Vortrag

2x2 Bimatrixspiele Mahdi Rahimi, Stefan Schmelzer

November 25, 2008

Replikatorgleichung

x˙ i = xi [(Ay )i − xAy ]

h i y˙ j = yj (Bx)j − yBx

 A=

a b c d



 B=

α β γ δ



F¨ uhren Matrizen u ¨ber in

 A=

0 a12 a21 0



 B=

0 b12 b21 0



mit a12 = b − d a21 = c − a b12 = β − δ b21 = γ − α

Da x2 = 1 − x1 nehmen wir f¨ ur Strategie 1 x und f¨ ur Strategie 2 (1 − x).

x˙ = x (1 − x) (a12 − (a21 + a12 ) y )

y˙ = y (1 − y ) (b12 − (b21 + b12 ) x)

Falls a12 a21 < 0 dann dominiert eine Strategie die andere (positive Strategie dominiert negative)

Analog f¨ ur b12 b21 < 0

¯ = F¨ ur a12 a21 > 0 gibt es den Fixpunkt X



b12 a12 b21 +b12 , a21 +a12



.

¯ ein Sattelpunkt. F¨ ur a12 b12 > 0 ist der Fixpunkt X

F¨ ur a12 b12 < 0 liefern die Eigenwerte der Jacobimatrix imagin¨are L¨osungen.

0 JX¯ =

a21 − (b12 + b21 ) (a a12+a )2 12

21

b21 − (a12 + a21 ) (b b12+b )2 12

0

21

!

Nehmen Replikatorgleichung und dividieren durch xy (1 − x) (1 − y ) a21 1−y

x˙ =

a12 y

−

x˙ =

∂H ∂y

y˙ = − ∂H ∂x

y˙ =

b12 x

−

b21 1−x

Hamilton’sches System mit H (x, y ) = a12 log (y ) − a21 log (1 − y ) − b12 log (x) − b21 log (1 − x)

⇒ H˙ ≡ 0 ⇒ periodische Orbits

Degenerierter Fall F¨ ur a12 a21 = 0 oder b12 b21 = 0 Falls a12 = 0 (analog f¨ ur b12 = 0) x˙ = x (1 − x) (−a21 y ) y˙ = y (1 − y ) (−b21 x) Dann ist f¨ ur x bel. und y = 0 ein Fixpunkt gegeben(analog f¨ ur y bel. und x = 0) Falls a21 = 0 (analog f¨ ur b21 = 0) x˙ = x (1 − x) (a12 (1 − y )) y˙ = y (1 − y ) (b12 (1 − x)) Dann ist f¨ ur x bel. und y = 1 ein Fixpunkt gegeben(analog f¨ ur y bel. und x = 0)

Nullsumme, Potential, Weder Noch Finde ein Spiel, dass ¨aquivalent zu Nullsummenspiel und Potentialspiel ist.

Spiel ¨aquivalent zu Potentialspiel ⇔ ∃α > 0 : a11 − a12 − a21 + a22 = α (b11 − b12 − b21 + b22 ) Spiel ¨aquivalent zu Nullsummenspiel ⇔ ∃β < 0 : a11 − a12 − a21 + a22 = β (b11 − b12 − b21 + b22 ) Sei a11 − a12 − a21 + a22 = a und b11 − b12 − b21 + b22 = b. Dann gilt a = αb α > 0 und a = βb β < 0 ⇔ a = b = 0 F¨ ur a11 + a22 = a12 + a21 und b11 + b22 = b12 + b21 gilt Vorraussetzung.

Analog gilt, dass es weder ein Potential-, noch ein Nullsummenspiel ist, wenn es kein α > 0 oder β < 0 gibt, so dass a = αb oder a = βb ⇔ a = 0, b 6= 0 oder b = 0, a 6= 0.