Abp1 : Paradoja De Los Gemelos

MUSICOS SIDERALES

OBJETIVOS : Comprender los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein . Comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros. Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la Relatividad en la medición de los intervalos de tiempo y espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se desplaza con una velocidad comparable al de la luz.

INTRODUCCION

CONCEPTOS PRELIMINARES: POSTULADOS DE EINSTEIN En 1905 A. Einstein enuncia su teoría de la relatividad especial en la cual regresa a la antigua idea de que el espacio es vacío (no existe el éter) y formula dos postulados:  Las leyes de la físicas son las mismas en cualquier

marco de referencia inercial (principio de relatividad).  La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en cualquier marco de referencia inercial (principio de la constancia de la velocidad de la luz).

POSTULADOS DE EINSTEIN

TRANSFORMADAS DE LORENTZ  Establecieron la base matemática de la teoría R. E  Son un conjunto de relaciones que permiten observar la

correlación entre las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.  La transformación de Lorentz permite preservar el valor

de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

Paradoja Propuesta : •Rocío y Marlon 2 hermanos gemelos. •Marlon viaja a un planeta X, que se encuentra a 8 años luz de la tierra. •Para que Marlon llegue al planeta X el viaja con una velocidad 0.8c, y el sabe que demorara 6 años. •Rocío concluyo por su física clásica que el viaje debería durar 10 años

PLANTEAMIENTO … •Cuando se analiza este problema desde el punto de vista de cada uno de ellos , cada no piensa que es el otro el que envejece. •¿Es esto posible? los cálculos se mantienen independientes del SR tomado

SOLUCION DE LA PARADOJA DESDE EL PTO. VISTA DEL GEMELO TERRESTRE

PUNTO DE VISTA TERRESTRE En este caso nuestro sistema de referencia será el gemelo en tierra (Rocío).

Cálculos: Según los datos : Velocidad de la nave = 0,8 c Distancia al planeta LP = 8 a-c Por lo tanto : t=

8 a-c = 10 años 0.8 c

En consecuencia según Rocío el tiempo que demoro el viaje ida y vuelta de Marlon será de 10 años

LA SOLUCION DE LA PARADOJA DESDE ELPTO. VISTA DEL GEMELO VIAJERO ¿CUAL ES REALMENTE LA PARADOJA?

La velocidad no tiene un sentido absoluto Ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él mismo. Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más.

PARA EL GEMELO VIAJERO : El sistema de referencia será la nave , en consecuencia será el gemelo terrestre el que experimentara la dilatación temporal.

SOLUCION ... Imaginemos una variación del escenario: una nave espacial a velocidad constante pasa muy cerca de la Tierra, y en ese momento establecemos el origen temporal de nuestro experimento. La nave sigue su trayecto, sin variar rumbo ni velocidad, hasta llegar a otro planeta, y continúa adelante. Así que tanto la nave como la tierra son ahora SRI.

DEBEREMOS CONSIDERAR: La dilatación del tiempo La contracción del espacio. Para el observador de la nave es la tierra la que se mueve y la distancia entre la Tierra y el otro planeta se reducirá. Supongamos Vn= 0,8 c como γ=1/(1-v2/c2)1/2 γ=1,667 por cada segundo transcurrido en la Tierra, transcurre 0,6 segundos en la nave .

Supongamos ahora que el planeta destino está a 8 años luz . Viajando a 0,8 c, para T ot =10 años Para la tripulación de la nave, será 0,6 veces esa cantidad, es decir, 6 años. La distancia entre la Tierra y el planeta se contrae también, y con el mismo factor que el tiempo. Distancia entre la Tierra y el otro planeta es de tan sólo 4.8 años luz (8x0,6). Viajando a 0,8 c, tardaría 6 años en recorrer esa distancia.

Lo mismo que habíamos calculado antes.

Como se ha visto los cálculos de los dos gemelos concuerdan en que será el gemelo terrestre quien envejecerá más.

La paradoja es tan sólo aparente, por una trampa en el planteamiento.

PREGUNTAS GENERALES 1.- ¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que le corresponde?

DILATACIÓN DEL TIEMPO La dilatación del tiempo predicha por la teoría especial de la relatividad explica esto. El tiempo medido entre dos eventos por dos observadores, no coincide; la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así en la teoría de la relatividad las medidas tanto del tiempo como del espacio son relativas, ya que dependen del estado de movimiento del observador.

v

PREGUNTAS GENERALES ¿En caso Marlon decida emprender el retorno de forma inmediata ¿La cantidad de señales entre ambos hasta el momento del reencuentro serán los mismos?

•La cantidad de señales que envían cada uno va a ser diferente. •Una de las consecuencias de la TER de Einstein es que los eventos en diferentes posiciones que ocurren de manera simultanea en un marco no son simultáneos en otro marco que se mueve de manera uniforme respecto al primero, a pesar de que la velocidad de las señales de luz es la misma en ambos marcos de referencia, las frecuencias cambiaran por consecuencia de la dilatación del tiempo. •Esto lo explica el efecto Doppler relativista.

Simultaneidad 

Figura superior: En el marco inercial del vagón, las lámparas adosadas en su interior se encienden simultáneamente y los rayos luminosos emitidos por ambas llegan a la muchacha (R1) al mismo tiempo.

 Figura inferior:

En el marco inercial observador fuera del vagón (R2), éste percibe que la lámpara de la derecha se enciende primero, aunque para la muchacha que se encuentra en el interior del

TRANSFORMADAS DE LORENTZ O’

A O

O’

ν

O ⇒

⇒

B L ∆t = L/ ν ..............(1)

ν

. O’

← ∆t’ ⇒

∆t’ = L’/ ν .........(2)

L’ ∆t / ∆t’ = L / L’

⇒

L = γ L’

L’ = L/ γ

Donde: 1< γ

ANALISIS DEL NUMERO DE SEÑALES ENVIADAS POR LOS HERMANOS

El conteo de las señales de luz Los Hermanos se comunican Envió de una señal cada año La señal viaja a la velocidad de la luz

Señales de Marlon Viaje de ida t=γt’

Roció t = 5/3 de año

t’ =1año γ= (1-0.82) -1/2=5/3

En el sistema de referencia de Roció, Marlon ha recorrido una distancia X= v*t =0.8c*5/3=4/3ly

X Primera señal t1= 5/3 + 4/3 =3 años

R

t = X/c =4/3 de año

Al segundo año de Marlon, para Roció transcurrieron 10/3 de año, y la distancia a ella será de x = 0,8 . 10/3 = 8/3 ly. Consecuentemente, la segunda señal llegará a Roció 8/3 de año después, para t = 10/3 + 8/3 = 6 años.

Viaje de Regreso X = 8 – v*(t-10) t = 5/3 . 7 = 35/3 de año x = 8 - 0.8 .5/3 = 20/3ly La séptima señal t = 35/3 + 20/3 = 55/3 = 18,33 años

Resumen: Marlon envía un total de 12 señales, una cada año de su propio tiempo. Rocío recibe un total de 12 señales al cabo de 20 años: 6 los primeros 18 años, a razón de 1 cada 3 años, y 6 los últimos 2 años, a razón de 3 por año.

Señales de Rocío Viaje de ida x = 0,8 ly en el sistema O Primera señal: 0,8c t = (t – 1)c => t = 5 t’ = y ( t - x v/c2) = 3 Al segundo año, tenemos: 0,8c t =( t – 2)c => t = 10 entonces t’ = 6.

Viaje de regreso A partir del 3er año de Roció la señal alcanzara a Marlon según la ecuación 8 - 0,8 (t -10) = t - t0 para t0 = 3,4,5,...,20. tiempo de encuentro: t*= 5/9 (t0 + 16) t’ = t / y X

R

Resumen Rocío envía 20 señales, 1 cada año de su tiempo. Marlon recibe 20 señales, 2 los primeros 6 años, a razón de una cada 3 años; y 18 los últimos 6 años, a razón de 3 por año.

Tiene esto alguna relación con el efecto douppler? Señales de Rocío f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2 f= fo (1/3) Marlon recibe 2 señales en su viaje de ida f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2 f= fo (3) Marlon recibe 18 señales en su viaje de vuelta Señales de Marlon f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2 f= fo (1/3) Roció recibe en 18 años 6 señales f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2 f= fo (3) Roció recibe en 2 años 6 señales

Vimos que la frecuencia de las señales enviadas aumenta, para el receptor, cuando los sistemas se acercan, y disminuye cuando se alejan.

CONSECUENCIAS Y APLICACIONES En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, la contracción relativista del tiempo puede beneficiar a los tripulantes de la nave espacial, acortando el tiempo de un trayecto; pero el transcurrido en la Tierra puede ser de siglos o milenios. Si existieran, los taquiones resolverían el problema de las comunicaciones interestelares, al permitir enviar mensajes más veloces que las señales luminosas. Debido a la peculiar geometría del espacio tiempo, un viaje en el espacio a mayor velocidad que la luz es enteramente equivalente a un viaje hacia atrás en el tiempo, con todo y sus contradicciones inherentes.

LABORATORIO CIENTÍFICO CENTURIA-2200.(UNA APLICACIÓN DEL FUTURO) Actualmente se esta trabajando para conseguir fuentes de energía que ayuden al ser humano a acercarse a la velocidad de la luz ….

CONCLUSIONES •En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador. •Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más. •Vimos además, que la frecuencia de las señales enviadas aumenta, para el receptor, cuando los sistemas se acercan, y disminuye (para el receptor) cuando se alejan.

GRACIAS …