Abp1: Paradoja De Los Gemelos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

FISICA MODERNA SECCIÓN

: ST-203

TEMA

: MUSICOS SIDERALES

PROFESOR

: PERCY CAÑOTE FAJARDO

2009-I __________________________________________________________________

INDICE I.-Objetivos-------------------------------------------------------------------------3 II.-Explicación del problema---------------------------------------------------3 III.-Preguntas generales-------------------------------------------------------4 IV.-Conceptos preliminares---------------------------------------------------5 1.-Fundamentos de Mecánica Clásica 2.-Postulados de einstein 3.- Transformaciones de lorentz 4.-Efecto doppler relativistico V.- Hipótesis y conjeturas---------------------------------------------------12 VI.- Posibles soluciones-----------------------------------------------------12 VII.-Supuestos que se te tienen para el problema-------------------13 VIII.-Preguntas adicionales------------------------------------------------13 IX.- Conclusiones------------------------------------------------------------42 X.- Bibliografía---------------------------------------------------------------44

2

MÚSICOS SIDERALES I.-OBJETIVOS:  Comprender los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein respecto a la indetectabilidad del Movimiento Absoluto Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz.  comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros.  Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la Relatividad en la medición de los intervalos

de tiempo y

espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se desplaza con una velocidad comparable al de la luz. II.-EXPLICACION DEL PROBLEMA: 

Rocío y Marlon son 2 hermanos gemelos, ambos músicos.



Marlon viaja a un planeta X, que se encuentra a 8 años luz de la tierra.



Para que Marlon llegue al planeta X el viaja con una velocidad 0.8c y según el personal de vuelo se sabe que su viaje demorara 6 años.



Rocío debido a su Mecánica Clásica calcula que el viaje debería durar 10 años.



Marlon le propone a Rocío enviarse señales mutuamente cuando cumplan años.



El regreso de Brandón al llegar al planeta “x “se realiza de forma inmediata. III.-CONCEPTOS PRELIMINARES:

1.-FUNDAMENTOS DE MECANICA CLASICA

3

ECUACIONES:

4

2.-POSTULADOS DE EINSTEIN PRIMER POSTULADO: Dos sistemas de coordenadas (sistemas inerciales) cualesquiera que se muevan

el uno respecto al otro con velocidad relativa

constante son equivalentes para la descripción de fenómenos 5 físicos.

SEGUNDO POSTULADO: La velocidad de la luz es independiente del movimiento relativo del observador y la fuente luminosa. 3.- TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de Einstein. La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ DE LAS COORDENADAS Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores

son

relacionales

por

reglas

fijas:

las

transformaciones de Lorentz para las coordenadas. Para

examinar

la

forma

concreta

que

toman

estas

transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales:

y

y se

supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o 6 punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo

y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema

está en movimiento uniforme a velocidad

eje X del sistema

y en el instante inicial (

coordenadas

de

ambos

coordenadas

atribuidas

sistemas por

los

) el origen de

coinciden, dos

a lo largo del

entonces

observadores

las

están

relacionadas por las siguientes expresiones:

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

Donde

es la velocidad de la luz en el vacío.

Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz: 7

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la forma concreta de las ecuaciones se complica. Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se de según el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones de la transformación de Lorentz se complican más aún, denominándose la expresión general transformación de Poincaré. 4.- EFECTO DOPLER RELATIVISTICO Cuando una fuente de ondas se acerca o se aleja a un receptor, ocurre el llamado efecto Doppler. Cuando se acerca el emisor resulta que las ondas “se aprietan” aumentando la frecuencia de las ondas por delante de él y disminuyendo por detrás. Y cuando es el receptor es que se acerca al emisor tenemos que el receptor va alcanzando las ondas que se le acercan antes de lo previsto. En ambos casos el acercamiento provoca un aumento de la frecuencia percibida y el alejamiento una disminución. Es interesante estudiar como afecta la relatividad especial a este fenómeno, pues no podemos olvidar que a altas velocidades el tiempo se vuelve lento en el objeto móvil respecto al sistema de referencia considerado en reposo. Supongamos que una nave se aleja de la Tierra hacia otra estrella (en reposo relativo respecto a la Tierra) a velocidad relativa a la Tierra “v”. La estrella emite radiaciones a una frecuencia “f0”, que son observadas desde la nave y los astronautas miden una frecuencia "f".

8

Por efecto Doppler galileano tenemos que la frecuencia observada por la nave será f = f0 (c+v)/c Pero dado que no podemos olvidar la RE, tenemos que hemos considerado a la estrella en reposo, y entonces debo aplicar la RE desde el punto de vista de la estrella, con lo que la nave se mueve y posee sus relojes más lentos en un factor K = (1-v2/c2)1/2. Así que la verdadera frecuencia que percibiría la nave al observar a la estrella sería mayor, pues recibirá más fotones por segundo propio, y sería: f = f0 (c+v)/(c K)

(1)

Esta es la expresión típica del efecto Doppler relativista que se puede simplificar a

Si ahora consideramos el problema desde el punto de vista de la nave, considerándola inercial, tenemos que el efecto Doppler clásico es diferente f= f0 c/(c-v). Si comparamos los efectos doppler clásicos resulta que podríamos determinar "quién se mueve". Podríamos determinar el "movimiento absoluto". Pero estamos tratando de verlo desde un punto de vista relativista y no hemos terminado de completar la fórmula. Debemos tener en cuenta que, desde el punto de vista de la nave y suponiendo que la nave está en reposo, es la estrella la que se mueve y acerca a una velocidad “v”. Con lo que ahora es la estrella la que tiene su tiempo enlentecido en el mismo factor de antes y la nave no.

9

Así resulta que la frecuencia observada entonces debería ser menor que el doppler esperado, pues la estrella emitirá menos fotones por segundo, siendo entonces f = f0 K c/(c-v)

(2)

Esta expresión también se puede simplificar y resulta

¡La misma expresión típica del efecto Doppler relativista que antes! Desde ambos puntos de vista resulta que la medición por parte del observador será la misma, manifestándose así el principio de relatividad en todo su esplendor, pues por observación del efecto Doppler ningún observador podrá determinar si está más en reposo que otro. Para terminar observemos en el siguiente gráfico la representación de los dos efectos doppler clásicos y la del doppler relativista

10

Podemos observar claramente la diferencia entre los tres, y que en el verdaderamente correcto, el relativista, la relación f/fo tiende a infinito a medida que la velocidad se acerca a la de la luz (v/c se acerca a 1). La corrección relativista al efecto Doppler es una de las principales pruebas de la dilatación temporal predicha por la teoría de la relatividad. IV.-PREGUNTAS GENERALES: ¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que le corresponde? La explicación se basa en la dilatación del tiempo predicha por la teoría especial de la relatividad. Esta postula que la medida del tiempo no es absoluta y que dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, no coincide; la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así en la teoría de la relatividad las medidas tanto del tiempo como del espacio son relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador. 11

En caso Marlon decida emprender el retorno de forma inmediata ¿La cantidad de señales entre ambos

hasta el momento del

reencuentro serán los mismos? No, la cantidad de señales que envían cada uno va a ser diferente. Puesto que una de las consecuencias de la TER de Einstein es que los eventos en diferentes posiciones que ocurren de manera simultanea en un marco no son simultáneos en otro marco que se mueve de manera uniforme respecto al primero, a pesar de que la velocidad de las señales de luz es la misma en ambos marcos de referencia (por el segundo postulado de Einstein) las frecuencias cambiaran por consecuencia de la dilatación del tiempo, esto lo explica el efecto Doppler relativista. V.-HIPOTESIS Y CONJETURAS:  El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a grandes velocidades, próximas a la velocidad de la luz.  La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos observadores el tiempo medido por estos observadores, en general, no coincide sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos VI.-POSIBLES SOLUCIONES: Sol 01: El tiempo transcurrido será menor para el viajero si su velocidad es muy cercana a la velocidad de la luz, pues de este modo el tiempo transcurre más lentamente en ella. Sol02: el tiempo puede ser calculado tomando a la nave como un sistema de reposo y a la tierra y roció en movimiento, en cuyo caso su valor debe ser igual al que anuncia la compañía de vuelos para el viaje de Marlon. Aquí es de esperar la existencia de una asimetría. Sol03: El número de señales deben ser diferentes, rocío recibe menos señales luminosas que Marlon, pues este se encuentra en movimiento y esto afecta a la frecuencia de la luz. 12

VII.-SUPUESTOS QUE SE TE TIENEN PARA EL PROBLEMA:  Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de la tierra.  Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y de la tierra hacia la nave.

VIII.- PREGUNTAS ADICIONALES: Las preguntas que se formulan ante este problema son: 1¿De qué tratan los Postulados de Einstein? ¿Tienen estos postulados alguna conexión con el problema planteado? Einstein entró en escena en 1905 con su famoso documento acerca de TER. Redefinió, las transformadas de Lorentz para poder resolver el problema de la invariabilidad de las ecuaciones de Maxwell. Pero también estableció dos postulados POSTULADOS DE EINSTEIN -

Las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de

referencia inercial (principio de relatividad). -

La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en

cualquier marco de referencia inercial (principio de la constancia de la velocidad de la luz). El primer postulado, este implica que el movimiento en línea recta y a velocidad constante sólo se puede observar si existe un marco de referencia contra el cual comparar. Por lo tanto no existe un marco de referencia absoluto con respecto al cual se pueden comparar todos los movimientos. Entonces cualquier sistema de referencia inercial esta apto para describir un fenómeno físico. El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo y confirma los resultados del experimento de Michelson y Morley:13

si la velocidad de la luz es constante no hay diferencia de tiempo entre dos recorridos de la luz y por consiguiente no puede haber corrimiento de las franjas de interferencia al girar el interferómetro. Además, también nos dice que la velocidad de la luz es independiente del movimiento del observador o de la fuente. Estos postulados tienen relación con el problema, ya que el primer postulado se relaciona en cualquier marco de referencia, en el problema se relaciona a la tierra donde esta Rocío, y el otro sería la nave donde se va ha transportar Marlon por que el experimenta unas observaciones distintas aunque no parezca por nuestra física clásica.

2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a partir de las Transformaciones de Lorentz? Z

z v

O

X

O ’

x’

y’ Y X = x’ + vt’

Y = y’

Z = z’

t = t’

x’ = X – vt V’x = d(x’)/d(t’) = d(X-vt) / d(t’) = d(X-vt) / d(t) = Vx –V V’y = Vy

V’z = Vz

a’x = ax

a’y = ay

a’z = az

14

Estas son las transformaciones de Galileo pero según la relatividad esto ya

no sería adecuado y necesitamos unas nuevas

transformaciones que mantengan la velocidad de la luz constante. Las transformaciones de Galileo y las de Newton son válidas (las variaciones en el tiempo y longitud son imperceptibles) cuando los objetos gobernados por ellas se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la luz. Pero es necesario un ajuste cuando la velocidad de los objetos es muy grande, o comparable con ella. Entonces las transformaciones de Galileo se multiplican por un factor adecuado para obtener unas nuevas transformaciones adecuadas al problema e imponerle al factor la condición de que para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, sea igual a la unidad. Esto hace que las nuevas transformaciones sean generales y se puedan aplicar en cualquier caso. Entonces: X = γ (x’ + vt’)

x’ = γ (X – vt)

Como : X = ct

x’ = c(t’ )

c (t) = γ( c(t’) + vt )

ct = γ( c + v )

c (t’) = γ( ct - vt)

ct’ = γ( c - v ) t

t’

c / γ( c - v) = γ( c + v) / c γ = 1/ ( 1 – (v/c) ²) ^(1/2)

x = (x'+t ' u)γ .....................................(1) y = y ' ..................................................(2) z = z ' ...................................................(3) u  t =  t´+ x' 2 γ ................................(4) c   u  t1 =  t´1 + x' 2 γ c   De modo que:

u  t 2 =  t´2 + x' 2 γ c  

15

t2 – t1 = (t’2 –t’1) γ El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurre en el mismo lugar en un sistema de referencia se denomina el tiempo propio tp. En este caso, el intervalo de tiempo Δt medido en cualquier otro sistema de referencia es siempre más largo que el propio. Este crecimiento se denomina dilatación del tiempo: Δt = γ Δtp Y para la contracción de la longitud se tiene:

x′ = (x - t u)γ .............. (1) y′ = y........................(2) z′ = z ......................(3) u  t′ =  t - x 2 γ .........(4) c   Consideremos una varilla en reposo en el sistema S´ con un extremo en x’2 y el otro x’1. La longitud de la varilla en este sistema es su longitud propia Lp = x’2 – x’1. Para hallar la longitud de la varilla en el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema la varilla se esta moviendo hacia la derecha con velocidad “u”, que es la velocidad de S’. Se define la longitud de la varilla en el sistema S como L = x2 – x1; en donde x2 es la posición de un extremo en un cierto instante t1, y x1 es la posición del otro extremo en el mismo instante t1 = t2 , medidos en el sistema S. Para calcular x2 – X1. X’2 = γ (x2 – ut2)

X’1 = (x1 – ut1)

Como t2 = t1, Obtenemos: X’2 – x’1 = γ (x2 – x1)

X2 – x1 = (x’2 – x’1)/ γ

Por lo tanto entonces la longitud del sistema de referencia S es mas pequeña en comparación con la longitud propia (Contracción del espacio). L = Lp/ γ

16

3. Valiéndose solo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método podrían aplicar para deducir la misma relación de tiempo dilatado? Existe un ejemplo donde se dispara un haz de luz dentro de un vagón en la posición 1. En esta posición el sostiene velocidad 0. En la posición 2 el sistema se mueve a una velocidad constante V. 1

2

v

D La luz en ambos sistemas y para ambos observadores debe viajar igual a c pero para los dos observadores se ve que recorren caminos distintos. -En 1 la luz recorre 2D a un tiempo Δt entonces: Δt = 2D/C (1) -En 2 se ve que la luz recorre una distancia mayor, pero sabemos por los postulado de Einstein que la luz no puede variar de velocidad sin importar donde se encuentre el observador, entonces el que tiene que variar es el tiempo Δt’

C Δt’/2 D

v Δt’/2 (c Δt’/2) ² = (v Δt’/2) ² + D² (2) Entonces despejando: Δt’ = 2D / (c (1-(v/c) ²) ^½)

17

Reemplazando 1 en 2 Pero como 2D / c = Δt y γ = 1/ (1 – (v/c) ²) ^ (1/2) entonces Δt’ = γ Δt

Dilatación del tiempo Δt’ = γ Δt

4.-Elaboren un análisis relativistico del problema planteado y formulen una hipótesis de trabajo para resolver la posible incongruencia de resultados de Rocío. Lo que sucede en el problema es que los dos observadores están en distintos sistemas de referencia, tanto Rocío como Marlon. Rocío se encuentra en la tierra y su sistema de referencia es esta, todo lo que percibe es respecto a la tierra, ella no ve ni percibe la contracción de longitudes ni la dilatación del tiempo. El problema se centra en los postulado de Einstein en el cual para cualquier sistema las leyes físicas se cumplen, y la velocidad de la luz es la misma para cualquiera que sea el observador, en el momento en que Marlon comienza a mandar las luces, este recorre una distancia, que en un sistema puede ser la distancia menor, y en el otro sistema de referencia puede verse mayor y en esto es que ven que sus relojes se diferencian, y cada uno se ven mas jóvenes. Como ya hemos comentado antes, el problema de la paradoja reside en que dependiendo del sistema inercial en que observemos los sucesos, tanto Marlon como Rocío se ven más jóvenes, pero no podemos tomara como sistema inercial el caso de Marlon debido a que su sistema sufre aceleraciones lo que rompe su estado de observador inercial, pero esta parte se puede solucionar colocando un reloj que se encuentre sincronizado con la tierra en ese caso Marlon al llegar al planeta va observar que este se encuentra adelantado al suyo (6.4 años) mas el tiempo que le ha tomado en llegar que sería de 3.6 años calcularía el mismo tiempo de 10 años que tiene Rocío, el mismo caso sucedería cuando Marlon realice el viaje de regreso.

18

5.-comparar los resultados acerca del tiempo de viaje eligiendo como sistema de referencia: a) la tierra: Tenemos:

Rx = 8años-luz Siendo la tierra nuestro sistema de referencia tenemos que Roció calcula en el instante en que Marlon ha recorrido 8 años luz el reloj de Rocío registra (Según la mecánica clásica): t = 8 a –c = 10 años 0.8c Los dos sucesos el momento en que sincronizan Roció y Marlon sus relojes y el recorrido de Marlon de 8 a-c no están en el mismo punto en este marco de referencia, por lo que t =10 años. El reloj de Marlon está en reposo en relación con él, y su reloj mide un tiempo transcurrido igual a to.

……………………….. (1) Donde γ γ = _______1_______

V:

=

5/3

Velocidad del cohete que es igual a 0.8c.

C: Velocidad de la luz que es igual a 3x108m/s De (1): En este sistema de referencia (tierra) el tiempo propio será tiempo medido por Marlon. (to).

el 19

∆t ' =

∆t 10 = = 6años γ 5/3

b)Para la nave en que viaja Marlon: Debido a la contracción de longitud para Marlon el recorrido que realiza lo realiza en solamente 6 años. Sin embargo podemos indicar que para Marlon el que sufre la contracción del tiempo es Rocío por encontrarse en un sistema que se mueve respecto a él. Siendo el T de Marlon igual a 6 años. Para este sistema de referencia el tiempo propio será el tiempo en el reloj de Rocío. Por lo tanto el tiempo de movimiento de Rocío según Marlon será: T Rocio = 3/5 T Marlon es igual a 3.6 años Para detectar los 3.6 años que demora Rocío, Marlon usa en x un reloj que solo es sincrónico para Rocío, entonces el reloj en x (perseguidor) adelanta con respecto a Rocío una cantidad igual a: LpV = 8 a-c x0.8c = 6.4años C2

C2

Luego lo que debería ver Marlon será 3.6+ LpV = 3.6+6.4años = 10 años que vendría ser el verdadero tiempo.

C2

Esto aclara finalmente que: 1. Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercial del gemelo terrestre como los cálculos según el sistema del gemelo viajero, ambos concluirán que el gemelo terrestre es quien envejecerá más, ya que el tiempo medido durante el transcurso del viaje es mayor para él.

20

2. La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la continuidad de la métrica. 6.-Elabore un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en la pregunta anterior. Ciertamente tenemos que Marlon bajo las especificaciones anteriores ha recorrido la trayectoria del viaje en solamente 12 años en comparación de lo experimentado por Rocío para la cual el trayecto es de 20 años, esto es normal dentro de los parámetros de la teoría de la relatividad especial. Debido a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. Pero debemos tener en cuenta que la medición de Rocío se realiza por que se encuentra en un sistema referencial inercial, a diferencia de Marlon que no podría obtener la misma medición debido a que se encuentra en un sistema referencial no inercial. Indico que se encuentra en un sistema referencial no inercial debido a que la nave podría sufrir aceleración a lo largo de su trayectoria y por lo tanto la velocidad no sería uniforme. En caso se considerará la aceleración de la nave entonces podríamos empezar a hablar sobre los conceptos de la teoría de relatividad general.

7. En base a uno de los postulados de Einstein se puede elegir como sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon, entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su viaje con la tierra?, despreciar el arranque y el frenado de la nave. Se plantearía el mismo problema que el caso anterior en que la Tierra era un sistema inercial solo que ahora se toma un21

observador estacionario y en reposo respecto de la nave de Marlon y aquí sería Rocío quien esté más joven, entonces el viaje de la tierra de ida y vuelta demora 12 años por lo tanto Rocío demoraría en volver 12 años 8.

Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7) ¿cuántos

años

han

pasado

realmente

para

los

dos

protagonistas de esta historia? En la pregunta 5 se toma en cuenta el arranque y frenado de la nave, entonces desde el punto de vista de Marlon o de Rocío siempre se concluirá que el que viaja en la nave (en este caso Marlon) será quien permanezca más joven. En cambio en la pregunta 7 al no considerar el arranque y frenado se estaría tomando por error a la nave como un sistema inercial y se estaría originando la paradoja de que ambos piensan que el otro hermano estará más joven en el momento del reencuentro.  Según Rocío (Ubicada en Tierra) V = 0,8 c a un planeta distante LP = 8 años luz y debe demorar en la ida t = 8 a –c = 10 años 0.8c Entonces regresará 20 años más tarde.  Según Marlon (Planeta P distante L´P)

Viaje demora: Entonces regresa 12 años más tarde.

22

Realmente han pasado 20 años para Rocío y 12 años para Marlon. 9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia cuando el observador o la fuente experimentan un movimiento? Las ondas de luz deben analizarse en forma distinta a como se analizan las ondas sonoras, ya que no requieren de ningún medio para propagarse y no existe ningún método para distinguir el movimiento de la fuente de luz del movimiento del observador. Así, es de esperar encontrara una formula diferente para el corrimiento Doppler de ondas de luz, una que solo sea sensible al movimiento relativo de la fuente y el observador, y que sea valida para velocidades relativas de la fuente y el observador próximas a c.

fobs :

es la frecuencia medida por un observador que se aproxima

a una fuente de luz

ffuente

: es la frecuencia según se

mide

en el

sistema de

referencia en que la fuente esta en reposo. La expresión para el caso de una fuente que se aleja se obtiene al sustituir v por –v en la ecuación. 10. Explique la conocida expresión: “corrimiento al rojo”. El corrimiento al rojo es definido como un incremento en la longitud de onda de radiación electromagnética recibidas por un detector comparado con la longitud de onda emitida por la fuente. Este incremento en la longitud de onda se corresponde con un decremento en la frecuencia de la radiación electromagnética. El corrimiento gravitacional hacia el rojo, el efecto Doppler de la luz y el corrimiento cosmológico al rojo por la expansión del universo forman el conjunto de tres corrimientos hacia el rojo distintos que se confunden a menudo por producir cambios similares en la frecuencia de las ondas electromagnéticas. Los tipos de corrimiento al rojo:

23

Un simple fotón propagado a través del vacío puede desplazarse hacia el rojo de varias maneras distintas. Cada una de estas maneras produce un desplazamiento de tipo Doppler, que son descritos mediante transformaciones galileanas, lorentzianas o relativistas entre un sistema de referencia y otro.  Corrimiento al rojo Doppler Transformaciones de Galileo Distancia euclidiana  Doppler relativista Transformaciones de Lorentz Métrica Minkowski  Corrimiento al rojo cosmológico Transformaciones relativistas  Corrimiento al rojo gravitacional Transformaciones relativistas Métrica de Schwarzschild 11) El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas ¿permitirá determinar los años transcurridos para ambos? Debido a nuestras limitaciones matemáticas la mejor manera de entender el paso del tiempo en ambos gemelos es el envío de señales periódicas. Estas señales viajarán a la velocidad de la luz y será recibida un cierto tiempo después por el hermano distante. Recordemos que para hacer más claros los cálculos, normalizamos las velocidades con respecto a c (c =1), de modo que la conversión entre distancias en años luz y tiempos en años, se haga de forma directa. En nuestro caso cada 365 días es decir, cuando cada uno cumpla años. En las cuales para cada gemelo la información de que su compañero ha cumplido años le servirá para conocer el número de años que han pasado para cada uno. Ahora debido al efecto Doppler relativista la frecuencia de llegada de las señales no será de un año. Debemos señalar que para Marlon durante sus seis años de viaje de ida recibe señales de un tercio por año f=fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2

24

f= fo (3) f ---- 3

si f = 6 entonces fo = (6*1)/3 = 2

fo ---- 1 Y por lo tanto recibe dos señales. En su viaje de regreso recibirá tres señales por año: f=fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2 f= fo (1/3) f ---- 1

si f = 6

entonces fo = (6*3)/ 1 = 18

fo ---- 3 y durante los seis años que le toma regresar a la Tierra recibe 18 señales que sumadas a las dos anteriores Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida

=

2

Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta = 18 Total…………………………………………………… = 20 Hacen un total de 20 señales que ratifican los 20 años pasados para Rocío. Pero para Rocío con un tercio de ritmo de señales por año durante los primeros 10 años no sabrá si Marlon ya se dirige de regreso porque ella debería de recibir señales con mayor frecuencia. Entonces durante 18 años ella recibirá 6 señales, f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2 f= fo (3) f ---- 3

si f = 18 entonces fo = (18*1)/3 = 6

fo ---- 1 Es ahora cuando ella recibirá tres señales por año por lo tanto en estos dos últimos años ella tendrá que recibir 6 señales más.

25

f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2 f= fo (1/3) f ---- 1

si f = 2

entonces fo = (2*3)/ 1 = 6

fo ---- 3 Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida

=

6

Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta =

6

Total…………………………………………………… =

12

Hacen un total de 12 señales que ratifican los 12 años pasados para Marlon.

La otra forma de resolver sin usar el efecto douppler relativista es de la siguiente manera: Sea: O = Roció O’ = Marlon Señales de O’ Cuando en O’ transcurra un intervalo t = 1 año, en O transcurrirá t=

t’ = 5/3

Año. En el sistema de referencia O, O’ habrá recorrido una distancia x = v t = 0,8 *5/3 = 4/3 ly (años luz). Cada año (en el tiempo propio de su sistema inercial), O’ enviará una señal. Esa señal viajará de regreso hacia el punto A a la velocidad de la luz, y recorrerá esa distancia en un tiempo t = x / c. Utilizamos, por simplicidad, al punto A como referencia de coordenadas. Viaje de ida Al cabo del primer año del tiempo propio de O’, en O habrán transcurrido 5/3 de año. La distancia recorrida por O’, medida en O, será de 4/3 ly. Significa que esta señal, viajando a la velocidad de la luz, tardará 4/3 de año en llegar a A, donde será recibida por su 26

hermano. La primera señal llega entonces para t = 5/3 + 4/3 = 3 años. Al segundo año de O’, en O transcurrieron 10/3 de año, y la distancia a A será de x = 0,8 *10/3 = 8/3 ly. Consecuentemente, la segunda señal llegará a A 8/3 de año después, para t = 10/3 + 8/3 = 6 años. Así ocurre durante los 6 años del viaje de O’ (en su tiempo propio): Tiempo

Tiempo

Posición

Tiempo de arrivo de la

transcurrido transcurrido

según O

señal según O

en O’ (t’)

(x=vt)

(t*= t’+x/c)

en O (t =

t’)

1 5/3 4/3 3 2 10/3 8/3 6 3 5 4 9 4 20/3 16/3 12 5 25/3 20/3 15 6 10 8 18 Vemos entonces que O’ envió 6 señales, a razón de una por año (de su tiempo propio), y O recibe 6 señales, una señal cada 3 años (de su tiempo propio), durante 6 Viaje de regreso Finalmente, O’ inicia su viaje de regreso a la misma velocidad, recorriendo las mismas distancias por año. Su posición respecto de A será ahora x = 8 - v (t - 10), debido a que invierte el sentido de su viaje cuando t = 10 y x = 8 respecto de O. Al primer año del viaje de regreso, séptimo del viaje de O’, en O habrán transcurrido t = 5/3 * 7 = 35/3 de año, y la posición respecto de A será entonces x = 8 - 0.8 .5/3 = 20/3. La señal enviada llegará a 20/3 de año después, es decir, para: t = 35/3 + 20/3 = 55/3 = 18,33 años. 27

Al segundo año, octavo del viaje, en O habrán transcurrido t = 40/3 de año, y su posición será x = 16/3. La señal llegará a A 16/3 de año después, cuando sea t = 56/3 = 18,67. De igual modo, al tercer año, noveno del viaje, será x = 12/3 y la señal transmitida llegará para t = 19 años. Así sucederá los tres años siguientes: Tiempo

Tiempo

Posición

Tiempo de

transcurrido

transcurrido

según O

arrivo de la

en O’ (t’)

en O (t =

(x=8-v(t-10))

señal según

t’)

O 7

35/3

20/3

(t*= t’+x/c) 55/3

8

40/3

16/3

56/3

9

9

4

57/3

10

5/3

8/3

58/3

11

55/3

4/3

59/3

12

20

0

20

Cada año, O enviará una señal. Esta señal viajará con velocidad c al encuentro de O’, que es un móvil para el sistema de referencia O. Este móvil huirá de las señales durante su viaje de ida y correrá a su encuentro durante el viaje de regreso. El problema principal es un clásico problema de encuentro, en el que un móvil más rápido sale a perseguir a uno más lento. Para ver mejor lo que sucede, haremos un gráfico del problema de encuentro. Viaje de ida de O’ Al cabo del primer año, O envía una señal. En este momento, O’ recorrió una distancia x = 0,8 ly en el sistema O. La señal recorre un año luz por año, y tarda 4 años en alcanzar a O’, de acuerdo a 28

la siguiente ecuación: 0,8 t = t - 1 => t = 5. Este momento corresponde al tiempo t’ =

( t - x v/c2) = 3 en O’.

Al segundo año, tenemos: 0,8 t = t - 2 => t = 10, entonces t’ = 6.

Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de ida de O’, este recibe solamente 2 señales de su hermano en O, una cada 3 años. Viaje de regreso de O’ A partir del tercer año de O, cada señal alcanzará a O’ según la ecuación: 8 - 0,8 (t -10) = t - t0 para t0 = 3, 4, 5,..., 20. De donde despejamos el tiempo de encuentro: t*= 5/9 (t0 + 16) y calculamos entonces t’ = t /

.

29

Para mayor claridad, se ha graficado una de cada 3 señales.

Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de regreso de O’, este recibe 18 señales de su hermano en O, a razón de 3 por año. 12. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes velocidades y el eventual uso de la dilatación del tiempo. En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, la contracción relativista del tiempo puede beneficiar a los tripulantes de la nave espacial, acortando el tiempo de un trayecto; pero el transcurrido en la Tierra puede ser de siglos o milenios. Por todo lo anterior, la imposibilidad de rebasar la velocidad de la luz parece que nos condena a permanecer eternamente en nuestro30

pequeño rincón de la Galaxia, separados por enormes distancias de otros astros —salvo unos cuantos muy cercanos— y, quizás, de civilizaciones extraterrestres. Por eso, la posibilidad de viajar, o al menos comunicarse, a una velocidad superior a la luz es una ilusión muy cara; sin embargo, las dificultades no son simplemente técnicas, sino que están relacionadas con la misma geometría del espacio tiempo. En primer lugar, si bien es cierto que se necesita una energía infinita para alcanzar la velocidad de la luz, cabe preguntarse si no existe algún mecanismo desconocido, quizás relacionado con efectos cuánticos, que permita rebasar esa barrera en alguna forma no prevista por la física actual. Además podrían existir partículas que, desde que nació el Universo, posean una velocidad superior a la luminosa; a tales hipotéticas partículas incluso se les ha dado un nombre: taquiones (del griego tachys: velocidad). Si existieran,

los

taquiones

resolverían

el

problema

de

las

comunicaciones interestelares, al permitir enviar mensajes más veloces que las señales luminosas. Por otra parte, en algunos libros

o

películas

de

ciencia

ficción

los

personajes

se

"teletransportan", o viajan a través de un supuesto "hiper espacio", o cualquier cosa que implique su desaparición en un punto y su aparición en otro muy lejano. Pero veremos a continuación que la posibilidad de viajar o enviar señales más rápidamente que la luz equivale a un viaje aparentemente muy distinto, pero más difícil de concebir: ¡un viaje al pasado! El tiempo transcurrido entre dos sucesos depende de la velocidad de quien lo mide. Supongamos que en algún lugar se produce el suceso A, consistente en la emisión de una partícula material, o de una señal luminosa; tal partícula o señal es recibida en otro punto en algún momento: llamemos suceso B a esa recepción distante. El tiempo transcurrido entre los sucesos A y B depende del sistema de 31 referencia en el que se observan esos dos sucesos y varía, por lo

tanto, de acuerdo con la velocidad del observador. Sin embargo, se puede denostar que, debido a la estructura geométrica del espacio tiempo, el tiempo transcurrido entre A y B no puede nunca invertirse: no existe ningún observador para quien la recepción de la señal (suceso B) preceda su emisión (suceso B). Éste es, el principio de causalidad, fundamental en la física: si el suceso A es la causa de suceso B, entonces A sucede antes que B en cualquier sistema de referencia: el orden causa-efecto es invariante. Sin embargo, para que los dos sucesos considerados tengan una relación causal, es decir que A pueda influir sobre B, es necesario que la acción de A viaje a una velocidad menor o igual que la velocidad de la luz. Por ejemplo, lo que ocurre en la Tierra a la 1 P.M. puede ser un suceso conectado causalmente con el suceso que ocurre en la Luna a las 2 P.M. ya que una hora es suficiente para ir o mandar una señal a la Luna, incluso a velocidades menores a la de la luz. Por otra parte, lo que sucede en este instante en la estrella Alfa Centauri no puede tener relación causal con ningún suceso presente en la Tierra; si Alfa Centauri explotara en este momento, tendríamos que esperar al menos cuatro años para enterarnos de ello. Ahora bien, el principio de causalidad no se aplica a las partículas que se mueven más rápidamente que la luz. Si el suceso A es la emisión de un taquión y el suceso B la recepción de ese taquión, entonces puede existir un sistema de referencia en el cual B antecede a A , es decir, el receptor parece emitir al taquión y el emisor recibirlo: se puede demostrar que eso ocurre en cualquier sistema de referencia que se mueva con respecto al emisor y al detector con una velocidad superior a c2/vT, donde vT es la velocidad del taquión (la velocidad del sistema de referencia mencionado es menor que c porque vT es mayor que c). Dicho de otro modo, el concepto de pasado y futuro para un taquión es relativo. Un taquión "viaja" hacia el futuro o hacia el pasado, según 32 la velocidad de quien lo observa.

Así, de existir los taquiones, o cualquier posibilidad de desplazarse más rápidamente que la luz, sería posible, viajar al pasado. Por ejemplo, se podría utilizar un dispositivo consistente en dos emisores-receptores de taquiones que se alejan uno de otro a velocidad lo suficientemente grande. El primer aparato emite una señal

taquiónica, que el segundo aparato recibe y contesta

inmediatamente con otra emisión de taquiones. ¡La respuesta llegaría al primer aparato antes de que haya emitido su primera señal!

Un sistema de emisores y detectores de taquiones podría permitir que una señal taquiónica regrese antes de salir. O bien, imaginémonos que en el futuro se inventara un "teletransportador" tal que permitiera a un viajero espacial desaparecer en la Tierra y materializarse en algún lugar lejano, implicando un desplazamiento a mayor velocidad que la luz. Nuestro viajero podría llevarse un teletransportador consigo para poder regresar a la Tierra. Pero, en ese caso, cabe la posibilidad de que el viajero inicie su retorno desde un planeta en movimiento tal que ¡regrese antes de haber salido! ¿Es posible viajar al pasado? Independientemente de cualquier restricción impuesta por las leyes de la física, el hecho de regresar en el tiempo implica una situación sumamente contradictoria. En efecto, si una señal taquiónica puede regresar antes de ser emitida, ¿qué pasaría si en el lapso de tiempo entre su recepción y su misión se decide destruir el emisor de taquiones? Más aún, si una persona pudiera regresar al pasado ¿qué ocurriría si se encontrara consigo mismo de niño... y decidiera "asesinarse”? 33

Invertir el sentido del tiempo no parece ser factible, más por razones lógicas que por motivos físicos. Lo que, no es tan evidente, y queremos subrayarlo, es que, debido a la peculiar geometría del espacio tiempo, un viaje en el espacio a mayor velocidad que la luz es enteramente equivalente a un viaje hacia atrás en el tiempo, con todo y sus contradicciones inherentes. Al parecer, estamos efectivamente condenados a vivir en una pequeña región periférica de nuestra Galaxia, y sólo contemplar la inmensidad del Universo a través de la luz que las galaxias lejanas nos enviaron hace millones de años. Recapitulación: O envía 20 señales, 1 cada año de su tiempo. O’ recibe 20 señales, 2 los primeros 6 años, a razón de una cada 3 años; y 18 los últimos 6 años, a razón de 3 por año.

IX.- CONCLUSIONES  En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador.  La paradoja de los gemelos nos muestra que la Relatividad puede llegar a ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de los límites de la mecánica clásica, que es la que podemos experimentar en nuestra vida cotidiana.  Es necesario que solo intervengan sistemas de referencia inerciales para poder aplicar la teoría de la relatividad especial propuesta por Einsten.  Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más. 34

 La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la continuidad de la métrica.  Hemos observado que la dilatación del tiempo se produce efectivamente en dos sistemas en movimiento relativo. Si quedaba alguna duda sobre la no-paradoja de los gemelos, la hemos disipado.  Vimos además, que la frecuencia de las señales enviadas aumenta, para el receptor, cuando los sistemas se acercan, y disminuye (para el receptor) cuando se alejan.

X.-BIBLIOGRAFIA •

HTTP://WWW.WIKIPEDIA.COM

•

FISICA MODERNA, SERWAY RAYMOND, MÉXICO : MCGRAWHILL, 1997

•

HTTP://GESALERICO.FT.UAM.ES/PAGINASPERSONALES/BARB ON/BARBON.PDF

•

FISICA MODERNA ,TIPLER, PAUL A. BARCELONA : REVERTÉ, 1980

•

HTTP://WWW.IAC.ES/COSMOEDUCA/RELATIVIDAD/GUIONESPE CIAL.HTM

35