Vectores En R3

  • Uploaded by: Miguel Flores
  • 0
  • 0
  • November 2019
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Vectores En R3 as PDF for free.

More details

  • Words: 2,987
  • Pages: 12
Vectores en R3

MOISES VILLENA

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Definición Enfoque geométrico Igualdad Operaciones Aplicaciones Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • • •

• •

Represente geométricamente un vector de R 3 Determine magnitud y dirección de un vector. Sume vectores, multiplique por un escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores Obtenga el área de un paralelogramo sustentados por dos vectores. Obtenga el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

1

Vectores en R3

MOISES VILLENA

Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio. 1.1 DEFINICIÓN

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: →

v = ( x, y , z )

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO Geométricamente a un vector de R como un segmento de recta dirigido.

3

se lo representa en el Espacio

Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 →

hacia P2 tenemos una

⎯ ⎯→

representación del vector v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 ) z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) →

v

P1 = ( x1 , y1 , z1 ) y

x

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida. z

P ( x, y , z ) →

v

y

x

2

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1.2.1 Magnitud o norma →

Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v





denotada como v , se define como: →

v = x2 + y2 + z 2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. →

Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería: →

v =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

1.2.2 Dirección →

La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z z



γ

α

v

β y

x

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.

3

Vectores en R3

MOISES VILLENA

Observe que: Cosα =

x →

=

v y

Cosβ =



y →

x2 + y2 + z2

y

=

x + y2 + z2 2

v

Cosγ =

x

y

=

x2 + y2 + z2

v

Ejercicio. Demostrar que cos

2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

1.2.3 Sentido →

El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta. 1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R

3





Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2 1.4 OPERACIONES 1.4.1 Suma →



3 Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que





v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la →







suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se define como: →



v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )

4

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1.4.1.1 Propiedades →





Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces: →







1.

v1 + v2 = v2 + v1

2.

→ → → → → → v1 + ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 + v2 ⎞⎟ + v3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ →

3.

la suma es conmutativa





la suma es asociativa →



∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v , 3

3



Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro → ⎛− → ⎞=→ ⎛ − →v ⎞ ∈ R 3 + v v ∃ ∀v∈R , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 tal que ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

4.

3

⎛ ⎝



⎞ ⎠



Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v

Geométricamente:

v +

v1



v1 = ( x1 , y1 , z1 )



2



z



v2 = (x2 , y 2 , z 2 )

y

x →



Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia.

1.4.2 Multiplicación por escalar →

Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3 entonces: →

α v = (αx, αy, αz ) 5

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1.4.2.1 Propiedades → → → → ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ 1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢α ⎜ v1 + v2 ⎟ = α v1 + α v2 ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ → → → → 3⎡ ⎤ 2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥ ⎣ ⎦ → → 3⎡ ⎛ ⎞ = (αβ ) →v ⎤ α , β R , v R α β v ∀ ∈ ∀ ∈ 3. ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠ →

Cualquier vector de



3



v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en

R3 , →



combinación lineal de los vectores i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1) →



v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1) →







v = x i + y j+ z k

1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno →



Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores →



de R 3 . El Producto escalar de v1 con v2 denotado →



como v1 • v2 se define como: →



v1 • v2 = x1 x2 + y1y2 + z1 z 2 Ejemplo →



Si v1 = (3,1,−2) y v 2 = (− 1,4,0) entonces →



v1 • v 2 = (3)(− 1) + (1)(4) + (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1

1.4.3.1 Propiedades →



Sean v1 y v2 vectores de R 3 . Entonces: →







1. v1 • v2 = v2 • v1

6

Vectores en R3

MOISES VILLENA

2. v1 • ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = v1 • v2 + v1 • v2 →

















⎛ α v ⎞ • ⎛ β v→ ⎞ = αβ⎛ v→ • v→ ⎞ 3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ →



Si v = ( x, y, z ) entonces: →



v • v = ( x, y , z ) • ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .





→ 2

Por lo tanto v • v = v





o también v =



v• v

1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz →



Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores de R 3 . El Producto Vectorial de →





v1 con v2



denotado como v1 × v2 se define como: →



v1× v2 = ( y1 z 2 − z 1 y2 ,−( x1 z 2 − x2 z1 ), x1 y2 − y1 x2 ) Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

i

j

k

v1 × v2 = x1

y1

z1

x2

y2

z2





Ejemplo. →



Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces

i v1 × v 2 = 1 →



j 2

2 −1

k − 1 = −i − 2 j − 5k 0

7

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1.4.4.1 Propiedades. →





Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 1. El vector ⎛⎜ v1× v2 ⎞⎟ es tanto perpendicular a ⎝ ⎠ →







v1 como a v 2

2. El sentido del vector ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ se lo puede ⎝ ⎠ obtener empleando la mano derecha. →





Mientras los dedos se dirigen desde v1 →

hacia v2 , el pulgar indica la dirección de → → ⎛⎜ v × v ⎞⎟ . ⎝ 1 2⎠ →



v1× v2



v2 • •



v1

3. v1 × v2 = −⎛⎜ v2 × v1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ →













4. v1 × v1 = 0 →









5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0 → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 6. ⎜ α 1 v1 ⎟ × ⎜ α 2 v2 ⎟ = α 1α 2 ⎜ v1 × v2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → → → → 7. v1 × ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ + ⎛⎜ v1 × v3 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 → → → → → → 8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛⎜ v1 • v 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado muy importante:

8

Vectores en R3

MOISES VILLENA



→ 2

v1 × v 2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1 →

→ 2

v1 × v 2

v2

⎛→ →⎞ − ⎜ v1 • v 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎛ → → ⎞ − ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟ ⎝ ⎠ → 2 → 2

− v1

v2

2

cos 2 θ

[1 − cos θ ] 2

→ 2 → 2

= v1

v 2 sen 2θ

Finalmente: →







v1 × v 2 = v1 v 2 senθ

1.5 APLICACIONES 1.5.1 →

CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES. →

Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura: →

v1



v1 h

θ

→ →

v2

v2 →

Tomando como base a v2 , tenemos: Area = base • altura →

= v2 h Observe que senθ =

h →





entonces Area = v 2 v1 senθ

v1

Y por la propiedad del producto cruz: →



Area = v1 × v 2

9

Vectores en R3

MOISES VILLENA

Ejemplo 1 →

Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y →

v 2 = (2,−1, 0 ) SOLUCIÓN: →



El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir: →



v1 × v 2 Area Triángulo = →

i



j

2

k

Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k 2 −1 0 entonces →



v1 × v 2 Area Triángulo =

=

2

(− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2 2

=

30 2

Ejemplo 2 Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y

(− 2,0,1) SOLUCIÖN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P2 (1,1,1) →

v1 P1 (1,−2,0 )



P3 (− 2,0,1)



v2



En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − (−2), 1 − 0 ) = (0,3,1) →



v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)

Entonces,

i v1 × v 2 = 0 →



j k 3 1 = i − 3 j − 9k

−3 2 1 →



v1 × v 2 Area Triángulo =

2

=

(1)2 + (− 3)2 + (9)2 2

=

91 2

10

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1.5.2 →

CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES →



Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.





v1 × v 2



h

v3 →

h

v2

• →

v1 →



Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura →





h del paralelepípedo será la proyección escalar v3 sobre v1 × v2 , entonces:

Volumen = Area base × altura →



Donde Area base = v1 × v 2

altura = h = Pr oy →



v1 ×v2

⎛→ →⎞ → ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 → v3 = ⎝ → ⎠→ v1 × v 2

Por tanto.

⎛ v→ × v→ ⎞ • v→ 2 ⎟ 3 → → ⎜ 1 ⎝ ⎠ Volumen = v1 × v2 → → v1 × v2 Finalmente, simplificando resulta: → → → Volumen = ⎛⎜ v1 × v 2 ⎞⎟ • v3 ⎝ ⎠

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO →





ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del →





paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.

11

Vectores en R3

MOISES VILLENA

Ejemplo →

Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) , →



v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) . SOLUCIÖN.

Por lo definido anteriormente,

1 −2 1 ⎛→ →⎞ → Volumen = ⎜⎜ v1 × v 2 ⎟⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3 ⎝ ⎠ 1 2 3

Ejercicios propuestos →



1. Sean los vectores V1 = 3iˆ − 2 ˆj + 4kˆ y V2 = 3iˆ + 3 ˆj − 2kˆ . →



a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 . →



b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 . ⎯ ⎯→ →

(

Resp. a) Pr oy → V1 = − 15 ,− 15 , 10 22 22 22 V2



)

b)



2. Sean los vectores A = Ax iˆ − 5 ˆj + 2kˆ y B = −3iˆ + 2 ˆj − B z kˆ . Calcule los valores de Ax y → →

Bz para los cuales A× B es paralelo a:

a) al eje

Resp. a) Ax =

x Bz =

15 2

b) al eje

y

b) Ax = 15 2

4 5

Bz =

4 5

3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6) Resp. Area =

174 2

4. Dados tres vectores V1 = (5,2,6) , V2 = (−1,8,3) , V3 = (2,−7,4) forman un tetraedro con Resp. h =

vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

77 746

5. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. h = 938 5459

6. Sean u w3 =

1 2 →

y

vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v ,

v

(u + v ) . Hallar

w1 • (w2 × w3 )

Resp. 0 →

7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el →



vector W = U −

→ →

U•V →

2





V es ortogonal a V .

V →











8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para escalares cualquiera

cyd. →



9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y → 1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ C , es ⎜⎜ B − A ⎟⎟ × ⎜⎜ C − A ⎟⎟ 2⎝ ⎠ ⎠ ⎝ → →









10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble →





del volumen del tetraedro de aristas A , B y C . 11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

12

Related Documents

Vectores En R3
November 2019 27
Geometria Analitica En R3
November 2019 42
Vectores En R2
June 2020 4
Sena Vectores En C++
May 2020 10
Vectores En 3d
April 2020 10
Vectores En Rn
July 2020 18

More Documents from ""

December 2019 41
December 2019 35
October 2019 56
December 2019 21
December 2019 18