-4-bab 1.pdf
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View -4-bab 1.pdf as PDF for free.
More details
- Words: 1,507
- Pages: 13
5
BAB I (Minggu ke- 1,2,3) Konsep Dasar. Vektor PENDAHULUAN Learning Outcome: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan: •
Mampu menjelaskan perbedaan besaran skalar dan vektor dan mampu menyelesaikan setiap kasus kinematika yang diberikan.
•
Mampu menyelesaikan kasus transformasi koordinat dengan konsep perkalian dot product.
6
PENYAJIAN
1 Konsep Dasar. Vektor 1.1 Pendahuluan Tiga Konsep dasar
Ruang dan Waktu
Mekanika Klasik: Entitas jelas/nyata dan saling bebas
Relativitas: Entitas tidak absolute dan tidak saling bebas
Nilai dua entitas tersebut Absolut
12/15/2012
Mekanika Kuantum: Nilai dua entitas tersebut bersifat probabilitas
[email protected]
5
1.2 Hasil Skalar (dot product)
r r A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z
r r r r A⋅ B = B ⋅ A
(
(Komutatif)
)
r r r r r r r A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
(Distributif)
r r A ⋅ B = AB cosθ 12/15/2012
[email protected]
6
7
1.3 Hasil Vektor (cross product)
iˆ r r A × B = Ax
ˆj Ay
kˆ Az
Bx
By
Bz
r r r r A × B = −B × A r r r r r A× B + C = A× B + r r r r n A × B = nA × B =
(
(
12/15/2012
) ) ( )
r r A×C r r A × nB
( )
[email protected]
r r A× B
7
r r A × B = ( AB sin θ )nˆ
r B θ r A 12/15/2012
[email protected]
8
8
1.4 Triple Products
Ax r r r A ⋅ B × C = Bx
Ay
Az
By
Bz
Cx
Cy
Cz
(
)
(
) (
(Triple scalar product)
) (
)
r r r r r r r r r A× B ×C = A⋅C B − A⋅ B C (Triple vector product)
12/15/2012
[email protected]
1
1.5 Perubahan Sistem Koordinat. Matrik Transformasi
r A = iˆAx + ˆjAy + kˆAz r A = iˆ' Ax ' + ˆj ' Ay ' + kˆ' Az ' Ax ' iˆ ⋅ iˆ' A = iˆ ⋅ ˆj ' y' Az ' iˆ ⋅ kˆ' 12/15/2012
(dalam koordinat i,j,k)
(dalam koordinat i’,j’,k’)
ˆj ⋅ iˆ' kˆ ⋅ iˆ' Ax ˆj ⋅ ˆj ' kˆ ⋅ ˆj ' Ay (transformasi koordinat) ˆj ⋅ kˆ' kˆ ⋅ kˆ' Az [email protected]
10
9
1.6 Derivatif Vektor
r A(u ) = iˆAx (u ) + ˆjAy (u ) + kˆAz (u )
r dA ˆ dAx ˆ dAy ˆ dAz =i + j +k du du du du
r r r r d dA dB + A+ B = du du du
(
)
12/15/2012
[email protected]
11
1.7 Vektor Posisi Partikel. Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Cartesian
r r = iˆx + ˆjy + kˆz
x = x(t );
y = y (t );
z = z (t )
r r dr ˆ v= = i x& + ˆjy& + kˆz& dt r r r dv d 2 r ˆ a= = 2 = i &x& + ˆj&y& + kˆ&z& dt dt 12/15/2012
[email protected]
12
10
Contoh soal: 1. Gerak proyektil. Coba Anda amati gerak yang dinyatakan oleh persamaan di bawah ini
r gt 2 ˆ + k 0 r (t ) = iˆbt + ˆj ct − 2 Pers. ini menunjukkan gerak dalam bidang xy, ketika komponen z konstan dan sama dengan nol.Kecepatan gerak partikel diperoleh dengan mendiferentialkan vektor posisi terhadap waktu, yaitu
r r dr ˆ v= = i b + ˆj (c − gt ) dt Sedangkan percepatan gerak partikelnya diperoleh dengan mendiferentialkan vektor kecepatan terhadap waktu, yaitu
r r dv a= = − ˆjg 12/15/2012 dt
[email protected]
13
2. Gerak Melingkar. Annggap vektor posisi suatu partikel diberikan oleh:
r r = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt dengan ω adalah tetapan. Coba kita analisa gerak tersebut. Jarak dari titik pusat tetap konstan
(
r r = r = b 2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt
)
12
=b
Sehingga lintasannya adalah lingkaran beruji b terpusat pada titik pusat. Vektor kecepatan diperoleh dengan pendiferensialan vektor posisi
r r dr ˆ v= = i bω cos ωt − ˆjbω sin ωt dt 12/15/2012
[email protected]
14
11
Partikel melintasi lintasannya dengan kecepatan konstan:
(
r v = v = b 2ω 2 cos 2 ωt + b 2ω 2 sin 2 ωt
)
12
= bω
Percepatan Partikel adalah:
r r dv a= = −iˆbω 2 sin ωt − ˆjbω 2 cos ωt dt Dalam kasus ini percepatan tegak lurus terhadap kecepatan, sehingga dot product vektor kecetapan dan percepatan akan sama dengan nol:
(
)
(
)
r r v ⋅ a = (bω cos ωt ) − bω 2 sin ωt + (− bω sin ωt ) − bω 2 cos ωt = 0 Perbandingan dua pernyataan untuk vektor percepatan dan posisi, kita peroleh:
r r a = −ω 2 r
12/15/2012
[email protected]
15
1.8 Derivatif product vektor
( )
r r r d nA dn dA = A+n du du du r r r r d A⋅ B dA r r dB = ⋅ B + A⋅ du du du
(
(
)
)
r r r r d A× B dA r r dB = × B + A× du du du 12/15/2012
[email protected]
16
12
1.9 Komponen Tangensial dan Normal suatu percepatan
r v = vτˆ r r dv dτˆ = v&τˆ + v a= dt dt dτˆ = nˆ dψ 12/15/2012
[email protected]
17
dτˆ dτˆ dψ dψ ds v = = nˆ = nˆ dt dψ dt ds dt ρ ρ=
ds dψ
aτ = v& = &s&
r v2 a = v&τˆ + nˆ
ρ
12/15/2012
an = [email protected]
v2
ρ 18
13
1.10 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Polar Bidang
r r = reˆr r deˆr r dr v= = r&eˆr + r dt dt deˆr dθ = eˆθ dt dt
∆eˆr ≈ eˆθ ∆θ 12/15/2012
[email protected]
19
deˆθ dθ = −eˆr dt dt
∆eˆθ ≈ −eˆr ∆θ
r v = r&eˆr + rθ&eˆθ r deˆ deˆ r dv a= = &r&eˆr + r& r + r&θ& + rθ&& eˆθ + rθ& θ dt dt dt
(
12/15/2012
[email protected]
)
20
14
(
)
(
)
r a = &r& − rθ& 2 eˆ r + rθ&& + 2r&θ& eˆθ 2 & & & a r = r − rθ
( )
1 d 2& & & & aθ = rθ + 2r&θ = rθ r dt 12/15/2012
[email protected]
21
Contoh 3. Lintasan spiral dari rumah madu dinyatakan dalam r = b − ct dengan kecepatan sudut meningkat dengan lajut konstan: θ& = kt Carilah kecepatan sebagai fungsi waktu.
12/15/2012
[email protected]
22
15
r v = r&eˆr + rθ& eˆθ
r& = −c
r&& = 0
r v = −c eˆr + (b − ct ) kt eˆθ
[
v = c 2 + (b − ct ) k 2 t 2 2
12/15/2012
]
12
[email protected]
23
1.11 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Silinder dan Bola Koordinat Silinder:
r r = R eˆ R + z eˆ z
r & v = R eˆ R + Rφ&eˆφ + z&eˆ z
(
)
(
)
r && a= R − Rφ& 2 eˆ R + 2 R& φ& + Rφ&& eˆφ + &z&eˆ z 12/15/2012
[email protected]
24
16
Koordinat Bola:
r r = reˆr r v = eˆr r& + eˆφ rφ& sin θ + eˆθ rθ&
(
) (
(
) )
r a = &r& − rφ& 2 sin 2 θ − rθ& 2 eˆr + rθ&& + 2r&θ& − rφ& 2 sin θ cos θ eˆθ + rφ&&sin θ + 2r&φ sin θ + 2rθ&φ& cosθ eˆφ
12/15/2012
[email protected]
25
17
PENUTUP •
Kriteria Assessment: Kognitif dan skill
•
Metode Assessment: PR
•
Bobot Nilai: 3 %
PR 1: 1. Diberikan tiga buah vektor
r r r A = 2iˆ + ˆj + 3kˆ; B = iˆ + ˆj + kˆ; dan C = iˆ + 2 ˆj + 4kˆ carilah:
(a)
(
)
(
(
) (
)
r r r r r r A ⋅ B + C dan A + B ⋅ C
)
(b)
r r r r r r A ⋅ B × C dan A × B ⋅ C
(C)
r r r r r r A × B × C dan A × B × C
(
)
(
12/15/2012
)
[email protected]
27
2. Nyatakan vektor 2iˆ + 3 ˆj − kˆ dalam koordinat i’ j’ k’, dengan x’ y’ adalah sumbu-sumbu x y yang diputar pada sumbu z dengan sudut 30o
z=z’
Y’ y x
x’
3. Seekor lalat bergerak dalam lintasan helik sebagai berikut
r r (t ) = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt + kˆct 2 Tunjukkan bahwa magnitudo dari percepatan lalat adalah konstan, dengan b, ω, dan c adalah konstan. 12/15/2012
[email protected]
28
BAB I (Minggu ke- 1,2,3) Konsep Dasar. Vektor PENDAHULUAN Learning Outcome: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan: •
Mampu menjelaskan perbedaan besaran skalar dan vektor dan mampu menyelesaikan setiap kasus kinematika yang diberikan.
•
Mampu menyelesaikan kasus transformasi koordinat dengan konsep perkalian dot product.
6
PENYAJIAN
1 Konsep Dasar. Vektor 1.1 Pendahuluan Tiga Konsep dasar
Ruang dan Waktu
Mekanika Klasik: Entitas jelas/nyata dan saling bebas
Relativitas: Entitas tidak absolute dan tidak saling bebas
Nilai dua entitas tersebut Absolut
12/15/2012
Mekanika Kuantum: Nilai dua entitas tersebut bersifat probabilitas
[email protected]
5
1.2 Hasil Skalar (dot product)
r r A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z
r r r r A⋅ B = B ⋅ A
(
(Komutatif)
)
r r r r r r r A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
(Distributif)
r r A ⋅ B = AB cosθ 12/15/2012
[email protected]
6
7
1.3 Hasil Vektor (cross product)
iˆ r r A × B = Ax
ˆj Ay
kˆ Az
Bx
By
Bz
r r r r A × B = −B × A r r r r r A× B + C = A× B + r r r r n A × B = nA × B =
(
(
12/15/2012
) ) ( )
r r A×C r r A × nB
( )
[email protected]
r r A× B
7
r r A × B = ( AB sin θ )nˆ
r B θ r A 12/15/2012
[email protected]
8
8
1.4 Triple Products
Ax r r r A ⋅ B × C = Bx
Ay
Az
By
Bz
Cx
Cy
Cz
(
)
(
) (
(Triple scalar product)
) (
)
r r r r r r r r r A× B ×C = A⋅C B − A⋅ B C (Triple vector product)
12/15/2012
[email protected]
1
1.5 Perubahan Sistem Koordinat. Matrik Transformasi
r A = iˆAx + ˆjAy + kˆAz r A = iˆ' Ax ' + ˆj ' Ay ' + kˆ' Az ' Ax ' iˆ ⋅ iˆ' A = iˆ ⋅ ˆj ' y' Az ' iˆ ⋅ kˆ' 12/15/2012
(dalam koordinat i,j,k)
(dalam koordinat i’,j’,k’)
ˆj ⋅ iˆ' kˆ ⋅ iˆ' Ax ˆj ⋅ ˆj ' kˆ ⋅ ˆj ' Ay (transformasi koordinat) ˆj ⋅ kˆ' kˆ ⋅ kˆ' Az [email protected]
10
9
1.6 Derivatif Vektor
r A(u ) = iˆAx (u ) + ˆjAy (u ) + kˆAz (u )
r dA ˆ dAx ˆ dAy ˆ dAz =i + j +k du du du du
r r r r d dA dB + A+ B = du du du
(
)
12/15/2012
[email protected]
11
1.7 Vektor Posisi Partikel. Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Cartesian
r r = iˆx + ˆjy + kˆz
x = x(t );
y = y (t );
z = z (t )
r r dr ˆ v= = i x& + ˆjy& + kˆz& dt r r r dv d 2 r ˆ a= = 2 = i &x& + ˆj&y& + kˆ&z& dt dt 12/15/2012
[email protected]
12
10
Contoh soal: 1. Gerak proyektil. Coba Anda amati gerak yang dinyatakan oleh persamaan di bawah ini
r gt 2 ˆ + k 0 r (t ) = iˆbt + ˆj ct − 2 Pers. ini menunjukkan gerak dalam bidang xy, ketika komponen z konstan dan sama dengan nol.Kecepatan gerak partikel diperoleh dengan mendiferentialkan vektor posisi terhadap waktu, yaitu
r r dr ˆ v= = i b + ˆj (c − gt ) dt Sedangkan percepatan gerak partikelnya diperoleh dengan mendiferentialkan vektor kecepatan terhadap waktu, yaitu
r r dv a= = − ˆjg 12/15/2012 dt
[email protected]
13
2. Gerak Melingkar. Annggap vektor posisi suatu partikel diberikan oleh:
r r = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt dengan ω adalah tetapan. Coba kita analisa gerak tersebut. Jarak dari titik pusat tetap konstan
(
r r = r = b 2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt
)
12
=b
Sehingga lintasannya adalah lingkaran beruji b terpusat pada titik pusat. Vektor kecepatan diperoleh dengan pendiferensialan vektor posisi
r r dr ˆ v= = i bω cos ωt − ˆjbω sin ωt dt 12/15/2012
[email protected]
14
11
Partikel melintasi lintasannya dengan kecepatan konstan:
(
r v = v = b 2ω 2 cos 2 ωt + b 2ω 2 sin 2 ωt
)
12
= bω
Percepatan Partikel adalah:
r r dv a= = −iˆbω 2 sin ωt − ˆjbω 2 cos ωt dt Dalam kasus ini percepatan tegak lurus terhadap kecepatan, sehingga dot product vektor kecetapan dan percepatan akan sama dengan nol:
(
)
(
)
r r v ⋅ a = (bω cos ωt ) − bω 2 sin ωt + (− bω sin ωt ) − bω 2 cos ωt = 0 Perbandingan dua pernyataan untuk vektor percepatan dan posisi, kita peroleh:
r r a = −ω 2 r
12/15/2012
[email protected]
15
1.8 Derivatif product vektor
( )
r r r d nA dn dA = A+n du du du r r r r d A⋅ B dA r r dB = ⋅ B + A⋅ du du du
(
(
)
)
r r r r d A× B dA r r dB = × B + A× du du du 12/15/2012
[email protected]
16
12
1.9 Komponen Tangensial dan Normal suatu percepatan
r v = vτˆ r r dv dτˆ = v&τˆ + v a= dt dt dτˆ = nˆ dψ 12/15/2012
[email protected]
17
dτˆ dτˆ dψ dψ ds v = = nˆ = nˆ dt dψ dt ds dt ρ ρ=
ds dψ
aτ = v& = &s&
r v2 a = v&τˆ + nˆ
ρ
12/15/2012
an = [email protected]
v2
ρ 18
13
1.10 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Polar Bidang
r r = reˆr r deˆr r dr v= = r&eˆr + r dt dt deˆr dθ = eˆθ dt dt
∆eˆr ≈ eˆθ ∆θ 12/15/2012
[email protected]
19
deˆθ dθ = −eˆr dt dt
∆eˆθ ≈ −eˆr ∆θ
r v = r&eˆr + rθ&eˆθ r deˆ deˆ r dv a= = &r&eˆr + r& r + r&θ& + rθ&& eˆθ + rθ& θ dt dt dt
(
12/15/2012
[email protected]
)
20
14
(
)
(
)
r a = &r& − rθ& 2 eˆ r + rθ&& + 2r&θ& eˆθ 2 & & & a r = r − rθ
( )
1 d 2& & & & aθ = rθ + 2r&θ = rθ r dt 12/15/2012
[email protected]
21
Contoh 3. Lintasan spiral dari rumah madu dinyatakan dalam r = b − ct dengan kecepatan sudut meningkat dengan lajut konstan: θ& = kt Carilah kecepatan sebagai fungsi waktu.
12/15/2012
[email protected]
22
15
r v = r&eˆr + rθ& eˆθ
r& = −c
r&& = 0
r v = −c eˆr + (b − ct ) kt eˆθ
[
v = c 2 + (b − ct ) k 2 t 2 2
12/15/2012
]
12
[email protected]
23
1.11 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Silinder dan Bola Koordinat Silinder:
r r = R eˆ R + z eˆ z
r & v = R eˆ R + Rφ&eˆφ + z&eˆ z
(
)
(
)
r && a= R − Rφ& 2 eˆ R + 2 R& φ& + Rφ&& eˆφ + &z&eˆ z 12/15/2012
[email protected]
24
16
Koordinat Bola:
r r = reˆr r v = eˆr r& + eˆφ rφ& sin θ + eˆθ rθ&
(
) (
(
) )
r a = &r& − rφ& 2 sin 2 θ − rθ& 2 eˆr + rθ&& + 2r&θ& − rφ& 2 sin θ cos θ eˆθ + rφ&&sin θ + 2r&φ sin θ + 2rθ&φ& cosθ eˆφ
12/15/2012
[email protected]
25
17
PENUTUP •
Kriteria Assessment: Kognitif dan skill
•
Metode Assessment: PR
•
Bobot Nilai: 3 %
PR 1: 1. Diberikan tiga buah vektor
r r r A = 2iˆ + ˆj + 3kˆ; B = iˆ + ˆj + kˆ; dan C = iˆ + 2 ˆj + 4kˆ carilah:
(a)
(
)
(
(
) (
)
r r r r r r A ⋅ B + C dan A + B ⋅ C
)
(b)
r r r r r r A ⋅ B × C dan A × B ⋅ C
(C)
r r r r r r A × B × C dan A × B × C
(
)
(
12/15/2012
)
[email protected]
27
2. Nyatakan vektor 2iˆ + 3 ˆj − kˆ dalam koordinat i’ j’ k’, dengan x’ y’ adalah sumbu-sumbu x y yang diputar pada sumbu z dengan sudut 30o
z=z’
Y’ y x
x’
3. Seekor lalat bergerak dalam lintasan helik sebagai berikut
r r (t ) = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt + kˆct 2 Tunjukkan bahwa magnitudo dari percepatan lalat adalah konstan, dengan b, ω, dan c adalah konstan. 12/15/2012
[email protected]
28
Related Documents
4bab Ii.docx
November 2019 7
Chile 1pdf
December 2019 139
Theevravadham 1pdf
April 2020 103
Majalla Karman 1pdf
April 2020 93
Rincon De Agus 1pdf
May 2020 84
Exemple Tema 1pdf
June 2020 78More Documents from ""
Lks-analisis-tracker.docx
October 2019 14
Metallic_hydrogen_the_most_powerful_rocket_fuel_ye.pdf
October 2019 16
-4-bab 1.pdf
October 2019 20
Bahan Ajar Elastisitas.docx
October 2019 19
Sap Hm.docx
May 2020 12