117_mc_kontras

Kontras Ortogonal Metoda analisis ragam berguna dan merupakan alat yang handal untuk membandingkan beberapa rata-rata perlakuan. Dalam membandingkan t perlakuan, hipotesis null menyatakan bahwa semua rata-rata perlakuan tidak berbeda (H0: µ1 = µ2 = ... = µt). Apabila uji F nyata, maka HA diterima, yang menyatakan bahwa tidak semua rata-rata perlakuan sama atau adalah salah satu rata-rata perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya. Selanjutnya dilakukan perbandingan untuk menentukan perlakuan mana yang berbeda dengan mengurai Jumlah Kuadrat Perlakuan untuk pengujian F tambahan untuk menjawab beberapa pertanyaan yang sudah direncanakan. Metoda kontras atau orthogonal untuk memisahkan rata-rata memerlukan tingkat pengetahuan tertentu yang bersifat a priori, baik berdasarkan pertimbangan keilmuan tertentu atau berdasarkan hasil penelitian sebelumnya. Hal inilah yang menyebabkan metode ini disebut juga dengan Uji F yang terencana. Jika peneliti punya pertanyaan spesifik yang perlu dijawab, perlakuan dirancang untuk menyediakan informasi dan uji statistik yang akan menjawab pertanyaan tersebut. Peneliti yang berpengalaman akan memilih perlakuan sehingga Jumlah Kuadrat Perlakuan bisa diurai untuk menjawab beberapa pertanyaan bebas sesuai dengan nilai derajat bebas perlakuan yang terdapat pada analisis ragam. Konsekuensinya, nama lain dari uji ini adalah uji derajat bebas tunggal. Apabila perbandingan saling bebas, maka dikatakan orthogonal. Definisi Kontras dan Keortogonalan Kontras adalah jumlah linier dalam bentuk: m

m

i =1

i =1

Q = ∑ c i Yi . ; dengan∑ c i = 0 Jumlah koefisien dalam setiap perbandingan harus bernilai nol, Yi . adalah rata-rata perlakuan(bisa juga dalam bentuk jumlah perlakuan), dan m ≤ t, adalah banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan. Untuk kemudahan dalam perhitungan, nilai koefisien ci biasanya bilangan bulat. Kontras selalu mempunyai derajat bebas tunggal (derajat bebas = 1). Misalkan Qc =

m

∑c Y ; i =1

i i.

m

dan Qd ∑ d i Yi . adalah dua kontras. Keduanya bersifat orthogonal apabila i =1

jumlah hasil kali koefisien-koefisien yang sesuai pada dua atau lebih perbandingan bernilai nol. m

m

i =1

i =1

∑ c i d i = 0 (atau∑ c i d i / ni = 0 untuk rancangan yang tidak seimbang)

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

46

Tujuan utama dari kontras orthogonal adalah untuk memisahkan Hipotesis null menjadi beberapa kombinasi perbandingan rata-rata. Sifat keortogonalan sangat penting karena alasan berikut: untuk t-1 pembanding yang saling orthogonal dari t buah perlakuan, maka jumlah kuadrat dari semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan aslinya. Hal ini berarti perlakuan percobaan dapat diurai menjadi t-1 buah percobaan yang bebas dan terpisah, satu untuk setiap pembanding. Contoh Misalkan kita ingin menguji tiga perlakuan, T1, T2 dan T3 (kontrol), sehingga terdapat 2 derajat bebas dari perlakuan. Perlakuan tersebut kita nyatakan dengan μ1, μ2,, dan μ3. Hipotesis nullnya: H0: μ1 = μ2 = μ3. Karena derajat bebasnya = 2, maka terdapat dua jenis perbandingan yang mungkin dibuat. Misalnya untuk menguji hipotesis apakah T1 dan T2 tidak berbeda nyata dengan kontrol (T3): μ1 = μ3. dan μ2 = μ3. Untuk μ1 = μ3 (1μ1 + 0μ2 -1μ3= 0) koefisiennya adalah : c1 = 1, c2 = 0, c3 = -1 Untuk μ2 = μ3 (0μ1 + 1μ2 -1μ3= 0) koefisiennya adalah: d1 = 0, d2 = 1, d3= -1 Kombinasi linier rata-ratanya merupakan kontras jika jumlah dari semua ci sama dengan nol: m

∑c i =1

= 0 : (1 + 0 + (-1) = 0).

i

Meskipun demikian, kontras tersebut tidak bersifat saling orthogonal karena: m

∑c d i =1

i

i

≠ 0 (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 0 + 0 + 1 = 1).

Hal ini menunjukkan bahwa tidak setiap pasangan hipotesis bisa diuji dengan menggunakan pendekatan ini. Sebagai tambahan, agar penjumlahan bernilai 0, koefisien ci hampir selalu bernilai integer (bilangan bulat). Untuk t = 3, misalnya pasangan koefisiennya adalah c1 = 1, c2 = 1, c3 = -2; and d1 = 1, d2 = -1, d3 = 0. Hipotesis didefinisikan berdasarkan koefisien orthogonal adalah 1) ratarata dua perlakuan tidak berbeda dengan kontrol, 2) μ1 tidak berbeda nyata dengan μ2. Kedua pembanding tersebut adalah kontras karena (1 + 1 + (-2) = 0 dan 1+ (-1) + 0= 0) dan bersifat orthogonal karena (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 1 + (-1) + 0 = 0).

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

47

Perbandingan Grup Penerapan pertama dari kontras orthogonal adalah untuk pembandingan dalam grup. Ini adalah Analisis Ragam pada grup rata-rata. Untuk memudahkan pemahaman penggunaan kontras orthogonal dalam perbandingan grup, kita akan menggunakan contoh data pada Tabel berikut. Analisis ragamnya diberikan pada Tabel berikutnya. Tabel 1. Hasil (mg berat tanaman bagian atas, shoot) percobaan RAL untuk menentukan pengaruh perlakuan benih oleh berbagai jenis asam pada tahap pembenihan. Perlakuan Control HCl*) Propionic **) Butyric **)

1

2

4.23 3.85 3.75 3.66

4.38 3.78 3.65 3.67

Ulangan 3 4.1 3.91 3.82 3.62

4

Jumlah (Yi.)

5

3.99 3.94 3.69 3.54

4.25 3.86 3.73 3.71 Y.. = 77.13

20.95 19.34 18.64 18.2

Y .. =

Rataan 4.19 3.87 3.73 3.64

Yi .

3.86

* = anorganik, ** = organik

Tabel 2.

Analisis Ragam

Sumber Ragam Total Treatment Exp. Error

db

JK

19 3 16

1.0113 0.8738 0.1376

KT 0.2912 0.0086

Fhit 33.87

Untuk percobaan tersebut, peneliti mungkin mempunyai beberapa pertanyaan yang sudah dirancang untuk menjawab: 1. Apakah perlakuan asam menurunkan pertumbuhan benih? 2. Apakah asam organik berbeda dibandingkan dengan asam anorganik? 3. Apakah terdapat perbedaan pengaruh diantara kedua asam organik? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, tabel koefisien pembandingan linier diantara perlakuan disajikan pada tabel berikut. Tabel 3. Koefisien orthogonal untuk memisahkan jumlah kuadrat perlakuan pada Tabel Analisis Ragam ke dalam tiga uji yang saling bebas.

Perbandingan Control vs. acid Inorganic vs. organic Between organics

Jumlah Rata-rata

Control 20.95 4.19 +3 0 0

HC1 19.34 3.87 -1 -2 0

Propionic 18.64 3.73 -1 +1 +1

Butyric 18.2 3.64 -1 +1 -1

Koefisien bisa digunakan untuk membagi Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) ke dalam tiga komponen, masing-masing dengan satu derajat bebas yang akan digunakan pada Uji F untuk setiap perbandingan. Nilai kritis F berdasarkan pada 1 derajat bebas untuk pembilang dan db galat untuk pembagi (Uji F dengan derajat bebas tunggal). Aturan untuk menentukan nilai koefisien pada perbandingan grup (Little &Hills p 66). 1. Pada perbandingan rata-rata dari dua grup, masing-masing grup yang mempunyai perlakuan yang sama diberi koefisien yang sama, +1 untuk salah satu grup dan -1 untuk grup lainnya. Kasus serupa bisa diterapkan untuk perbandingan yang lebih kompleks, lebih dari dua grup. © 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

48

2. Dalam membandingkan grup yang jumlah perlakuannya berbeda, pada grup pertama berikan nilai koefisien yang sama dengan banyaknya grup kedua, dan pada grup kedua berikan koefisien yang bernilai seragam sampai jumlahnya sama dengan jumlah grup yang pertama. Contohnya, apabila ada 5 perlakuan yang akan dibandingkan, grup pertama ada 2 buah perlakuan dan grup kedua ada 3 perlakuan. Nilai koefisien untuk grup yang pertama harus bernilai 3 (sama dengan banyaknya grup kedua, 3 buah perlakuan) dan nilai koefisien untuk masing-masing perlakuan pada grup kedua harus bernilai -2 (kenapa -2? jumlah koefisien ketiga perlakuan harus sama dengan jumlah grup yang pertama, 3+3=6, hanya saja tandanya harus “-“) , sehingga koefisien untuk masing-masing perlakuan seharusnya: +3, +3, -2, -2, -2. 3. Koefisien untuk setiap perbandingan sebisa mungkin bilangan bulat terkecil untuk setiap perhitungan. Misalnya koefisien: +4, +4, -2, -2, -2, -2. seharusnya disederhanakan (semuanya dibagi 2) menjadi bilangan bulat terkecil : +2, +2, -1, -1, -1, -1. 4. Unsur-unsur perbandingan mungkin terdapat interaksi dari dua atau lebih perbandingan. Nilai koefisien untuk perbandingan interaksi tersebut ditentukan dengan cara multiplikasi (perkalian) dari koefisien-koefisien yang bersesuaian dari kedua perbandingan (Tabel 4). Tabel 4. Percobaan pemupukan dengan 4 perlakuan, 2 taraf untuk N dan 2 taraf untuk P. di antara N di antara P Interaksi NP

-1 -1 1

N0 P 0

N0 P 1

-1 1 -1

1 -1 -1

N1 P 0

1 1 1

N1 P 1

Koefisien untuk 2 perbandingan pertama diperoleh dari aturan pertama. merupakan jumlah perkalian antara nilai koefisien dari kedua baris tersebut.

Koefisien interaksi

Catatan, jumlah koefisien pada masing-masing perbandingan harus bernilai nol dan jumlah hasil kalinya (cross products)juga harus bernilai nol. Apabila kedua persyaratan tersebut dipenuhi, maka perbandingan tersebut dikatakan orthogonal, sehingga kesimpulan yang diambil pada salah satu perbandingan tidak tergantung pada perbandingan grup lainnya. Perhitungan jumlah kuadrat untuk Uji F dengan derajat bebas tunggal untuk kombinasi linier ratarata perlakuan adalah sebagai berikut:

JK (Q) = KT (Q) =

(∑ c i Yi . ) 2 1 / r ∑ c i2

atau

(∑ c i Yi . ) 2

∑c

2 i

/ ri

untuk rancangan yang tidak seimbang

JK1 (control vs. acid)

= [3(4.19) – 3.64 – 3.73 – 3.87]2 / [(12)/5] = 0.74

JK1 (Inorg. vs. org.)

= [3.64 + 3.73 – 2(3.87)]2 / [(6)/5] = 0.11

JK1 (antara org.)

= [-3.64 + 3.73]2 / [(2)/5] = 0.02

Tabel 5. Penguraian Jumlah Kuadrat Perlakuan pada Perbandingan ortogonal.

Sumber Ragam Perlakuan Control vs. acid Inorg. vs. Org. Antara Org. Galat Total

db 3 1 1 1 16 19

JK 0.8738 0.7415 0.1129 0.0194 0.1376 1.0113

KT Fhitung F0.05 F0.01 0.2912 33.87 ** 3.239 5.292 0.7415 86.22 ** 4.494 8.531 0.1129 13.13 ** 4.494 8.531 0.0194 2.26 tn 4.494 8.531 0.0086

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

49

Dari analisis di atas kita bisa menyimpulkan bahwa ketiga perlakuan asam sangat nyata mengurangi pertumbuhan benih, asam organik menyebabkan penurunan pertumbuhan benih yang lebih besar dibandingkan dengan asam anorganik, dan tidak terdapat perbedaan di antara perlakuan asam organik. Jumlah derajat bebas tunggal perbandingan grup sama dengan db perlakuan. Hal tersebut akan terjadi apabila masing-masing perbandingannya bersifat orthogonal. Banyaknya perbandingan grup orthogonal sama dengan derajat bebas perlakuannya. Apabila perbandingan tidak bersifat orthogonal, jumlah kuadrat untuk perbandingan grup tertentu mungkin mewakili (atau diwakili oleh) bagian jumlah kuadrat perbandingan grup yang lainnya. Oleh karena itu, kesimpulan yang diperoleh dari salah satu uji mungkin dipengaruhi oleh uji perbandingan lainnya dan jumlah kuadrat dari masing-masing perbandingan tidak akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan. Tips dalam Pembandingan rata-rata 1. Pilih perbandingan berpasangan apabila tidak ada perlakuan yang akan dibandingkan dengan kontrol. 2. Gunakan perbandingan dengan kontrol apabila kita akan membandingkan perlakuan dengan kontrol (Dunnet). Penyajian Tabel Rata-rata Perlakuan Selain cara yang sudah disebutkan di atas, terdapat beberapa cara dalam penyajian perbedaan diantara rata-rata perlakuan, yaitu dalam bentuk crosstabulasi selisih rata-rata atau peluang, pemberian garis yang sama untuk rata-rata perlakuan yang tidak berbeda, dan dalam bentuk grafik. Dalam Selisih perbedaan nilai rata-rata perlakuan:

Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan

Rataan 28.82 23.98 14.64 19.92 13.26 18.7

28.82 4.84 14.18 8.9 15.56 10.12

23.98 4.84 9.34 4.06 10.72 5.28

14.64 14.18 9.34 5.28 1.38 4.06

19.92 8.9 4.06 5.28 6.66 1.22

13.26 15.56 10.72 1.38 6.66 5.44

18.7 10.12 5.28 4.06 1.22 5.44

Keterangan: apabila perbedaan rata-ratanya >4.482 mg, maka kedua perlakuan tersebut berbeda nyata

Dalam bentuk peluang: Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan

Rataan 28.82 23.98 14.64 19.92 13.26 18.7

{1}

0.035 0.000 0.000 0.000 0.000

{2} 0.035 0.000 0.074 0.000 0.023

{3} 0.000 0.000 0.023 0.531 0.074

{4} 0.000 0.074 0.023 0.005 0.579

{5} 0.000 0.000 0.531 0.005 0.019

{6} 0.000 0.023 0.074 0.579 0.019

Keterangan: apabila nilai peluangnya < α=0.05, maka kedua perlakuan tersebut berbeda nyata

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

50

Dalam bentuk notasi: No 5 3 6 4 2 1

Perlakuan 3Dok13 3Dok4 Gabungan 3Dok7 3Dok5 3Dok1

Rataan 13.26 14.64 18.70 19.92 23.98 28.82

1 13.26 14.64

2 14.64 18.70

3 18.70 19.92

4

19.92 23.98

5

28.82

Notasi a ab bc cd d e

Setelah urutannya dikembalikan berdasarkan urutan perlakuan: No 1 2 3 4 5 6

Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan

Rataan 28.82 23.98 14.64 19.92 13.26 18.70

e d ab cd a bc

Keterangan: angka yang diikuti dengan huruf yang sama pada satu kolom tidak berbeda nyata pada taraf nyata 5% menurut uji LSD

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

51

© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata

52