149_faktorial_ral

RANCANGAN FAKTORIAL

Pendahuluan Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mendiskusikan mengenai pengaruh perlakuan tunggal terhadap respons tertentu. Perlakuan tunggal tersebut dinamakan faktor, dan taraf atau level dari faktor tersebut dinamakan taraf. Faktor disimbolkan dengan huruf kapital sedangkan taraf dari faktor tersebut disimbolkan dengan huruf kecil. Apabila secara serempak kita mengamati pengaruh beberapa faktor dalam suatu penelitian yang sama, maka percobaan tersebut dinamakan dengan percobaan faktorial. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa faktor. Percobaan dengan menggunakan f faktor dengan t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial ft. Misalnya, percobaan faktorial 22 artinya kita menggunakan 2 faktor dan taraf masing-masing faktornya terdiri dari 2 taraf. Percobaan faktorial 22 juga sering ditulis dalam bentuk percobaan faktorial 2x2. Penyimbolan yang terakhir sering digunakan untuk percobaan faktorial dimana taraf dari masing-masing faktornya berbeda, misalnya 2 taraf untuk faktor A dan 3 taraf untuk faktor B, maka percobaannya disebut percobaan faktorial 2x3. Percobaan faktorial 2x2x3 maksudnya percobaan faktorial yang terdiri dari 3 faktor dengan taraf untuk masingmasing faktornya berturut-turut 2, 2, dan 3. Dengan demikian, dalam percobaan faktorial, ada dua tahap yang perlu dilakukan, pertama yaitu rancangan perlakuannya, seperti yang sudah diuraikan sebelumnya, dan selanjutnya tahap pemilihan rancangan lingkungannya yaitu yang menyangkut bentuk desain percobaan seperti RAL, RAKL, RBSL, Split-plot, Split-Blok. Tujuan dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antara faktor yang kita cobakan. Adakalanya kedua faktor saling sinergi terhadap respons (positif), namun adakalanya juga keberadaan salah satu faktor justru menghambat kinerja dari faktor lain (negatif). Adanya kedua mekanisme tersebut cenderung meningkatkan pengaruh interaksi antar ke dua faktor. Interaksi mengukur kegagalan dari pengaruh salah satu faktor untuk tetap sama pada setiap taraf faktor lainnya atau secara sederhana, Interaksi antara faktor adalah apakah pengaruh dari faktor tertentu tergantung pada taraf faktor lainnya? Misalnya apabila pengaruh sederhana N sama pada setiap taraf pemberian pupuk P maka kedua faktor tersebut saling bebas (independent) dan dikatakan tidak ada interaksi, sedangkan apabila pemberian N memberikan pengaruh yang berbeda pada setiap taraf dari P, maka dikatakan terjadi interaksi antara Faktor N dan Faktor P. Sebagai contoh, apabila kita ingin mengamati pengaruh pemberian Nitrogen (N) yang terdiri dari 2 taraf (n0, dan n1) dan pemberian fosfor (P) yang terdiri dari 2 taraf (p0, p1) terhadap respons tertentu, dengan hasil sebagai berikut: © 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

1

Tabel 1. Pengaruh sederhana, pengaruh utama, dan pengaruh Interaksi Faktor Fosfor (P) p0 p1 Rataan N Pengaruh sederhana P (p1-p0)

Nitrogen (N) n0 40 42 41 2 (se P, n0)

Rataan P

n1 48 51 49.5 3 (se P, n1)

44 46.5 45.25 2.5 (me P)

Pengaruh sederhana N n1-n0 8 (se N, p0) 9 (se N, p1) 8.5 (me N)

Selisih n1 – n0 dan p1 – p0 dinamakan pengaruh sederhana (simple effects) disimbolkan dengan (se N) dan (se P). Rata-rata dari pengaruh sederhana dinamakan dengan pengaruh utama (main effects), disimbolkan (me N) and (me P). Perkiraan pengaruh interaksi dan pengaruh utama dari rata-rata perlakuan dapat dihitung dengan formula berikut: Pengaruh Sederhana (simple effect, se):

se N pada p 0 = n1 p0 − n0 p0 = 48 − 40 =8 se N pada p 1 = n1 p1 − n0 p1 = 51 − 42 =9

se P pada n 0 = p1 n0 − p0 n0 = 42 − 40 =2 se P pada n1 = p1 n1 − p0 n1 = 51 − 48 =3

Pengaruh Utama (main effect, me):

1 me N = (se N pada p0 + se N pada p1) 2 1 = [(n1 p0 − n0 p0 ) + (n1 p1 − n0 p1 )] 2 1 = [(48 − 40) + (51 − 42)] 2 = 8.5

1 me P = (se P pada n0 + se P pada n1) 2 1 = [(p1 n0 − p0 n0 ) + (p1 n1 − p0 n1 )] 2 1 = [(42 − 40) + (51 − 48)] 2 = 2.5

Pengaruh Interaksi:

1 Interaksi N × P = [(n1 p0 − n0 p0 ) − (n1 p1 − n0 p1 )] 2 1 = [(48 − 40) − (51 − 42)] 2 = −0.5

1 atau = [(p1n0 − p0 n0 ) − (p1n1 − p0 n1 )] 2 1 = [(42 − 40) − (51 − 48)] 2 = −0.5

Pengaruh sederhana ini diperlukan oleh pengguna (petani, misalnya), apabila dia hanya membatasi pada penggunaan taraf tertentu dari salah satu faktor. Misalnya, apabila petani ingin melihat perbedaan © 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

2

pengaruh N pada setiap taraf pemupukan P, pengaruh sederhana N pada taraf p0 = 8 dan pada taraf p1 = 9. Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi secara grafis dapat divisualisasikan sebagai berikut:

Gambar 1.

Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi

Kemungkinan yang bisa terjadi antara pengaruh utama dan interkasi disajikan pada Gambar berikut: Sumber Keragaman 1 2 3 4 5 6 7 A tn * tn * tn * tn B tn tn * * tn tn * AxB tn tn tn tn * * *

8 * * *

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

3

Gambar 2.

Berbagai kemungkinan bentuk interaksi antara faktor

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

4

Keuntungan: 1. Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yang ada 2. Informasi yang diperoleh lebih komprehensif karena kita bisa mempelajari pengaruh utama dan interaksi 3. Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yang lebih luas karena kita mempelajari kombinasi dari berbagai faktor Kerugian: 1. Analisis Statistika menjadi lebih kompleks 2. Terdapat kesulitan dalam menyediakan satuan percobaan yang relatif homogen 3. pengaruh dari kombinasi perlakuan tertentu mungkin tidak berarti apa-apa sehingga terjadi pemborosan sumberdaya yang ada Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap Percobaan faktorial dalam rancangan acak lengkap merupakan percobaan faktorial dengan menggunakan rancangan acak lengkap sebagai rancangan lingkungannya. Pada prinsipnya sama dengan rancangan acak lengkap, namun dalam hal ini faktor yang dicobakan lebih dari satu. Pengacakan dan Denah Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap Cara pengacakan sama seperti rancangan acak lengkap. Penempatan perlakuan-perlakuan yang merupakan kombinasi dari taraf faktor yang akan dicobakan dilakukan dengan cara yang sama seperti rancangan acak lengkap. Perhatikan contoh kasus berikut. Suatu percobaan ingin mempelajari pengaruh pemupukan Nitrogen dan Varietas terhadap hasil produksi yang dilaksanakan di Rumah Kaca. Kondisi lingkungan diasumsikan homogen. Faktor pemupukan terdiri dari 2 taraf, yaitu 0 kg N/ha (n0) dan 60 kg N/ha (n1). Faktor Varietas terdiri dari dua taraf, yaitu Varietas IR-64 (v1) dan Varietas S-969 (v2). Percobaan dirancang dengan menggunakan rancangan dasar RAL yang diulang 3 kali. Percobaan tersebut merupakan percobaan faktorial 2x2 sehingga terdapat 4 kombinasi perlakuan: n0v1; n0v2; n1v1; dan n1v2. Karena diulang 3 kali, maka satuan percobaannya terdiri dari 4x3 = 12 satuan percobaan. Buat 12 petak (satuan percobaan) dan satuan percobaan tersebut diberi nomor dari 1 sampai 12. Langkah pengacakan sama dengan pengacakan pada RAL tunggal. Misal hasil pengacakan adalah sebagai berikut:

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

5

Berdasarkan hasil pengacakan tersebut, maka tata letak percobaan adalah sebagai berikut: 1 = n1v1 2 = n0v2 3 = n0v1 4 = n1v2 5 = n1v1 6 = n1v2 7 = n1v2 8 = n1v1 9 = n0v1 10 = n0v2 11 = n0v2 12 = n0v1 Gambar 3.

Denah Percobaan Faktorial 2 x 2 dengan Rancangan Lingkungan RAL

Model Linier Rancangan Faktorial Dalam RAL Model linier aditif untuk rancangan faktorial dua faktor dengan rancangan lingkungannya rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut : Yijk = μ + αi + βj + (αβ)ij + εijk dengan i =1,2…,a; j = 1,2,…,b; c = 1,2,…,r Yijk

= pengamatan pada satuan percobaan ke-k yang memperoleh kombinasi perlakuan taraf ke-i dari faktor A dan taraf ke-j dari faktor B μ = mean populasi αi = pengaruh taraf ke-i dari faktor A βj = pengaruh taraf ke-j dari faktor B (αβ)ij = pengaruh taraf ke-i dari faktor A dan taraf ke-j dari faktor B εijk = pengaruh acak dari satuan percobaan ke-k yang memperoleh kombinasi perlakuan ij. εij ~ N(0,σ2).

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

6

Asumsi: Apabila semua faktor (faktor A dan B) bersifat tetap

∑α = 0 ; ∑ β = 0 ; ∑ (αβ ) = ∑ (αβ ) =0 ; i

i

j

ij

j

ij

bsi

ε ijk ~ N(0,σ 2 )

Apabila semua faktor (faktor A dan B) bersifat acak

α i ~ N(0,σ α 2 ) ; β j ~ N(0,σ β 2 ) ; (αβ )ij ~ N(0, σ αβ 2 ) ;

bsi

ε ijk ~ N(0,σ 2 )

Hipotesis: Hipotesis yang diuji dalam rancangan faktorial yang terdiri dari dua faktor dengan rancangan lingkungan rancangan acak lengkap adalah: Hipotesis yang Model Tetap (Model I) Akan Diuji: Pengaruh Interaksi AxB H0 (αβ)ij =0 (tidak ada pengaruh interaksi terhadap respon yang diamati) H1 minimal ada sepasang (i,j) sehingga (αβ)ij ≠0 (ada pengaruh interaksi terhadap respon yang diamati) Pengaruh Utama Faktor A H0 α1 =α2 =…=αa=0 (tidak ada perbedaan respon di antara taraf faktor A yang dicobakan) H1 minimal ada satu i sehingga αi ≠0 (ada perbedaan respon di antara taraf faktor A yang dicobakan) Pengaruh Utama Faktor B H0 β1 =β2 =…=βb=0 (tidak ada perbedaan respon di antara taraf faktor B yang dicobakan) H1 minimal ada satu j sehingga βj ≠0 (ada perbedaan respon diantara taraf faktor B yang dicobakan)

Model Acak (Model II) σ2αβ=0 (tidak ada keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan) σ2αβ>0 (terdapat keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan) σ2α=0 (tidak ada keragaman dalam populasi taraf faktor A) σ2α>0 (terdapat keragaman dalam populasi taraf faktor A) σ2β=0 (tidak ada keragaman dalam populasi taraf faktor B) σ2β>0 (terdapat keragaman dalam populasi taraf faktor B)

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

7

Analisis Ragam: Model linier percobaan faktorial dengan rancangan dasar RAL adalah sebagai berikut:

Yijk = Model + Galat Yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk Yijk = Y ... + (Y i .. − Y ... ) + (Y . j. − Y ... ) + (Y ij . − Y i .. − Y . j. + Y ... ) + (Yijk − Y ij . ) (Yijk − Y ... ) = (Y i .. − Y ... ) + (Y . j. − Y ... ) + (Y ij . − Y i .. − Y . j. + Y ... ) + (Yijk − Y ij . ) Apabila kedua ruas dikuadratkan, maka kita akan mendapatkan: Definisi

Pengerjaan

FK JKT

Y ...2 abr

∑∑∑ (Yijk − Y ...)2 i =1 j =1 k =1

JK(A)

∑∑∑ (Yi.. − Y ...)2 i =1 j =1 k =1

JK(B)

∑∑∑ (Y. j... − Y ...)2 i =1 j =1 k =1

JK(AB)

∑∑∑ (Y

ij .

i =1 j =1 k =1

− Yi ... − Y.. j . + Y ...)2

∑Y

i , j ,k

∑∑∑ (Y i =1 j =1 k =1

ijk

− Yij . )2

2

− FK

Yi .. 2 ∑i br − FK

Y. j. 2

∑ ar

− FK

j

∑ i,j

JKG

ijk

Yij . 2 r

− FK − JKA − JKB

JKT – JKA – JKB -JKAB

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

8

Tabel 2. Nilai Harapan Kuadrat tengah Rancangan Factorial Dua Factor Dalam Rancangan Acak Lengkap Sumber keragaman

Kuadrat Tengah

E(KT) Faktor A dan B tetap

Faktor A dan B acak

σ + rb∑α i /(a − 1)

A

KT(A)

B

KT(B)

σ + ra ∑ β j 2 /(b − 1)

σ 2 + rσ αβ 2 + raσ β 2

AB

KT(AB)

σ + r ∑ (αβ )ij 2 /(a − 1)(b − 1)

σ 2 + rσ αβ 2

Galat

KTG

σ

σ2

A

KT(A)

B

KT(B)

σ + raσ β

AB

KT(AB)

σ + rσ αβ

Galat

KTG

σ2

σ 2 + rσ αβ 2 + rbσ α 2

2

2

i

2

j

2

ij

2

Faktor A tetap dan B acak

σ + rσ αβ + rb∑α i /(a − 1) 2

2

2

i

2

2

Faktor B tetap dan A acak

σ 2 + rbσ α 2 σ 2 + rσ αβ 2 + ra ∑ β j 2 /(b − 1) j

2

σ + rσ αβ

2

2

2

σ2

Dengan menggunakan nilai harapan kuadrat tengah di atas, kita bisa menyusun Tabel Analisis Ragamnya. Tabel analisis ragam percobaan faktorial dengan dua faktor dalam rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut : Tabel 3. Analisis Ragam Rancangan Factorial Dua Factor Dalam Rancangan Acak Lengkap Sumber keragaman Perlakuan A B AB Galat Total

Derajat Bebas ab-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(r-1) abr-1

Jumlah Kuadrat JKP JK(A) JK(B) JK(AB) JK(G) JKT

Kuadrat Tengah KTP KT(A) KT(B) KT(AB) KTG

F-hitung KTP/KTG KT(A)/KTG KT(B)/KTG KT(AB)/KTG

F-tabel F(α, db-P, db-G) F(α, db-A, db-G) F(α, db-B, db-G) F(α, db-AB, db-G)

Apabila terdapat pengaruh interaksi, maka pengujian hipotesis terhadap pengaruh utama tidak perlu dilakukan. Pengujian terhadap pengaruh utama akan bermanfaat apabila pengaruh interaksi tidak nyata. Kaidah keputusan tolak Ho apabila nilai F > Fα(db1, db2), dan sebaliknya terima Ho. Galat Baku Galat baku (Standar error) untuk perbedaan di antara rata-rata perlakuan dihitung dengan formula berikut: Perbandingan dua rata-rata Faktor A:

SED = SY =

2KTG rb © 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

9

Perbandingan dua rata-rata Faktor B:

SED = SY =

2KTG ra

Perbandingan interaksi dua rata-rata Faktor AxB:

SED = SY =

2KTG r

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

10