação multiplicação de um vector por um escalar. (3) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma em R.

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4 Espac¸os Vectoriais

Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (e) é válida. Propriedade (f ) Definição geral: ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V : (α + β) x = α x ⊕ β x. Exemplo presente: ∀α, β ∈ R, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (α + β)x = αx + βx.

(α + β)x = (α + β)(x1 , x2 ) (1)

= ((α + β)x1 , (α + β)x2 )

(2)

= (αx1 βx1 , αx2 + βx2 ).

(f.1)

αx + βx = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) (1)

= (αx1 , αx2 ) + (βx1 , βx2 )

(3)

= (αx1 + βx, αx2 + βx2 ).

(f.2)

(1) por definição da operação multiplicação de um vector por um escalar. (2) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma em R. (3) por definição da operação soma de vectores. Como as expressões (f.1) e (f.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (f) válida. Propriedade (g) Definição geral:

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V : (α · β) x = α (β x). Exemplo presente: ∀α, β ∈ R, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (αβ)x = α(βx).

(αβ)x = (αβ)(x1 , x2 ) (1)

= ((αβ)x1 , (αβ)x2 )

(2)

= (αβx1 , αβx2 ).

(g.1)

α(βx) = α(β(x1 , x2 )) (1)

= α(βx1 , βx2 )

(1)

= (α(βx1 ), α(βx2 ))

(2)

= (αβx1 , αβx2 ).

(g.2)

(1) por definição da operação multiplicação de um vector por um escalar. (2) pela propriedade associativa da multiplicação de números reais. Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (g) válida. Propriedade (h) Definição geral: ∀x ∈ V : 1 x = x. Exemplo presente: ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : 1x = x.

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4 Espac¸os Vectoriais

1x = 1(x1 , x2 ) (1)

= (1x1 , 1x2 )

(2)

= (x1 , x2 )

= x. (1) por definição da operação multiplicação de um vector por um escalar. (2) 1 é o elemento neutro da multiplicação de reais. Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida. Assim, uma vez que as oito propriedades da definição 4.2def de espaço vectorial são verificadas, conclui-se que o conjunto R2 com as operações usuais é um espaço vectorial real. 4.8exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações usuais são espaços vectoriais reais: (a) Kn . (b) Mm×n (K). (c) K[x]. (d) C(a, b). res

(a) Exercício. (b) Exercício. (c) Exercício. (d) Exercício.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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4.9exe Mostre que o conjunto Mn×n (R) com as operações ⊕ : Mn×n (R) × Mn×n (R) −→

7−→ A ⊕ B = AT + B T

(A, B)

:

Mn×n (R)

R × Mn×n (R)

−→

Mn×n (R)

(α, A)

7−→

α A = αA,

não define um espaço vectorial real. res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto, e por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades (apesar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso das propriedades das operações com matrizes). Note-se que neste exercício, uma vez que a definição de uma das operações não é a usual — soma de elementos de Mn×n (R) —, usa-se a notação x ⊕ y e α x. Propriedade (a) Definição geral: ∀x, y ∈ V : x ⊕ y = y ⊕ x. Exemplo presente: ∀A, B ∈ Mn×n (R) : A ⊕ B = B ⊕ A.

A ⊕ B = AT + B T .

(a.1)

B ⊕ A = B T + AT = AT + B T .

(a.2)

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4 Espac¸os Vectoriais

Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (a) é válida. Propriedade (b) Definição geral: ∀x, y, z ∈ V : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z). Exemplo presente: ∀A, B, C ∈ Mn×n (R) : (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C).

(A ⊕ B) ⊕ C = (AT + B T ) ⊕ C = (AT + B T )T + C T = ((AT )T + (B T )T ) + C T = A + B + CT .

(b.1)

A ⊕ (B ⊕ C) = A ⊕ (B T + C T ) = AT + (B T + C T )T = AT + ((B T )T + (C T )T ) = AT + B + C.

(b.2)

Como existem elementos de Mn×n (R) tais que produzem expressões diferentes para (b.1) e (b.2), conclui-se que a propriedade (b) não é válida. Propriedade (c) Definição geral: ∃1 elemento de V (representado por 0V ), ∀x ∈ V : x ⊕ 0V = x. Exemplo presente:

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

91

∃1 elemento de Mn×n (R) (representado por 0), ∀A ∈ Mn×n (R) : A ⊕ 0 = A.

T

A ⊕ 0 = A ⇔ AT + 0 = A T

⇔ 0 = A − AT ⇔ 0 = (A − AT )T ⇔ 0 = AT − A.

Assim, uma vez que 0 não é independente de A, conclui-se que a propriedade (c) não é válida. Propriedade (d) Definição geral: ∀x ∈ V, ∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) = 0V . Exemplo presente: Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe elemento neutro da soma (ver propriedade anterior). Propriedade (e) Definição geral: ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y. Exemplo presente: ∀α ∈ R, ∀A, B ∈ Mn×n (R) : α (A ⊕ B) = α A ⊕ α B.

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4 Espac¸os Vectoriais

α (A ⊕ B) = α (AT + B T ) = α(AT + B T ) = αAT + αB T .

(e.1)

α A ⊕ α B = αA ⊕ αB = (αA)T + (αB)T = αAT + αB T .

(e.2)

Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (e) é válida. Propriedade (f ) Definição geral: ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β) x = α x ⊕ β x. Exemplo presente: ∀α, β ∈ R, ∀A ∈ Mn×n (R) : (α + β) A = α A ⊕ β A.

(α + β) A = (α + β)A = αA + βA.

(f.1)

α A ⊕ β A = αA ⊕ βA = (αA)T + (βA)T = αAT + βAT .

(f.2)

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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Como existem elementos de Mn×n (R) tais que produzem expressões diferentes para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é válida. Propriedade (g) Definição geral: ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β) x = α (β x). Exemplo presente: ∀α, β ∈ R, ∀A ∈ Mn×n (R) : (α · β) A = α (β A).

(α · β) A = (αβ) A = αβA.

(g.1)

α (β A) = α (βA) = αβA.

(g.2)

Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (g) é válida. Propriedade (h) Definição geral: ∀x ∈ V : 1 x = x. Exemplo presente: ∀A ∈ Mn×n (R) : 1A = A.

1A = A.

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4 Espac¸os Vectoriais

Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida. Como as propriedades (b), (c), (d) e (f) da definição 4.2def não são válidas, conclui-se que o conjunto Mn×n (R) com as operações dadas não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava uma propriedade falhar para se concluir que não se estava perante um espaço vectorial). 4.10exe Mostre que o conjunto R2 com as operações ⊕:

R2 × R2

R2

−→

((a, b), (c, d)) 7−→ (a, b) ⊕ (c, d) = (0, b + d),

:

R × R2

−→

R2

(α, (a, b))

7−→

α (a, b) = (2αa, 2αb),

não define um espaço vectorial real. res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto, e por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades. Note-se que neste exercício, uma vez que a definição das duas operações não é a usual, usa-se a notação x ⊕ y e α x. Apesar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso das propriedades dos números reais. Propriedade (a) Definição geral: ∀x, y ∈ V : x ⊕ y = y ⊕ x. Exemplo presente:

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 : x ⊕ y = y ⊕ x.

x ⊕ y = (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (0, x2 + y2 ).

(a.1)

y ⊕ x = (y1 , y2 ) ⊕ (x1 , x2 ) = (0, y2 + x2 ) = (0, x2 + y2 ).

(a.2)

Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Definição geral:

∀x, y, z ∈ V : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z).

Exemplo presente:

∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2 : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z).

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4 Espac¸os Vectoriais

(x ⊕ y) ⊕ z = ((x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 )) ⊕ (z1 , z2 ) = (0, x2 + y2 ) + (z1 , z2 ) = (0, (x2 + y2 ) + z2 ) = (0, x2 + y2 + z2 ).

(b.1)

x ⊕ (y ⊕ z) = (x1 , x2 ) ⊕ ((y1 , y2 ) ⊕ (z1 , z2 )) = (x1 , x2 ) + (0, y2 + z2 ) = (0, x2 + (y2 + z2 )) = (0, x2 + y2 + z2 ).

(b.2)

Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (b) é válida. Propriedade (c) Definição geral: ∃1 elemento de V (representado por 0V ), ∀x ∈ V : x ⊕ 0V = x. Exemplo presente: ∃1 elemento de R2 (representado por 0 = (a, b)), ∀x ∈ R2 : x ⊕ 0 = x.

x ⊕ 0 = x ⇔ (x1 , x2 ) ⊕ (a, b) = (x1 , x2 ) ⇔ (0, x2 + b) = (x1 , x2 ) ⇔ 0 = x1 ∧ x2 + b = x2 ⇔ x1 = 0 ∧ b = 0.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é satisfeita, pois não só o vector 0 não é único, como não é possível que a relação fosse satisfeita para qualquer elemento de x ∈ R2 . Propriedade (d) Definição geral: ∀x ∈ V, ∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) = 0V . Exemplo presente: Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe elemento neutro da soma (ver propriedade anterior). Propriedade (e) Definição geral: ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y. Exemplo presente: ∀α ∈ R, ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y

α (x ⊕ y) = α ((x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 )) = α (0, x2 + y2 ) = (0, 2α(x2 + y2 )) = (0, 2αx2 + 2αy2 ).

(e.1)

α x ⊕ α y = α (x1 , x2 ) ⊕ α (y1 , y2 ) = (2αx1 , 2αx2 ) ⊕ (2αy1 , 2αy2 ) = (0, 2αx2 + 2αy2 ).

(e.2)

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4 Espac¸os Vectoriais

Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade (e) é válida. Propriedade (f ) Definição geral: ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β) x = α x ⊕ β x. Exemplo presente: ∀α, β ∈ R, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (α + β) x = α x ⊕ β x.

(α + β) x = (α + β) (x1 , x2 ) = (2(α + β)x1 , 2(α + β)x2 ) = (2αx1 + 2βx1 , 2αx2 + 2βx2 ).

(f.1)

α ⊕xβ x = α (x1 , x2 ) ⊕ β (x1 , x2 ) = (2αx1 , 2αx2 ) ⊕ (2βx1 , 2βx2 ) = (0, 2αx2 + 2βx2 ).

(f.2)

Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é válida. Propriedade (g) Definição geral: ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β) x = α (β x). Exemplo presente: ∀α, β ∈ KR, ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (α · β) x = α (β x).

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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(α · β) x = (α · β) (x1 , x2 ) = (2(αβ)x1 , 2(αβ)x2 ) = (2αβx1 , 2αβx2 ).

(g.1)

α (β x) = α (β (x1 , x2 )) = α (2βx1 , 2βx2 ) = (2α(2βx1 ), 2α(2βx2 )) = (4αβx1 , 4αβx2 ).

(g.2)

Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes para (g.1) e (g.2), conclui-se que a propriedade (g) não é válida. Propriedade (h) Definição geral: ∀x ∈ V : 1 x = x. Exemplo presente: ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : 1 x = x.

1x = 1(x1 , x2 ) = (2x1 , 2x2 ) 6= (x1 , x2 ) = x. Assim, conclui-se que a propriedade (h) não é válida.

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4 Espac¸os Vectoriais

Como as propriedades (c), (d), (f), (g) e (h) da definição 4.2def não são satisfeitas, conclui-se que o conjunto R2 com as operações dadas não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava uma propriedade não se verificar para se concluir que não se estava perante um espaço vectorial). 4.11teo Seja V um espaço vectorial. Então, (a) ∀α ∈ K : α0V = 0V . (b) ∀x ∈ V : 0x = 0V . (c) ∀α ∈ K, ∀x ∈ V : −(αx) = (−α)x e (−α)(−x) = αx. (d) ∀α ∈ K, ∀x ∈ V : αx = 0V ⇒ (α = 0 ∨ x = 0V ). (e) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V \ {0V } : αx = βx ⇒ α = β. (f) ∀x1 , x2 ∈ V : x1 + x = x2 ⇒ x = x2 − x1 . (g) ∀x, x1 , x2 ∈ V : x + x1 = x + x2 ⇒ x1 = x2 . 4.12def JsubespaçoK Sejam o espaço vectorial (V, ⊕, , K, +, ·) e F um subcon-

junto não-vazio de V . Diz-se que F é um subespaço V se (F, ⊕, , K, +, ·) ainda for espaço vectorial.

4.13teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e F ⊂ V . Então, F é um subespaço de V se e só se: (a) 0V ∈ F . (b) ∀x, y ∈ F : x + y ∈ F . (c) ∀α ∈ K, ∀x ∈ F : αx ∈ F . 4.14obs Note-se que o teorema 4.13teo é um processo mais prático de verificar se um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço do que a definição 4.12def .

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

101

4.15exe Mostre que F = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 = 0} é um subespaço de R2 . res Sendo F ⊂ R2 , verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo : Propriedade (a) 0R2 = (0, 0) ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida. Propriedade (b) Sejam x = (x1 , 0), y = (y1 , 0) ∈ F . Então, x + y = (x1 , 0) + (y1 , 0) = (x1 + y1 , 0) ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida. Propriedade (c) Sejam α ∈ K e x = (x1 , 0) ∈ F . Então, αx = α(x1 , 0) = (αx1 , 0) ∈ F , pelo que a propriedade (c) é válida. Conclui-se, assim, que F é um subespaço de R2 . 4.16exe Mostre que o conjunto das matrizes simétricas de ordem n é um subespaço de Mn×n (K). res Seja F o conjunto das matrizes simétricas de ordem n, i.e., F = {A ∈ Mn×n (K)|A = AT }, que é um subconjunto de Mn×n (K). Verifiquemse, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo : Propriedade (a) 0Mn×n (K) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida. Propriedade (b) Sejam A, B ∈ F . Então, (A + B)T = AT + B T = A + B, A + B ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida. Propriedade (c)

102

4 Espac¸os Vectoriais

Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)T = αAT = αA, αA ∈ F , pelo que a propriedade (c) é válida. Conclui-se, assim, que F é um subespaço de Mn×n (K). 4.17exe Mostre que: (a) O conjunto das matrizes reais e diagonais de ordem n é um subespaço de Mn×n (R). (b) Kn [x] é um subespaço de K[x]. (c) C k (a, b) é um subespaço de C(a, b) (d) C ∞ (a, b) é um subespaço de C k (a, b). (e) {0V } é um subespaço de V . (f) V é um subespaço de V . res

(a) Exercício. (b) Exercício. (c) Exercício. (d) Exercício. (e) Exercício. (f) Exercício.

4.18exe Mostre que o conjunto G = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 = 1} não é um subespaço de R2 . res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma propriedade do teorema 4.13teo que não é satisfeita. No entanto, e por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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Sendo G ⊂ R2 , verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo : Propriedade (a) 0R2 = (0, 0) ∈ / G, pelo que a propriedade (a) não é válida. Propriedade (b) Sejam x = (x1 , 1), y = (y1 , 1) ∈ G. Então, x + y = (x1 , 1) + (y1 , 1) = (x1 + y1 , 2) ∈ / G, pelo que a propriedade (b) não é válida. Propriedade (c) Sejam α ∈ K e x = (x1 , 1) ∈ G. Então, αx = α(x1 , 1) = (αx1 , α) ∈ / G, pelo que a propriedade (c) não é válida. Como as propriedades (a), (b) e (c) do teorema 4.13teo não são satisfeitas, conclui-se que o conjunto G não é um subespaço de R2 (volta-se a frisar que bastava uma propriedade não se verificar para se concluir que não se estava perante um subespaço). 4.19exe Mostre que o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n não é um subespaço de Mn×n (C). res Seja F o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n, i.e., F = {A ∈ Mn×n (C)|A = AH }, que é um subconjunto de Mn×n (C). Verifiquemse, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo : Propriedade (a) 0Mn×n (C) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida. Propriedade (b) Sejam A, B ∈ F . Então, como (A + B)H = AH + B H = A + B, A + B ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida.

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4 Espac¸os Vectoriais

Propriedade (c) / F. Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)H = αAH = αA, αA ∈ Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é válida. Como a propriedade (c) do teorema 4.13teo não é satisfeita, conclui-se que o conjunto G não é um subespaço de Mn×n (C). 4.20teo Seja A ∈ Mm×n (K). Então, CSAx=0 é um subespaço de Kn . dem Para mostrar que CSAx=0 ⊂ Kn é um subespaço de Kn , aplique-se o teorema 4.13teo (no que se segue identifia-se Kn com Mn×1 (K)): Propriedade (a) Seja Como A0n×1 = 0, tem-se que 0Kn = 0n×1 ∈ CSAx=0 , pelo que a propriedade (a) é válida. Propriedade (b) Sejam x1 , x2 ∈ CSAx=0 . Então, como A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0, tem-se que x1 + x2 ∈ CSAx=0 , pelo que a propriedade (b) é válida. Propriedade (c) Sejam α ∈ K e x ∈ CSAx=0 . Então, como A(αx) = α(Ax) = α0 = 0, tem-se que αx ∈ CSAx=0 , pelo que a propriedade (c) é válida. Assim, conclui-se que CSAx=0 é um subespaço de Kn . 4.21def Jcombinação linearK Sejam V um espaço vectorial sobre K, x ∈ V e S = {x1 , . . . , xk } ⊂ V . Diz-se que x é uma combinação linear dos elementos de S se ∃α1 , . . . , αk ∈ K : x = α1 x1 + · · · + αk xk .

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

105

4.22exe Sejam x = (1, 4), x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). (a) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e x2 = (1, 1) e escreva x como combinação linear de x1 e de x2 . (b) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). (c) Mostre que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). res

(a) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e x2 = (1, 1) é, por definição, mostrar que ∃α, β ∈ R : x = αx1 + βx2 , i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sa ) dado por   α + β = 1 (1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) ⇔  2α + β = 4. Então, como     1 1 1 ←−−−−−−−−−→ 1 1 1  ,   2 1 4 `2 ← `2 − 2`1 0 −1 2 a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sa ) é possível, concluindose que x é uma combinação linear de x1 e x2 . Para escrever x como combinação linear de x1 e x2 , resolve-se o sistema (Sa ), tendo-se   α = 3  β = −2, vindo x = 3x1 − 2x2 .

106

4 Espac¸os Vectoriais

(b) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) é, por definição, mostrar que ∃α, β, γ ∈ R : x = αx1 + βx2 + γx3 , i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sb ) dado por (1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) + γ(2, 2) ⇔   α + β + 2γ = 1  2α + β + 2γ = 4. Então, como     2 1 1 1 2 1 ←−−−−−−−−−→ 1 1   ,  2 1 2 4 0 −1 −2 2 `2 ← `2 − 2`1 a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sb ) é possível, concluindose que x é uma combinação linear de x1 , x2 e x3 . Para escrever x como combinação linear de x1 , x2 e x3 , resolve-se o sistema (Sb ), tendo-se    α = 3   β = −2 − 2a     γ = a ∈ R, vindo x = 3x1 + (−2 − 2a)x2 + ax3 , a ∈ R. (c) Mostrar que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) é equivalente a mostrar que é impossível o sistema

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

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de equações lineares (Sc ) dado por   α + β = 1 (1, 4) = α(1, 1) + β(2, 2) ⇔  α + β = 4. Então, como     1 1 1 ←−−−−−−−−−→ 1 1 1    , 1 1 4 `2 ← `2 − `1 0 0 3 a característica da matriz dos coeficientes é menor do que a característica da matriz ampliada, o sistema (Sc ) é impossível, concluindose que x não é uma combinação linear de x2 e x3 . 4.23def Jespaço gerado, L(S), hx1 , . . . , xn iK Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . Chama-se espaço gerado pelo conjunto S,

que se representa por L(S) ou por hx1 , . . . , xn i, ao conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S. 4.24teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ U ⊂. Então, (a) L(S) é um subespaço de V . (b) U subespaço de V ⇒ L(S) ⊂ U . 4.25obs Sejam V um espaço vectorial K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . Então, (a) L(S) = {α1 x1 + · · · + αn xn |α1 , . . . , αn ∈ K}. (b) Chama-se ao conjunto L(S) espaço gerado devido à alínea (a) do teorema anterior. (c) L(S) é o “menor” subespaço de V que contém S no sentido da alínea (b) do teorema anterior..

108

4 Espac¸os Vectoriais

4.26def Jconjunto geradorK Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . Diz-se que S é um conjunto gerador de V se V = L(S). 4.27obs Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . Então, S é um conjunto gerador de V se ∀x ∈ V, ∃α1 , . . . , αn ∈ K : x = α1 x1 + · · · + αn xn , i.e., que é possível o sistema de equações lineares x = α1 x1 +· · ·+αn xn , qualquer que seja x ∈ V . 4.28exe

(a) Verifique se R2 = h(2, 0)i. (b) Verifique se R2 = h(2, 0), (3, 4)i. (c) Verifique se R2 = h(2, 0), (3, 4), (0, 1)i.

res

(a) Verificar se R2 = h(2, 0)i é equivalente a verificar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , é possível o sistema de equações lineares (S1 ) dado por   2α = x1 (x1 , x2 ) = α(2, 0) ⇔  0α = x . 2 Então, como a representação matricial do sistema (S1 ) é  

1 x1 0 x2

 ,

que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes é menor do que a característica da matriz ampliada se x2 6= 0, pelo que o sistema (S1 ) nem sempre é possível, concluindo-se que R2 6= h(1, 0)i, i.e., {(2,0)} não é um conjunto gerador de R2 .

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

109

(b) Verificar se R2 = h(2, 0), (3, 4)i é equivalente a verificar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , é possível o sistema de equações lineares (S2 ) dado por   2α + 3β = x1 (x1 , x2 ) = α(2, 0) + β(3, 4) ⇔  0α + 4β = x . 2 Então, como a representação matricial do sistema (S2 ) é   2 3 x1  , 0 4 x2 que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , pelo que o sistema (S2 ) é sempre possível, concluindo-se que R2 = h(2, 0), (3, 4)i, i.e., {(2,0),(3,4)} é um conjunto gerador de R2 . (c) Verificar se R2 = h(2, 0), (3, 4), (0, 1)i é equivalente a verificar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , é possível o sistema de equações lineares (S3 ) dado por (x1 , x2 ) = α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) ⇔   2α + 3β + 0γ = x1  0α + 4β + γ = x . 2

Então, como a representação matricial do sistema (S3 ) é   2 3 0 x1   0 4 1 x2 que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja

110

4 Espac¸os Vectoriais

x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , pelo que o sistema (S3 ) é sempre possível, concluindo-se que R2 = h(2, 0), (3, 4), (0, 1)i, i.e., {(2,0),(3,4),(0,1)} é um conjunto gerador de R2 . 4.29obs

(a) Um espaço vectorial pode admitir diversos conjuntos geradores. (b) Cojuntos geradores distintos podem gerar o mesmo espaço vectorial.

4.30def Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . (a) Jconjunto linearmente independenteK Diz-se que S é um conjunto linearmente independente se ∀α1 , . . . , αn ∈ K : α1 x1 +· · ·+αn xn = 0V ⇒ α1 = · · · = αn = 0. (b) Jvectores linearmente independentesK Se S é um conjunto linearmente independente, os elementos de S dizem-se vectores linearmente independentes. (c) Jconjunto linearmente dependenteK Se S não é um conjunto linearmente independente, diz-se que S é um conjunto linearmente dependente. (d) Jvectores linearmente dependentesK Se S é um conjunto linearmente dependente, os elementos de S dizem-se vectores linearmente dependentes. 4.31exe

(a) Indique, justificando, se {(2, 0)} é um conjunto linearmente independente ou linearmente dependente. (b) Indique, justificando, se {(2, 0), (3, 4)} é um conjunto linearmente independente ou linearmente.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

111

(c) Indique, justificando, se {(2, 0), (3, 4), (0, 1)} é um conjunto linearmente independente ou linearmente dependente. res

(a) Como   2α = 0 ⇔ α = 0, α(2, 0) = (0, 0) ⇔  0α = 0 conclui-se que {(2, 0)} é um conjunto linearmente independente. (b) Como α(2, 0) + β(3, 4) = (0, 0) ⇔    2α + 3β = 0  α = 0, ⇔  0α + 4β = 0  β = 0, conclui-se que {(2, 0), (3, 4)} é um conjunto linearmente independente. (c) Como (x1 , x2 )α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) = (0, 0) ⇔     α = 3a  8 ,  2α + 3β + 0γ = 0  ⇔ β = − a4 ,  0α + 4β + γ = 0     γ = a ∈ R, conclui-se que {(2, 0), (3, 4), (0, 1)} é um conjunto linearmente dependente.

4.32teo Sejam V um espaço vectorial e S1 ⊂ S = {x1 , . . . , xn } ⊂ S2 ⊂ V . (a) Se S é um conjunto linearmente dependente, então, S2 é um conjunto linearmente dependente.

112

4 Espac¸os Vectoriais

(b) se S é um conjunto linearmente independente, então, S1 é um conjunto linearmente independente. 4.33def JbaseK Sejam V um espaço vectorial e S = {x1 , . . . , xn } ⊂ V . Diz-se que S é uma base de V se S é um conjunto gerador de V linearmente independente. 4.34exe

(a) Indique, justificando, se {(2, 0)} é uma base de R2 . (b) Indique, justificando, se {(2, 0), (3, 3)} é uma base de R2 . (c) Indique, justificando, se {(2, 0), (3, 3), (0, 1))} é uma base de R2 .

res

(a) Atendendo ao exercício 4.30exe (a), {(2, 0)} não é um conjunto gerador de R2 , pelo que também não é uma sua base. (b) Atendendo aos exercícios 4.30exe (b) e 4.35exe (b), {(2, 0), (3, 3)} é um conjunto gerador de R2 linearmente independente, pelo que é uma base de R2 . (c) Atendendo ao exercício 4.30exe (c), {(2, 0), (3, 3), (0, 1)} não é um conjunto linearmente independente, pelo que também não é uma base de R2 .

4.35def Jbase ordenadaK Sejam V um espaço vectorial e S = (x1 , . . . , xn ) ∈ V n .

Diz-se que S é uma base ordenada de V se S = {x1 , . . . , xn } é uma base de V .

4.36obs O objectivo da definição anterior é permitir distinguir entre ordenações diferentes dos seus elementos, situação que não acontece em conjuntos. Faz sentido, agora, a seguinte definição: 4.37def Jcoordenadas de um vector numa base ordenadaK Sejam V um espaço

vectorial, S = (x1 , . . . , xn ) uma base ordenada de V e x ∈ V . Chama-

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

113

se coordenadas do vector x relativamente à base ordenada S, que se representa por [x]S , a (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn se x = α1 x1 + · · · + αn xn .

4.38obs Como uma base é um conjunto linearmente independente, o sistema linear que é necessário resolver para determinar as coordenadas de um vector numa base ordenada é sempre possível e determinado, pelo que as coordenadas de um vector numa base ordenada são únicas. 4.39exe

(a) Seja S1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3 . Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S1 . (b) Seja S2 = ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3 . Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S2 . (c) Seja S3 = ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)) uma base ordenada de R3 . Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S3 .

res

(a) Como (0, 2, 3) = 0(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S1 = (0, 2, 3). (b) Como (0, 2, 3) = 2(0, 1, 0)+0(1, 0, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S2 = (2, 0, 3). (c) Para responder à questão, tem que se resolver o sistema α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) = (0, 2, 3) ⇔    α + γ = 0   α + β = 2     α + β + γ = 3.

114

4 Espac¸os Vectoriais

Recorra-se, agora, ao método de Gauss:    1 0 1 0 ←−−−−−−−−−→ 1        1 1 0 2  `2 ← `2 − `1  0    `3 ← `3 − `1 1 1 1 3 0  ←−−−−−−−−−→ 1    0  `3 ← `3 − `1 0

0

1

0



  1 −1 2   1 0 3  0 1 0   1 −1 2  ,  0 1 1

tendo-se    α = −1,   β = 3,     γ = 1,

pelo que (0, 2, 3) = −(1, 1, 1)+3(0, 1, 1)+(1, 0, 1), ou seja, [x]S3 = (−1, 3, 1). 4.40exe Seja S = ([ 10 00 ] , [ 00 10 ] , [ 01 00 ] , [ 00 01 ]) uma base ordenada de M2×2 (R).  3 Determine as coordenadas de A = −2 5 4 na base ordenada S2 . res Como

 −2 3  5 4

= −2 [ 10 00 ] + 3 [ 00 10 ] + 5 [ 01 00 ] + 4 [ 00 01 ], tem-se que [A]S =

(−2, 3, 5, 4). 4.41teo Sejam V um espaço vectorial e o conjunto {x1 , . . . , xn } uma base de V . Então, todas as bases de V têm n vectores. 4.42def Jdimensão de um espaço vectorial, dim(V ), espaço vectorial de dimen-

são finitaK Sejam V um espaço vectorial e {x1 , . . . , xn } uma base de V . Chama-se dimensão do espaço vectorial V ao número de elementos

que constituem a base, escrevendo-se dim(V ) = n. Diz-se, ainda, que V é um espaço vectorial de dimensão finita.

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

4.43obs

115

(a) Note-se que a definição anterior faz sentido pois o teorema que a precede garante que todas as bases de um espaço vectorial têm o mesmo número de elementos. (b) Seja V um espaço vectorial. Então, dim({0V }) = 0.

4.44teo

(a) dim(R3 ) = 3 e {e1 , e2 , e3 }, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), e {f1 , f2 , f3 }, f1 = (−1, 0, 0), f2 = (0, 1, 1), f3 = (1, 1, 1), são dois exemplos de bases de R3 (à primeira chama-se base canónica de R3 ). (b) dim(Rn ) = n. (c) dim(M2×3 (R)) = 6 e {E11 , E12 , E13 , E21 , E22 , E23 }, em que E11 = [ 10 00 00 ] , E12 = [ 00 10 00 ] , E13 = [ 00 00 10 ] , E21 = [ 01 00 00 ] , E22 = [ 00 01 00 ] , E23 = [ 00 00 01 ] , é uma base de M2×3 (R) (base canónica de M2×3 (R)). (d) dim(Mm×n (R)) = mn. (e) dim(R2 [x]) = 3 e {1, x, x2 } é uma base de R2 [x] (base canónica de R2 [x]). (f) dim(Rn [x]) = n + 1. (g) C(a, b) não é um espaço vectorial de dimensão finita.

4.45teo Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n e S um subconjunto de V com n elementos. (a) Se S é um conjunto linearmente independente, então S é uma base de V .

116

4 Espac¸os Vectoriais

(b) Se S é um conjunto gerador de V , então S é uma base de V . 4.46teo Sejam V um espaço vectorial com dimensão finita e X e Y subespaços de V . Então, (a) dim(X) 6 dim(V ). (b) dim(X) = dim(V ) se e só se X = V . 4.47def Jespaço nulo de uma matrizK Seja A ∈ Mm×n (K). Chama-se espaço nulo da matriz A, que se representa por N (A), a CSAx=0 . 4.48teo Seja A ∈ Mm×n (K). (a) dim(L(`1,A ; . . . , `m,A ) = c(A). (b) dim(L(c1,A ; . . . , cn,A ) = c(A). (c) dim(N (A)) é igual ao número de variáveis livres do sistema Ax = 0. 4.49obs Seja A ∈ Mn×n (K). Então, (a) {c1,A , . . . , cn,A } é um conjunto linearmente dependente se é só se det(A) = 0. (b) {c1,A , . . . , cn,A } é um conjunto linearmente independente se é só se det(A) 6= 0. (c) {`1,A , . . . , `n,A } é um conjunto linearmente dependente se é só se det(A) = 0. (d) {`1,A , . . . , `n,A } é um conjunto linearmente independente se é só se det(A) 6= 0. 4.50exe Determine o espaço nulo e a sua dimensão das seguintes matrizes:

4.1 Apontamentos sobre Espac¸os Vectoriais

117

(a) A = [ 12 02 ]. (b) B = [ 12 12 10 12 ]. res

(a)    ←−−−−−−−−−→ 1 0 0    ⇒ 2 2 0 `2 ← `2 − 2`1 0 2 0 

1 0 0

  x1 = 0 ⇒  x = 0, 2 ou seja, N (A) = {(0, 0)}. Como o sistema não tem variáveis livres, tem-se que dim(N (A)) = 0. (b) Comece-se por determinar N (B):     1 1 1 1 0 ←−−−−−−−−−→ 1 1 1 1 0   ⇒  `2 ← `2 − 2`1 2 2 0 2 0 0 0 −2 0 0   x1       x2   x3      x 4

= −α − β, = α ∈ R, =0 = β ∈ R,

ou seja, N (B) = {(−α − β, α, 0, β)|α, β ∈ R} = {α(−1, 1, 0, 0) + β(−1, 0, 0, 1)|α, β ∈ R} = h(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)i.

118

4 Espac¸os Vectoriais

Assim, {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)} é uma base de N (B) pois é um conjunto linearmente independente (verificar). 4.51obs Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n. Então, (a) quaisquer m vectores de V com m > n são linearmente dependentes. (b) C conjunto de geradores de V ⇒ #C > n. (c) C conjunto de n vectores linearmente independentes de V ⇒ C conjunto gerador. (d) C conjunto de n vectores geradores de V ⇒ os vectores são linearmente independentes. (e) C conjunto de geradores de V constituído por vectores linearmente independentes ⇒ #C = n.

4.2 Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais

4.2

119

Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais

4.1exe Mostre que o conjunto R+ com as operações ⊕ : R+ × R+ −→

7−→ x ⊕ y = xy,

(x, y)

:

R+

R × R+

−→

R+

7−→ α x = xα

(α, x)

é um espaço vectorial real. 4.2exe Mostre que o conjunto R com as operações ⊕ : R × R −→ (x, y)

7−→

R x ⊕ y = x + y + 1,

: R × R −→ (α, x)

R αx + α + x − 1 7 → α x= − 2

é um espaço vectorial real. 4.3exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações indicadas não são espaços vectoriais reais, identificando as propriedades da definição de espaço vectorial que não são verificadas: (a) R2 , (a, b) ⊕ (c, d) = (a, b) e α (a, b) = (αa, αb). (b) R2 , (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) e α (x1 , x2 ) = (α2 x1 , α2 x2 ). (c) R3 , (x1 , x2 , x3 )⊕(y1 , y2 , y3 ) = (x1 +y1 , 0, x2 +y2 ) e α (x1 , x2 , x3 ) = (αx1 , αx2 , αx3 ).

120

4 Espac¸os Vectoriais

4.4exe Mostre que o conjunto R+ com as operações ⊕ : R+ × R+ −→

:

R+

(x, y)

7−→

x ⊕ y = xy ,

R × R+

−→

R+

(α, x)

7−→ α x = xα

não é um espaço vectorial real, identificando as propriedades da definição de espaço vectorial que não são verificadas. 4.5exe Averigue se os seguintes conjuntos são subespaços de R3 : (a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y}. (b) S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y + 2}. 4.6exe Escreva, se possível, o vector v = (3, 3) ∈ R2 como combinação linear dos seguintes vectores de R2 , e interprete geometricamente os resultados obtidos: (a) v1 = (1, 1). (b) v1 = (1, 2). (c) v1 = (1, 2), v2 = (4, 2). (d) v1 = (1, 1), v2 = (2, 2). (e) v1 = (1, −1), v2 = (−1, 1). (f) v1 = (1, −1), v2 = (0, 1), v3 = (2, 0). 4.7exe Sejam u = (1, 2, −4), v = (2, 5, −6), w = (1, −1, −10), r = (1, 0, α) ∈ R3 . (a) Escreva o vector w como combinação linear de u e v.

4.2 Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais

121

(b) Indique para que valores de α ∈ R o vector r é uma combinação linear de u e v. 4.8exe Escreva u = 5t2 − 8t + 6 como combinação linear de v = t2 − t e w = 2t2 − 4. 4.9exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores são conjuntos geradores do espaço vectorial R2 . (a) A = {(1, 0), (0, 1)}. (b) B = {(1, 2), (−1, 0)}. (c) C = {(1, 0), (0, 1), (1, 3)}. (d) D = {(1, 2)}. (e) E = {(1, 2), (2, 4), (−1, −2)}. (f) F = {(1, −1), (−2, 2)}. 4.10exe Seja X = {(1, 0, α), (α, β, β), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3 . Indique para que valores de α e β o conjunto X é um conjunto gerador de R3 . 4.11exe Verifique se os seguintes conjuntos são linearmente independentes: (a) {(3, 1), (4, 2)} em R2 . (b) {(3, 1), (4, −2), (7, 2)} em R2 . (c) {(0, −3, 1), (2, 4, 1), (−2, 8, 5)} em R3 . (d) {(−1, 2, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (8, −6, 1, −5)} em R4 . 4.12exe Indique para que valores do parâmetro real α, os vectores a = (1, −2) e b = (α, −1) de R2 são linearmente independentes.

122

4 Espac¸os Vectoriais

4.13exe Considere no espaço vectorial real R3 os vectores v1 = (α1 , β1 , 1) e v2 = (α2 , β2 , 0) em que α1 , α2 , β1 , β2 ∈ R são constantes reais. Indique, em função de α1 , α2 , β1 e β2 uma condição necessária e suficiente para os vectores v1 e v2 serem linearmente independentes. 4.14exe Considere o espaço vectorial real R3 e um seu subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 |x = y}. Determine dois vectores linearmente independentes u e v de S e mostre que qualquer vector w ∈ S é uma combinação linear de u e v. 4.15exe Mostre que o conjunto               1 1 0 0 0 0 1 0 0 1                       0 0 , 1 1 , 0 0 , 1 0 , 0 1                 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1  é linearmente independente. 4.16exe Sejam V um espaço vectorial e {v1 , v2 , v3 } um conjunto de vectores de V linearmente independente. Então, mostre que os seguintes conjuntos também são linearmente independentes: (a) {v1 , v1 + v2 }. (b) {2v1 , v1 + v2 , −v1 + v3 }. (c) {v1 + v2 , v1 + v3 , v2 + v3 }. 4.17exe Considere no espaço vectorial real R2 [x] os vectores u = 1, v = 1 − x e w = (1 − x)2 . Verifique que os vectores u, v e w são linearmente independentes. 4.18exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R2 :

4.2 Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais

123

(a) A = {(1, 1), (3, 0)}. (b) B = {(1, 1), (0, 2), (2, 3)}. (c) C = {(1, 1), (0, 8)}. (d) D = {(1, −2), (−2, 4)}. 4.19exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R3 [x]: (a) A = {1, x, x2 , x3 }. (b) B = {1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 , x3 }. (c) C = {2, x, x2 + x3 , x + x2 + x3 }. (d) D = {1, 1 + x, x2 + x3 }. 4.20exe Determine os valores do parâmetro α para os quais o conjunto {(α, 6), (1, α)} é uma base de R2 . 4.21exe Considere o seguinte subconjunto do espaço vectorial real R4 : V = {(x, y, z, w) ∈ R4 |x = y − 3z ∧ z = 2w}. (a) Mostre que V é um subespaço vectorial de R4 . (b) Determine uma base e a dimensão de V . 4.22exe Sejam F = {(x, y, z) ∈ R3 |z = 0} um subconjunto de R3 e u1 = (0, 2, 0), u2 = (1, 0, 0) e u3 = (−1, 6, 0) três vectores de R3 . (a) Mostre que F é subespaço vectorial de R3 . (b) Verifique que F = hu1 , u2 , u3 i. (c) O conjunto {u1 , u2 , u3 } é uma base de F ? (d) Indique a dimensão de F .

124

4 Espac¸os Vectoriais

4.23exe Sejam V um espaço vectorial, v1 , v2 , v3 e v4 vectores de V e {v1 , v2 } uma base de V . (a) A = {v1 , v2 , v3 , v4 } é um conjunto gerador de V ? (b) A é constituído por vectores linearmente independentes? (c) B = {v1 } é um conjunto gerador de V ? (d) B é constituído por vectores linearmente independentes? (e) Seja C um subconjunto de V que gera V . Que pode dizer sobre o número de vectores de C? (f) Seja D um subconjunto de V constituído por vectores linearmente independentes. Que pode dizer sobre o número de vectores de D? (g) Em que condições é que E = {v1 , v4 } é um conjunto gerador de V?

˜ dos Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais 4.3 Soluc¸oes

4.3 4.3sol

125

˜ dos Exerc´ıcios sobre Espac¸os Vectoriais Soluc¸oes (a) Propriedades (a), (c), (d) e (f). (b) Propriedades (f). (c) Propriedades (c), (d) e (f).

4.4sol (a), (b), (f) 4.5sol

(a) Sim. (b) Não.

4.6sol

(a) v = 3v1 . (b) v não é uma combinação linear de v1 . (c) v = v1 + 21 v2 . (d) v = αv1 +

3−α 2 v2 ,

α ∈ R.

(e) v não é uma combinação linear de v1 e v2 . (f) v = (β − 3)v1 + βv2 + 4.7sol

(a) w = 7u − 3v. (b) α = −8.

4.8sol u = 8v − 32 w. 4.9sol A, B e C. 4.10sol α ∈ R, β ∈ R \ {0}. 4.11sol

(a) Sim. (b) Não. (c) Sim.

6−β 2 v3 ,

β ∈ R.

126

4 Espac¸os Vectoriais

(d) Não. 4.12sol α ∈ R \ { 12 }. 4.13sol α1 ∈ R, α2 ∈ R \ {0}, β1 ∈ R, β2 ∈ R \ {0}. 4.18sol A e C. 4.19sol A. √ √ 4.20sol α ∈ R \ {− 6, 6}. 4.21sol

(b) Por exemplo, o conjunto {(1, 1, 0, 0), (−6, 0, 2, 1)} é uma base de V e dim(V ) = 2.

4.22sol

(c) Não. (d) dim(F ) = 2.

4.23sol

(a) Sim. (b) Não. (c) Não. (d) Sim. (e) #C > 2. (f) #D 6 2. (g) E é um conjunto gerador de V sse v1 e v4 forem vectores linearmente independentes.