Al1 - Sebenta

´ T´opicos de Algebra Linear Isabel Maria Teixeira de Matos Sec¸c˜ao de Matem´atica Departamento de Engenharia de Electr´onica e Telecomunica¸c˜oes e de Computadores (DEETC-ISEL) 1 de Dezembro de 2007

Conte´ udo 1 MATRIZES 1.1

1 1

1.2

Conceitos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Algebra das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Opera¸c˜oes elementares. Caracter´ıstica de uma matriz . . . . . . . . . . .

10

1.4

Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Inversa de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 DETERMINANTES

5

21

2.1

Conceitos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Defini¸c˜ao de Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Propriedades dos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

O Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5

Aplica¸c˜oes dos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5.1

C´alculo da Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5.2

Resolu¸c˜ao de Sistemas Lineares Poss´ıveis e Determinados . . . . .

26

3 ESPAC ¸ OS VECTORIAIS

29

3.1

Defini¸c˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2

Dependˆencia e Independˆencia Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.1

Caracter´ıstica de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Subespa¸cos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3.1

Subespa¸co gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4

Base e dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.5

Matriz de Mudan¸ca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3

˜ 4 APLICAC ¸ OES LINEARES 4.1

49

N´ ucleo e Imagem. Classifica¸c˜ao de um Morfismo . . . . . . . . . . . . . .

ii

52

4.2

Soma, Multiplica¸c˜ao por Escalar, Composta e Inversa de Aplica¸c˜oes Lineares 58

4.3

Matriz de uma Aplica¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.3.1

66

Rela¸c˜ao entre as diferentes Matrizes de uma Aplica¸c˜ao Linear . .

´ 5 VECTORES e VALORES PROPRIOS

71

5.1

Defini¸c˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.2

Subespa¸cos Pr´oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3

Endomorfismos Diagonaliz´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

iii

Cap´ıtulo 1 MATRIZES

1.1

Conceitos Gerais

Defini¸ c˜ ao 1 Seja F um conjunto n˜ ao vazio onde est˜ ao definidas duas opera¸c˜ oes bin´ arias1 : uma adi¸ c˜ ao e uma multiplica¸ c˜ ao, denotadas por + e ×, respectivamente. Diz-se que (F, +, ×) ´e um corpo se: (A1) A adi¸c˜ao ´e comutativa: ∀x, y ∈ F x + y = y + x; (A2) A adi¸c˜ao ´e associativa: ∀x, y, z ∈ F (x + y) + z = x + (y + z); (A3) A adi¸c˜ao tem elemento neutro 0: ∃0 ∈ F ∀x ∈ F x + 0 = 0 + x = x; (A4) Todo o elemento x de F tem sim´ etrico (−x) em F: ∀x ∈ F ∃(−x) ∈ F x + (−x) = (−x) + x = 0. (M1) A multiplica¸c˜ao ´e comutativa: ∀x, y ∈ F x × y = y × x; (M2) A multiplica¸c˜ao ´e associativa: ∀x, y, z ∈ F (x × y) × z = x × (y × z); (M3) A multiplica¸c˜ao tem elemento neutro 1: ∃1 ∈ F ∀x ∈ F x × 1 = 1 × x = x; (M4) Todo o elemento x de F \ {0} tem inverso x−1 em F \ {0}: ∀x ∈ F \ {0} ∃x−1 ∈ F \ {0} x × x−1 = x−1 × x = 1. (D) A multiplica¸c˜ao ´e distributiva em rela¸c˜ ao ` a adi¸c˜ ao: ∀x, y, z ∈ F x × (y + z) = x × y + x × z. Observa¸c˜ oes 1 — Identifica-se o corpo (F, +, ×) com o conjunto suporte F, sabendo que est˜ao sempre impl´ıcitas as duas opera¸c˜oes nele definidas. 2 — A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais de n´ umeros reais verificam as propriedades referidas na Defini¸c˜ao 1, pelo que, R ´ e um corpo – o corpo dos n´ umeros reais. 1

Uma opera¸c˜ ao bin´ aria em F ´e uma aplica¸c˜ao que faz corresponder a cada par ordenado de elementos de F um (e um s´ o) elemento deste conjunto.

1

3 — A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais de n´ umeros complexos satisfazem as propriedades referidas na Defini¸c˜ao 1, por isso, C ´ e um corpo – o corpo dos n´ umeros complexos. 4 — F = {0, 1} com as opera¸c˜oes

+ 0 1

× 0 1

0 0 1 e

0 0 0 ´e um corpo – o menor

1 1 0 1 0 1 dos corpos finitos. Designa-se por Z2 e ´e o corpo dos inteiros m´ odulo 2. 5 — Neste cap´ıtulo, bem como em todos os que se seguem, trabalhar-se-´a nos corpos R e C (com as opera¸c˜oes usuais). No entanto, toda a teoria apresentada desenvolve-se da mesma maneira em qualquer corpo. Defini¸ c˜ ao 2 Sejam m e n dois n´ umeros naturais. Uma matriz do tipo m × n (com elementos num corpo) ´e um quadro de mn n´ umeros (desse corpo) distribuidos em m linhas e n colunas. A cada um dos n´ umeros que forma a matriz d´ a-se o nome de entrada. Para referenciar (e localizar) uma entrada utilizam-se dois ´ındices, por esta ordem: o ´ındice de linha e o ´ındice de coluna. Uma matriz real (resp.: complexa) ´e uma matriz cujas entradas s˜ ao n´ umeros reais (resp.: complexos). Exemplo i h A = 1 0 −1 2 ´e uma matriz do tipo 1 × 4 (matriz linha). A sua entrada (1, 3) ´e (−1). Mais geralmente, qualquer matriz do tipo 1 × n diz-se uma matriz linha.   3   B =  2  ´e uma matriz do tipo 3 × 1 (matriz coluna). A sua entrada (2, 1) ´e 2. 1 A qualquer matriz do tipo m × 1 chama-se matriz coluna. " # 1 2 3 C= ´e uma matriz do tipo 2 × 3 e ´e uma matriz rectangular (2 6= 3). 4 5 6 Em geral, qualquer matriz do tipo m × n, com m 6= n, diz-se uma matriz rectangular. " D=

1 −1

0 −4 de ordem 2.

# ´e uma matriz do tipo 2 × 2. Tamb´em se diz uma matriz quadrada

Mais geralmente, qualquer matriz do tipo n × n denomina-se matriz quadrada de ordem n.

2

Nota¸ c˜ ao Se A ´e uma matriz do tipo m × n escreve-se,  a11 a12 · · ·   a21 a22 · · · A= .. ..  .. . .  .

a1n



a2n .. .

    

am1 am2 · · · amn ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , onde i ∈ {1, · · · , m} ´e o ´ındice de linha e j ∈ {1, · · · , n} ´e o ´ındice de coluna. O conjunto das matrizes do tipo m × n com elementos em R (resp.: C) denota-se por R

m×n

(resp.: Cm×n ), Rm,n (resp.: Cm,n ) ou ainda por Mm×n (R) (resp.: Mm×n (C)).

Defini¸ c˜ ao 3 Uma submatriz de uma matriz A, do tipo m × n, ´e uma matriz do tipo p × q, com 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ q ≤ n, obtida por supress˜ ao de alguma(s) linha(s) e/ou alguma(s) coluna(s)de A. Nota¸ c˜ ao Se i1 < i2 < . . . < ip s˜ao elementos distintos de {1, 2, . . . , m} e j1 < j2 < . . . < jq s˜ao elementos distintos de {1, 2, . . . , n} A[i1 , . . . , ip |j1 , . . . , jq ] representa a submatriz de A formada pelos elementos que pertencem `a intersec¸c˜ao das linhas i1 , i2 , . . . , ip e das colunas j1 , j2 , . . . , jq de A; A(i1 , . . . , ip |j1 , . . . , jq ) representa a submatriz de A que se obt´em eliminando as linhas i1 , i2 , . . . , ip e as colunas j1 , j2 , . . . , jq de A. Exemplo 

1

2

 Seja A =  5

6

3

4



 8 . 9 10 11 12 " # h i 1 2 4 Ent˜ao A[1, 3|1, 2, 4] = = A(2|3) e A[2|1, 3] = 5 7 = A(1, 3|2, 4). 9 10 12 7

Defini¸ c˜ ao 4 Seja A = [aij ]n×n uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos diagonais (ou principais) de A s˜ ao os n elementos que tˆem ´ındices de linha e coluna iguais, ou seja, a11 , a22 , . . . , ann . Ao seu conjunto d´ a-se o nome de diagonal principal de A. A sua soma constitui o tra¸ co de A, que se denota por tr(A) (tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann ). A matriz diz-se: • Triangular superior se ∀i > j aij = 0 (s˜ ao nulas todas as entradas ”abaixo”da 3

diagonal principal); • Triangular inferior se ∀i < j aij = 0 (s˜ ao nulas todas as entradas ”acima”da diagonal principal); • Triangular se for triangular superior ou triangular inferior; • Diagonal se ∀i 6= j aij = 0 (s˜ao nulas todas as entradas n˜ ao diagonais); • Escalar se ∀i 6= j aij = 0 (´e Diagonal) e ∃c ∈ F ∀i aii = c (c constante); • Identidade se ∀i 6= j aij = 0 e ∀i aii = 1 (´e Escalar com elemento diagonal igual a 1). Denota-se por In e ´e tamb´em chamada Identidade de ordem n. Frequentemente, escreve-se In = [δij ]n×n , onde δij = 1 se i = j e δij = 0 se i 6= j (δij ´e o chamado s´ımbolo de Kr¨ onecker). • Nula se ∀i∀j aij = 0 (´e Escalar com elemento diagonal igual a 0). Denota-se por 0n e ´e tamb´em chamada matriz nula de ordem n. Observe-se que uma matriz do tipo m × n com todas as entradas iguais a zero tamb´em se designa por matriz nula, denotando-se por 0m×n . Exemplo   1 −1 2   A =  0 0 1  ´e triangular superior. 0 0 3   1 0 0 0    −1 2 0 0   B=  −2 0 1 0  ´e triangular inferior.   3 2 1 1   1 0 0 0    0 2 0 0    ´e diagonal. C=   0 0 3 0  0 0 0 4   5 0 0   D =  0 5 0  ´e escalar. 0 0 5 Defini¸ c˜ ao 5 Seja A = [aij ] uma matriz do tipo m × n. A matriz transposta de A, At , ´e a matriz do tipo n × m cuja entrada (j, i) ´e aij . Exemplo " # 1 A= −1

At =

h

1 −1

i

.

4

 B=

h

2



1  C= 5 9 

1  D= 2 3 " 0 E= 1

2



   2   B = 2 2 2  2 .   2   1 2 3 4   2  Ct =  6 7 8   3  10 11 12 4   2 3 1 2 3   Dt =  2 3 4 3 4  4 5 3 4 5 # " # −1 0 1 Et = . 0 −1 0 i

t

5

9



 6 10  . 7 11   8 12   .

Propriedade Resulta facilmente da defini¸c˜ao que, para qualquer matriz A, (At )t = A.

1.2

´ Algebra das Matrizes

• Igualdade Sejam A = [aij ], B = [bij ] matrizes do mesmo tipo. A = B se e s´o se ∀i, j aij = bij . • Adi¸ c˜ ao Sejam A = [aij ], B = [bij ] matrizes do tipo m × n. A matriz soma A + B ´e uma matriz do tipo m × n, A + B = [cij ], onde ∀i, j cij = aij + bij . Propriedades Sejam A, B, C matrizes do tipo m × n. Ent˜ao: (A1) A + B = B + A; (A2) (A + B) + C = A + (B + C); (A3) Sendo 0m×n a matriz nula (matriz com todas as entradas nulas) do tipo m × n, A + 0 = 0 + A = A; (A4) Se −A ´e a matriz do tipo m × n cujas entradas s˜ao sim´etricas das entradas de A, −A = [−aij ], A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ;

5

(At) (A + B)t = At + B t . Defini¸ c˜ ao de Subtrac¸c˜ ao A − B = A + (−B) = [sij ], onde ∀i, j sij = aij − bij . • Multiplica¸c˜ ao de uma matriz por um escalar Sejam A uma matriz real (complexa) do tipo m × n, A = [aij ] e λ ∈ R (C). O produto escalar de A por λ, λA, ´e uma matriz do tipo m × n, λA = [dij ], onde ∀i, j dij = λaij . Propriedades Sejam A, B matrizes do tipo m × n com entradas em R (C) e α, β ∈ R (C). Ent˜ao: (Pe1) α(A + B) = αA + αB; (Pe2) (α + β)A = αA + βA; (Pe3) (αβ)A = α(βA); (Pe4) 1A = A; (Pet) (αA)t = αAt . Observa¸c˜ ao • Se E ´e uma matriz escalar de ordem n com elemento diagonal a, ent˜ao E = aIn . P • Uma express˜ao do tipo i λi Ai chama-se (como veremos no Cap´ıtulo 3) uma combina¸ c˜ ao linear das matrizes Ai . Exemplo 

1

2





−1

   Sejam A =  −1 0  e B =  −3 4  3 6  3A =  −3 0

7 3   



5

 −1 . Calculemos 3A − 2B. −8   2 −10   , −2B =  −14 2  e

−9 12 

−6

16

5

−4



 3A − 2B = 3A + (−2B) =  −17

 2 . −15 28

• Multiplica¸c˜ ao de matrizes Sejam A uma matriz do tipo m × n, A = [aij ] e B uma matriz do tipo n × p, B = [bjk ]. O produto de A por B, AB, ´e a matriz do tipo m × p, AB = [pik ] onde, ∀i, k pik = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk . Observa¸c˜ oes 1 — O produto de duas matrizes s´o ´e poss´ıvel se o n´ umero de colunas do primeiro factor 6

for igual ao n´ umero de linhas do segundo factor. 2 — A matriz produto tem o n´ umero de linhas do primeiro factor e o n´ umero de colunas do segundo factor. 3 — Cada entrada da matriz produto ´e soma de multiplica¸c˜oes de todos os elementos de uma linha do primeiro factor pelos elementos convenientes (correspondentes) de toda uma coluna do segundo factor. Propriedades . Sejam A, B, C matrizes reais (complexas) compat´ıveis para a multiplica¸c˜ao (isto ´e, tais que (AB)C existe) e λ um n´ umero real (complexo). Ent˜ao: (P1) (AB)C = A(BC); (P2) λ(AB) = (λA)B = A(λB); (P3) Am×n In = Im Am×n = A. Em particular, se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, AIn = In A = A; (Pt) (AB)t = B t At . . Sejam B e C matrizes do mesmo tipo e A uma matriz tal que os produtos que se seguem s˜ao poss´ıveis. Ent˜ao: (PDe) A(B + C) = AB + AC; (PDd) (B + C)A = BA + CA. Exemplo 

1

2



"

  a) Sejam A =  −1 0  e B = −3 4 

−1

5

−1 1

0 1

2



"

  AB =  −1 0  −3 4 

1 × (−1) + 2 × 0

2

1 × 5 + 2 × (−1)

−1 0

# . Calculemos AB e BA.

5

2

−1 1

# =

1×2+2×1





   =  (−1) × (−1) + 0 × 0 (−1) × 5 + 0 × (−1) (−1) × 2 + 0 × 1  =  (−3) × (−1) + 4 × 0 (−3) × 5 + 4 × (−1) (−3) × 2 + 4 × 1   " # 1 2 −1 5 2   e BA =  −1 0  = 0 −1 1 −3 4 " # " (−1) × 1 + 5 × (−1) + 2 × (−3) (−1) × 2 + 5 × 0 + 2 × 4 = = 0 × 1 + (−1) × (−1) + 1 × (−3) 0 × 2 + (−1) × 0 + 1 × 4

7

−1

3

1

−5

3



 −2  −19 −2

−12 6 −2

4

4

# .

" b) Sejam A =

1 0

#

" eB=

1 0

"

e BA =

c) Sejam A =

1 0 1 0

0 0

0 0

" eB= "

AB =

1

#"

1 0

0

#"

1

= #

0

0 0

#

0 0 "

=

0 0 2 0

# .

# . Calculemos AB e BA.

1

0

#

#"

−1 2

1 0 1 0

" =

−1 2

1 0 "

"

1 0

−1 2 1 0

#

1 1

1 1

#

e BA =

#"

1 0 "

"

. Calculemos AB e BA.

1 1 1 0

AB =

#

0 0

#

1 0

#

1 0 "

=

1 0 1 0

# .

Observa¸c˜ oes 1 — Do exemplo anterior conclui-se que o produto de matrizes n˜ ao ´e comutativo, isto ´e, em geral, AB 6= BA. Se A e B s˜ao matrizes quadradas de ordem n tais que AB = BA diz-se que A e B ´ o caso das matrizes em c). s˜ ao permut´aveis. E 2 — Tamb´em do exemplo anterior pode concluir-se que, na multiplica¸c˜ao de matrizes, n˜ ao ´e v´ alida a lei do anulamento do produto. Com efeito, em b), as matrizes A e B consideradas s˜ao ambas n˜ao nulas mas AB ´e a matriz nula.

Defini¸ c˜ ao 6 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potˆencias de expoente inteiro n˜ ao negativo de A definem-se da seguinte forma: ( A0 = In Am+1 = Am A, ∀m ≥ 0

.

Defini¸ c˜ ao 7 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada. Diz-se que A ´e: • sim´ etrica se At = A, ou seja, se ∀i, j aji = aij ; • anti-sim´ etrica (ou hemi-sim´ etrica) se At = −A, ou seja, se ∀i, j aji = −aij .

8

Observa¸c˜ oes Resulta imediatamente da defini¸c˜ao que: . uma matriz sim´etrica tem elementos diagonais arbitr´arios e elementos opostos em rela¸c˜ao `a diagonal principal (correspondem `as entradas (i, j) e (j, i) da matriz) iguais; . uma matriz real ou complexa anti-sim´etrica tem elementos diagonais nulos

2

e

elementos opostos em rela¸c˜ao `a diagonal principal sim´etricos. Exemplo 

−1 2 3





0

2

3



    A matriz A =  2 0 4  ´e sim´etrica e B =  −2 0 −4  ´e anti-sim´etrica 3 4 1 −3 4 0 como facilmente se comprova calculando as transpostas respectivas. Defini¸ c˜ ao 8 Seja A = [aij ] uma matriz complexa do tipo m × n. • A matriz conjugada de A, A, ´e a matriz complexa do tipo m × n cujos elementos s˜ ao os complexos conjugados dos elementos de A : A = [aij ]; • a matriz transconjugada de A, A∗ , ´e a transposta da matriz conjugada de A (ou, o que ´e o mesmo, a conjugada da transposta de A): A∗ = (A)t = At .

Defini¸ c˜ ao 9 Seja A = [aij ] uma matriz complexa quadrada. Diz-se que A ´e: • herm´ıtica (hermitiana) se A∗ = A, ou seja, se ∀i, j aji = aij ; • hemi-herm´ıtica (hemi-hermitiana, anti-herm´ıtica) se A∗ = −A, ou seja, se ∀i, j aji = −aij . Observa¸c˜ oes Resulta da defini¸c˜ao que: . uma matriz herm´ıtica tem elementos diagonais reais e elementos opostos em rela¸c˜ao `a diagonal conjugados; . uma matriz hemi-herm´ıtica tem elementos diagonais nulos e/ou imagin´arios puros e elementos opostos em rela¸c˜ao `a diagonal principal com mesma parte imagin´aria e partes reais sim´etricas. Exemplo 2

Isto n˜ao ´e v´ alido em todos os corpos. Por exemplo, no corpo Z2 da observa¸c˜ao 4 da p´agina 2, tem-se 1 + 1 = 0, donde 1 = −1 e 1 6= 0

9



−1

2 + i 3i





i

2+i

3i



    A matriz A =  2 − i 0 4  ´e herm´ıtica e B =  −2 + i −2i −4  ´e −3i 4 1 3i 4 0 hemi-herm´ıtica como facilmente se comprova calculando as transconjugadas respectivas. Observa¸c˜ oes A transconjuga¸c˜ao goza de propriedades an´alogas `as da transposi¸c˜ao, excepto para a transconjuga¸c˜ao de uma multiplica¸c˜ao por escalar. Tem-se (admitindo que as matrizes tˆem tipos adequados para efectuar as opera¸c˜oes indicadas e que α ∈ C): (A∗ )∗ = A; (A ± B)∗ = A∗ ± B ∗ ; (AB)∗ = B ∗ A∗ ; (αA)∗ = αA∗ .

1.3

Opera¸c˜ oes elementares. Caracter´ıstica de uma matriz

Defini¸ c˜ ao 10 S˜ao opera¸ c˜ oes elementares sobre as linhas (colunas) de uma matriz: (OE1) Trocar duas linhas (colunas); (OE2) Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero; (OE3) Somar a uma linha (coluna) outra multiplicada por um escalar qualquer. Exemplo 

2 −2

 Seja A =  1

0

1

0

0

4



 −1 3 . 0 0 

1

0

0

0



  Troca das linhas 1 e 3 : A −−−−→  1 0 −1 3 . L1 ↔L3 2 −2 0 4   1 −1 0 2   Multiplica¸c˜ao da linha 1 por 12 : A −−−−1−→  1 0 −1 3 . 0 L1 = 2 L1 1 0 0 0 

2 −2

0

 Soma da linha 2, multiplicada por (−1), `a linha 3 : A −− −−−−→  1 0

0

−1

0

0

1

L3 =L3 −L2

10

4



 3 . −3

Defini¸ c˜ ao 11 Diz-se que uma matriz tem as linhas em escada se: (i) As linhas nulas (caso existam) ocorrem depois das linhas n˜ ao nulas; (ii) O primeiro elemento n˜ao nulo de cada linha (pivot) situa-se numa coluna mais a esquerda que todos os pivots das linhas seguintes (ou seja, o ´ındice de coluna do pivot ` de cada linha ´e menor que os ´ındices de coluna dos pivots das linhas seguintes).

Exemplo 

0 −1 3 0 −2 4

  0 As matrizes A =   0  0 escada.

0 0 0



  2 −1 1  0 5 −2 1   eB= 2  tˆem as linhas em  0 1  0 0 3 1  0 0 −3 0 0 0 0

Defini¸ c˜ ao 12 A caracter´ıstica de uma matriz com as linhas em escada ´e igual ao n´ umero de linhas n˜ ao nulas da matriz.

Proposi¸c˜ ao 1.3.1 Seja A uma matriz qualquer. Ent˜ ao A pode ser transformada numa matriz do mesmo tipo com as linhas em escada efectuando opera¸c˜ oes elementares sobre as suas linhas.

Defini¸ c˜ ao 13 Seja A uma matriz qualquer. A caracter´ıstica de A, que se denota por c(A) ou r(A), ´e igual `a caracter´ıstica da matriz com linhas em escada que se obt´em efectuando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas e/ou colunas de A. Exemplo    1 2 −2 0 4     0  0 1 −1 3      −−−−−→  1 A= 1 1 0 −3  L0 = 1 L     1 2 1   0  0 0 −1 2  0 0 0 2 1    1 −1 0 2 1     0 1 −1 3   0     −−−−−−−→  0 −→  0 2 0 −5   L0 =L3 −2L2    3   0 0 −1 2   0 0 0 2 1 0

−1

0

1

−1

1

0

0

−1

0

2

−1

0

1

−1

0

2

0

−1

0

2

11

2



 3   − −−−−→ −3  − 0  L3 =L3 −L1 2  1  2  3   L05 =L5 −L3 −−−−−−→ −11  −  L04 =L4 + 12 L3 2  1



1 −1

0

2





1 −1

0

2



     0 1 −1 3   0 1 −1 3       −−−−−−−→ −−−−2−→  −→  0 0 2 −11 2 −11   L0 =L5 −12L4 −   0 0 L04 =− 7 L4    5  7 0 1  0 −2   0 0  0 0 0 0 0 12 0 0 0 12   1 −1 0 2    0 1 −1 3    −→  2 −11   0 0 , pelo que, c(A) = 4.   0 1   0 0 0 0 0 0 

0

0

−2





−1

1

−1





−1 1 −1

    −−−−→  0 0 −2  −− −1  −−−−→  0 0 L1 ↔L2 L3 =L3 +L1 0 1 −1 3 1 −1 3   −1 1 −1   −→  0 0 −2 , por isso, c(B) = 2.  B =  −1

0

0

1



 −−−−→ 0 −2  −− L03 =L3 +L2 0 2

0

Propriedades da Caracter´ıstica de uma Matriz Sejam A ∈ Fm×n e α ∈ F \ {0}. Ent˜ao: (C1) c(A) ≤ m e c(A) ≤ n; (C2) c(αA) = c(A); (C3) Se B ∈ Fn×p , c(AB) ≤ c(A) e c(AB) ≤ c(B); (Ct) c(At ) = c(A).

1.4

Sistemas de Equa¸ c˜ oes Lineares

Defini¸ c˜ ao 14 Um sistema de m equa¸c˜ oes lineares a n inc´ ognitas x1 , . . . , xn ´e da forma (dita can´ onica)   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. ,  . . .     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

(1.1)

onde aij , bi ∈ R(C) i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n s˜ ao, respectivamente, os coeficientes e os termos independentes do sistema. 12

Defini¸ c˜ ao 15 Associadas ao sistema (1.1) est˜ ao as  a11 a12 · · · a1n   a21 a22 · · · a2n A= .. .. ..  .. . . .  .

seguintes matrizes:    ,  

am1 am2 · · · amn que ´e a matriz simples ou matriz dos coeficientes do sistema;   x1    x2   X=  ..  ,  .  xn que ´e matriz coluna das inc´ ognitas; 

b1



  B=  

b2 .. .

  ,  

bm que ´e matriz coluna dos termos independentes;  a11 a12 · · · a1n   a21 a22 · · · a2n [A|B] =  .. .. ..  .. . . .  .

b1



b2 .. .

  ,  

am1 am2 · · · amn bm que ´e a matriz ampliada ou matriz completa do sistema. Nota¸ c˜ ao Matricial do Sistema (1.1): AX = B.

(1.2)

Defini¸ c˜ ao 16 Chama-se solu¸ c˜ ao do sistema (1.1) a uma lista de n´ umeros reais (complexos) (c1 , c2 , . . . , cn ) tal que, substituindo cada xi pelo respectivo valor ci (i = 1, . . . , n), as m equa¸c˜oes do sistema transformam-se em proposi¸c˜ oes verdadeiras. Defini¸ c˜ ao 17 O sistema (1.1) diz-se poss´ıvel se tem, pelo menos, uma solu¸c˜ ao e imposs´ıvel caso contr´ario. Sendo poss´ıvel, (1.1) ´e determinado quando tem uma u ´nica solu¸c˜ ao e indeterminado quando tem mais de uma solu¸c˜ ao (se o corpo considerado for infinito, como ´e o caso do corpo dos reais e do corpo dos complexos, quando indeterminado, o sistema tem uma infinidade de solu¸c˜oes). 13

Defini¸ c˜ ao 18 Dois sistemas de equa¸c˜ oes lineares com o mesmo n´ umero de inc´ ognitas dizem-se equivalentes se tˆem as mesmas solu¸c˜ oes. Proposi¸c˜ ao 1.4.1 Dado o sistema (1.1), obt´em-se um sistema equivalente quando se efectuam opera¸ c˜ oes elementares sobre as linhas da sua matriz completa [A|B] e/ou troca de colunas na sua matriz simples A (desde que se efectue a correspondente troca nas inc´ognitas respectivas). Observa¸c˜ ao De acordo com as Proposi¸c˜oes 1.3.1 e 1.4.1, qualquer sistema de equa¸c˜oes lineares ´e equivalente a um sistema cuja matriz ampliada tem as linhas em escada. Proposi¸c˜ ao 1.4.2 O sistema (1.2) ´e: • imposs´ıvel sse c(A) 6= c([A|B]); • poss´ıvel determinado sse c(A) = c([A|B]) = n; • poss´ıvel indeterminado sse c(A) = c([A|B]) < n. Defini¸ c˜ ao 19 Se o sistema (1.2) ´e poss´ıvel, o n´ umero inteiro n˜ ao negativo g = n − c(A) chama-se grau de indetermina¸ c˜ ao do sistema. Exemplo 1 — Consideremos o sistema     

x + y − z = −2 x − 2y + z = 5

.

−x + 2y + z = 3

Vamos efectuar opera¸c˜oes do tipo referido na Proposi¸c˜ao 1.4.1 na sua matriz ampliada at´e a transformarmos numa matriz com linhas em escada (fazemos a condensa¸c˜ ao de [A|B]).  1   1 −1

1

−1 −2

−2

1

2

1





1

1

 L03 =L3 +L1  −−−−→  0 −3 5  −− L02 =L2 −L1 3 0 3

−1 −2 2 0





1

1

  −−−−→  0 −3 7  −− L03 =L3 +L2 1 0 0

−1 −2 2 2

 7 . 8

Como c(A) = c([A|B]) = 3 o sistema ´e poss´ıvel e determinado (SPD). Dado que a matriz com linhas em escada obtida ´e a matriz ampliada de um sistema equivalente ao dado, s´o temos que resolver agora    x + y − z = −2 −3y + 2z = 7 .   2z = 8 14



   5     x + y − z = −2  x + y = −2 + 4  x = 3 ⇔ ⇔ −3y + 2z = 7 −3y = 7 − 8 y = 13 .       z = 4 2z = 8 z = 4    x + 2y + 3z 2 — Consideremos o sistema x+y+z   y + 2z    1 2 1 2 3 0    [A|B] =  1 1 1 10  −− −−−−→  0 −1 0 0 1 2

L2 =L2 −L1

0

0

1

= 0 = 10 . Ent˜ao = 0 3

0





1

2

3

0

   −−−−→  0 −1 −2 10 . −2 10  −− 0 L3 =L3 +L2 2 0 0 0 0 10

Como c(A) = 2 6= 3 = c([A|B]) o sistema ´e imposs´ıvel (SI).

3 — Consideremos o sistema

  

x + 2y + z + w = 4 2x + 4y − z + 2w = 11 . Ent˜ao

 



1  [A|B] =  2 1  1 2  −→  0 −1 0

    

0

x + y + 2z + 3w = 11   2 1 1 4 1 2 1 1 4  L03 =L3 −L1   4 −1 2 11  −−0 −−−−−→  0 0 −3 0 3  −−−−→ L2 ↔L3 L2 =L2 −2L1 1 2 3 11 0 −1 1 2 7  1 1 4  1 2 7 . 

−3 0 3

Como c(A) = c([A|B]) = 3 < 4 o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado (SPI) de grau 1.    x = 21 − 5w   x + 2y + z + w = 4 x + 2y + w = 5     y = −8 + 2w ⇔ , w ∈ R. −y + z + 2w = 7 ⇔ −y + 2w = 8   z = −1     −3z = 3 z = −1  w = w

   x+y+z = 1 4 — Consideremos o sistema x − y + 2z = a . Vamos discuti-lo em fun¸c˜ao dos   2x + bz = 2 parˆametros reais a e b.     1 1 1 1 1 1 1 1   L0 =L3 −2L1   −−−−→ [A|B] =  1 −1 2 a  −−30−−−−−→  0 −2 1 a − 1  −− 0 2 

1

1

0

L2 =L2 −L1

b 2 1

1

0 −2 b − 2



  −→  0 −2 1 a − 1 . 0 0 b−3 1−a 15



0

L3 =L3 −L2

Discuss˜ ao: • Se b 6= 3, c(A) = c([A|B]) = 3, ∀a ∈ R, logo, SPD; • b = 3 e a = 1, c(A) = c([A|B]) = 2 < 3, donde, SPI (de grau 1); • b = 3 e a 6= 1, c(A) = 2 6= 3 = c([A|B]). Por isso, SI. Defini¸ c˜ ao 20 Um sistema de equa¸c˜ oes lineares diz-se homog´ eneo se s˜ ao nulos todos os seus termos independentes, isto ´e, se quando escrito matricialmente ´e da forma AX = 0. A todo o sistema de equa¸c˜oes lineares AX = B est´ a associado o sistema homog´eneo AX = 0. Exemplo O sistema homog´eneo associado a

    

    

x + 2y + z + w = 4 2x + 4y − z + 2w = 11 ´e x + y + 2z + 3w = 11

x + 2y + z + w = 0 2x + 4y − z + 2w = 0 . x + y + 2z + 3w = 0

Observa¸c˜ ao Um sistema homog´eneo ´e sempre poss´ıvel pois admite sempre a solu¸c˜ao nula. Se ´e determinado (basta que a caracter´ıstica da matriz simples coincida com o n´ umero n de inc´ognitas) essa ´e a sua u ´nica solu¸c˜ao. Se ´e indeterminado (a caracter´ıstica da matriz simples ´e menor que o n´ umero de inc´ognitas), para al´em da solu¸c˜ao nula (que existe sempre), admite solu¸c˜oes n˜ao nulas (recorde-se que o produto de duas matrizes n˜ao nulas pode ser nulo). Proposi¸c˜ ao 1.4.3 Seja Xp uma solu¸c˜ ao particular do sistema de equa¸c˜ oes lineares AX = B. Ent˜ao, X0 ´e solu¸c˜ao do sistema se e s´ o se existe uma solu¸c˜ ao Xh do sistema homog´eneo associado, AX = 0, tal que X0 = Xp + Xh . Demonstra¸c˜ ao Por hip´otese, AXp = B (uma vez que Xp ´e uma solu¸c˜ao particular de AX = B) (⇒) Supondo que X0 ´e (tamb´em) solu¸c˜ao de AX = B, isto ´e, que AX0 = B, provamos que X0 − Xp ´e solu¸c˜ao do sistema homog´eneo associado. Tem-se, A(X0 − Xp ) = AX0 − AXp = B − B = 0, 16

logo, Xh = X0 − Xp ´e solu¸c˜ao de AX = 0. (⇐) Suponhamos que Xh ´e uma solu¸c˜ao do sistema homog´eneo associado ao dado, AX = 0. Mostramos que X0 = Xp + Xh ´e solu¸c˜ao de AX = B. Temos, AX0 = A(Xp + Xh ) = AXp + AXh = B + 0 = B, como queriamos. Observa¸c˜ ao Resulta da proposi¸c˜ao anterior que, a solu¸c˜ao geral de um sistema de equa¸c˜oes lineares pode ser obtida somando a uma sua solu¸c˜ao particular a solu¸c˜ao geral do sistema homog´eneo associado.

1.5

Inversa de uma Matriz Quadrada

Defini¸ c˜ ao 21 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A ´ e invert´ıvel (ou que A tem inversa) se existe uma matriz quadrada de ordem n, B, tal que AB = BA = In . Proposi¸c˜ ao 1.5.1 A inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, ´e u ´nica. Demonstra¸c˜ ao Suponhamos que B e C s˜ao inversas de A, ou seja, que AB = BA = In e AC = CA = In . Tem-se B = BIn = B(AC) = (BA)C = In C = C , logo, B = C.

Defini¸ c˜ ao 22 Se A ´e invert´ıvel, a matriz B referida na Defini¸c˜ ao 3.1 chama-se inversa de A e representa-se por A−1 . Assim, AA−1 = A−1 A = In . Defini¸ c˜ ao 23 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A ´e n˜ ao singular (regular) se c(A) = n. Proposi¸c˜ ao 1.5.2 Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n ent˜ ao A ´e invert´ıvel se e s´ o se ´e regular. Observa¸c˜ ao Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, tal que c(A) = n (logo, invert´ıvel), a inversa de A ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao matricial AX = In . Podemos, por isso, calcular 17

facilmente A−1 . Basta considerar a matriz [A|In ] e efectuar opera¸c˜ oes elementares (s´ o) sobre linhas at´e a transformar na matriz [In |A−1 ]. Exemplo 

3 1 0



  1 — Consideremos a matriz A =  2 1 1 , de caracter´ıstica 0 1 1 pelo m´etodo descrito (condensa¸c˜ao, operando s´o sobre linhas).    1 0 −1 1 −1 0 3 1 0 1 0 0    −−−−→  2 1 1 0 1 0 [A|I3 ] =  2 1 1 0 1 0  −− 0 L1 =L1 −L2

0 1 1 0 0 1



1

 −→  0 0 

0 1 1 0 0   1 0 −1 1 0 −1 1 −1 0   −−−−→  0 1 3 −2 1 3 −2 3 0  −− L03 =L3 −L2 1 1 0 0 1 0 0 −2 2   0 −1 1 −1 0 1 0 0 0  L01 =L1 +L3  1 3 −2 3 0  −−0 −−−−−→  0 1 0 1

1  −→  0 0 0

1

3 2

−1

− 12

L2 =L2 −3L3



1 2

0

 A−1 =  1 − 32 −1 32

0 0 1 −1  − 21 3  . 2  − 21

3. Calculamos A−1

   −−0 −−−−−→ L2 =L2 −2L1

1 −1 0



 0  −−0−−−1−→ L3 =− 2 L3 −3 1  1 1 − 2 2  − 23 32 . 3

3 2

− 12

(O resultado obtido pode ser confirmado usando a defini¸c˜ao de inversa. Basta verificar que AA−1 = In .) 

3

0

0

0

  0 −1 0 0 2 — Se B =   0 0 2 0  0 0 0 −4





1 3

0

0

0

    −1 , ´e muito f´acil concluir que B =  0 −1 0 0   0 0 1 0   2 0 0 0 − 41

Propriedades Se A e B s˜ao matrizes reais (complexas) quadradas de ordem n, invert´ıveis e α ∈ R \ {0}(C \ {0}) ent˜ao: (I1) A−1 ´e invert´ıvel e (A−1 )−1 = A; (I2) αA ´e invert´ıvel e (αA)−1 = α−1 A−1 ; (I3) ∀m ∈ N, Am ´e invert´ıvel e (Am )−1 = (A−1 )m ; (I4) At ´e invert´ıvel e (At )−1 = (A−1 )t ; (I5) (A)−1 = A−1 ; (I6) (A∗ )−1 = (A−1 )∗ ; 18

   .  

(I7) AB ´e invert´ıvel e (AB)−1 = B −1 A−1 . Justifica¸c˜ ao (I1) Da igualdade A−1 A = AA−1 = In , da defini¸c˜ao e da unicidade da inversa resulta que A−1 ´e a matriz inversa de A e A ´e a matriz inversa de A−1 . (I2) (αA)(α−1 A−1 ) = (αα−1 )(AA−1 ) = In e (α−1 A−1 )(αA) = (α−1 α)(A−1 A) = In . (I3) A prova rigorosa faz-se por indu¸c˜ao em m. (I4) At (A−1 )t = (A−1 A)t = Int = In

(A−1 )t At = (AA−1 )t = Int = In .

e

(I5) A A−1 = AA−1 = In = In e A−1 A = A−1 A = In = In . (I6) A∗ (A−1 )∗ = (A−1 A)∗ = In∗ = In e (A−1 )∗ A∗ = (AA−1 )∗ = In∗ = In . (I7) (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In e (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In .

19

Cap´ıtulo 2 DETERMINANTES

2.1

Conceitos Gerais

Defini¸ c˜ ao 24 Dados os n´ umeros naturais 1, 2, . . . , n, uma sua permuta¸ c˜ ao ´e uma lista desses n n´ umeros apresentados por uma qualquer ordem. Por exemplo, n, n − 1, n − 2, . . . , 3, 2, 1 ´e uma permuta¸c˜ao dos n´ umeros 1, 2, . . . , n. Nota¸ c˜ ao O conjunto de todas as permuta¸c˜ oes de 1, 2, . . . , n denota-se por Sn . Oserva¸c˜ ao Existem n! permuta¸c˜oes de 1, 2, . . . , n. Defini¸ c˜ ao 25 Seja i1 , i2 , . . . , in uma permuta¸c˜ ao dos n´ umeros 1, 2, . . . , n. Diz-se que um par (ik , ij ) faz uma invers˜ ao se k < j e ik > ij , ou seja, ik e ij aparecem na permuta¸c˜ ao por ordem decrescente. Defini¸ c˜ ao 26 Uma permuta¸c˜ao i1 , i2 , . . . , in ´e par (resp.: ´ımpar) quando o n´ umero total de invers˜oes que nela ocorrem ´e par (resp.: ´ımpar). Exemplos 1) n = 2 Permuta¸c˜ao

Total de Invers˜oes

Paridade

1,2

0

par

2,1

1

´ımpar

21

2) n = 3 Permuta¸c˜ao

Total de Invers˜oes

Paridade

1,2,3

0

par

2,3,1

2

par

3,1,2

2

par

3,2,1

3

´ımpar

2,1,3

1

´ımpar

1,3,2

1

´ımpar

2.2

Defini¸c˜ ao de Determinante

Defini¸ c˜ ao 27 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n com elementos em R (C). O determinante de A, que se denota por det(A) ou |A|, ´e o n´ umero real (complexo): det(A) =

X

(−1)σ a1i1 a2i2 · · · anin ,

i1 ,...,in ∈Sn

onde σ = 0, se i1 , i2 , . . . , in ´e par e σ = 1, se i1 , i2 , . . . , in ´e ´ımpar. Observe-se que o somat´orio anterior tem n! parcelas. Resulta imediatamente da defini¸c˜ao que: • det[a11 ] = a11 ; " # a11 a12 • det = a11 a22 − a12 a21 ; a21 a22 

a11 a12 a13



  • det  a21 a22 a23  = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a31 a32 a33 a11 a23 a32 .

2.3

Propriedades dos Determinantes

Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. 22

(P1) Se A tem uma linha (resp.: coluna) de zeros, ent˜ao det(A) = 0. (P2) Se A tem duas linhas (resp.: colunas) iguais ou proporcionais, ent˜ao det(A) = 0. (P3) Se trocarmos entre si duas linhas (resp.: colunas) de A, o valor do determinante de A muda de sinal. (Opera¸c˜ao elementar do tipo 1) (P4) Se A ´e triangular ent˜ao det(A) = a11 a22 · · · ann . a a a · · · a 11 12 1n 11 a12 · · · a1n . . . . .. .. .. .. .. .. . . (P5) αai1 αai2 · · · αain = α ai1 ai2 · · · ain . . .. .. .. .. . . . . . . . . an1 an2 · · · ann an1 an2 · · · ann tipo 2)

. (Opera¸c˜ao elementar do

(P6) det(αA) = αn det(A). (P7) det(A) = det(At ). (P8) Se A ´e complexa, det(A∗ ) = det(A) = det(A). a a a · · · a 11 12 1n 11 . . . . .. .. .. .. (P9) ai1 + bi1 ai2 + bi2 · · · ain + bin = ai1 . .. .. .. . . . . . an1 an1 an2 ··· ann

· · · ain + .. . · · · ann

a12 · · · .. . ai2 .. . an2

a1n .. .

· · · bin . .. . · · · ann

a11 a12 · · · .. .. . . bi1 .. .

bi2 .. .

an1 an2

(P10) Se a uma linha (resp.: coluna) de A somarmos um m´ ultiplo qualquer de outra linha (resp.: coluna), o valor do determinante de A n˜ao se altera. (Opera¸c˜ao elementar do tipo 3) (P11) N˜ao se altera o valor do determinante de A se a uma linha (resp.: coluna) de A adicionarmos uma soma de m´ ultiplos quaisquer de outras linhas (resp.: colunas). (uso repetido de (P9)) (P12) Se B ´e uma matriz quadrada de ordem n, det(AB) = det(A)det(B). Em particular, ∀n ∈ N det(An ) = (det(A))n . (P13) A ´e invert´ıvel se e s´o se det(A) 6= 0. (P14) Se A ´e invert´ıvel ent˜ao det(A−1 ) =

23

1 . det(A)

a1n .. .

Exemplo Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 3 tais que det(A) = −2 e det(B) = 14 . Ent˜ao: • det(3A) = 33 det(A) = 27(−2) = −54; 1 det(A) = (−2)2 × 4 = 16; • det(AB −1 At ) = det(A)det(B −1 )det(At ) = det(A) det(B)

• det(−B) = det((−1)B) = (−1)3 det(B) = − 41 ; • det(B −1 A4 B) = det(B −1 )det(A4 )det(B) =

1 (det(A))4 det(B) det(B)

= (−2)4 = 16;

1 1 1 1 1 • det(− 21 (B t )−1 ) = (− 12 )3 det((B t )−1 ) = (− 81 ) det(B t ) = (− 8 ) det(B) = (− 8 ) × 4 = − 2 .

2.4

O Teorema de Laplace

Defini¸ c˜ ao 28 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Recorde-se que A(i|j) denota a submatriz de A que se obt´em desta matriz por supress˜ ao da linha i e da coluna j. Chama-se complemento alg´ ebrico (ou cofactor) de aij ao n´ umero Aij = (−1)i+j det(A(i|j)). Teorema 2.4.1 (Teorema de Laplace) Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ ao: det(A) =

n X j=1

aij Aij =

n X

ars Ars , ∀i, s ∈ {1, 2, . . . , n}.

r=1

Exemplo 2 4 6 3 6 5 2 1 4 1 2 2 =4

1 2 3 4 1 2 8 3 4 0 −4 −3 9 1 3 6 5 9 2 0 0 −4 −3 3 2 = 2 = 2 = 2×1×(−1) −3 −2 −1 7 2 1 4 7 0 −3 −2 −1 0 −1 −2 1 2 2 2 0 0 −1 −2 2 −4 −3 2 × (−3) × (−1)3 = 6((−4)(−2) − (−1)(−3)) = 6 × 5 = 30. −1 −2

1

Pela Propriedade (P5)aplicada ` a linha 1 Efectuando as opera¸c˜ oes elementares L02 = L2 − 3L1 ; L03 = L3 − 2L1 ; L04 = L4 − L1 3 Teorema de Laplace na coluna 1 4 Teorema de Laplace na coluna 1 2

24

2.5

Aplica¸c˜ oes dos Determinantes

2.5.1

C´ alculo da Inversa de uma Matriz

Defini¸ c˜ ao 29 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. A matriz compleˆ ´e a matriz quadrada de ordem n cujos elementos mentar de A, que se denota por A, s˜ ao os complementos alg´ebricos dos elementos de A, isto ´e, Aˆ = [Aij ]. Defini¸ c˜ ao 30 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta de A, que se denota por adj(A), ´e a transposta da matriz complementar: adj(A) = Aˆt .

Do Teorema de Laplace resulta que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, A adj(A) = adj(A) A = det(A)In . Donde, se A ´e invert´ıvel (det(A) 6= 0), A−1 = Exemplo " Seja A =

1 2

1 adj(A). det(A)

# .

3 4

|A| = 1 × 4 − 2 × 3 = −2 6= 0, pelo que, A tem inversa. Calculamos A−1 a partir da matriz adj(A). A11 = (−1)2 × 4 = 4; A12 = (−1)3 × 3 = −3; A21 = (−1)3 × 2 = −2; A22 = (−1)4 × 1 = 1. " Aˆ =

A11 A12 A21 A22 "

adj(A) = Aˆt =

#

" =

4

−3

−2

1

4

−2

−3

1

#

" A−1 =

1 det(A)

adj(A) = − 12

#

4

−2

−3

1

#

" =

25

−2

1

3 2

− 21

# .

2.5.2

Resolu¸ c˜ ao de Sistemas Lineares Poss´ıveis e Determinados

Regra de Cramer Dado o sistema de n equa¸c˜oes lineares a n inc´ognitas   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. ,  . . .     an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn seja A a sua matriz simples, B a matriz coluna dos termos independentes e Ci a matriz que se obt´em de A substituindo a sua coluna n´ umero i por B. Se det(A) 6= 0, ent˜ao ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, xi =

det(Ci ) . det(A)

Exemplo Consideremos o sistema      

1

 A= 1

1

−1

−2

−1



x + y − z = −2 x − 2y + z = 5

.

−x + 2y + z = 3 

−2



   1  e B =  5 . 1 3

2

1 1 1 −1 1 −1 1 1 |A| = 1 −2 1 = 1 −2 1 = 2 1 −2 −1 2 1 0 0 2

x=



−2

1

−1

5

−2

1

2

1

3

|A|



=

−10 −6

=

5 3

;y=



1 1 −1

−2 −1 5

1

3

1

|A|

26

= 2(−2 − 1) = −6.

=

−2 −6

=

1 3

z=



1

1

−2

1

−2

5

−1

2

3

|A|



=

−24 −6

= 4.

27

Cap´ıtulo 3 ESPAC ¸ OS VECTORIAIS

3.1

Defini¸c˜ ao e Exemplos

Defini¸ c˜ ao 31 Um espa¸ co vectorial (ou espa¸ co linear) sobre um corpo F ´e uma → − → → → → estrutura alg´ebrica formada por um conjunto n˜ ao vazio E = {− a , b ,...,− u ,− v ,− w , . . .}, com uma opera¸c˜ao bin´aria designada por adi¸ c˜ ao, e denotada por + e, para cada elemento α ∈ F, uma aplica¸c˜ao de E para E (designada por multiplica¸ c˜ ao por escalar) que → − → − → a cada x ∈ E faz corresponder o elemento α x ∈ E (multiplica¸c˜ ao de α por − x ), de → − → − → − tal modo que s˜ao satisfeitas as seguintes propriedades, para quaisquer u , v , w ∈ E e quaisquer α, β ∈ F: → → → → (A1) − u +− v =− v +− u

(comutatividade da adi¸c˜ ao) − → → − → − → − → − → − (A2) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (associatividade da adi¸c˜ ao) − → → − − → − → (A3) ∃ 0 ∈ E : u + 0 = u (existˆencia de elemento neutro) → − → − → − → − (A4) ∃(− u ) ∈ E : u + (− u ) = 0 (existˆencia de sim´etricos) → − → − → − (M1) (α + β) u = α u + β u (distributividade)

→ → → → (M2) α(− u +− v ) = α− u + α− v (distributividade) → − → − (M3) α(β u ) = (αβ) u (associatividade) − → (M4) 1→ u =− u Defini¸ c˜ ao 32 Se E ´e um espa¸co vectorial sobre F, os elementos de E designam-se vectores e os de F escalares.

→ − O elemento neutro da adi¸c˜ao em E toma o nome de vector nulo e denota-se por 0 → − ou 0 E . Quando F = R (resp.: F = C) o espa¸co vectorial diz-se real (resp.: complexo).

29

Exemplos 1– S˜ao espa¸cos vectoriais reais: a) E = R2 , com as opera¸c˜oes: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) e α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ); − → 0 R2 = (0, 0) e

− (x1 , x2 ) = (−x1 , −x2 )

b) E = Rn (n ∈ N), com as opera¸c˜oes: (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) e α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ); − → 0 Rn = (0, 0, . . . , 0) e

− (x1 , x2 , . . . , xn ) = (−x1 , −x2 , . . . , −xn )

c) E = Rm×n (m, n ∈ N), com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e de multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar definidas no Cap´ıtulo 1. − → 0 Rm×n = 0m×n

e

− [aij ]m×n = [−aij ]m×n

2– S˜ao espa¸cos vectoriais complexos: a) E = C2 , com as opera¸c˜oes: (z1 , z2 ) + (z10 , z20 ) = (z1 + z10 , z2 + z20 ) e α(z1 , z2 ) = (αz1 , αz2 ); − → 0 C2 = (0, 0) e

− (z1 , z2 ) = (−z1 , −z2 )

b) E = Cn (n ∈ N), com as opera¸c˜oes: (z1 , z2 , . . . , zn ) + (z10 , z20 , . . . , zn0 ) = (z1 + z10 , z2 + z20 , . . . , zn + zn0 ) e α(z1 , z2 , . . . , zn ) = (αz1 , αz2 , . . . , αzn ); − → 0 Cn = (0, 0, . . . , 0) e

− (z1 , z2 . . . , zn ) = (−z1 , −z2 . . . , −zn )

c) E = Cm×n (m, n ∈ N), com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e de multiplica¸ca˜o de uma matriz por um escalar definidas no Cap´ıtulo 1. − → 0 Cm×n = 0m×n

e

− [zij ]m×n = [−zij ]m×n

30

Proposi¸c˜ ao 3.1.1 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Ent˜ ao, para quaisquer vectores e quaisquer escalares, tem-se: → − → a) 0− u = 0 → − − → b) α 0 = 0 → − → − → → c) α− u = 0 ⇒ α = 0 ou − u = 0 → → → d) (−α)− u = −(α− u ) = α(−− u) → → → → e) α(− u −− v ) = α− u − α− v → → → f ) (α − β)− u = α− u − β− u.

Demonstra¸c˜ ao de algumas afirma¸ c˜ oes → → → → → a) 0 + 0 = 0 ⇒ (0 + 0)− u = 0− u ⇒ 0− u + 0− u = 0− u ⇒

→ − → − → → → → → → → → → (0− u + 0− u ) + (−0− u ) = 0− u + (−0− u ) ⇒ 0− u + (0− u + (−0− u )) = 0 ⇒ 0− u = 0 b) tem prova idˆentica a a) → − → c) Suponhamos que α− u = 0 . Se α = 0 nada mais h´a a provar. Se α 6= 0 vamos → − → mostrar que − u = 0. − → → − → − → − → → → → α− u = 0 ⇒ α−1 (α− u ) = α−1 0 ⇒ α−1 (α− u ) = 0 (por b)) ⇒ − u = 0 → → d) (−α)− u = −(α− u ) porque → − → → → → (−α)− u + α− u = (−α + α)− u = 0− u = 0 (por a)).

3.2

Dependˆ encia e Independˆ encia Lineares

Defini¸ c˜ ao 33 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. → − → → Diz-se que um vector − v ∈ E ´e combina¸ c˜ ao linear dos vectores → u 1, − u 2, . . . , − uk ∈ E se existem escalares α1 , α2 , . . . , αk ∈ F tais que − → → → → v = α1 − u 1 + α2 − u 2 + . . . + αk − u k. Exemplos 1) Em R3 , o vector (−2, 2, 5) ´e combina¸c˜ao linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) se existem n´ umeros reais α1 , α2 e α3 tais que (−2, 2, 5) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 1), 31

ou seja, se o sistema    −2 = α1 + α2 + α3 2 = α1 + α2   5 = α1 + α3 ´e poss´ıvel. Na forma matricial,    1 1 1 1 −2   L02 =L2 −L1  −−−−→  0  1 1 0 2  −− 0 1 0 1

L3 =L3 −L1

5

1

1

0

−1

0 −1

0

−2





1

1

1

  4  −−−−→  0 −1 0 L2 ↔L3 7 0 0 −1

−2



 7  4

´e um sistema poss´ıvel (e determinado), logo, (−2, 2, 5) ´e combina¸c˜ao linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1). Podemos calcular os escalares α1 , α2 , α3 resolvendo-o: 

1

1

1

  0 −1 0 0 0 −1

−2





1

0

0

9





1 0 0

9



   L02 =−L2   7  −−0−−−−−−−−→  0 −1 0 7  −−0−−−→  0 1 0 −7  , L1 =L1 +(L2 +L3 ) L3 =−L3 4 0 0 −1 4 0 0 1 −4

logo,    α1 = 9 α2 = −7 ,   α3 = −4 donde, (−2, 2, 5) = 9(1, 1, 1) + (−7)(1, 1, 0) + (−4)(1, 0, 1). 2) Em R3 , o vector (−2, 2, 5) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de (1, 1, 0), (0, 0, 1), j´a que o sistema cuja matriz ampliada ´e     1 0 −2 1 0 −2     −−−−→  0 0 4   1 0 2  −− 0 L2 =L2 −L1 0 1 5 0 1 5 ´e imposs´ıvel. Observa¸c˜ ao → − → → → O vector nulo de E, 0 , ´e sempre combina¸c˜ao linear de quaisquer vectores − u 1, − u 2, . . . , − uk ∈ E. Com efeito,

→ − → → → 0− u 1 + 0− u 2 + . . . + 0− uk = 0.

A esta combina¸c˜ao linear nula (isto ´e, cujo resultado ´e o vector nulo) d´a-se o nome de combina¸ c˜ ao linear nula trivial.

32

Defini¸ c˜ ao 34 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. → → → Diz-se que os vectores − u ,− u ,...,− u ∈ E s˜ ao: 1

2

k

(i) linearmente independentes se → − → → → α1 − u 1 + α2 − u 2 + . . . + αk − u k = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αk = 0. − → → Ou seja, a u ´nica combina¸c˜ao linear nula poss´ıvel dos vectores → u 1, − u 2, . . . , − u k ´e a trivial (a que tem os escalares todos nulos). (ii) linearmente dependentes se ∃β1 , β2 , . . . , βk ∈ F n˜ao todos nulos (isto ´e, com pelo menos um diferente de zero) tais que

→ − → → → β1 − u 1 + β2 − u 2 + . . . + βk − uk = 0.

Ou seja, para al´em da combina¸c˜ao linear nula trivial (que existe sempre), existem outras combina¸c˜oes lineares nulas (com, pelo menos, um escalar n˜ ao nulo) dos vectores → − → − → − u , u ,..., u . 1

2

k

Exemplos 1) Em R3 , verificamos se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜ao linearmente dependentes ou independentes: α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), equivale a resolver o sistema homog´eneo (sempre poss´ıvel),    α1 + α2 + α3 = 0 α1 + α2 = 0 .   α1 + α3 = 0 Se o sistema for determinado os vectores s˜ao linearmente independentes, se for indeterminado os vectores ser˜ao linearmente dependentes. Na forma matricial,       1 1 1 1 1 1 1 1 1   L02 =L2 −L1     −−−−→  0 0 −1  −−−−→  0 −1 0  ,  1 1 0  −− 0 L2 ↔L3 L3 =L3 −L1 1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 donde, os vectores s˜ao linearmente independentes (a caracter´ıstica da matriz ´e igual ao n´ umero de vectores, logo, de escalares a determinar). 2) Em R4 , estudamos os vectores (1, 2, 2, 0), (1, 1, 3, 1) e (0, 2, −2, −2) quanto `a dependˆencia/independˆencia linear. Para tal, condensamos a matriz simples do sistema de 33

equa¸c˜oes   α1 + α2     2α + α + 2α 1 2 3  2α1 + 3α2 − 2α3     α − 2α 2



1 1

0





1

3

1

0

= 0 = 0

.

= 0 = 0 



1

1

0



       2 1 2  L02 =L2 −2L1  0 −1 2  L04 =L4 +L2  0 −1 2    −−−−−→    −−−−−−→   0 0 0 ,  0 1 −2  −  2 3 −2  − 0 =L +L 0 =L −2L L L 3 2 3 1 3 3       0 0 0 0 1 −2 0 1 −2 donde, os vectores s˜ao linearmente dependentes (a caracter´ıstica da matriz ´e menor que o n´ umero de vectores, logo, de escalares a determinar).

Proposi¸c˜ ao 3.2.1 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Ent˜ ao: → − (i) O vector nulo, 0 , ´e linearmente dependente. → − → → → (ii) Se − v ∈ E, − v ´e linearmente independente se e s´ o se − v 6= 0 . − → → (iii) Os vectores → v 1, − v 2, . . . , − v k (k ≥ 2) s˜ ao linearmente dependentes se e s´ o se algum deles ´e combina¸c˜ao linear dos restantes. → → Em particular, 2 vectores − v 1, − v 2 s˜ ao linearmente dependentes se e s´ o se um deles ´e combina¸c˜ao linear do outro (e, consequentemente, s˜ ao linearmente independentes se e s´ o se nenhum deles ´e combina¸c˜ao linear do outro). → → → → − → → (iv) Se os vectores − v 1, − v 2, . . . , − v n s˜ ao linearmente independentes ent˜ ao − v 1, → v 2, . . . , − v n, − x → → → → s˜ ao linearmente dependentes se e s´o se − x ´e combina¸c˜ ao linear de − v ,− v ,...,− v . 1

2

n

→ → → (v) Se os vectores do conjunto {− v 1, − v 2, . . . , − v n } s˜ ao linearmente independentes ent˜ ao os vectores de qualquer seu subconjunto s˜ ao linearmente independentes. → → → (vi) Se os vectores da sequˆencia s = (− v ,− v ,...,− v ) s˜ ao linearmente dependentes 1

2

n

ent˜ ao os vectores de qualquer sequˆencia que contenha s s˜ ao linearmente dependentes. → → → → (vii) Os vectores − v ,− v ,...,− v ,...,− v s˜ ao linearmente independentes se e s´ o se 1

2

i

n

→ → → → ∀α 6= 0 − v 1, − v 2 , . . . , α− v i, . . . , − v n s˜ ao linearmente independentes. → → → → → (viii) Os vectores − v 1, − v 2, . . . , − v i, . . . , − v j, . . . , − v n s˜ ao linearmente independentes se → → → → − → e s´ o se − v ,− v ,...,− v ,...,− v +→ v ,...,− v s˜ ao linearmente independentes. 1

2

i

i

j

n

Demonstra¸c˜ ao de algumas das afirma¸ c˜ oes → − − → → − (i) 1 6= 0 e 1 0 = 0 , o que prova que 0 ´e linearmente dependente. − − → − − (ii) Seja → v ∈ E. Atendendo a (i), tudo o que h´a a mostrar ´e que se → v = 6 0, → v ´e linearmente independente. 34

→ → − − → → Suponhamos que − v 6= 0 , α− v = 0 e que, com vista a um absurdo, α 6= 0. Ent˜ao → − → − → − → → → α−1 (α− v ) = α−1 0 ⇔ (α−1 α)− v = 0 ⇔− v = 0 , o que contradiz a hip´otese. → → → (iii) (⇒) Suponhamos que − v 1, − v 2, . . . , − v k (k ≥ 2) s˜ao linearmente dependentes. Por defini¸c˜ao, ∃β1 , β2 , . . . , βk ∈ F n˜ao todos nulos tais que → − → → → β1 − v 1 + β2 − v 2 + . . . + βk − vk = 0. Sem perda de generalidade, suponhamos que β1 6= 0. Ent˜ao, → → → → → → β1 − v 1 = −β2 − v 2 − . . . − βk − vk⇔− v 1 = −β2 β1−1 − v 2 − . . . − βk β1−1 − v k, − donde, → v 1 ´e combina¸c˜ao linear dos restantes vectores. (⇐) Por hip´otese, um dos vectores dados ´e combina¸c˜ao linear dos restantes. Sem → − → − → → → → perda de generalidade, − v 1 = α2 → v 2 + . . . + αk − v k ⇔ 1− v 1 − α2 − v 2 − . . . − αk − vk = 0, ou seja, os vectores s˜ao linearmente dependentes. → − → → → → (vii) (⇒) α1 − v 1 + α2 − v 2 + . . . + αi (α− v i ) + . . . + αn − vn= 0 ⇒ → − → → → → → → → α1 − v 1 + α2 − v 2 + . . . + (αi α)− v i + . . . + αn − v n = 0 ⇒ (− v 1, . . . , − v i, . . . , − v n l.i.) α1 = α2 = · · · = ααi = · · · = αn = 0 ⇒ (α 6= 0) α1 = α2 = · · · = αi = · · · = αn = 0. − → → → → → (⇐) α1 − v 1 + α2 − v 2 + . . . + αi − v i + . . . + αn − vn= 0 ⇒ → − → → → → α1 − v 1 + α2 − v 2 + . . . + αi (α−1 α)− v i + . . . + αn − vn= 0 ⇒ → − → → → → → → → α1 − v 1 + α2 − v 2 + . . . + (αi α−1 )(α− v i ) + . . . + αn − v n = 0 ⇒ (− v 1 , . . . , α− v i, . . . , − v n l.i.) α1 = α2 = · · · = αi α−1 = · · · = αn = 0 ⇒ (α−1 6= 0) α1 = α2 = · · · = αi = · · · = αn = 0.

3.2.1

Caracter´ıstica de uma Matriz

Seja A uma matriz do tipo m×n com entradas num corpo F. Cada uma das m linhas de A identifica-se com um vector de Fn e cada uma das n colunas de A identifica-se com um vector de Fm . 

1 2 3 4



  Por exemplo, dada a matriz real  2 3 4 5 , as suas linhas identificam-se com 3 4 5 6 os vectores (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) de R4 e as suas colunas com os vectores (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) de R3 . Todos os resultados enunciados `acerca da dependˆencia e independˆencia lineares de vectores s˜ao, por isso, aplic´aveis `as linhas e `as colunas de A.

35

Atendendo `a Proposi¸c˜ao 3.2.1, efectuar opera¸c˜oes elementares sobre as linhas (resp.: colunas) de A n˜ao altera a dependˆencia/independˆencia linear das linhas (resp.: colunas) da matriz. Tendo em conta que: (i) A pode ser transformada numa matriz com linhas em escada, U , efectuando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas (como foi visto no Captulo 1), (ii) s˜ao linearmente independentes as linhas de A correspondentes `as linhas n˜ao nulas de U , (iii) s˜ao linearmente independentes as colunas de A correspondentes `as colunas com pivots de U , a caracter´ıstica de A, n´ umero de linhas n˜ao nulas de U , coincide com o n´ umero m´ aximo de linhas linearmente independentes de A e com o n´ umero m´ aximo de colunas linearmente independentes de A.

3.3

Subespa¸cos vectoriais

Defini¸ c˜ ao 35 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E1 um subconjunto n˜ ao vazio de E. Diz-se que E1 ´e um subespa¸ co vectorial de E, e escreve-se E1 ≤ E, se E1 ´e um espa¸co vectorial sobre F com as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao por escalar definidas em E.

Proposi¸c˜ ao 3.3.1 (Crit´ erio de Subespa¸ co) Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E1 um subconjunto de E. E1 ´e um subespa¸ co vectorial de E se e s´ o se: (i) E1 6= ∅ → → → → (ii) ∀− x ,− y ∈ E1 , − x +− y ∈ E1 → − → (iii) ∀α ∈ F, ∀ x ∈ E1 , α− x ∈ E1 .

Proposi¸c˜ ao 3.3.2 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E1 um subespa¸co vectorial de E. Ent˜ ao: → − a) 0 ∈ E1 → → b) − x ∈ E ⇒ −− x ∈E 1

1

− → → → c) → x ,− y ∈ E1 ⇒ − x −− y ∈ E1 . 36

Demonstra¸c˜ ao − Como E1 6= ∅, seja → x ∈ E1 . Dado que F ´e um corpo, 0 ∈ F e −1 ∈ F, logo, pela → − → → → condi¸c˜ao (iii) do Crit´erio de Subespa¸co, 0− x = 0 ∈ E e (−1)− x = −− x ∈E . 1

1

− → → Por u ´ltimo, se → x ,− y ∈ E1 , por b), −− y ∈ E1 e, pela condi¸c˜ao (ii) do Crit´erio de → − → − → − → − Subespa¸co, x + (− y ) = x − y ∈ E . 1

Observa¸c˜ ao Atendendo `a proposi¸c˜ao anterior, a condi¸c˜ao (i) do Crit´erio de Subespa¸co pode ser → − substituida pela condi¸c˜ao (i’): 0 ∈ E1 .

Proposi¸c˜ ao 3.3.3 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E1 um subconjunto de E. E1 ´e um subespa¸co vectorial de E se e s´ o se: → − (i) 0 ∈ E1 → → → → (ii) ∀α, β ∈ F, ∀− x ,− y ∈ E1 , α− x + β− y ∈ E1 .

Exemplos → − 1 — Se E ´e um espa¸co vectorial, E1 = { 0 } e E1 = E s˜ao subespa¸cos vectoriais de E, designados por subespa¸cos triviais. ´ um subespa¸co n˜ao 2 — Em R2 , E1 = {(0, 0)} e E1 = R2 s˜ao os subespa¸cos triviais. E trivial qualquer recta que passe na origem. Com efeito, se a) E1 ´e uma recta n˜ao vertical que passa na origem ent˜ao E1 = {(x, y) ∈ R2 : y = mx} = {(x, mx) : x ∈ R}. Usamos o Crit´erio de Subespa¸co, enunciado na proposi¸c˜ao 3.3.1, para mostrar que E1 ´e um subespa¸co vectorial de R2 . (i) Como x ´e livre, tomando x = 0, y = mx = m0 = 0, logo, (0, 0) ∈ E1 ; (ii) Sejam (x1 , mx1 ), (x2 , mx2 ) ∈ E1 (x1 , mx1 ) + (x2 , mx2 ) = (x1 + x2 , mx1 + mx2 ) = (x1 + x2 , m(x1 + x2 )) ∈ E1 ; (iii) Sejam (x, mx) ∈ E1 e α ∈ R α(x, mx) = (αx, α(mx)) = (αx, m(αx)) ∈ E1 . b) E1 ´e a (´ unica) recta vertical que passa na origem ent˜ao E1 = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} = {(0, y) : y ∈ R}. (i) Como y ´e livre, tomando y = 0, conclui-se que (0, 0) ∈ E1 ; (ii) Sejam (0, y1 ), (0, y2 ) ∈ E1 (0, y1 ) + (0, y2 ) = (0, y1 + y2 ) ∈ E1 ; 37

(iii) Sejam (0, y) ∈ E1 e α ∈ R α(0, y) = (α0, αy) = (0, αy) ∈ E1 . 3 — Em R3 , E1 = {(0, 0, 0)} e E1 = R3 s˜ao os subespa¸cos triviais. Os subespa¸cos n˜ao triviais s˜ao qualquer recta que passe na origem e qualquer plano que passe na origem, isto ´e, qualquer subconjunto da forma E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : a1 x + b1 y + c1 z = 0 ∧ a2 x + b2 y + c2 z = 0} (recta que passa na origem) ou E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} (plano que passa na origem). Verificamos que E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} ´e um subespa¸co vectorial de R3 , quaisquer que sejam a, b, c ∈ R. (i) (0, 0, 0) ∈ E1 pois a0 + b0 + c0 = 0; (ii) Sejam (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) ∈ E1 ⇒ ax1 + by1 + cz1 = 0 e ax2 + by2 + cz2 = 0 (x1 , y1 , z1 )+(x2 , y2 , z2 ) = (x1 +x2 , y1 +y2 , z1 +z2 ) e a(x1 +x2 )+b(y1 +y2 )+c(z1 +z2 ) = (ax1 + ax2 ) + (by1 + by2 ) + (cz1 + cz2 ) = (ax1 + by1 + cz1 ) + (ax2 + by2 + cz2 ) = 0 + 0 = 0 ⇒ (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) ∈ E1 ; (iii) Sejam (x, y, z) ∈ E1 e α ∈ R ⇒ ax + by + cz = 0 α(x, y, z) = (αx, αy, αz) e a(αx) + b(αy) + c(αz) = α(ax + by + cz) = α0 = 0, logo, α(x, y, z) ∈ E1 . 4 — J´a os subconjuntos de R3 a) H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 1}, b) H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Q}, c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3 : |z| ≤ 1}, d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y}, e) H5 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0 ou z = 0}, n˜ao s˜ao subespa¸cos vectoriais de R3 . Com efeito, a) (0, 0, 0) ∈ / H1 (ver Prop. 3.3.2), √ √ √ / H2 (falha condi¸c˜ ao (iii) da b) α = 2 ∈ R, (1, 0, 0) ∈ H2 e 2(1, 0, 0) = ( 2, 0, 0) ∈ Prop.3.3.1), c) α = 7 ∈ R, (1, 1, 1) ∈ H3 e 7(1, 1, 1) = (7, 7, 7) ∈ / H3 (falha condi¸c˜ ao (iii) da Prop.3.3.1. Observe-se que tamb´em falha a condi¸c˜ ao (ii)), d) α = −1 ∈ R, (2, 1, 0) ∈ H4 e (−1)(2, 1, 0) = (−2, −1, 0) ∈ / H4 (falha condi¸c˜ ao (iii) da Prop.3.3.1),

38

e) (0, 0, 1) ∈ H5 , (0, 1, 0) ∈ H5 e (0, 0, 1) + (0, 1, 0) = (0, 1, 1) ∈ / H5 (falha condi¸ca˜o (ii) da Prop.3.3.1). Proposi¸c˜ ao 3.3.4 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E1 , E2 subespa¸cos vectoriais de E. Ent˜ao: a) E1 ∩ E2 ´e um subespa¸co vectorial de E; → → − − → → b) E1 + E2 = { f + − g : f ∈ E1 , − g ∈ E2 } ´e um subespa¸co vectorial de E; c) E1 ∪ E2 ´e um subespa¸co vectorial de E se e s´ o se E1 ⊆ E2 ou E2 ⊆ E1 . Demonstra¸c˜ ao a) (Usamos a Proposi¸c˜ao 3.3.3) → − → − → − (i) 0 ∈ E1 e 0 ∈ E2 , donde, 0 ∈ E1 ∩ E2 ; → → (ii) Sejam − x ,− y ∈ E ∩ E e α, β ∈ F. 1

2

− → → → Por defini¸c˜ao de intersec¸c˜ao, → x ,− y ∈ E1 e − x ,− y ∈ E2 . → − → − → − → − → − → Logo, α x + β y ∈ E1 e α x + β y ∈ E2 ⇒ α x + β − y ∈ E1 ∩ E2 . b) Fica ao cuidado do leitor efectuar a prova (muito simples), usando a Prop. 3.3.1 ou a Prop. 3.3.3. c) (⇐) Trivial, j´a que, se E1 ⊆ E2 , E1 ∪ E2 = E2 e se E2 ⊆ E1 , E1 ∪ E2 = E1 . (⇒) Suponhamos que E1 ∪ E2 ´e um subespa¸co vectorial de E e que (com vista a um absurdo) E1 * E2 e E2 * E1 . → → → → Ent˜ao, ∃− e 1 ∈ E1 tal que − e1∈ / E2 e ∃− e 2 ∈ E2 tal que − e2∈ / E1 . → − → − → → Como E1 ⊆ E1 ∪E2 e E2 ⊆ E1 ∪E2 , e 1 , e 2 ∈ E1 ∪E2 ⇒(E1 ∪E2 ≤ E) − e 1 +− e 2 ∈ E1 ∪E2 → − → − → − → − ⇒ (por defini¸c˜ao de uni˜ao de conjuntos) e + e ∈ E ou e + e ∈ E . 1

2

1

1

2

2

− → − → → → → → Se → e1+− e 2 ∈ E1 , como → e 1 ∈ E1 , −− e 1 ∈ E1 , donde, (−− e 1 ) + (− e1+− e 2) = − e 2 ∈ E1 ,

o que contradiz a hip´otese. → → − Se − e1+− e 2 ∈ E2 conclui-se, de forma an´aloga, que → e 1 ∈ E2 , ou seja, um absurdo.

3.3.1

Subespa¸ co gerado

→ → → Proposi¸c˜ ao 3.3.5 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e − v 1, − v 2, . . . , − v n vectores → − → − → − de E. Ent˜ ao o conjunto G = {λ1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λn v n : λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ F} ´e um → → → subespa¸co vectorial de E, designado por subespa¸ co gerado por − v ,− v ,...,− v . 1

Demonstra¸c˜ ao (Usamos a Prop. 3.3.3)

39

2

n

→ − − → → (i) Pondo λ1 = λ2 = . . . = λn = 0, tem-se 0→ v 1 + 0− v 2 + . . . + 0− v n = 0 ∈ G; → → (ii) Sejam − x ,− y ∈ G e α, β ∈ F. → → → → Ent˜ao, ∃λ1 , λ2 , . . . , λn , γ1 , γ2 , . . . , γn ∈ F tais que − x = λ1 − v 1 + λ2 − v 2 + . . . + λn − vne → − → − → y = γ1 − v 1 + γ2 → v 2 + . . . + γn − v n. → → → → → → → → Tem-se, α− x +β − y = α(λ − v +λ − v +. . .+λ − v )+β(γ − v +γ − v +. . .+γ − v )= 1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

− → → (αλ1 + βγ1 )→ v 1 + (αλ2 + βγ2 )− v 2 + . . . + (αλn + βγn )− v n ∈ G. Nota¸ c˜ ao − → → − → → O subespa¸co gerado por → v 1, − v 2, . . . , − v n denota-se por < → v 1, − v 2, . . . , − v n > ou → → → L(− v ,− v ,...,− v ). 1

2

n

Exemplos 1 — Em R3 , determinamos o subespa¸co gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1). (x, y, z) ∈< (1, 1, 1), (1, 0, 1) > sse (x, y, z) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 0, 1) sse   1 1 x    1 0 y  1 1 z ´e a matriz ampliada de um  1   1 1

sistema linear poss´ıvel.    1 x x 1 1  L02 =L2 −L1   −−−−→  0 −1 y − x  0 y  −− L03 =L3 −L1 1 z 0 0 z−x

O sistema ´e poss´ıvel sse z − x = 0, pelo que, < (1, 1, 1), (1, 0, 1) >= {(x, y, z) ∈ R3 : z = x} (um plano de R3 ). 2 — Em R4 , determinamos o subespa¸co gerado por (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3). (x, y, z, w) ∈< (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) > sse (x, y, z, w) = α1 (1, −1, 0, 2) + α2 (0, 1, 2, 3) sse



1

0 x



   −1 1 y     0 2 z    2 3 w ´e a matriz ampliada de um sistema linear poss´ıvel.      1 0 x 1 0 x       −1 1 y  L02 =L2 +L1  0 1 y + x  L03 =L3 −L2   −−−−−−→   −−−−−−−→    0 2  L0 =L4 −3L2   0 2 z − 0 =L −2L L 4 1 z 4     4  2 3 w 0 3 w − 2x 40

1 0

x



0 1

y+x

0 0

z − 2x − 2y

    

0 0 (w − 2x) + (−3x − 3y)

O sistema ´e poss´ıvel sse z − 2x − 2y = 0 e w − 5x − 3y = 0, pelo que, < (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) >= {(x, y, z, w) ∈ R4 : z = 2x + 2y e w = 5x + 3y}. 3 — Em R3 , determinamos o subespa¸co gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0). (x, y, z) ∈< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) > sse (x, y, z) = α1 (1, 1, 1)+α2 (1, 0, 1)+α3 (1, 2, 0) sse 

1 1 1 x



   1 0 2 y  1 1 0 z ´e a matriz ampliada de um sistema linear poss´ıvel.    1 1 1 1 1 x  L02 =L2 −L1   −−−−→  0 −1  1 0 2 y  −− 0 L3 =L3 −L1

1 1 0 z

0

0

1

x



 y−x  −1 z − x 1

O sistema ´e sempre poss´ıvel, quaisquer que sejam os valores reais de x, y, z. Logo, < (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) >= R3 .

3.4

Base e dimens˜ ao

→ → → Defini¸ c˜ ao 36 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Diz-se que os vectores − u 1, − u 2, . . . , − up ∈ → → → E geram o (s˜ ao geradores do) espa¸co, e escreve-se E =< − u 1, − u 2, . . . , − u p >, se → − → − → qualquer vector de E se pode escrever como combina¸c˜ ao linear de u , u , . . . , − u . 1

2

p

Defini¸ c˜ ao 37 Um espa¸co vectorial E diz-se finitamente gerado se existe um n´ umero → → → → → → finito de vectores − u ,− u ,...,− u ∈ E tais que E =< − u ,− u ,...,− u >. 1

2

p

1

2

p

Exemplo Do que vimos no exemplo anterior, R3 ´e finitamente gerado, j´a que R3 =< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) > . Mais geralmente, para qualquer n ∈ N, Rn =< (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) >, pelo que Rn ´e finitamente gerado. 41

Defini¸ c˜ ao 38 Seja E um espa¸co vectorial finitamente gerado. → → → Diz-se o conjunto B = {− e 1, − e 2, . . . , − e n } ⊆ E ´e uma base de E se: (i) B ´e um conjunto de vectores linearmente independentes; → → → (ii) B ´e um conjunto de geradores de E, ou seja, E =< − e 1, − e 2, . . . , − e n >. Proposi¸c˜ ao 3.4.1 Todo o espa¸co vectorial finitamente gerado tem uma base. Observa¸c˜ oes → − − → − → 1 — O espa¸co nulo, E = { 0 }, ´e finitamente gerado, uma vez que { 0 } =< 0 >, mas n˜ao possui vectores linearmente independentes. Por isso, convenciona-se que a sua base ´e o conjunto vazio, ∅. 2 — Se se atribuir uma certa ordem aos vectores da base B, diz-se que B ´e uma base → → → ordenada de E, e escreve-se B = (− e ,− e ,...,− e ). 1

2

n

3 — Qualquer subespa¸co vectorial de um espa¸co finitamente gerado ´e um espa¸co finitamente gerado, logo, tem uma base. Proposi¸c˜ ao 3.4.2 Duas quaisquer bases de um mesmo espa¸co vectorial tˆem o mesmo n´ umero de vectores. Defini¸ c˜ ao 39 Chama-se dimens˜ ao de um espa¸co vectorial E, e denota-se por dim(E), ao n´ umero de vectores de uma base qualquer de E. Um espa¸co finitamente gerado diz-se de dimens˜ ao finita, enquanto que um espa¸co que n˜ ao seja finitamente gerado tem dimens˜ ao infinita. Proposi¸c˜ ao 3.4.3 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F de dimens˜ ao n e B = − → → − → − → − ( e 1 , e 2 , . . . , e n ) uma base de E. Ent˜ ao, qualquer vector x ∈ E escreve-se de forma u ´nica como combina¸c˜ao linear dos vectores de B, ou seja, existem escalares u ´nicos → − → − → − → − a1 , a2 , . . . , an ∈ F tais que x = a1 e 1 + a2 e 2 + . . . + an e n . Demonstra¸c˜ ao → → → → → → → → Suponhamos que − x = a1 − e 1 +a2 − e 2 +. . .+an − e n e que − x = b1 − e 1 +b2 − e 2 +. . .+bn − e n. → → → → → → Ent˜ao, a1 − e 1 + a2 − e 2 + . . . + an − e n = b1 − e 1 + b2 − e 2 + . . . + bn − en ⇒ → − → − → − → − ⇒ (a1 − b1 ) e 1 + (a2 − b2 ) e 2 + . . . + (an − bn ) e n = 0 ⇒ (os vectores de B s˜ao linearmente independentes) a1 − b1 = a2 − b2 = . . . = an − bn = 0 ⇒ a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn .

→ Defini¸ c˜ ao 40 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F de dimens˜ ao n, − x ∈Ee → − → − → − B = ( e 1 , e 2 , . . . , e n ) uma base (ordenada) de E. Os escalares u ´nicos a1 , a2 , . . . , an ∈ F 42

− → → → − tais que → x = a1 − e 1 + a2 − e 2 + . . . + an − e n designam-se por coordenadas de → x na base → − B e escreve-se x = (a , a , . . . , a ) para o traduzir. 1

2

n B

Exemplo Em R3 , j´a vimos que os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) geram o espa¸co. E s˜ao linearmente independentes porque     1 1 1 1 1 1   L02 =L2 −L1   −−−−→  0 −1 1  ,  1 0 2  −− 0 L3 =L3 −L1 1 1 0 0 0 −1 tem caracter´ıstica 3. Por isso, B = ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0)) ´e uma base de R3 . Tem-se (1, 1, 1) = (1, 0, 0)B , (1, 0, 1) = (0, 1, 0)B , (1, 2, 0) = (0, 0, 1)B , (3, 3, 2) = (1, 1, 1)B , (x, y, z) = (−2x + y + 2z, 2x − y − z, x − z)B . Proposi¸c˜ ao 3.4.4 Seja E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao n. Ent˜ ao: (I) Quaisquer n vectores linearmente independentes de E formam uma base de E. (II) Quaisquer n geradores de E formam uma base de E. (III) Qualquer sistema com mais de n vectores ´e sempre linearmente dependente. (IV) Se E1 ≤ E, 0 ≤ dim(E1 ) ≤ n, tendo-se: → − dim(E1 ) = 0 ⇔ E1 = { 0 } e dim(E1 ) = n ⇔ E1 = E. Observa¸c˜ ao Num espa¸co vectorial de dimens˜ao n, n ´e o n´ umero m´aximo de vectores linearmente independentes e o n´ umero m´ınimo de geradores do espa¸co. Exemplos de bases Prova-se facilmente que: a) Bc = ((1, 0), (0, 1)) ´e uma base de R2 — a base can´onica de R2 . Logo, dim(R2 ) = 2. Tendo em conta que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), (x, y) = (x, y)Bc . b) Seja n ∈ N. Bc = ((1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)) ´e uma base de Rn — a base can´onica de Rn . Logo, dim(Rn ) = n. Tendo em conta que (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0)+x2 (0, 1, . . . , 0)+. . .+xn (0, 0, . . . , 1), (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x2 , . . . , xn )Bc . c1) Bc = ((1, 0), (0, 1)) ´e uma base de C2 como espa¸co vectorial complexo — a base can´onica de C2 sobre C. Logo, dim(C2C ) = 2. Tendo em conta que (z1 , z2 ) = z1 (1, 0) + z2 (0, 1), (z1 , z2 ) = (z1 , z2 )Bc .

43

c2) Bc = ((1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)) ´e uma base de C2 como espa¸co vectorial real — a base can´onica de C2 sobre R. Logo, dim(C2R ) = 4. Tendo em conta que (z1 , z2 ) = z1 (1, 0) + z2 (0, 1) = (a1 + b1 i)(1, 0) + (a2 + b2 i)(0, 1) = a1 (1, 0) + b1 (i, 0) + a2 (0, 1) + b2 (0, i), (z1 , z2 ) = (a1 + b1 i, a2 + b2 i) = (a1 , b1 , a2 , b2 )Bc . d1) Seja n ∈ N. Bc = ((1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)) ´e uma base de Cn como espa¸co vectorial complexo — a base can´onica de Cn sobre C. Logo, dim(CnC ) = n. Tendo em conta que (z1 , z2 , . . . , zn ) = z1 (1, 0, . . . , 0)+z2 (0, 1, . . . , 0)+. . .+zn (0, 0, . . . , 1), (z1 , z2 , . . . , zn ) = (z1 , z2 , . . . , zn )Bc . d2) Seja n ∈ N. Bc = ((1, 0, . . . , 0), (i, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), (0, i, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1), (0, 0, . . . , i)) ´e uma base de Cn como espa¸co vectorial real — a base can´onica de Cn sobre R.

Logo,

dim(CnR ) = 2n. Tendo em conta que (z1 , z2 , . . . , zn ) = z1 (1, 0, . . . , 0)+z2 (0, 1, . . . , 0)+. . .+zn (0, 0, . . . , 1) = (a1 +b1 i)(1, 0, . . . , 0)+(a2 +b2 i)(0, 1, . . . , 0)+. . .+(an +bn i)(0, 0, . . . , 1) = a1 (1, 0, . . . , 0)+ b1 (i, 0, . . . , 0) + a2 (0, 1, . . . , 0) + b2 (0, i, . . . , 0) + . . . + an (0, 0, . . . , 1) + bn (0, 0, . . . , i), (z1 , z2 , . . . , zn ) = (a1 + b1 i, a2 + b2 i, . . . , an + bn i) = (a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , an , bn )Bc . " # " # " # " # 1 0 0 1 0 0 0 0 e) Sendo E11 = , E12 = , E21 = , E22 = , 0 0 0 0 1 0 0 1 Bc = (E11 , E12 , E21 , E22 ) ´e uma base de R2×2 — a base can´onica de R2×2 . Logo, dim(R2×2 ) = 4. " Tendo em conta que

a b

#

"

1 0

#

"

0 1

#

=a +b c d 0 0 0 0 " # a b aE11 + bE12 + cE21 + dE22 , = (a, b, c, d)Bc . c d f) Em R2 , consideremos o subespa¸co vectorial

" +c

0 0 1 0

#

" +d

0 0 0 1

# =

G = {(x, y) : y = mx} = {(x, mx) : x ∈ R}. Como (x, mx) = x(1, m) e x ´e arbitr´ario, G =< (1, m) >. O vector (1, m) ´e n˜ao nulo, logo, linearmente independente. Por isso, B = ((1, m)) ´e uma base de G e dim(G) = 1. g) Em R3 , consideremos o subespa¸co vectorial E1 = {(x, y, z) : x + y + z = 0}. x + y + z = 0 ⇔ z = −x − y, pelo que os vectores de E1 s˜ao da forma (x, y, −x − y) = (x, 0, −x) + (0, y, −y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1). 44

Logo, E1 =< (1, 0, −1), (0, 1, −1) >. Os vectores (1, 0, −1), (0, 1, −1) s˜ao linearmente independentes (nenhum ´e combina¸c˜ao linear do outro). Por isso, B = ((1, 0, −1), (0, 1, −1)) ´e uma base de E1 e dim(E1 ) = 2. h) Em R4 , consideremos o subespa¸co vectorial H = {(x, y, z, w) : x − y + 2z = 0, w − x − z = 0}. (

x − y + 2z = 0 w−x−z = 0

( ⇔

y = x + 2z w = x+z

,

pelo que os vectores de H s˜ao da forma (x, x + 2z, z, x + z) = (x, x, 0, x) + (0, 2z, z, z) = x(1, 1, 0, 1) + z(0, 2, 1, 1). Logo, H =< (1, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 1) >. Os vectores (1, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 1) s˜ao linearmente independentes (nenhum ´e combina¸c˜ao linear do outro). Por isso, B = ((1, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 1)) ´e uma base de H e dim(H) = 2.

3.5

Matriz de Mudan¸ ca de Base

→ → → Defini¸ c˜ ao 41 Sejam E um espa¸co vectorial e B1 = (− e 1, − e 2, . . . , − e n) e → − − → → − B2 = ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) duas bases de E. Chama-se matriz de mudan¸ ca da base B1 para a base B2 `a matriz quadrada de ordem n   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n   M(B1 , B2 ) =  . .. . . ..  , . . . .   . an1 an2 . . . ann onde − → − → → e 1 = a11 → u 1 + a21 − u 2 + . . . + an1 − un → − − → → e 2 = a12 → u 1 + a22 − u 2 + . . . + an2 − un . .. . → − − → → e = a → u +a − u + ... + a − u n

1n

1

2n

45

2

nn

n

(3.1)

Uma matriz de mudan¸ca de base permite relacionar as coordenadas de um qualquer vector de E nas duas bases envolvidas. Pondo P = M(B1 , B2 ), podemos usar nota¸c˜ao matricial para traduzir as rela¸c˜oes (3.1). Tem-se h i h i → − → − → → → e1 − e 2 ... → en = − u1 − u 2 ... − u n P.

(3.2)

− → → → → → → Se → x = x1 − e 1 + x2 − e 2 + . . . + xn − e n = x01 − u 1 + x02 − u 2 + . . . + x0n − u n , ent˜ao     x1 x01   h i i  x2  h −  x02  → − → − → − → → − → −    e 1 e 2 ... e n   ..  = u 1 u 2 . . . u n  ..  .  .   .  x0n xn     x1 x01    0   x2   x  0  e X =  .2 , vem Pondo X =  .  .   .   .   .  x0n xn i i h h → → → → − → → u1 − u 2 ... − u n X0 ⇒ e1 − e 2 ... − en X = − h i h i → − → − → − → − → − → − (por (3.2)) ( u 1 u 2 . . . u n P )X = u 1 u 2 . . . u n X 0 ⇒ h i h i → − → − → − → − → − → − (P X) = u 1 u 2 ... u n u 1 u 2 . . . u n X 0 ⇒ P X = X 0. Observa¸c˜ ao Se Q = M(B2 , B1 ) conclui-se, analogamente, que X = QX 0 . Como P X = X 0 ⇔ ⇔ X = P −1 X 0 (as n colunas de P , correspondentes `as coordenadas de cada vector da base B1 relativamente `a base B2 , s˜ao linearmente independentes. Por isso, c(P ) = n, donde, P ´e invert´ıvel), tem-se QX 0 = P −1 X 0 . A arbitrariedade de X 0 permite concluir que Q = P −1 . Exemplo Em R3 , consideremos as bases B1 e B2 tais que B1 ´e a base can´onica e B2 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)). De (1, 0, 0) = 0(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) (0, 1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + (−1)(1, 0, 0) , (0, 0, 1) = 1(1, 1, 1) + (−1)(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) vem 

0

0

 M(B1 , B2 ) =  0

1

1



 −1  . 1 −1 0

46

Dado o vector (3, 2, 1) = (3, 2, 1)B1 , determinamos as suas coordenadas na base B2 usando a matriz de mudan¸ca de base:      0 0 1 3 1       0 1 −1   2  =  1  , 1 −1 0 1 1 pelo que, (3, 2, 1) = (1, 1, 1)B2 , ou seja, (3, 2, 1) = 1(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0). Como (1, 1, 1) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) (1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1) , (1, 0, 0) = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1) temos 

1 1 1



  M(B2 , B1 ) =  1 1 0  . 1 0 0 

1 1 1





0

0

−1

1

    (Note-se que  1 1 0  =  0 1 −1  , uma vez que 1 −1 0 1 0 0 

1 1 1



0

0

1





1 0 0



      1 1 0   0 1 −1  =  0 1 0  .) 0 0 1 1 −1 0 1 0 0 − Se → x = (1, 2, 3)B2 , 

1 1 1



1





6



      1 1 0  2  =  3 , 1 3 1 0 0 − donde, → x = (6, 3, 1)B1 = (6, 3, 1).

47

Cap´ıtulo 4 ˜ APLICAC ¸ OES LINEARES Defini¸ c˜ ao 42 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F. Uma aplica¸c˜ ao f : E → E0 diz-se linear se: → → → → → → i) ∀ − x ,− y ∈ E f (− x +− y ) = f (− x ) + f (− y) → → → ii) ∀ α ∈ F, ∀ − x ∈ E f (α− x ) = αf (− x ). Exemplos 1 — Se E e E0 s˜ao espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, a aplica¸c˜ao f : E → E0 → − → definida por f (− x ) = 0 E0 ´e linear (a aplica¸c˜ao linear nula), uma vez que: → − → − → − → → → → i) f (− x +− y ) = 0 E0 = 0 E0 + 0 E0 = f (− x ) + f (− y) e → − → − → → ii) f (α− x ) = 0 E0 = α 0 E0 = αf (− x ). → − 2 — Se E ´e um espa¸co vectorial sobre F, a aplica¸c˜ao f : E → E definida por f (− x)=→ x ´e linear (a aplica¸c˜ao linear identidade, frequentemente denotada por 1E ): → → → → → → i) f (− x +− y)=− x +− y = f (− x ) + f (− y) → → → ii) f (α− x ) = α− x = αf (− x ). 3 — A aplica¸c˜ao f : R3 → R2 tal que f (x, y, z) = (x + y + z, 2x − y) ´e linear, uma vez que: i) f ((x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 )) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = = ((x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) + (z1 + z2 ), 2(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )) = = ((x1 + y1 + z1 ) + (x2 + y2 + z2 ), (2x1 − y1 ) + (2x2 − y2 )) = = (x1 + y1 + z1 , 2x1 − y1 ) + (x2 + y2 + z2 , 2x2 − y2 ) = = f (x1 , y1 , z1 ) + f (x2 , y2 , z2 ) ii) f (α(x, y, z)) = f (αx, αy, αz) = (αx + αy + αz, 2αx − αy) = = (α(x + y + z), α(2x − y)) = α(x + y + z, 2x − y) = αf (x, y, z). 49

4 — J´a as fun¸c˜oes que se seguem n˜ao s˜ao lineares: a) f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (xy, x + y) b) f : R2 → R3 definida por f (x, y) = (2x + y, 1, x − y)   a   3×1 2 c) f : R → R definida por f ( b ) = (a2 , b + c − 2) c Com efeito, a) f (2, 3) = (2 × 3, 2 + 3) = (6, 5), f ((−1)(2, 3)) = f (−2, −3) = (6, −5) e (−1)f (2, 3) = (−6, −5) 6= (6, −5) = f ((−1)(2, 3)). Por isso, falha a condi¸c˜ao ii) da Defini¸c˜ao 42. b) f (1, 1) = (2 + 1, 1, 1 − 1) = (3, 1, 0), f (−1, −1) = (−2 − 1, 1, −1 + 1) = (−3, 1, 0), f ((1, 1) + (−1, −1)) = f (0, 0) = (0, 1, 0) 6= (0, 2, 0) = f (1, 1) + f (−1, −1). Assim, a condi¸c˜ao i) da Defini¸c˜ao 42 n˜ao se verifica.       1 1 2       2 c) f ( 0 ) = (1 , 0 + 2 − 2) = (1, 0) e f (2  0 ) = f ( 0 ) = (22 , 0 + 4 − 2) = 2 2 4   1   (4, 2) 6= 2f ( 0 ) = 2(1, 0) = (2, 0), n˜ao se verificando a condi¸c˜ao ii) da Defini¸c˜ao 42. 2 Proposi¸c˜ ao 4.0.1 Se f : E → E0 ´e uma aplica¸c˜ ao linear ent˜ ao: → − → − a) f ( 0 E ) = 0 E0 → → b) f (−− x ) = −f (− x) → → → → c) f (− x −− y ) = f (− x ) − f (− y ). Demonstra¸c˜ ao → − → − → − → − → − → − a) 0 E + 0 E = 0 E ⇒ f ( 0 E + 0 E ) = f ( 0 E ) ⇒ → − → − → − → − → − → − → − → − (f linear) f ( 0 E ) + f ( 0 E ) = f ( 0 E ) ⇒ f ( 0 E ) + f ( 0 E ) − f ( 0 E ) = f ( 0 E ) − f ( 0 E ) ⇒ → − → − ⇒ f ( 0 E ) = 0 E0 → − → − → → → → → − b) f (− x )+f (−− x ) = f (− x +(−− x )) = f ( 0 E ) = 0 E0 (por (a)), logo, f (−− x ) = −f (→ x) → → → → → → → → c) f (− x −− y ) = f (− x + (−− y )) = f (− x ) + f (−− y ) = f (− x ) − f (− y ) (por (b)).

Proposi¸c˜ ao 4.0.2 Se E e E0 s˜ao espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, uma aplica¸c˜ ao f : E → E0 ´e linear se e s´o se → → → → → → ∀ α, β ∈ F, ∀ − x ,− y ∈ E f (α− x + β− y ) = αf (− x ) + βf (− y ).

50

(A demonstra¸c˜ao fica ao cuidado do leitor) Proposi¸c˜ ao 4.0.3 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, E → → → → → → com dimens˜ao finita, B = (− e 1, − e 2, . . . , − e n ) uma base de E e − u 1, − u 2, . . . , − u n vectores arbitr´ arios de E0 . Ent˜ao existe uma e uma s´ o aplica¸c˜ ao linear f : E → E0 tal que → → f (− e i) = − u i.

∀i ∈ {1, 2, . . . , n} Mais ainda,

→ → → → → → → → se − x = a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n ent˜ ao f (− x ) = a1 − u 1 + a2 − u 2 + · · · + an − u n. Demonstra¸c˜ ao Seja f : E → E0 definida por → → → → → → f (a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n ) = a1 − u 1 + a2 − u 2 + · · · + an − un Provamos que (a) f ´e linear → − → → → → (i) f ((a1 − e 1 + a2 → e 2 + · · · + an − e n ) + (b1 − e 1 + b2 − e 2 + · · · + bn − e n )) = → − → − → − = f ((a + b ) e + (a + b ) e + · · · + (a + b ) e ) = 1

1

1

2

2

2

n

n

n

− → → = (a1 + b1 )→ u 1 + (a2 + b2 )− u 2 + · · · + (an + bn )− un = → − → − → − → − → − − = (a1 u 1 + a2 u 2 + · · · + an u n ) + (b1 u 1 + b2 u 2 + · · · + bn → u n) = → → → → → → = f (a − e +a − e + ··· + a − e ) + f (b − e +b − e + ··· + b − e ) 1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

→ → − → → → (ii) f (α(a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an → e n )) = f ((αa1 )− e 1 + (αa2 )− e 2 + · · · + (αan )− e n) = → − → − → − → − → − → − = (αa ) u + (αa ) u + · · · + (αa ) u = α(a u + a u + · · · + a u ) = 1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

− → → = αf (a1 → e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n) → − (b) ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} f (− e i) = → ui → → → → → → → → → f (− e i ) = f (0− e 1 +0− e 2 +· · ·+1− e i +· · ·+0− e n ) = 0− u 1 +0− u 2 +· · ·+1− u i +· · ·+0− un = → − = u i

(c) f ´e u ´nica Se g : E → E0 ´e uma aplica¸c˜ao linear tal que → → ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} g(− e i) = − u i, → ent˜ao, dado − x ∈ E arbitr´ario, tem-se: → → → → → → → g(− x ) = 1 g(a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n ) = a1 g(− e 1 ) + a2 g(− e 2 ) + · · · + an g(− e n) = 2 → → − → → → → = a f (− e ) + a f (− e ) + · · · + a f (→ e ) = f (a − e +a − e +···+a − e ) = f (− x ), logo, 1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

f = g. → 1−

→ → → x = a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n , para certos escalares a1 , a2 , . . . , an , dado que B ´e uma base de E → → − → − 2 − g( e i ) = u i = f ( e i )

51

Observa¸c˜ ao Traduz a Proposi¸c˜ao 4.0.3 que uma aplica¸c˜ao linear cujo dom´ınio ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita fica perfeitamente definida quando se conhecem as imagens dos vectores de uma qualquer base desse mesmo dom´ınio. Exemplos 1 — Consideremos a aplica¸c˜ao linear ϕ : R2 → R3 tal que ϕ(1, 1) = (1, 0, −1) e ϕ(1, 0) = (0, 2, 1). Determinamos a express˜ao geral de ϕ. (x, y) = y(1, 1) + (x − y)(1, 0) ⇒ ϕ(x, y) = ϕ(y(1, 1) + (x − y)(1, 0)) = = yϕ(1, 1)+(x−y)ϕ(1, 0) = y(1, 0, −1)+(x−y)(0, 2, 1) = (y, 0, −y)+(0, 2x−2y, x−y) = = (y, 2x − 2y, x − 2y). 2 — Determinamos uma aplica¸c˜ao linear g : R3 → R3 tal que g(1, 2, 3) = (0, 0, 0) e (1, 2, 3) ∈ g(R3 ). ´ f´acil mostrar que os vectores (1, 2, 3), (0, 1, 0), (0, 0, 1) constituem uma base de R3 E (cf. com o Cap´ıtulo 3). Ent˜ao, a aplica¸c˜ao linear g : R3 → R3 tal que g(1, 2, 3) = (0, 0, 0), g(0, 1, 0) = (1, 2, 3)g(0, 0, 1) = (0, 0, 1), e (x, y, z) = x(1, 2, 3) + (y − 2x)(0, 1, 0) + (z − 3x)(0, 0, 1) ⇒ ⇒ g(x, y, z) = x(0, 0, 0)+(y−2x)(1, 2, 3)+(z−3x)(0, 0, 1) = (y−2x, 2y−4x, −9x+3y+z) satisfaz as duas condi¸c˜oes requeridas. 3 — A aplica¸c˜ao linear f : R2 → R2 tal que f (1, 0) = (0, 1), f (0, 1) = (1, 0) ´e a simetria do plano em rela¸c˜ao `a recta y = x. Com efeito, ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (x(1, 0) + y(0, 1)) = xf (1, 0) + yf (0, 1) = x(0, 1) + y(1, 0) = (y, x). 4 — A aplica¸c˜ao linear h : R2 → R2 tal que h(1, 0) = (0, 1), h(0, 1) = (−1, 0) ´e a rota¸c˜ao do plano em torno da origem, no sentido directo, de um ˆangulo de amplitude π2 . Com efeito, ∀(x, y) ∈ R2 , h(x, y) = h(x(1, 0) + y(0, 1)) = xh(1, 0) + yh(0, 1) = x(0, 1) + y(−1, 0) = (−y, x).

4.1

N´ ucleo e Imagem. Classifica¸ c˜ ao de um Morfismo

Defini¸ c˜ ao 43 Seja f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear. Chama-se: 52

a) N´ ucleo de f , e denota-se por N uc(f ) ou por Ker(f ), ao subconjunto de E formado por todos os vectores cuja imagem por f ´e o vector nulo de E0 , ou seja, → − → → N uc(f ) = {− x ∈ E : f (− x ) = 0 E0 }. b) Imagem de f , e denota-se por Im(f ), ao contradom´ınio de f , isto ´e, → → Im(f ) = {f (− x):− x ∈ E} = f (E). Proposi¸c˜ ao 4.1.1 Nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ ao anterior, tem-se que: a) N uc(f ) ≤ E b) Im(f ) ≤ E0 . Demonstra¸c˜ ao → − → − → − a) (i) f ( 0 E ) = 0 E0 ⇒ 0 E ∈ N uc(f ) → − → → → → (ii) Sejam − x ,− y ∈ N uc(f ) e α, β ∈ F quaisquer. Por defini¸c˜ao, f (− x ) = f (− y ) = 0 E0 . Tem-se, → − → − → − − → → − → → → → → → f (α− x +β − y ) = αf (− x )+βf (− y ) = α 0 E0 +β 0 E0 = 0 E0 + 0 E0 = 0 E0 ⇒ α− x +β − y ∈ N uc(f ). → − → − → − b) (i) f ( 0 E ) = 0 E0 ⇒ 0 E0 ∈ Im(f ) → − → → − (ii) Sejam − u ,− v ∈ Im(f ) e α, β ∈ F quaisquer. Ent˜ao, ∃→ a , b ∈ E tais que → − → → → f (− a)=− u e f( b ) = − v . Tem-se, → − → − → → → → → → α− u + β− v = αf (− a ) + βf ( b ) = f (α− a + β b ) ⇒ α− u + β− v ∈ Im(f ).

→ → → Proposi¸c˜ ao 4.1.2 Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita, B = (− e 1, − e 2 , . . . {, − e n) uma base de E e f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao → → → Im(f ) =< f (− e 1 ), f (− e 2 ), . . . , f (− e n) > . Demonstra¸c˜ ao Vamos mostrar que qualquer vector de Im(f ) pode escrever-se como combina¸ca˜o → → → linear dos vectores f (− e ), f (− e ), . . . , f (− e ). 1

2

n

− → → → Seja → y ∈ Im(f ). Ent˜ao, ∃− x ∈ E tal que − y = f (− x ). Como B ´e uma base do espa¸co, → − → − → − → ∃a1 , a2 , . . . , an ∈ F tais que x = a1 e 1 + a2 e 2 + · · · + an − e n . Donde, − → → → → → → → → y = f (− x ) = f (a1 − e 1 + a2 − e 2 + · · · + an − e n ) = a1 f (− e 1 ) + a2 f (− e 2 ) + · · · + an f (− e n) ⇒ → → → → ⇒− y ∈< f (− e 1 ), f (− e 2 ), . . . , f (− e n) > . 53

Observa¸c˜ ao Se E ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita e f : E → E0 ´e uma aplica¸c˜ao linear, resulta imediatamente da proposi¸c˜ao 4.1.2 que Im(f ) tamb´em tem dimens˜ao finita. Mais ainda, dim(Im(f )) ≤ dim(E). Por outro lado, como N uc(f ) ≤ E, tamb´em N uc(f ) tem dimens˜ao finita e dim(N uc(f )) ≤ dim(E). Veremos adiante como se relacionam as dimens˜oes de N uc(f ), Im(f ) e E. Defini¸ c˜ ao 44 Se E ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita e f : E → E0 ´e uma aplica¸c˜ ao linear, `a dimens˜ao de N uc(f ) chama-se nulidade de f , denotando-se por nf e` a dimens˜ ao de Im(f ) chama-se caracter´ıstica de f , e denota-se por cf . Exemplos 1 — Consideremos a aplica¸c˜ao linear f : R3 → R2 definida por f (x, y, z) = (x+y +z, 2x−y). Determinamos N uc(f ), Im(f ) e as dimens˜oes respectivas. N uc(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = (0, 0)} = {(x, y, z) ∈ R3 : (x+y+z, 2x−y) = (0, 0)} ( ( ( x+y+z = 0 x + 2x + z = 0 z = −3x ⇒ ⇒ , 2x − y = 0 y = 2x y = 2x donde, N uc(f ) = {(x, 2x, −3x) : x ∈ R} = {x(1, 2, −3) : x ∈ R} =< (1, 2, −3) > (1, 2, −3) 6= (0, 0, 0), pelo que, o gerador de N uc(f ) ´e linearmente independente e, por isso, B = ((1, 2, −3)) ´e uma base de N uc(f ) e nf = 1. Im(f ) = {f (x, y, z) : (x, y, z) ∈ R3 } = {(x + y + z, 2x − y) : x, y, z ∈ R} (x + y + z, 2x − y) = (x, 2x) + (y, −y) + (z, 0) = x(1, 2) + y(1, −1) + z(1, 0) ⇒ ⇒ Im(f ) =< (1, 2), (1, −1), (1, 0) > ⇒ Im(f ) = R2 e cf = 2 (porque, em R2 , trˆes vectores s˜ao sempre linearmente dependentes mas quaisquer dois geradores dos indicados para Im(f ) s˜ao linearmente independentes). Alternativamente, podemos usar a proposi¸c˜ao 4.1.2 para determinar Im(f ): atendendo a que ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ´e uma base de R3 , tem-se Im(f ) =< f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1) >=< (1, 2), (1, −1), (1, 0) >= R2 . 2 — Seja g : R3 → R4 a aplica¸c˜ao linear tal que g(x, y, z) = (x−z, 0, y +2z, x−y +z). Determinamos N uc(g), Im(g), ng e cg . N uc(g) = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = (0, 0, 0, 0)} = 54

= {(x, y, z) ∈ R3 : (x − z, 0, y + 2z, x − y + z) = (0, 0, 0, 0)}.           

x−z = 0

  

   x = 0 0 = 0 ⇒ y = −2z ⇒ y = 0 ,   y + 2z = 0   z + 2z + z = 0 z = 0 x−y+z = 0 x = z

donde, N uc(g) = {(0, 0, 0)} e ng = 0. Im(g) =< g(1, 0, 0), g(0, 1, 0), g(0, 0, 1) >=< (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, −1), (−1, 0, 2, 1) >     1 0 −1 x 1 0 −1 x      1 −1 1 w   0 0  0 y   −−−−→   −−−−−−→   0 1 0 2 z  2 z    L2 ↔L4  0 1  L2 =L2 −L1 1 −1 1 w 0 0 0 y     1 0 −1 x 1 0 −1 x      0 −1 2 w − x   0 −1 2 w−x     , −− −−−−→ −− −−−−→   0 =L +L L02 =L2 −L1  L 3 2 2 z  3 4 z+w−x   0 1  0 0  0 0 0 y 0 0 0 y logo, Im(g) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y = 0} e, atendendo a que a caracter´ıstica da matriz ´e 3 , cg = 3. Alternativamente, Im(g) = {g(x, y, z) : (x, y, z) ∈ R3 } = {(x − z, 0, y + 2z, x − y + z) : x, y, z ∈ R} = = {(x, 0, 0, x) + (0, 0, y, −y) + (−z, 0, 2z, z) : x, y, z ∈ R} = = {x(1, 0, 0, 1) + y(0, 0, 1, −1) + z(−1, 0, 2, 1) : x, y, z ∈ R} ⇒ ⇒ Im(g) =< (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, −1), (−1, 0, 2, 1) > . A utiliza¸c˜ao do resultado que enunciaremos de seguida teria evitado alguns dos c´alculos efectuados nestes dois exemplos. Proposi¸c˜ ao 4.1.3 (Teorema da Dimens˜ ao) Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita e f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao, dim(E) = dim(N uc(f )) + dim(Im(f )) ou, abreviadamente, dim(E) = nf + cf .

55

Demonstra¸c˜ ao → → → Sejam B1 = (− u 1, − u 2, . . . , − u p ) (0 ≤ p ≤ dim(E)) uma base de N uc(f ) e → − → − → − → − → → B = ( u 1 , u 2 , . . . , u p , e p+1 , − e p+2 , . . . , − e n ) uma base de E que cont´em B1 . Vamos → − → − → provar que B = (f ( e ), f ( e ), . . . , f (− e )) ´e uma base de Im(f ), de onde resultar´a 2

p+1

p+2

n

imediatamente a tese. → − − → Seja − y ∈ Im(f ). Ent˜ao, ∃→ x ∈ E tal que → y = f (− x ). Como B ´e uma base de E, ∃a1 , a2 , . . . , ap , bp+1 , bp+2 , . . . , bn ∈ F tais que − → → → → → → → x = a1 − u 1 + a2 − u 2 + · · · + ap − u p + bp+1 − e p+1 + bp+2 − e p+2 + · · · + bn − e n. Donde, − → → → → → → → → y = f (− x ) = f (a1 − u 1 + a2 − u 2 + · · · + ap − u p + bp+1 − e p+1 + bp+2 − e p+2 + · · · + bn − e n) = → → → → → → = a1 f (− u 1 ) + a2 f (− u 2 ) + · · · + ap f (− u p ) + bp+1 f (− e p+1 ) + bp+2 f (− e p+2 ) + · · · + bn f (− e n) = 3 → − → − → − → → → e p+1 ) + bp+2 f (− e p+2 ) + · · · + bn f (− e n) = = a1 0 E0 + a2 0 E0 + · · · + ap 0 E0 + bp+1 f (− → − → − → − → → → = 0 E0 + 0 E0 + · · · + 0 E0 + bp+1 f (− e p+1 ) + bp+2 f (− e p+2 ) + · · · + bn f (− e n) = → → → = b f (− e ) + b f (− e ) + · · · + b f (− e )⇒ p+1

p+1

p+2

p+2

n

n

→ → → ⇒ Im(f ) =< f (− e p+1 ), f (− e p+2 ), . . . , f (− e n) > . → − → → → Suponhamos agora que α1 f (− e p+1 ) + α2 f (− e p+2 ) + · · · + αn−p f (− e n ) = 0 E0 . Ent˜ao, → − → → → f (α1 − e p+1 + α2 − e p+2 + · · · + αn−p − e n ) = 0 E0 ⇒ → → → ⇒ α1 − e p+1 + α2 − e p+2 + · · · + αn−p − e n ∈ N uc(f ) ⇒ 4 → → → → → → ⇒ ∃β1 , β2 , . . . , βp ∈ F : α1 − e p+1 +α2 − e p+2 +· · ·+αn−p − e n = β1 − u 1 +β2 − u 2 +· · ·+βp − up ⇒ → − → → → → → → ⇒β − u +β − u + ··· + β − u −α − e −α − e − ··· − α − e = 0 ⇒5 1

1

2

2

p

p

1

p+1

2

p+2

n−p

⇒ β1 = β2 = . . . = βp = α1 = α2 = . . . = αn−p = 0, como quer´ıamos.

Defini¸ c˜ ao 45 Uma aplica¸c˜ao linear f : E → E0 diz-se um: (i) monomorfismo se ´e injectiva; (ii) epimorfismo se ´e sobrejectiva; (iii) isomorfismo se ´e bijectiva; (iv) endomorfismo se E0 = E; (v) automorfismo se ´e um endomorfismo bijectivo. → → Os vectores − u 1, . . . , − u p pertencem a N uc(f ), logo, tˆem imagem nula → − → − Os vectores u 1 , . . . , u p geram N uc(f ) 5 Por B ser uma base de E, os vectores de B s˜ao linearmente independentes 3

4

56

n

E

Proposi¸c˜ ao 4.1.4 Uma aplica¸c˜ao linear f : E → E0 ´e um monomorfismo se e s´ o se → − N uc(f ) = { 0 E }. Demonstra¸c˜ ao → − → − − (⇒) Seja x ∈ N uc(f ). Supondo f injectiva, mostramos que → x = 0 E. → − → − → − − → → → x ∈ N uc(f ) ⇒ f (− x ) = 0 E0 = 6 f ( 0 E ) ⇒ 7 − x = 0 E. → → − − (⇐) Suponhamos que f (− x ) = f (− y ). Provamos que → x = → y , usando a hip´otese → − (N uc(f ) = { 0 E }). → − → − → → → → → → f (− x ) = f (− y ) ⇒ f (− x ) − f (− y ) = 0 E0 ⇒ f (− x −− y ) = 0 E0 ⇒ → − → − → → → → → → ⇒− x −− y ∈ N uc(f ) = { 0 E } ⇒ − x −− y = 0E⇒− x =− y.

Observa¸c˜ ao Se f : E → E0 ´e linear e E tem dimens˜ao finita ent˜ao: (i) f ´e um monomorfismo sse nf = 0; (ii) f ´e um epimorfismo (Im(f ) = E0 ) sse cf = dim(E0 ); (iii) f ´e um isomorfismo sse nf = 0 e cf = dim(E0 ) = dim(E). Proposi¸c˜ ao 4.1.5 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais com a mesma dimens˜ ao (finita) e f : E → E0 uma aplica¸c˜ao linear. Ent˜ ao, f ´e um monomorfismo se e s´ o se ´e um epimorfismo. Demonstra¸c˜ ao Seja n = dim(E) = dim(E0 ). Pelo Teorema da Dimens˜ao (Proposi¸c˜ao 4.1.3), n = nf + cf . f monomorfismo ⇔ nf = 0 ⇔ n = cf ⇔ f epimorfismo.

Observa¸c˜ ao 1 — Resulta da Proposi¸c˜ao anterior que, para que uma aplica¸c˜ao linear entre espa¸cos vectoriais com a mesma dimens˜ ao seja bijectiva, basta que seja injectiva ou sobrejectiva. 6 7

Pela Proposi¸c˜ ao 4.0.1 f ´e injectiva

57

2 — S´o podem existir isomorfismos entre espa¸cos vectoriais com a mesma dimens˜ao. Com efeito, de acordo com a Proposi¸c˜ao 4.1.3, se: a) dim(E) < dim(E0 ), f nunca ´e sobrejectiva (cf = dim(E) − nf ≤ dim(E) < dim(E0 )); b) dim(E) > dim(E0 ), f nunca ´e injectiva (cf ≤ dim(E0 ) < dim(E) = cf + nf ⇒ nf > 0).

Proposi¸c˜ ao 4.1.6 Seja f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao f transforma vectores linearmente independentes em vectores linearmente independentes se e s´ o se f ´e um monomorfismo. Demonstra¸c˜ ao (⇒) Por hip´otese, f transforma vectores linearmente independentes em vectores li→ − nearmente independentes. Mostramos que N uc(f ) = { 0 E } (ou seja, que f ´e injectiva). → − → − → → x ∈ N uc(f ) ⇒ f (− x ) = 0 E0 ⇒ f (− x ) linearmente dependente ⇒ → − → − → ⇒ (hip´otese) x linearmente dependente ⇒ − x = 0 E. → − → → → (⇐) Suponhamos que N uc(f ) = { 0 E } e sejam − e 1, − e 2, . . . , − e p vectores linearmente → − → − → − independentes de E. Provamos que f ( e ), f ( e ), . . . , f ( e ) s˜ao vectores linearmente 1

2

p

0

independentes de E . → − → − → → → → → → α1 f (− e 1 ) + α2 f (− e 2 ) + · · · + αp f (− e p ) = 0 E0 ⇒ f (α1 − e 1 + α2 − e 2 + · · · + αp − e p ) = 0 E0 ⇒ → − → − → → → → → → α1 − e 1 + α2 − e 2 + · · · + αp − e p ∈ N uc(f ) = { 0 E } ⇒ α1 − e 1 + α2 − e 2 + · · · + αp − ep= 0E⇒ → → (− e ,...,− e linearmente independentes) α = α = . . . = α = 0. 1

p

1

2

p

Observa¸c˜ ao Das Proposi¸c˜oes 4.1.2 e 4.1.6 conclui-se que, se E ´e um espa¸co vectorial de dimens˜ao → → − finita, B = (− e 1, − e 2, . . . , → e n ) uma base de E e f : E → E0 um monomorfismo, ent˜ao → → → B 0 = (f (− e ), f (− e ), . . . , f (− e )) ´e uma base de Im(f ), pelo que dim(Im(f )) = dim(E. 1

4.2

2

n

Soma, Multiplica¸ c˜ ao por Escalar, Composta e Inversa de Aplica¸ c˜ oes Lineares

Proposi¸c˜ ao 4.2.1 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, λ ∈ F, f : E → E0 e g : E → E0 aplica¸c˜oes lineares. Ent˜ ao as aplica¸c˜ oes, 58

→ → → − a) (f + g) : E → E0 definida por (f + g)(− x ) = f (− x ) + g(− x ), ∀→ x ∈E → → → b) (λf ) : E → E0 definida por (λf )(− x ) = λf (− x ), ∀− x ∈E s˜ ao lineares. Demonstra¸c˜ ao → → → → → → a) (f + g)(α− x + β− y ) = f (α− x + β− y ) + g(α− x + β− y)=8 → → → → → → → → = (αf (− x ) + βf (− y )) + (αg(− x ) + βg(− y )) = α(f (− x ) + g(− x )) + β(f (− y ) + g(− y )) = → → = α(f + g)(− x ) + β(f + g)(− y) b) tem prova an´aloga a a)

Proposi¸c˜ ao 4.2.2 Sejam E, E0 e E00 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, g : E → E0 e f : E0 → E00 aplica¸c˜oes lineares. Ent˜ ao (f ◦ g) : E → E00 definida por → → → (f ◦ g)(− x ) = f (g(− x )), ∀− x ∈ E ´e uma aplica¸c˜ ao linear. Demonstra¸c˜ ao → → → → → → (f ◦ g)(α− x + β− y ) = f (g(α− x + β− y )) = 9 f (αg(− x ) + βg(− y )) = 10 → → → → = αf (g(− x )) + βf (g(− y )) = α(f ◦ g)(− x ) + β(f ◦ g)(− y ).

Proposi¸c˜ ao 4.2.3 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F e f : E → E0 um isomorfismo. Ent˜ao f −1 : E0 → E ainda ´e um isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao A inversa de uma bijec¸c˜ao ´e ainda uma bijec¸c˜ao. Por outro lado, → − → − → → → → f −1 (α− x + β− y ) = 11 f −1 (αf (− a ) + βf ( b )) = f −1 (f (α− a + β b )) = → − → − → → → → = (f −1 ◦ f )(α− a + β b ) = α− a + β b = αf −1 (− x ) + βf −1 (− y ). Donde, f −1 ´e um isomorfismo. Observa¸c˜ ao De acordo com os dois resultados anteriores, podemos afirmar que a composta de duas aplica¸c˜oes lineares ainda ´e linear e que a inversa de um isomorfismo ´e um isomorfismo. 8

f e g s˜ao lineares g ´e linear 10 f ´e linear 9

→ − → − − − → → f ´e, em particular, sobrejectiva. Por isso, existem → a , b ∈ E tais que → x = f (− a ), − y = f( b ) ⇒ → − → → → (por f ser injectiva) f −1 (− x) =− a , f −1 (− y)= b 11

59

4.3

Matriz de uma Aplica¸ c˜ ao Linear

No que se segue, todos os espa¸cos vectoriais mencionados tˆem dimenso finita. Defini¸ c˜ ao 46 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, de di→ → → mens˜ oes n e p respectivamente, B1 = (− e 1, − e 2, . . . , − e n ) uma base (ordenada) de E, →0 − − →0 →0 − B2 = ( e 1 , e 2 , . . . , e p ) uma base (ordenada) de E0 e f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear. Ent˜ ao, a matriz de f em rela¸c˜ao `as bases B1 e  a11   a21 M(f ; B1 , B2 ) =   ..  .

B2 , M(f ; B1 , B2 ) , ´e  a12 . . . a1n  a22 . . . a2n  , .. . . ..  . .  . 

ap1 ap2 . . . apn onde,

 − → − → − → −  f (→ e 1 ) = a11 e0 1 + a21 e0 2 + · · · + ap1 e0 p   → − → − → −  −  f (→ e 2 ) = a12 e0 1 + a22 e0 2 + · · · + ap2 e0 p . ..  .    → − → − − →  − f (→ e n ) = a1n e0 1 + a2n e0 2 + · · · + apn e0 p

(4.1)

Observa¸c˜ oes 1 — As rela¸c˜oes (4.1) podem ser traduzidas matricialmente da seguinte forma: h

→ → → f (− e 1 ) f (− e 2 ) . . . f (− e n)

i

=

h → −0 − → → i − e 1 e0 2 . . . e0 p A,

onde A = M(f ; B1 , B2 ). 2 — Tendo em conta a defini¸c˜ao de caracter´ıstica de uma matriz, a Proposi¸c˜ao 4.1.2 e a forma como se constr´oi a matriz de uma aplica¸c˜ao linear, ´e f´acil concluir que, se f ´e linear e A ´e a matriz de f em rela¸c˜ao a certas bases, dim(Im(f )) = cf = c(A). Exemplos 1 — Sejam f : R2 → R3 a aplica¸c˜ao linear definida por f (x, y) = (2x, x − y, 3y), B1 = ((1, 0), (0, 1)), B2 = ((1, 1), (−1, 2)) bases de R2 e B 0 1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), B 0 2 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) bases de R3 . Escrevemos: a) M(f ; B1 , B 0 1 ) f (1, 0) = (2, 1, 0) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1) f (0, 1) = (0, −1, 3) = 0(1, 0, 0) + (−1)(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1), logo,   2 0   M(f ; B1 , B 0 1 ) =  1 −1  . 0 60

3

b) M(f ; B2 , B 0 2 ) f (1, 1) = (2, 0, 3) = 3(1, 1, 1) + (−3)(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) f (−1, 2) = (−2, −3, 6) = 6(1, 1, 1) + (−9)(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0), logo,   3 6   M(f ; B2 , B 0 2 ) =  −3 −9  . 2

1

2 — Consideremos o endomorfismo g de R3 tal que g(1, 0, 0) = (1, −1, 0) , g(0, 1, 0) = (−1, 1, 2) , g(0, 0, 1) = (0, 0, −1). De acordo com a Proposi¸c˜ao 4.0.3, g est´a perfeitamente definido e, tendo em conta os dados, ´e muito f´acil escrever a matriz de g em rela¸c˜ao `a base can´onica de R3 . Com efeito, g(1, 0, 0) = (1, −1, 0) = 1(1, 0, 0) + (−1)(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1) g(0, 1, 0) = (−1, 1, 2) = (−1)(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) g(0, 0, 1) = (0, 0, −1) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + (−1)(0, 0, 1), donde,



1

 A = M(g; ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))) =  −1 0

−1 1 2

0



 0 . −1

Vamos agora determinar a express˜ao geral de g: (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) ⇒ ⇒ g(x, y, z) = x g(1, 0, 0) + y g(0, 1, 0) + z g(0, 0, 1) ⇒ ⇒ g(x, y, z) = x(1, −1, 0) + y(−1, 1, 2) + z(0, 0, −1) ⇒ ⇒ g(x, y, z) = (x − y, −x + y, 2y − z), ou, matricialmente,



1





−1





0





1

−1

       x  −1 +y  1 +z  0  =  −1 0 2 −1 0

1 2

0



x





x





x−y



      0   y  = A  y  =  −x + y  , −1 z z 2y + z

que ´e a coluna de coordenadas de g(x, y, z) relativamente `a base can´onica de R3 . Com a express˜ao geral de g, ´e muito simples escrever a matriz de g em rela¸c˜ao a qualquer ou quaisquer bases fixadas no dom´ınio e no espa¸co de chegada (que, no caso de g, coincidem). Mostraremos adiante que tal pode tamb´em ser feito efectuando o produto de matrizes convenientes (uma matriz qualquer de g e matrizes de mudan¸ca de base adequadas, multiplicadas por certa ordem). 61

Como j´a vimos, uma aplica¸c˜ao linear fica perfeitamente definida quando se conhece a sua express˜ao geral ou as imagens dos vectores de uma base do dom´ınio. Outra forma de a definir ´e a partir da sua matriz em rela¸c˜ao a bases previamente fixadas no dom´ınio e no espa¸co de chegada. Concretamente, Proposi¸c˜ ao 4.3.1 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, → − − → → − → → → B1 = (− e 1, − e 2, . . . , − e n ) uma base (ordenada) de E, B2 = ( e0 1 , e0 2 , . . . , e0 p ) uma base (ordenada) de E0 , f : E → E0 uma aplica¸c˜ ao linear e A = M(f ; B1 , B2 ). Se X ´e a coluna → − de coordenadas de x ∈ E relativamente ` a base B1 ent˜ ao AX ´e a coluna de coordenadas → − 0 de f ( x ) ∈ E relativamente `a base B . 2

Demonstra¸c˜ ao h i → − → → − x = − e1 − e 2 ... → en X ⇒ h i h → −0 − →0 →0 i − → → → − → − X = ⇒ f (− x ) = f (− e 1) f ( e 2) . . . f ( e n) e 1 e 2 . . . e p AX. Exemplo Seja f : R2 → R3 a aplica¸c˜ao linear cuja matriz em rela¸c˜ao `as bases B1 = ((1, 1), (−1, 2))   3 6   de R2 e B2 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) de R3 ´e A =  −3 −9  . Calculamos f (1, 0) 2

1

e f (x, y), recorrendo a A. (1, 0) = 32 (1, 1) + (− 31 )(−1, 2), e " A

2 3

− 13



#

3

6



  =  −3 −9  2 1

"

#

2 3

− 13



0



  =  1 , 1

logo, f (1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) = (2, 1, 0). Analogamente, (x, y) =

y+2x (1, 1) 3

" A

+

y−x (−1, 2), 3

y+2x 3 y−x 3

#



e 3

6



  =  −3 −9  2 1

"

y+2x 3 y−x 3

#



3y



  =  x − 4y  , x+y

logo, f (1, 0) = 3y(1, 1, 1) + (x − 4y)(1, 1, 0) + (x + y)(1, 0, 0) = (2x, x − y, 3y).

62

Proposi¸c˜ ao 4.3.2 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, λ ∈ F, f : E → E0 e g : E → E0 aplica¸c˜oes lineares, B1 uma base de E, B2 uma base de E0 . Se A = M(f ; B1 , B2 ) e B = M(g; B1 , B2 ) ent˜ ao A + B = M(f + g; B1 , B2 ) e

λA = M(λf ; B1 , B2 ).

Proposi¸c˜ ao 4.3.3 Sejam E, E0 e E00 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, f : E → E0 e g : E0 → E00 aplica¸c˜oes lineares, B1 uma base de E, B2 uma base de E0 , B3 uma base de E00 . Se A = M(f ; B1 , B2 ) e B = M(g; B2 , B3 ) ent˜ ao BA = M(g ◦ f ; B1 , B3 ). Proposi¸c˜ ao 4.3.4 Sejam E e E0 espa¸cos vectoriais sobre um mesmo corpo F, f : E → E0 um isomorfismo, B1 uma base de E, B2 uma base de E0 . Se A = M(f ; B1 , B2 ) ent˜ao A−1 = M(f −1 ; B2 , B1 ). Exemplo Sejam f1 : R2 → R3 , f2 : R2 → R3 , g : R3 → R3 as aplica¸c˜oes lineares definidas por f1 (x, y) = (2x, x − y, 3y) , f2 (x, y) = (x + 2y, −y, 0) , g(x, y, z) = (x + y, y − z, x − z), B1 = ((1, 0), (0, 1)) a base can´onica de R2 e B2 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) a base can´onica de R3 . 

2

0



  f1 (1, 0) = (2, 1, 0), f1 (0, 1) = (0, −1, 3) ⇒ A1 = M(f1 ; B1 , B2 ) =  1 −1  , 0 3   1 2   f2 (1, 0) = (1, 0, 0), f2 (0, 1) = (2, −1, 0) ⇒ A2 = M(f2 ; B1 , B2 ) =  0 −1  , 0 g(1, 0, 0) = (1, 0, 1), g(0, 1, 0) = (1, 1, 0), g(0, 0, 1) = (0, −1, −1) ⇒   1 1 0   ⇒ B = M(g; B2 , B2 ) =  0 1 −1  . Ent˜ao: 1 0 −1 

3

2



  M(f1 + f2 ; B1 , B2 ) = A1 + A2 =  1 −2  , 0 3 e

63

0

" (A1 + A2 )

x



#

3x + 2y



  =  x − 2y  ⇒ (f1 + f2 )(x, y) = (3x + 2y, x − 2y, 3y)12 . 3y

y



10

 M(5f1 ; B1 , B2 ) = 5A1 =  5 0

0



 −5  , 15

e " (5A1 )

x y



#

10x



  =  5x − 5y  ⇒ (5f1 )(x, y) = (10x, 5x − 5y, 15y). 15y 

3 −1



  M(g ◦ f1 ; B1 , B2 ) = BA1 =  1 −4  , 2 −3 e

" (BA1 )

x y

#



3x − y



  =  x − 4y  ⇒ (g ◦ f1 )(x, y) = (3x − y, x − 4y, 2x − 3y). 2x − 3y

Vamos agora obter estes mesmos resultados usando as express˜oes gerais das fun¸c˜oes dadas:

(f1 +f2 )(x, y) = f1 (x, y)+f2 (x, y) = (2x, x−y, 3y)+(x+2y, −y, 0) = (3x+2y, x−2y, 3y),

(5f1 )(x, y) = 5f1 (x, y) = 5(2x, x − y, 3y) = (10x, 5x − 5y, 15y),

(g◦f1 )(x, y) = g(f1 (x, y)) = g(2x, x−y, 3y) = (2x+x−y, x−y−3y, 2x−3y) = (3x−y, x−4y, 2x−3y). Finalmente, verificamos se g ´e um automorfismo de R3 . Tendo em conta que cg = c(B) e c(B) = 3 (confirmar), g ´e um epimorfismo, logo, um isomorfismo. 12

Uma vez que a base fixada no espa¸co de chegada ´e a can´onica

64



1 2 1 2 1 2

 M(g −1 ; B2 , B2 ) = B −1 =  

x





   B −1  y  =  z

1 x 2 1 x 2 1 x 2

− 21 y + 12 z

− 12 1 2

− 12

1 2



 − 21  , e − 21



1 1 1 1 1 1 1 1 1  + 12 y − 12 z  ⇒ g −1 (x, y, z) = ( x− y+ z, x+ y− z, x− y− z), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − 21 y − 21 z

ou, com escrita mais simplificada,   1 −1 1   M(g −1 ; B2 , B2 ) = B −1 = 21  1 1 −1  , e 1 −1 −1     x−y+z x 1   1  B −1  y  =  x + y − z  ⇒ g −1 (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z, x − y − z). 2 2 x−y−z z Invertemos g a partir da sua express˜ao geral:    x+y = u g(x, y, z) = (u, v, w) ⇒ (x + y, y − z, x − z) = (u, v, w) ⇒ y−z = v   x−z = w     u 1 1 0 u 1 1 0     −−−−→  0 1 −1 −−−−→ v  −−  0 1 −1 v  −− 0 0 1 0 −1 w 

1 1

  0 0  1   0

0

1 −1

L3 =L3 −L1

u v

0 −1 −1 w − u   1 1 0    −−0−−1−→  0 1 −1 L3 = 2 L3

L3 =L3 +L2

u



v

 −−−−→  −− 0 L2 =L2 +L3

0 0 1 12 (u − v − w)    1 0 u 1 0 0 12 (u − v + w)    −−−−→  0 1 0 12 (u + v − w) , donde, 1 0 12 (u + v − w)  −− 0 L1 =L1 −L2 0 0 1 12 (u − v − w) 0 0 1 12 (u − v − w)  1   x = 2 (u − v + w) y = 12 (u + v − w) .   z = 12 (u − v − w) 0 −2 w − u + v

Assim, 1 1 1 g −1 (u, v, w) = ( (u − v + w), (u + v − w), (u − v − w)) ⇒ 2 2 2 1 ⇒ g −1 (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z, x − y − z). 2

65

4.3.1

Rela¸ c˜ ao entre as diferentes Matrizes de uma Aplica¸ c˜ ao Linear

Sejam f : E → E0 uma aplica¸c˜ao linear, B1 , B2 bases de E, B 0 1 , B 0 2 bases de E0 , A = M(f ; B1 , B 0 1 ) e B = M(f ; B2 , B 0 2 ). Vamos estabelecer a rela¸c˜ao entre as matrizes A e B. Fa¸camos um diagrama para melhor a entender. A

E0

− →

E

f

(B 0 1 )

(B1 ) Q ↑ 1E

1E0 ↓ P f

E0

− →

E

B

(B 0 2 )

(B2 ) Como,

f = 1E0 ◦ f ◦ 1E , M(f ; B2 , B 0 2 ) = M(1E0 ; B 0 1 , B 0 2 )M(f ; B1 , B 0 1 )M(1E ; B2 , B1 ), ou seja, B = P AQ. − → → Observe-se que, como ∀→ e ∈ E 1E (− e)=− e, M(1E ; B2 , B1 ) = M(B2 , B1 ). Analogamente, M(1E0 ; B 0 1 , B 0 2 ) = M(B 0 1 , B 0 2 ). Mais geralmente, em qualquer espa¸co vectorial de dimens˜ao finita V, a matriz da aplica¸c˜ao linear 1V em rela¸c˜ao a duas bases B e B 0 , M(1V ; B, B 0 ), ´e exactamente a matriz de mudan¸ca da base B para a base B 0 , M(B, B 0 ). Assim, as matrizes P e Q referidas atr´as s˜ao matrizes de mudan¸ca de base, logo, invert´ıveis. Defini¸ c˜ ao 47 Sejam A e B matrizes do tipo m × n com entradas num corpo F. Dizse que A e B s˜ao equivalentes se existem matrizes regulares P ∈ Fm×m , Q ∈ Fn×n , tais que B = P AQ. Matrizes de uma mesma aplica¸c˜ao linear s˜ao, por isso, equivalentes.

66

Exemplo Vimos num exemplo anterior que, dadas a aplica¸c˜ao linear f : R2 → R3 definida por f (x, y) = (2x, x − y, 3y), B1 = ((1, 0), (0, 1)), B2 = ((1, 1), (−1, 2)) bases de R2 e B 0 1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), B 0 2 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) bases de R3 ,     2 0 3 6     A = M(f ; B1 , B 0 1 ) =  1 −1  , B = M(f ; B2 , B 0 2 ) =  −3 −9  . 0 3 2 1 Vamos obter B, a partir de A e de matrizes de mudan¸ca de base convenientes. Tem-se, A

R2

R3

− → f

(B 0 1 )

(B1 ) Q ↑ 1R2

1R3 ↓ P f

R2

R3

− → B

(B 0 2 )

(B2 ) " Q = M(B2 , B1 ) =

1 −1 1

2

# ,

P = M(B 0 1 , B 0 2 ) e, (1, 0, 0) = 0(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) (0, 1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + (−1)(1, 0, 0) , (0, 0, 1) = 1(1, 1, 1) + (−1)(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) donde, 

0

0

1



 −1  . 1 −1 0        " # " # 0 0 1 2 0 0 3 3 6  1 −1   1 −1     =  1 −4  =  −3 −9  . B = P AQ =  0 1 −1   1 −1  1 2 1 2 1 −1 0 0 3 1 1 2 1  P = 0

1

Caso Particular Sejam f : E → E um endomorfismo de E, B1 , B2 duas bases de E, A = M(f ; B1 , B1 ) e B = M(f ; B2 , B2 ). Ent˜ao B = P −1 AP porque, se P = M(B2 , B1 ), P −1 = M(B1 , B2 ) (cf. com o Cap´ıtulo 3). Defini¸ c˜ ao 48 Sejam A e B matrizes do tipo n × n com entradas num corpo F. Diz-se que A e B s˜ao semelhantes se existe uma matriz invert´ıvel P ∈ Fn×n tal que B = P −1 AP . 67

Do que foi dito antes e da defini¸c˜ao resulta que, se A ´e a matriz de um endomorfismo em rela¸c˜ao a uma base B e B ´e a matriz do mesmo endomorfismo em rela¸c˜ao a uma base B 0 , ent˜ao A e B s˜ao semelhantes. Exemplo Seja g o endomorfismo de R3 cuja matriz A, em rela¸c˜ao `a base can´onica de R3 , que designaremos por B, ´e: 

0 −1

1

 A= 0

1

−1 0



 1 . 1

Determinamos a matriz de B, de g, em rela¸c˜ao `a base B 0 = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)), usando matrizes de mudan¸ca de base. 

1 0 0





1

0

0



    B = P −1 AP onde, P = M(B 0 , B) =  0 1 0  e P −1 = M(B, B 0 ) =  0 1 0 . 1 1 1 −1 −1 1 Logo,     1 0 0 1 0 −1 1 0 0     B= 0 1 0  0 1 1  0 1 0  = −1 −1 1 −1 0 1 1    0 1 0 0 1 0 −1     = 0 1 1  0 1 0  =  1 −1 1 1 1 −2 −1 1 

1 1 −1 −1



 1 . 1

2 0

Vamos confirmar o resultado, calculando a express˜ao geral de g e depois as imagens dos vectores da base B 0 .  g(x, y, z) =

h

(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) 

=

h

x−z

i

1

0 −1

  0 1 −1 0



x



  1  y  = 1 z



i

   y + z  = (x − z, y + z, −x + z). −x + z g(1, 0, 1) = (0, 1, 0) = 0(1, 0, 1) + 1(0, 1, 1) + (−1)(0, 0, 1), (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

g(0, 1, 1) = (−1, 2, 1) = (−1)(1, 0, 1) + 2(0, 1, 1) + 0(0, 0, 1), g(0, 0, 1) = (−1, 1, 1) = (−1)(1, 0, 1) + 1(0, 1, 1) + 1(0, 0, 1), logo,   0 −1 −1   B = M(g; B 0 , B 0 ) =  1 2 1 . −1 Terminamos este Cap´ıtulo com uma 68

0

1

Observa¸c˜ ao Se E e E0 s˜ao espa¸cos vectoriais sobre o corpo F, o conjunto de todas as aplica¸c˜oes lineares de E para E0 , que se denota por L(E, E0 ), ´e um espa¸co vectorial sobre F, para as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao por um escalar definidas na sec¸c˜ao 2 deste Cap´ıtulo. Se E e E0 tˆem dimens˜ao finita, digamos dim(E) = n e dim(E0 ) = m, e fixando uma base B em E e uma base B 0 em E0 , existe um isomorfismo natural entre L(E, E0 ) e Fm×n : a fun¸c˜ao (linear) que a cada aplica¸c˜ao linear de E em E0 faz corresponder a sua matriz em rela¸c˜ao `as bases B e B 0 .

69

Cap´ıtulo 5 VECTORES e VALORES ´ PROPRIOS

5.1

Defini¸c˜ ao e Exemplos

Defini¸ c˜ ao 49 Sejam E um espa¸co vectorial sobre o corpo F e f : E → E um endo→ morfismo de E. Um vector − v ∈ E diz-se um vector pr´ oprio de f , associado ao valor pr´ oprio λ ∈ F, quando: → − → i) − v 6= 0 → → ii) f (− v ) = λ− v. Defini¸ c˜ ao 50 Sejam E um espa¸co vectorial sobre o corpo F e f : E → E um endomorfismo de E. Ao conjunto de todos os valores pr´ oprios de f d´ a-se o nome de espectro de f . Exemplos 1 — Seja f o endomorfismo de R2 definido por f (x, y) = (−x, y). Determinamos os vectores pr´oprios de f e os ( valores pr´oprios associados. ( −x = λx x(λ + 1) = 0 f (x, y) = λ(x, y) ⇒ (−x, y) = (λx, λy) ⇒ ⇒ y = λy y(λ − 1) = 0 Se x = y = 0, (x, y) = (0, 0) n˜ao ´e vector pr´oprio de f . Se x = 0, y 6= 0, λ = 1, pelo que (0, y) ´e vector pr´oprio de f associado ao valor pr´oprio 1, para qualquer y ∈ R \ {0}. 71

Se x 6= 0, y = 0, λ = −1, pelo que (x, 0) ´e vector pr´oprio de f associado ao valor pr´oprio (−1), para qualquer x ∈ R \ {0}. Se x 6= 0, y 6= 0 ent˜ao λ = 1 e λ = −1, o que ´e imposs´ıvel. O espectro de f ´e {−1, 1}. 2 — Seja g o endomorfismo de R2 definido por g(a, b) = (b, a). Determinamos os vectores pr´oprios de g e ( os valores pr´oprios ( associados. b = λa b = λa g(a, b) = λ(a, b) ⇒ (b, a) = (λa, λb) ⇒ ⇒ ⇒ a = λb a = λ2 a ( b = λa ⇒ a(λ2 − 1) = 0 Se a = 0 ent˜ao b = 0 e (a, b) = (0, 0) n˜ao ´e vector pr´oprio de g. Se a 6= 0 ent˜ao λ2 = 1 ⇒ λ = −1 ou λ = 1. Quando λ = −1, b = −a pelo que, (a, −a) ´e vector pr´oprio de g associado ao valor pr´oprio (−1), para qualquer a ∈ R \ {0}. Quando λ = 1, b = a pelo que, (a, a) ´e vector pr´oprio de g associado ao valor pr´oprio −1, para qualquer a ∈ R \ {0}. O espectro de g ´e {−1, 1}. Observa¸c˜ ao Um endomorfismo de R2 pode ser interpretado geometricamente como uma transforma¸c˜ao do plano. As direc¸c˜ oes dos vectores pr´ oprios respectivos s˜ao as direc¸ c˜ oes principais da transforma¸c˜ao. Relativamente aos dois exemplos anteriores, f ´e a simetria em rela¸c˜ao `a recta x = 0 (o eixo dos yy) e as suas direc¸c˜oes principais s˜ao os eixos coordenados e g ´e a simetria em rela¸c˜ao `a recta y = x, sendo as rectas y = x e y = −x as suas direc¸c˜oes principais. De seguida, enunciamos um resultado muito u ´til, que permite determinar facilmente os vectores e os valores pr´oprios de um endomorfismo de um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita. Proposi¸c˜ ao 5.1.1 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F de dimens˜ ao finita n, B uma sua base, f um endomorfismo de E e A = M(f ; B, B). Ent˜ ao: 1) λ ´e valor pr´oprio de f se e s´o se det(A − λIn ) = 0. 2) Se λ0 ´e um valor pr´oprio de f , os vectores pr´ oprios de f associados a λ0 s˜ ao os vectores cujas coordenadas, em rela¸c˜ ao ` a base B, s˜ ao as solu¸c˜ oes n˜ ao nulas do sistema homog´eneo (indeterminado) (A − λ0 In )X = 0. 72

Demonstra¸c˜ ao → − − → → 1) λ ´e valor pr´oprio de f ⇔ ∃→ x 0 ∈ E \ { 0 } tal que f (− x 0 ) = λ− x0 ⇔ ⇔1 ∃X0 ∈ Fn×1 \ {0} tal que AX0 = λX0 ⇔ ⇔ ∃X0 ∈ Fn×1 \ {0} tal que AX0 − λX0 = 0 ⇔ ⇔ ∃X0 ∈ Fn×1 \ {0} tal que (A − λIn )X0 = 0 ⇔ ⇔ o sistema homog´eneo (A − λIn )X = 0 ´e indeterminado (tem solu¸c˜ao n˜ao nula) ⇔ ⇔ det(A − λIn ) = 0. 2) Se λ0 ´e valor pr´oprio de f e X0 ´e uma solu¸c˜ao n˜ao nula do sistema (A−λ0 In )X = 0 ent˜ao (A − λ0 In )X0 = 0, ou seja, AX0 = λ0 X0 . → Seja − x 0 ∈ E o vector cuja coluna de coordenadas em rela¸c˜ao `a base B ´e X0 . Como → − → → → → X0 6= 0, − x 0 6= 0 e AX0 = λ0 X0 ⇔ f (− x 0 ) = λ− x 0 , donde, − x 0 ´e um vector pr´oprio de f associado a λ0 .

Defini¸ c˜ ao 51 Nas condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ ao 5.1.1, o polin´ omio p(λ) = det(A − λIn ) chama-se polin´ omio caracter´ıstico de A e a equa¸c˜ ao det(A − λIn ) = 0 ´e a equa¸ c˜ ao caracter´ıstica de A. As solu¸c˜oes da equa¸c˜ ao caracter´ıstica que perten¸cam ao corpo F (ou seja, as ra´ızes do polin´omio caracter´ıstico em F) s˜ ao os valores pr´ oprios de f e da matriz A. Os vectores coluna correspondentes ` as coordenadas, em rela¸c˜ ao ` a base B, dos vectores pr´ oprios de f s˜ao os vectores pr´ oprios de A. Observa¸c˜ ao Atendendo a que o polin´omio caracter´ıstico de A, p(λ) = det(A−λIn ), ´e um polin´omio de grau n e que um polin´omio de grau n tem, no m´aximo, n ra´ızes, conclui-se que f tem, no m´aximo, n valores pr´oprios. Proposi¸c˜ ao 5.1.2 Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita n, B e B 0 duas bases de E, f um endomorfismo de E, A = M(f ; B, B) e A0 = M(f ; B 0 , B 0 ). Ent˜ ao o polin´ omio caracter´ıstico de A coincide com o de A0 e designa-se por polin´ omio caracter´ıstico de f . Demonstra¸c˜ ao Tendo em conta a rela¸c˜ao entre duas matrizes de um endomorfismo (cf. com o Cap´ıtulo 4), A0 = P −1 AP para certa matriz regular P (matriz de mudan¸ca de base). Tem-se: det(A0 − λIn ) = det(P −1 AP − λIn ) = det(P −1 AP − λP −1 In P ) = 1

→ X0 ´e a coluna de coordenadas de − x 0 na base B

73

= det(P −1 AP − P −1 (λIn )P ) = det(P −1 (A − λIn )P ) = det(P −1 )det(A − λIn )det(P ) = = det(A − λIn )det(P −1 )det(P ) = det(A − λIn )

1 det(P ) = det(A − λIn ). det(P )

Observa¸c˜ ao Resulta desta proposi¸c˜ao que, matrizes semelhantes tˆem os mesmos valores pr´oprios.

Defini¸ c˜ ao 52 Seja p(λ) o polin´ omio caracter´ıstico de um endomorfismo f de um espa¸co vectorial de dimens˜ao finita. Seja λ0 ∈ F uma ra´ız de p(λ) (isto ´e, um valor pr´ oprio de f ). A multiplicidade alg´ ebrica de λ0 , que se denota por ma (λ0 ), ´e a multiplicidade de λ0 enquanto ra´ız de p(λ). Mais precisamente, se p(λ) = (λ − λ0 )k q(λ), onde q(λ) ´e um polin´ omio que n˜ ao admite a ra´ız λ0 , ma (λ0 ) = k.

Exemplos 1 — Seja f o endomorfismo de R3 definido por f (x, y, z) = (−3x + y − z, −7x + 5y − z, −6x + 6y − 2z). Determinamos os valores pr´oprios de f e os vectores pr´oprios associados. Primeiramente, escrevemos a matriz A, de f , em rela¸c˜ao `a base can´onica de R3 . f (1, 0, 0) = (−3, −7, −6), f (0, 1, 0) = (1, 5, 6), f (0, 0, 1) = (−1, −1, −2), logo, 

−3 1 −1



  A =  −7 5 −1  . −6 6 −2   A − λI3 = 

−3 − λ

1

−1



−7

5−λ

−1

 ⇒

−6 6 −2 − λ −3 − λ 1 −1 ⇒ p(λ) = |A − λI3 | = −7 5−λ −1 −6 6 −2 − λ

=

= (−3 − λ)(5 − λ)(−2 − λ) + 42 + 6 − (6(5 − λ) − 6(−3 − λ) − 7(−2 − λ)) = = (3 + λ)(5 − λ)(2 + λ) + 48 − (30 − 6λ + 18 + 6λ + 14 + 7λ) = = (3 + λ)(5 − λ)(2 + λ) + 48 − (48 + 7(2 + λ)) = (3 + λ)(5 − λ)(2 + λ) − 7(2 + λ) =

74

= (2+λ)((3+λ)(5−λ)−7) = (2+λ)(−λ2 +2λ+8) = (2+λ)(2+λ)(4−λ) = (2+λ)2 (4−λ). Os valores pr´oprios de f s˜ao −2 e 4, sendo ma (−2) = 2 e ma (4) = 1. Vectores pr´oprios associados a λ = −2 (resolvemos o sistema (A − (−2)I3 )X = 0):     −1 1 −1 −1 1 −1    L0 =L2 −7L1  A − (−2)I3 =  −7 7 −1  −−20 −−−−−→  0 0 6  −− −−−−→ 0 −6 6 

−1 1 −1





0

−1 1 −1

0

L3 =L3 −L2

6





−1 1 0

    −−−−→  0 6  −−0−−1−→  0 0 1  −− 0 L1 =L1 +L2 L2 = 6 L2 0 0 0 0 0 0 ( ( −x + y = 0 y = x ⇒ , z = 0 z = 0

 −− −−−−→  0 0 L3 =L3 −L2

L3 =L3 −6L1

0

0

0



 0 1  0 0

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = −2 s˜ao os vectores da forma (x, x, 0), com x 6= 0. Vectores pr´oprios associados a λ = 4 (resolvemos o sistema (A − 4I3 )X = 0):     −7 1 −1 −7 1 −1   L03 = 61 L3   −−−−→  0 0 0  −−−−→ A − 4I3 =  −7 1 −1  −− 0 

−1 1 −1

 −−−−→  0 L3 ↔L1







  0  −−0 −−−−−→  L3 =L3 −7L1 −7 1 −1   1 −1 −1 1   0 0  −−−−→  0 −1

−1  −−−−1−→  0 L03 = 6 L3 0 −1

0

L3 ↔L2

1 (

L3 ↔L1

L2 =L2 −L1

−6 6 −6

0 −x = 0 −y + z = 0

0 ( ⇒

−1 1 −1 −1

1

−1



 0  −−0−−1−→ L3 = 6 L3 0 −6 6    −1 −1 0 0    −−−−→  0 −1 1  1  −− 0 L1 =L1 +L2 0 0 0 0 0

0

x = 0 z = y

,

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 4 s˜ao os vectores da forma (0, y, y), com y 6= 0. 2 — Seja g o endomorfismo de R3 cuja matriz, em rela¸c˜ao `a base B = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), ´e 

−1 0

1

 A =  −1 0

2 1

75



 1 . 1

Calculamos os valores pr´oprios de g e os vectores pr´oprios associados.   1 − λ −1 0   A − λI3 =  −1 2 − λ 1 ⇒ 0

1−λ

1

1 − λ −1 0 ⇒ p(λ) = |A − λI3 | = −1 2 − λ 1 0 1 1−λ

=

= (1 − λ)(2 − λ)(1 − λ) − ((1 − λ) + (1 − λ)) = (1 − λ)2 (2 − λ) − 2(1 − λ) = = (1 − λ)[(2 − λ)(1 − λ) − 2)] = (1 − λ)(λ2 − 3λ + 2 − 2) = (1 − λ)λ(λ − 3). Os valores pr´oprios de g s˜ao 0, 1 e 3, sendo ma (0) = ma (1) = ma (3) = 1. Para λ = 0: 

−1 0

1





1 −1 0

  −−−−→  0 1  −− L02 =L2 +L1 0 1 1 ( ( x−y = 0 x ⇒ y+z = 0 z

 A − 0I3 = A =  −1

2

0





1 −1 0

  −−−−→  0 1  −− L03 =L3 −L2 1 0

1 1

= y = −y

1

 1  0

0

,

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 0 s˜ao os vectores da forma y(1, 1, 1) + y(1, 1, 0) + (−y)(1, 0, 0) = (y, 2y, y), com y 6= 0. Para λ = 1: 

0

−1 0





−1

1

1





−1

  −−−−→  0 −1 0  −− L03 =L3 +L2 1 0 0 1 ( ( −x + y + z = 0 z = x ⇒ , −y = 0 y = 0

 A − 1I3 =  −1

  1  −−−−→  0 L1 ↔L2 0 0

1

0

1

x(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + x(1, 0, 0) = (2x, x, x), com x 6= 0. Para λ = 3: 

−2 −1

 A − 3I3 =  −1 −1 0 

1

0



−1 −1

1



   1  −−−−→  −2 −1 0  −−0 −−−−−→ L1 ↔L2 L2 =L2 −2L1 −2 0 1 −2

−1 −1

 −−0 −−−−−→  0

1

0

1

L2 =L2 −2L1



1





−1 −1

  −−−−→  0 −2  −− 0 L3 =L3 −L2 −2 0 76

1 0

1



 −2  0

1



 −1 0  0 0

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 1 s˜ao os vectores da forma



(

(

−x − y + z = 0

⇒

y − 2z = 0

x = −z y = 2z

,

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 3 s˜ao os vectores da forma (−z)(1, 1, 1) + 2z(1, 1, 0) + z(1, 0, 0) = (2z, z, −z), com z 6= 0. 3— de #R2×2 " Seja h# o "endomorfismo # " " cuja #matriz, em rela¸c˜ao `a base can´onica 1 0 0 1 0 0 0 0 Bc = ( , , , ), ´e 0 0 0 0 1 0 0 1   1 2 0 −1    0 −1 1 0   . A=  0 0 1 −2   0 0 0 2 Calculamos os valores pr´oprios de h e os vectores pr´oprios associados.   1−λ 2 0 −1    0  −1 − λ 1 0 ⇒ A − λI4 =   0  0 1 − λ −2   0 0 0 2−λ 1−λ 2 0 −1 0 −1 − λ 1 0 ⇒ p(λ) = |A − λI4 | = = 0 1 − λ −2 0 0 0 0 2−λ = (1 − λ)(−1 − λ)(1 − λ)(2 − λ). Os valores pr´oprios de h s˜ao −1, 1 e 2, sendo ma (−1) = ma (2) = 1 e ma (1) = 2. Para λ = −1:  2   0 A−(−1)I4 =   0  0

2 0 −1





2 2 0 −1



2 2 0 −1



         0   −−−−−−−→  0 0 1 0  −−−−−−−→  0 0 1 0      0 3 0 2 −2   L3 =L3 −2L2  0 0 0 −2  L04 =L4 + 2 L3  0 0 0 −2  0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0   2x + 2y − w = 0     y = −x , z = 0 ⇒ z = 0     −2w = 0 w = 0 0 1

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = −1 s˜ao os vectores da forma " x



1 0 0 0

#

" + (−x)

0 1 0 0

#

" =

77

x −x 0

0

# , com x 6= 0.

Para λ = 1:    0 2 0 −1     0 −2 1 0  L03 =− 12 L3    − −−−−→  A − 1I4 =   − 0 =L +L L 2 1  0 0 0 −2 2   0 0 0 1

0 2 0 −1





0 2 0 −1



     0 0 1 −1   −−−−−−→  0 0 1 −1    0 0 0 0 1   L4 =L4 −L3  0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 1

  2y − w = 0     y = 0 z−w = 0 ⇒ z = 0 ,     w = 0 w = 0 logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 1 s˜ao os vectores da forma " x

1 0 0 0

Para λ = 2:

    

#

" =



#

x 0

, com x 6= 0.

0 0

−1

2

−1

0



   0 −3 1 0    A − 2I4 =  0 −1 −2   0  0 0 0 0   7 −x + 2y − w = 0    x = 2y − w  x = −3w ⇒ −3y + z = 0 ⇒ y = 31 z y = − 23 w ,     −z − 2w = 0 z = −2w z = −2w

logo, os vectores pr´oprios associados a λ = 2 s˜ao os vectores da forma

7 (− w) 3

"

1 0 0 0

#

2 + (− w) 3

"

0 1 0 0

#

" + (−2w)

0 0 1 0

#

" +w

0 0 0 1

#

" =

− 73 w − 23 w −2w

w

# ,

com w 6= 0.

5.2

Subespa¸cos Pr´ oprios

Proposi¸c˜ ao 5.2.1 Sejam E um espa¸co vectorial sobre o corpo F, f : E → E um endomorfismo de E e λ ∈ F. Ent˜ao o conjunto → → → Eλ = {− x ∈ E : f (− x ) = λ− x} ´e um subespa¸co vectorial de E. 78

Demonstra¸c˜ ao → − → − → − → − (i) f ( 0 ) = 0 = λ 0 ⇒ 0 ∈ Eλ → → − → (ii) Sejam α, β ∈ F e − x ,− y ∈ Eλ . Provamos que α→ x + β− y ∈ Eλ → → → → → → → → f (α− x + β− y ) = αf (− x ) + βf (− y ) = 2 α(λ− x ) + β(λ− y ) = λ(α− x + β− y)⇒ → → ⇒ α− x + β− y ∈ Eλ .

Observa¸c˜ ao → − Eλ 6= { 0 } se e s´o se λ ´e um valor pr´oprio de f . Defini¸ c˜ ao 53 Nas condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ ao 5.2.1, se λ0 ´e um valor pr´ oprio de f o subespa¸co Eλ0 , formado pelo vector nulo e por todos os vectores pr´ oprios associados a λ0 , chama-se subespa¸ co pr´ oprio associado ao valor pr´ oprio λ0 . Se E tem dimens˜ao finita, a dimens˜ ao de Eλ0 designa-se por multiplicidade geom´ etrica do valor pr´ oprio λ0 e denota-se por mg (λ0 ). Proposi¸c˜ ao 5.2.2 Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita sobre o corpo F, f : E → E um endomorfismo de E e λ0 ∈ F um valor pr´ oprio de f . Ent˜ ao 1 ≤ mg (λ0 ) ≤ ma (λ0 ). Demonstra¸c˜ ao Seja λ0 ∈ F um valor pr´oprio de f , n = dim(E), k = dim(Eλ0 ) = mg (λ0 ) e → → Bλ0 = (− u 1, . . . , − u k ) uma base de Eλ0 . → − → → → Seja B = ( u , . . . , − u ,− e ,...,− e ) uma base de E que cont´em a base B 1

k

k+1

n

λ0

Ent˜ao,

2



λ0

0

...

0



        A = M(f ; B, B) =        

0 .. .

λ0 . . . .. . . . .

0 .. .

0

0

        ,       

A1,2

. . . λ0

0 0 ... 0 0 .. .

0 ... .. . . . .

0 .. .

0 0 ... 0

→ → → → por hip´otese, f (− x ) = λ− x , f (− y ) = λ− y

79

A2,2

de Eλ0 .

para certas matrizes A1,2 ∈ Fk×(n−k) , A2,2 ∈ F(n−k)×(n−k) e λ − λ0 0 ... 0 0 λ − λ0 . . . 0 |A2,2 −λIn−k | = (λ−λ0 )k |A2,2 −λIn−k | ⇒ p(λ) = |A−λIn | = .. .. .. .. . . . . 0 0 . . . λ − λ0 ⇒ ma (λ0 ) ≥ k = mg (λ0 ).

Observa¸c˜ ao Resulta da proposi¸c˜ao anterior que, se ma (λ0 ) = 1 (isto ´e, se λ0 ´e uma ra´ız simples do polin´omio caracter´ıstico) ent˜ao mg (λ0 ) = 1.

5.3

Endomorfismos Diagonaliz´ aveis

Proposi¸c˜ ao 5.3.1 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F, f : E → E um endomorfismo de E e λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ F valores pr´ oprios de f , distintos dois a dois. Se → − → − → − u 1 , u 2 , . . . , u k s˜ao vectores pr´oprios de f associados a λ1 , λ2 , . . . , λk , respectivamente, → → → ent˜ ao − u ,− u ,...,− u s˜ao linearmente independentes. 1

2

k

Demonstra¸c˜ ao A prova ´e feita por indu¸c˜ao em k. → Se k = 1, − u 1 ´e linearmente independente uma vez que ´e n˜ao nulo (um vector pr´oprio → − ´e, por defini¸c˜ao, diferente de 0 ). Suponhamos, por hip´otese de indu¸c˜ao, que k − 1 vectores pr´oprios associados a k − 1 valores pr´oprios distintos s˜ao linearmente independentes. → → → Sejam − u 1, − u 2, . . . , − u k vectores pr´oprios de f associados aos valores pr´oprios λ1 , λ2 , . . . , λk , respectivamente, onde λi 6= λj para quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , k}, i 6= j. Suponhamos que

Ent˜ao,

3

→ − → → → α1 − u 1 + α2 − u 2 + · · · + αk − uk = 0

→ − → − → f (α1 − u 1 + α2 → u 2 + · · · + αk − u k) = f ( 0 ) ⇒ → − → → → ⇒ α1 f (− u 1 ) + α2 f (− u 2 ) + · · · + αk f (− u k) = 0 ⇒ 3

→ → f (− u i ) = λi − ui

80

(5.1)

→ − → → → ⇒ α1 (λ1 − u 1 ) + α2 (λ2 − u 2 ) + · · · + αk (λk − u k) = 0

(5.2)

Multiplicando ambos os membros de (5.1) por λ1 obtemos, → − → → → α1 λ1 − u 1 + α2 λ1 − u 2 + · · · + αk λ1 − uk = 0

(5.3)

Subtraindo, membro a membro, (5.2) e (5.3), resulta que → − → → α2 (λ2 − λ1 )− u 2 + · · · + αk (λk − λ1 )− uk = 0 ⇒4 ⇒ α2 (λ2 − λ1 ) = . . . = αk (λk − λ1 ) = 0 Como ∀i ∈ {2, . . . , n}, λi 6= λ1 , α2 = . . . = αk = 0. Substituindo, em (5.1), α2 , . . . , αk por 0 vem → − → α1 − u 1 = 0 ⇒ 5 α1 = 0.

Defini¸ c˜ ao 54 Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita e f um endomorfismo de E. Diz-se que f ´e diagonaliz´avel se existe uma base de E em rela¸c˜ ao ` a qual a matriz de f ´e diagonal. Proposi¸c˜ ao 5.3.2 Sejam E um espa¸co vectorial de dimens˜ ao finita n e f um endomorfismo de E. Ent˜ao s˜ao equivalentes: (i) f ´e diagonaliz´avel (ii) existe uma base de E formado por vectores pr´ oprios de f (iii) a soma das multiplicidades geom´etricas dos valores pr´ oprios de f ´e igual a n. A prova deste resultado ´e muito simples e fica ao cuidado do leitor. Exemplos Averiguamos se os endomorfismos seguintes s˜ao diagonaliz´aveis e, em caso afirmativo, escrevemos a matriz diagonal que os representa, relativamente a uma certa base do espa¸co (formada por vectores pr´oprios desses mesmos endomorfismos). 1 — f : R2 → R2 tal que f (x, y) = (x + y, 3x − y) → → por hip´otese de indu¸c˜ ao, − u 2, . . . , − u k s˜ ao linearmente independentes, pois s˜ao k −1 vectores pr´oprios associados a k − 1 valores pr´ oprios distintos → − → 5− u 1 6= 0 4

81

f (1, 0) = (1, 3) e f (0, 1) = (1, −1), logo, " A = M(f ; Bc , Bc ) =

1−λ 1 |A−λI2 | = 3 −1 − λ

1

#

1

" ⇒ A − λI2 =

3 −1

1−λ

1

3

−1 − λ

#

= (1−λ)(−1−λ)−3 = λ2 −1−3 = λ2 −4 = (λ+2)(λ−2)

f tem dois valores pr´oprios: λ = −2 e λ = 2. Tem-se: ma (−2) = ma (2) = 1 ⇒ mg (−2) = mg (2) = 1 ⇒ mg (−2) + mg (2) = 2 = dim(R2 ), donde, f ´e diagonaliz´avel. Determinamos uma base para cada subespa¸co pr´oprio de f : Para λ = 2:

" A − 2I2 =

−1

1

3

−3

#

" −−0 −−−−−→

−1 1 0

L2 =L2 +3L1

#

0

−x + y = 0 ⇒ y = x, logo, E2 = {(x, x) : x ∈ R} = {x(1, 1) : x ∈ R} =< (1, 1) > Para λ = −2:

" A − (−2)I2 =

3 1

#

3 1

" −− −−−−→ 0 L2 =L2 −L1

3 1

#

0 0

3x + y = 0 ⇒ y = −3x, donde, E−2 = {(x, −3x) : x ∈ R} = {x(1, −3) : x ∈ R} =< (1, −3) > Como vectores pr´oprios de f associados a valores pr´oprios distintos s˜ao linearmente independentes, os vectores (1, 1) e (1, −3) formam uma base de R2 , Bvp = ((1, 1), (1, −3)). Tem-se, f (1, 1) = 2(1, 1) = 2(1, 1) + 0(1, −3) e f (1, −3) = (−2)(1, −3) = 0(1, 1) + (−2)(1, −3), logo, " D = M(f ; Bvp , Bvp ) =

2

0

0 −2

# .

Observe-se que, de acordo com o Cap´ıtulo 4, D = P −1 AP onde, P = M(Bvp , Bc ) e P −1 = M(Bc , Bvp ). 82

Vamos confirm´a-lo. " P = M(Bvp , Bc ) =

1

#

1

1 −3

"

#

1 4

, P −1 = M(Bc , Bvp ) =

3 4 1 4

#

#

− 14

e " P −1 AP =

3 4 1 4

1 4

− 14

#"

1

1

#"

3 −1

1

1

1 −3

" =

#"

1 4

3 4 1 4

− 41

2 −2 2

6

"

2

=

#

0

0 −2

= D.

2 — g : R2 → R2 tal que g(x, y) = (x, 2x + y) g(1, 0) = (1, 2) e g(0, 1) = (0, 1), logo, " A = M(g; Bc , Bc ) =

1 0

#

2 1

1−λ 0 |A − λI2 | = 2 1−λ

" ⇒ A − λI2 =

1−λ

0

2

1−λ

#

= (1 − λ)(1 − λ) = (1 − λ)2 ,

pelo que, g tem um u ´nico valor pr´oprio: λ = 1, com multiplicidade alg´ebrica igual a 2. Ent˜ao, mg (1) = 1 ou mg (1) = 2. Se for mg (1) = 2, g ´e diagonaliz´avel, se for mg (1) = 1 n˜ao o ´e.

" A − 1I2 =

0 0 2 0

#

" −−−−→

2 0 0 0

L2 ↔L1

# ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0,

pelo que, E1 = {(0, y) : y ∈ R} = {y(0, 1) : y ∈ R} =< (0, 1) >⇒ mg (1) = 1 e g n˜ao ´e diagonaliz´avel. 3 — h : R3 → R3 tal que h(x, y, z) = (x − 3y + 3z, 3x − 5y + 3z, 6x − 6y + 4z) h(1, 0, 0) = (1, 3, 6) , h(0, 1, 0) = (−3, −5, −6) e h(0, 0, 1) = (3, 3, 4), logo, 

1 −3 3





1−λ

−3

3



3

−5 − λ

3

 

6

−6

4−λ

   A = M(h; Bc , Bc ) =  3 −5 3  ⇒ A − λI3 =  6 −6 4 1−λ −3 3 |A − λI3 | = 3 −5 − λ 3 6 −6 4−λ 83

=

= (1 − λ)(−5 − λ)(4 − λ) − 54 − 54 − (18(−5 − λ) − 18(1 − λ) − 9(4 − λ)) = = (1−λ)(−5−λ)(4−λ)−108+90+18λ+18−18λ+9(4−λ) = (1−λ)(−5−λ)(4−λ)+9(4−λ) = = (4 − λ)[(1 − λ)(−5 − λ) + 9] = (4 − λ)(λ2 + 4λ + 4) = (4 − λ)(λ + 2)2 h tem dois valores pr´oprios: λ = −2 e λ = 4, tendo-se: ma (−2) = 2 e ma (4) = 1 ⇒ mg (4) = 1 e (mg (−2) = 1 ou mg (−2) = 2); h ´e diagonaliz´avel sse mg (−2) = 2. Determinamos uma base para cada subespa¸co pr´oprio de h. Para λ = 4: 

−3 −3 3

 A − 4I3 =  3 6





−3

 L03 =L3 +2L1  −9 3  −−0−−−−−→  0 L2 =L2 +L1 0 −6 0



−3

−3

3



−3

3



 −−−−→ −12 6  −− L03 =L3 −L2 −12 6 

−1 −1 1



 L01 = 31 L1   −12 6  −−0−−1−→  0 −2 1  L3 =L3 −L2 L2 = 6 L2 0 0 0 0 0 0 ( ( −x − y + z = 0 x = y ⇒ , −2y + z = 0 z = 2y

 −− −−−−→  0 0

donde, E4 = {(y, y, 2y) : y ∈ R} = {y(1, 1, 2) : y ∈ R} =< (1, 1, 2) > Para λ = −2: 

3 −3 3





3 −3 3

  L0 =L3 −2L1  A − (−2)I3 =  3 −3 3  −−30−−−−−→  0 L2 =L2 −L1 6 −6 6 0

0 0





1 −1 1

  0  −−0−−1−→  0 L1 = 3 L1 0 0

0 0



 0 ⇒ 0

⇒ x − y + z = 0 ⇒ x = y − z, donde, E−2 = {(y−z, y, z) : y, z ∈ R} = {y(1, 1, 0)+z(−1, 0, 1) : y, z ∈ R} =< (1, 1, 0), (−1, 0, 1) > e h ´e diagonaliz´avel. Como vectores pr´oprios de h associados a valores pr´oprios distintos s˜ao linearmente independentes, Bvp = ((1, 1, 2), (1, 1, 0), (−1, 0, 1)) ´e uma base de R3 formada por vectores pr´oprios de h. 

4

0

 D = M(h; Bvp , Bvp ) =  0 −2 0 84

0

0



 0  −2

Tal como no Exemplo 1, D = P −1 AP onde, 

1 1 −1

 P = M(Bvp , Bc ) =  1 1



 0  1

2 0 e 

− 12

1 2

1 2



 P −1 = M(Bc , Bvp ) =  − 12

3 2

−1

1

 − 12  . 0

"

0

1

4 — f : R2 → R2 tal que A = M(f ; Bc , Bc ) = " A − λI2 =

λ

1

−1 λ

#

#

−1 0

λ 1 ⇒ p(λ) = |A − λI2 | = = λ2 + 1, −1 λ

logo, f n˜ao tem qualquer valor pr´oprio (uma vez que o polin´omio caracter´ıstico de f n˜ao ra´ızes reais). Se, no entanto, fe for o endomorfismo do espa¸co vectorial complexo C2 , cuja matriz em rela¸c˜ao `a base can´onica de C2 ´e " A=

0

1

# ,

−1 0

ent˜ao fe tem dois valores pr´oprios: λ = i e λ = −i que, por serem ra´ızes simples de p(λ), permitem imediatamente concluir que fe ´e diagonaliz´avel. Determinamos uma base para cada subespa¸co pr´oprio de fe. Para λ = i: " A − iI2 =

−i

1

#

" −−0−−−−−→

−1 −i

−i 1 0

L2 =L2 +iL1

0

# ⇒ −ix + y = 0 ⇒ y = ix,

pelo que, Ei = {(x, ix) : x ∈ C} = {x(1, i) : x ∈ C} =< (1, i) > Para λ = −i: " A + iI2 =

i

1

−1 i

#

" −−0−−−−−→ L2 =L2 −iL1

i 1 0 0

# ⇒ ix + y = 0 ⇒ y = −ix,

pelo que, E−i = {(x, −ix) : x ∈ C} = {x(1, −i) : x ∈ C} =< (1, −i) > 85

Os vectores (1, i) e (1, −i) formam uma base de C2 , Bvp = ((1, i), (1, −i)). Tem-se, fe(1, i) = i(1, i) = i(1, i) + 0(1, −i) e fe(1, −i) = −i(1, −i) = 0(1, i) + (−i)(1, −i), logo, " D = M(fe; Bvp , Bvp ) =

i

0

0 −i

# .

Observa¸c˜ ao 1 — Se f ´e um endomorfismo de um espa¸co vectorial E, de dimens˜ao n, com n valores pr´oprios distintos ent˜ao f ´e diagonaliz´avel. Com efeito, como a multiplicidade alg´ebrica de cada valor pr´oprio ´e 1, a multiplicidade geom´etrica respectiva tamb´em ´e 1. Por isso, a soma das multiplicidades geom´etricas dos n valores pr´oprios de f ´e igual a n, ou seja, existe uma base de E formada por vectores pr´oprios de f . 2 — Como C ´e um corpo algebricamente fechado (o que significa que, todo o polin´omio de grau n ≥ 1 com coeficientes complexos tem, exactamente, n ra´ızes (iguais ou distintas) em C), todas as ra´ızes do polin´omio caracter´ıstico de um endomorfismo de um espa¸co vectorial complexo s˜ao valores pr´oprios desse endomorfismo (o que j´a n˜ao acontece com endomorfismos de espa¸cos vectoriais reais ou racionais).

Defini¸ c˜ ao 55 Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se diagonaliz´ avel se for semelhante a uma matriz diagonal, isto ´e, se existem matrizes P e D, quadradas de ordem n, com P invert´ıvel e D diagonal, tais que D = P −1 AP . Se P ´e uma matriz tal que P −1 AP ´e diagonal, diz-se que P ´e uma diagonalizadora de A.

Observa¸c˜ ao Do que foi visto anteriormente para endomorfismos conclui-se que, se A ´e uma matriz quadrada de ordem n, A ´e diagonaliz´avel se e s´o se tem n vectores pr´oprios linearmente independentes. Uma matriz P , diagonalizadora de A, tem por colunas as coordenadas dos vectores pr´oprios de A linearmente independentes. Se P ´e uma matriz diagonalizadora de A e D = P −1 AP , os elementos diagonais de D s˜ao os valores pr´oprios de A correspondentes `as colunas de P .

86