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Curso Introductorio a Matemáticas especiales

Aritmética Contenido: Lic. Oscar Ardila Chaparro Diagramación: Lic. Oscar Ardila Chaparro

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Matemática Básicas

UNIDAD TEMATICA: ARITMÉTICA Objetivo Reconocer las características principales de los sistemas numéricos, sus reglas y operaciones identificando su uso en algunos contextos de aplicación. Competencias: Este módulo pretende promover las siguientes competencias matemáticas: • Reconoce y usa adecuadamente los números teniendo en cuenta sus propiedades. • Analiza problemas, recopila la información relevante y plantea operaciones necesarias para obtener soluciones dentro de un contexto específico. ARITMÉTICA Definición: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números, sus propiedades y las habilidades necesarias para trabajar con ellos . Importancia de la aritmética Al igual que en los tiempos antiguos hoy en día resulta indispensable manejar y reconocer un sistema numérico para desenvolvernos adecuadamente en la sociedad, sería difícil imaginar una sociedad sin el uso de los números ¿cómo sabríamos que día es hoy, cuál nuestra edad, que distancia debemos recorrer hasta nuestro lugar de trabajo, qué hora es? Y es esta precisamente la importancia de los números que nos permiten organizar y hacer más comprensible nuestro entorno así como desarrollar y materializar todo lo que nos es posible construir. Sistemas numéricos En este apartado realizaremos una introducción a los conjuntos numéricos profundizando en los números reales con el cual trabajaremos de aquí en adelante. Los Números Naturales Los números naturales Representados con la letra N son el primer conjunto numérico usado por distintas civilizaciones, para el tratamiento de las cantidades. Actualmente estos números aún se usan para medir por ejemplo la edad de una persona un dato que no puede ser negativos y normalmente se usa en forma cerrada (ejemplo pedro tiene 7 años). Matemáticas Básicas/ Aritmética

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El conjunto de los números naturales está compuesto por los enteros positivos como se enuncia a continuación. N={1,2,3,4,5,6,7,8,9…}

Los Números Enteros El conjunto de los números enteros surge a partir de la necesidad de representar situaciones como “perder o deber dinero” o alguna cantidad negativa respecto a un punto de referencia, se denota por la letra Z y está compuesto por los números positivos, negativos y el cero. Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3…} El conjunto de los números enteros Z, incluye como subconjunto al de los números naturales; por lo tanto, es válido decir que el número 5 es un número natural y es un entero.

Figura 1. Termómetro Fuente: http://www.mercalab.com/

Como ejemplo para la aplicación de este conjunto numérico se tiene la lectura de un termómetro dado que en esta aplicación se estiman lecturas tanto de temperaturas positivas como negativas.

Los Números Racionales Es el conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios y se representa con la letra Q. Un número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. La palabra ración o fracción indica que estos números representan partes de una unidad:

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Fraccionarios 1 4

Un fraccionario es una representación de un número en forma de división (no efectuada) y está compuesto por dos partes esenciales: 3

3 4

numerador

4 denominador

Figura 2. Ejemplo de una Fracción

En el ejemplo se lee tres cuartos, el denominador indica las partes en las cuales se divide la unidad y el numerador el número de partes que tomamos.

Fuente: Ardila (2015)

Clases de Fracciones Existen varias clases de fracciones, la siguiente tabla resume algunas de ellas. Clase

Condición

Ejemplo

Cuando el numerador es menor al denominador Cuando la fracción es Unitarios equivalente a la unidad Dos fracciones son equivalentes si Equivalentes representan la misma cantidad Una fracción es irreducible se enIrreducibles cuentra cuando en su máxima simplificación Cuando el numerador Impropios es mayor al denominador Propios

Tabla 1. Tipos de fracciones

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Suma de Fracciones Para poder sumar y restar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador. Si las fracciones que queremos sumar o restar, no tienen el mismo denominador, antes de poder realizar la operación tenemos que expresarlas con un común denominador. A continuación se presenta un ejemplo de estos dos casos (denominador común y diferente denominador) y como se deben efectuar las operaciones en cada uno.

Caso 1: Fracciones con igual denominador Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos de denominador el denominador común.

2 + 3 =2 +3 =5 6 6 6 6 4 - 6 = 4 -6 = - 2 5 5 5 5

Caso 2: Fracciones con diferente denominador Método 1: Si las fracciones que queremos sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero tenemos que expresarlas con común denominador. Después de haberlas expresado con común denominador, ya podemos sumarlas o restarlas al igual que el caso 1. 1 + 2 = 3 + 4 =3 +4 =7 2 3 6 6 6 6 5 - 1 = 20 - 3 = 20 - 3 = 17 3 4 12 12 12 12 Paso 1: Buscamos fracciones fracciones equivalentes a las originales que tengan el mismo denominador

Paso 2: Cuando ya tienen el mismo denominador ya las podemos sumar o restar como en el caso anterior.

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Método 2: Existe un segundo método para operar fracciones con diferente denominador, todo se resume en la aplicación de la siguiente formula:

a + c = ad + bc b d bd

Ejemplo: 1 2 1 *3 +2 *2 3 +4 7 + = = = 6 2 *3 2 3 6 Multiplicación entre Fracciones Para multiplicar fracciones tenemos que seguir la siguiente regla: 1. Multiplicamos los numeradores de la fracciones y ubicamos el resultado en el numerador. 2. Multiplicamos los denominadores y ubicamos el resultado en el denominador.

a * c = ac bd b d

Ejemplo: 1 2 1 *2 = 2 * = 6 2 *3 2 3 División entre Fracciones Para dividir fracciones tenemos que seguir la siguiente regla: 1. Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el resultado lo ubicamos en el numerador del resultado. 2. Multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo ubicamos en el denominador del resultado.

a ÷ c = ad b d bc

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1 2 1 *3 = 3 * = 4 2 *2 2 3 Los Números Irracionales

cia n e r fe ro

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

et ám Di

Circu n

Un número irracional se caracteriza por poseer infinitas cifras decimales no periódicas, razón por la cual no pueden expresarse en forma racional (como una fracción entre enteros).

Radio

π= circunferencia diámetro

Figura 3. Representacion del irracional Pi.

El conjunto de los Números Reales

Reales R

Racionales Q Enteros Z Naturales N

Figura 4. Conjunto de los reales

Considerando todos los números (racionales e irracionales) empleados para medir longitudes y agregándole los negativos y el cero obtenemos el conjunto de los números reales como se observa en la figura 4. A continuación se presenta una tabla que resume las propiedades de los reales.

Fuente: algebravirtual1.blogspot.com

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Oper.  

Definición

Identidad

Suma Multiplicación

Inversos

Suma Multiplicación

Suma Multiplicación

Pro.

Asociativa

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Todo real multiplicado por 1 se queda igual;el 1 es la identidad multiplicativa. La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

El factor se distribuye a cada sumando.

Suma respecto a la  multiplicación

Suma Multiplicación

Distributiva Conmutativa

Ejemplo

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

 

 

Que dice Es posible hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

 

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado

 

Tabla 2. Propiedades de los números reales Matemáticas Básicas/ Aritmética

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Jerarquía de las operaciones Actualmente la mayoría de las calculadoras o software matemático realiza la secuencia de operaciones basado en una jerarquía establecida. Por tal motivo es importante que nuestros cálculos manuales también sean ejecutados sobre el mismo referente, El siguiente grafico muestra el orden en que debemos operar una expresión.

Parentesis Potencias y Raices Multiplicación y división Sumas y Restas Figura 5. Jerarquía de las operaciones Fuente: Lic. Oscar Ardila Chaparro

En el siguiente ejemplo se aplica la jerarquía anteriormente expuesta, en verde se resaltan las operaciones que se realizan de línea a línea y con las líneas naranja se resaltan los resultados que se van obteniendo.

(15 - 4)+32 ÷ 3 - (12 - 5*2) + (5+16÷ 4) - 5 + (10 - 23)= 11+32 ÷ 3 - (12 - 10) + (5+ 4) - 5 + (10 - 8)= 11+32 ÷ 3 - (2) + (9) - 5 + (2)= 11+9 ÷ 3 - 2 + 9 - 5 + 2= 11+3 - 2 + 9 - 5 + 2= 18

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La recta de los reales La recta de los reales es un sistema coordenado donde a cada punto que la conforma le corresponde uno y solo un numero real. El siguiente grafico nos brinda un ejemplo de la ubicacion de los diferentes tipos de numeros ue contiene el conjunto de los numeros reales.

• • •

En Verde se resaltan los Irracionales En Rojo los Racionales En Amarillo los enteros

Figura 6. Recta de los reales Fuente: Lic. Oscar Ardila Chaparro

Aplicaciones de la aritmética Porcentajes Cualquier fracción puede expresarse en forma de porcentaje y viceversa de la forma

X = 100% 100

1.

Observemos como convertir un porcentaje en una fracción mediante dos ejemplos.



Ejemplo 1: el porcentaje es un entero: Convertir el porcentaje 65% a fraccionario 1

65 100 Dividimos el porcentaje entre 100

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65 ÷ 5 13 = 100 ÷ 5 20 Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre 5 Matemáticas Básicas/ Aritmética

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Ejemplo 2: el porcentaje no es entero: Convertir el porcentaje 64,26% a fraccionario 1

2

60,25 100 Dividimos el porcentaje entre 100 3

60,25 * 100 6025 = 100 * 100 10000

Como el porcentaje tiene dos decimales multiplicamos numerador y denominador por 100 para conseguir un entero 6025 ÷ 5 1205 ÷ 5 241 = = 10000 ÷ 5 2000 ÷ 5 400 Simplificamos hasta la minima expresión

2.

Ahora convirtamos fracciones a porcentajes. Cuánto es 5/8 en porcentaje

1. 2. 3. 3. 4.

Agregamos un cero al numerador (5) dado que es inferior al denominador (8). 8 esta 6 veces en 50, luego 6*8=48, restamos 48 de 50 y obtenemos 2. Agregamos un cero y repetimos el proceso para 20, 8 esta 2 veces en 20, luego 2*8=16, restamos 16 de 20 y obtenemos 4. Agregamos un cero y repetimos el proceso para 40, 8 esta exaxtamente 5 veces en 40, luego 5*8=40, restamos 40 de 40 y obtenemos 0 con esto culmina la división. Por ultimo multiplicamos el resultado de la división por 100 consiguiendo el porcentaje 62,5%

50 48 20 16 40 40 0

8 0,625

0,625*100= 62.5

•En el siguiente ejemplo calcularemos la resistencia equivalente en un circuito serie los valores usados son comerciales y están expresados en fracciones la franja dorada indica tolerancia del 5% y así el valor real de la resistencia puede estar 5% por encima o por debajo del valor que indiquen sus colores. (ver calculador de colores) Matemáticas Básicas/ Aritmética

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•La resistencia equivalente en serie se obtiene sumando todas las resistencias asi:

41/5 K Ω

34/5 K Ω 10 K Ω 15/2K Ω

41 34 15 + + 10 + = 5 5 2 75 15 + 10 + = 5 2 15 15 + 10 + = 2 25 15 50 + 15 65 + = = 2 1 2 2 = 32,5 KΩ

Asi teniendo en cuenta la tolerancia del 5% el rango de valores posibles esta dado por 65 5 13 = * = 1,625 KΩ 2 100 8

32,5 -1,625 KΩ < R < 32,5 +1,625 KΩ

Concluimos que la resistencia equivalente puede ser un valor entre 30,975Ω y 34.125Ω. Proporciones y razones Razon: En matemáticas una razon corresponde a una comparación entre dos o mas cantidades que se representa mediante un cociente escrito de la formas: a:b a ÷ b a/b La primera forma se lee la razón de a es a b. a : b, y como ejemplo podiramos tener en una caja 4 pimpones rojos y 6 verdes. La razón entre los pimpones verdes y los rojos es 6/4 y se lee “6 es a 4 (6:4)”. Proporción: Una proporción es la comparación entre dos razones para analizar su comportamiento, estas pueden ser de dos tipos directas e inversas. •

Directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales si al incrementarse o disminuir una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción. Por ejemplo si dos ladrillos cuestan $1,560 es comprensible que si duplico la cantidad de ladrillos su precio también se multiplique en esa proporción y así 4 ladrillos tendrían un valor de $3,120. Matemáticas Básicas/ Aritmética

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2 x2 4 = 1560x2 3120

Ladrillos Precio •



Inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementarse una la otra disminuye o viceversa Por ejemplo si dos tecnicos ensamblan 4 maquinas en 2 dias, duplicando la cantidad de tecnicos y suponiendo que todos tienen el mismo ritmo de trabajo será comprensible que el tiempo empleado para ensamblar las dos maquinas se reduzca a la mitad. Tecnicos 2 Tecnicos 4

=

2 4

Maquinas ensambladas Maquinas ensambladas

Usos de las proporciones • La proporción de la bandera Colombia es 2:3, eso significa que por cada 2 (centímetros, pulgadas u otra unidad de longitud) de altura tiene que haber 3 de anchura. Así si elaboras una bandera de 60 cm de alto alto (2*30cm), tiene que tener 90 cm de ancho (3*30cm).

60cm 90cm

Figura 6. Bandera de colombia Fuente: Lic. Oscar Ardila Chaparro

• Si quieres dibujar un perro con un tamaño a escala 1:10, tienes que multiplicar todas las medidas del perro por la fracción 1/10. Por ejemplo el pastor Collie de la imagen mide en la vida real 530 mm de alto y 850 mm de largo, así que la proporción de su altura con su longitud es 530 : 850 mm ¿Cómo seria la proporción cuando lo dibujas? la respuesta está en la multiplicación de cada dimensión por 1/10. 530 850

x 1/10 x 1/10

=

53 85

mm

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530mm

53mm

850mm

85mm

Figura 7. Escalas

Fuente: Lic. Oscar Ardila Chaparro

Retroalimentación En este módulo hemos estudiado: • Los diferentes conjuntos numéricos y sus características. • Operaciones fundamentales de la aritmética y sus propiedades. • Las fracciones y algunas de sus aplicaciones (porcentajes, proporciones y razones)

Referencias Bibliográficas Peterson- Hashisaki: Teoría de la aritmética, Editorial Limusa, 1994 mexico. Garza, O. B. 1997 Matemáticas. Aritmética y álgebra. Colección DGETI. SEP-SEIT. México. Martínez, M. A. 1996. Aritmética y álgebra. McGraw Hill. México Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner, Editorial Pearson Educación, 2002 - 842 páginas

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