Vectores En Rn

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1 1.1 1.2 1.3 1.4

DEFINICIÓN ENFOQUE GEOMÉTRICO IGUALDAD OPERACIONES

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de

IR 2 . Pero el interés ahora es ser más generales.

1

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.1 DEFINICIÓN n

Un vector de es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos de la siguiente manera: →

v = ( x1 , x2 ,

, xn )

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado vector de

2

.

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada un vector de

( x, y ) , será un

3

( x, y, z ) , será

. 2

Considerar a los vectores de

como pares ordenados o a los

3

vectores de como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 2

Un vector de se lo representa en el Plano Cartesiano como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 ) y

P2 ( x2 , y 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2

tenemos una representación del vector →

⎯ ⎯→

v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) y

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P1 P2

P1 ( x1 , y1 )

x

2

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el plano cartesiano. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida. Surgen características importantes cuando obtenemos una representación geométrica de un vector. Características como la longitud del segmento de recta, la medida de la inclinación de este segmento y hacia donde apunta la flecha que se ubica este segmento. y

→

→

v = ( x, y )

v

θ x

1.2.1 MAGNITUD O NORMA →

Sea v = ( x, y ) un vector de R 2 . La magnitud o norma →

→

de v denotada como v , se define como: →

v = x2 + y2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. →

Para

→

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería v =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

3

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.2.2 DIRECCIÓN →

La dirección de v = ( x, y ) está definida por la medida del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento de recta; es decir, por el ángulo θ . Observe que:

θ = arctan

y x

Si el ángulo θ es medido en sentido antihorario se dirá que tiene dirección positiva, caso contrario se lo considera negativo. →

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería θ = arctan

y2 − y1 x2 − x1

1.2.3 SENTIDO →

El sentido de v = ( x, y ) lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta. →

Para

⎯ ⎯→

v = P2 P1 = ( x1 − x2 , y1 − y2 ) tenemos: y

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P2 P1

P1 ( x1 , y1 )

x

4

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

3

La representación Geométrica para un vector de 2

IR 2 , IR3 ,…, IR n

sería análoga a

P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ). Si dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una

. Suponga que se tienen los puntos

trazamos un segmento de recta →

representación del vector

⎯⎯→

v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 ) z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) →

v

P1 = ( x1 , y1 , z1 ) y

x

Su representación con punto de partida el origen sería:. z

P ( x, y , z ) →

v

y

x

→

La magnitud o norma de v = ( x, y, z ) se define como: →

v = x2 + y2 + z 2 5

Vectores en

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ) sería: →

v =

(x

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) 2

2

2

2

→

La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z

z

→

γ

α

v

β y

x

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores. Observe que: Cosα =

x →

=

v Cosβ =

y →

=

v Cosγ =

y →

v

6

=

x x2 + y2 + z2 y x + y2 + z2 2

y x2 + y2 + z2

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Ejercicio. Demostrar que cos

2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

Para más dimensiones no disponemos de interpretación geométrica. Pero podemos hacer generalizaciones. →

v = ( x1 , x2 , x3 ,…, xn ) , entonces la norma del

Si

→

vector v se define como: →

v =

x12 + x2 2 + x3 2 + … + xn 2

1.3 IGUALDAD →

→

Sean v 1 = ( x1 , x2 , x3 ,…, xn ) y v 2 = ( y1 , y2 , y3 ,…, yn ) vectores de

(x

1

n

→

→

. Entonces v 1 = v 2 , si y sólo si:

= y1 ) ∧ ( x 2 = y 2 ) ∧ ( x 3 = y 3 ) ∧ … ∧ ( x n = y n )

1.4 OPERACIONES 1.4.1 SUMA Y RESTA →

→

Sean v1 y v2 →

dos vectores de

n

tales que

→

v1 = ( x1 , x2 ,

, xn ) y v2 = ( y1 , y2 ,

, yn ) ,

Entonces: →

→

→

→

1. La suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se define como: →

→

v1 + v2 = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,

, xn + yn ) 7

Vectores en

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→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

→

→

2. La resta de v1 con v2 , denotada como v1 − v2 , se define como: →

→

v1 − v2 = ( x1 − y1 , x2 − y2 ,

, xn − yn )

Ejemplo →

→

Sean V1 = ( −5, 2,1) y V2 = ( 3, 0, −2 ) , dos vectores de

3

→

→

→

→

, hallar V1 + V2 y V1 − V2

SOLUCIÓN: Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: →

→

→

→

V1 + V2 = ( −5 + 3, 2 + 0, 1 + (−2) ) = (−2,2,−1) V1 − V2 = ( −5 − 3, 2 − 0, 1 − (−2) ) = ( −8, 2,3 )

1.4.1.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO Sea la representación que se muestra a continuación para los vectores →

→

v1 = ( x1 , y1 ) y v2 = ( x2 , y2 )

→

Considerando una representación equivalente de →

esté ubicado a continuación de

8

v1

v2

de tal forma que

Vectores en

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

Definiendo el vector

v3 = ( x3 , y3 ) , observe la figura anterior: →

Ahora tenemos que →

Por tanto

→

v2 = ( x3 − x1 , y3 − y1 ) = ( x3 , y3 ) − ( x1 , y1 ) →

v2 = v3 − v1 ; es decir: →

→

→

v3 = v2 + v1 El vector de la diagonal mayor del paralelogramo que sustentan lo →

vectores v1

→

→

→

y v2 es el vector suma de v1 con v2 . →

Por otro lado, definamos el vector

→

v4 , observe la figura:

→

→

v4 = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) = ( x2 , y2 ) − ( x1 , y1 ) = v2 − v1

9

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo →

vectores

→

v1 y v2

es el vector

diferencia. →

v1 − v2 ?.

PREGUNTA: ¿Cómo se representaría

Para

3

→

, el asunto es análogo z

v 1

2

+

v1 = ( x1 , y1 , z1 )

→

v

→

→

→

v2 = (x2 , y 2 , z 2 )

y

x

1.4.1.2 PROPIEDADES →

→

→

Sean v1 , v2 y v 3 vectores de →

1. 2.

→

∃0 ∈

n

→

Donde

→

, ∀v ∈

→

0 = ( 0,0,

→

4.

∀v ∈

n

⎛ ⎞ Donde ⎜ − v ⎟ ⎝ ⎠

n

→

→

→

tal que v + 0 = v .

,0 ) es llamado Vector Neutro

⎛ →⎞ , ∃⎜ − v ⎟ ∈ ⎝ ⎠

→

10

, entonces:

v1 + v2 = v2 + v1 la suma es conmutativa → → → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v1 + ⎜ v2 + v3 ⎟ = ⎜ v1 + v2 ⎟ + v3 la suma es asociativa ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

3.

→

n

n

⎛ ⎞ tal que v + ⎜ − v ⎟ = 0 ⎝ ⎠ →

→

es llamado

Vector Inverso Aditivo de v

→

→

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1.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR →

Sea α ∈ y sea v = ( x1 , x2 , Entonces:

, xn ) un vector de

n

.

→

α v = α ( x1 , x2 , , xn ) = (α x1 ,α x2 , ,α xn ) Ejemplo 1 →

→

Sea v = ( −5, 2,1) un vector de IR3 , hallar 3 v SOLUCIÓN: →

3 v = 3 ( −5, 2,1) = ( −15, 6,3)

Ejemplo 2 →

→

→

→

Sean v1 y v2 dos vectores de IR3 tales que: v1 = ( 3, 0, −2 ) y v2 = (−5, 2,1) . →

→

→

Hallar el vector v = 2 v1 − 3 v2 SOLUCIÓN: →

→

→

v = 2 v1 − 3 v2

→

v = ( 6, 0, −4 ) − ( −15, 6,3)

→

v = ( 21, −6, −7 )

1.4.2.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO →

Si

α ∈R y v∈

1. Si

α > 1,

2

→

v∈

o

3

, entonces:

→

el vector

αv

representa un vector de mayor

→

magnitud que 2. Si

0 <α <1

v →

el vector

αv

representa un vector de

→

menor magnitud que

v →

3. Si

α < −1 el vector α v

representa un vector de mayor →

magnitud y de sentido contrario que

v 11

Vectores en

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4. Si

−1 < α < 0

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

el vector

αv

representa un vector de →

menor magnitud y de sentido contrario que

v

1.4.2.2 PROPIEDADES → →

1. ∀α ∈ , ∀ v1, v2 ∈ →

2. ∀α , β ∈ , ∀ v ∈ →

3. ∀α , β ∈ , ∀ v ∈ →

4. ∀α ∈ , ∀ v ∈

n

→ → ⎡ ⎛→ →⎞ ⎤ + = + α v v α v α v ⎜ ⎟ 1 2 1 2 ⎢ ⎝ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ → → → ⎡ ⎤ α β v α v β v + = + ( ) ⎢⎣ ⎥⎦

n

→ ⎡ ⎛ →⎞ ⎤ = α β v αβ v ( ) ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦

n

→ ⎡ → ⎤ = α v α v ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

n

1.4.2.3 VECTORES UNITARIOS →

Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su norma es igual a 1 , es decir: →

u =1 Ejemplo →

⎛ 1 , 1 ⎞⎟ El vector u = ⎜ es unitario porque ⎝

2

2

⎠

→

u = ⎛⎜ ⎝

1 2

2

⎞⎟ + ⎛⎜ ⎠ ⎝

1 2

2

⎞⎟ = ⎠

→

→

Un vector 12

v

puede ser expresado de la forma

1 2

+ 12 =

→

2 2

=1

→

v = v u

por tanto

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

→

v

u=

→

v Ejemplo →

→

Hallar un vector unitario u para el vector v = (1, 2,3) SOLUCIÓN: →

Aplicando la fórmula u =

→

v →

tenemos:

v →

u=

(1, 2,3)

→

u=

→

1 4 9 + + 14 14 14

→

14 14

u =

14 1

(1, 2,3)

14 2 3 ⎞ ⎛ 1 u =⎜ , , ⎟ ⎝ 14 14 14 ⎠

comprobando u = →

→

u =1

1.4.2.4 VECTORES PARALELOS →

→

→

n

→

Sean v1 y v2 dos vectores de . Entonces v1 y v2 son paralelos si y sólo si el uno es múltiplo escalar del otro; es decir: →

→

v1 = k v2 Observe lo siguiente. →

Si

→

v1 = ( x1 , x2 ,

, xn ) y v2 = ( y1 , y2 ,

, yn ) ;

y si son

paralelos entonces →

( x1 , x2 , ( x1 , x2 ,

→

v1 = k v2

, xn ) = k ( y1 , y2 ,

, yn )

, xn ) = ( ky1 , ky2 ,

, kyn )

Por igualdad de vectores

x1 = kx2 ∧ y1 = ky2 ∧

∧ xn = kyn 13

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

o también

x1 x2 = = y1 y2

=

xn =k yn

Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe proporcionalidad entre sus componentes. Ejemplo →

→

→

→

El vector v1 = (3,−2) es paralelo al vector v2 = (6,−4) porque v 2 = 2 v1 6 −4 =2 porque = 3 −2

o también

→

Por otro lado. Note que cualquier vector de →

expresado en términos de los vectores

R 2 , v = ( x, y ) ,

puede ser

→

i = (1,0 ) y j = (0,1) →

v = ( x, y ) = x(1,0 ) + y (0,1) →

→

= x i+ y j Es decir, tenemos otra representación algebraica del vector. Ejemplo →

→

El vector v = (2,−3) puede ser expresado de la forma v = 2i − 3 j

Un vector de →

vectores

→

R , v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en término de los 3

i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1) →

→

→

v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1) →

→

→

→

v = x i + y j+ z k Ejemplo →

→

El vector v = ( 2, −5,3) también se lo puede denotar de la forma v = 2 i − 5 j + 3 k

14

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

Con lo anterior surge la siguiente definición 1.4.2.5 COMBINACIÓN LINEAL → →

→

→

Sean v1 , v2 , v3 , , vn vectores de n . Una Combinación Lineal de estos vectores es una expresión de la forma: →

→

→

→

a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + … + an vn

donde a1 , a2 , a3 ,..., an ∈ Observe que el resultado de la combinación lineal es otro vector de

n

.

Ejemplo →

→

Con los vectores v1 = (1,3) y v 2 = (5,2) al formar la siguiente combinación lineal →

→

3 v1 − 2 v 2 tenemos: →

→

3 v1 − 2 v 2 = 3(1,3) − 2(5,2 ) = (3,9 ) − (10,4 ) = (− 7,5)

→

El resultado el vector v = (− 7,5)

También puede ser posible expresar un vector en combinación lineal de otros vectores. Ejemplo →

Exprese y encuentre la combinación lineal del vector v = (1,1) en términos de →

→

v1 = (1,3) y v 2 = (5,2) SOLUCIÓN: →

→

→

La combinación lineal v = (1,1) en términos de v1 = (1,3) y v 2 = (5,2) sería: →

→

→

v = α v1 + β v 2

(1,1) = α(1,3) + β(5,2) Ahora, el objetivo sería determinar el valor de α y β .

15

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IR 2 , IR3 ,…, IR n

⎧ α + 5β = 1 ⎨ ⎩3α + 2β = 1

Resolviendo el sistema, obtenemos: α = →

Por tanto

→

3 2 y β= 13 13

→

v = α v1 + β v 2

(1,1) = 133 (1,3) + 132 (5,2)

Ejercicios propuestos 1.1 1.

→

Sean u = (1, −2,3) , →

→

→

v = ( −3, 2,5 ) , w = ( 2, −4,1) . Calcular:

→

→

a) u − v →

→

→

→

→

→

→

d) 2 u − 4 v + 7 w

Dados los vectores v 1 = −3, 4, −2 →

→

→

b) 3 v + 5 w 2.

→

c) u − w− v →

→

v 2 = 3, 4, −6

→

v 3 = 4, −1,5 . Halle un vector v 4 tal

→

que v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = ( −1, 4,5 ) a) −5,−3,−8

b) −5,3,−8

d) 5,−3,−8 3.

c) −5,−3,8

e) −5,−3,−6 →

→

→

→

Sean los vectores de R 3 , v 1 = ( 2, −3,4 ) , v 2 = ( 2,3, −1) , v 3 = ( 4,8, 2 ) , v 4 = (1,0,0 ) . →

→

→

→

→

→

Entonces un vector v tal que v 1 − 2 v 2 − v 3 + v = v 4 , es: →

b) v = ( 6,8,9 )

→

→

e) v = ( 7, −17, −4 )

a) v = ( 7,17, −4 )

→

d) v = ( −7,17, 4 ) 4.

→

c) v = ( 6,8,9 )

→

→

→

Sean los vectores v 1 = (1,3,0 ) , v 2 = ( 2,3,1) v 4 = ( 4, −1, −7 ) , determine los valores de a y b →

→

→

para que la combinación v 3 = a v 1 + b v 2 sea verdadera: d) a = − 14 . b = 13 a) a = 20 . b = 7 3 3 3 b) a = 18. b = −7 e) Elija esta opción si a y b no existe c) a = 20 . b = −7 3 5.

Dados los vectores

→

v

1

=

(1 , − 2 , 2 ) ; →

→

v

2

= →

→

( 2 , − 2 , 0 ); v 3 →

=

(0 , 1 , 7 );

→

v =

(− 2 , 5 , 3 ) ,

→

entonces para que se cumpla que k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = v ; el valor de k 1 + k debe ser: a) -2

16

b) -5

c) -1

d) 5

e) 2

2

+ k3

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR) →

Sean

v1 = ( x1 , x2 , n

vectores de →

, xn )

→

y

v2 = ( y1 , y2 , →

, yn )

→

. El producto punto de v1 y v2 , denotado como

→

v1 • v2 , se define como: →

→

→

→

v1 • v2 = ( x1 , x2 , x3 ,…, xn ) • ( y1 , y2 , y3 ,…, yn ) v1 • v2 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + … + xn yn Note que el resultado del producto punto es un número real.

Ejemplo 1 →

→

Si v1 = ( 3,1) y v2 = ( −1, 4 ) entonces →

→

v1 • v2 = ( 3)( −1) + (1)( 4 ) = −3 + 4 = 1

Ejemplo 2 →

→

→

→

Hallar v1 • v2 para v1 = ( 3, 0, −2 ) y v2 = (−5, 2,1) SOLUCIÓN: →

→

→

→

→

→

→

→

v1 • v2 = (3, 0, −2) • (−5, 2,1) v1 • v2 = (3)(−5) + (0)(2) + (−2)(1) v1 • v2 = −15 + 0 − 2 v1 • v2 = −17

Ejemplo 3 →

Sean v1

→

y v2

dos vectores de →

→

n

tales que:

→

v1 = ( −2,1,3, −1)

y

→

v2 = ( 3, 0, −1, 2 ) . Hallar v1 • v2 SOLUCIÓN: →

→

→

→

v1 • v2 = (−2)(3) + (1)(0) + (3)(−1) + (−1)(2) v1 • v2 = −11

17

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.4.3.1 PROPIEDADES →

→

n

Sean v1 y v2 vectores de →

→

→

. Entonces:

→

1. v1 • v2 = v2 • v1

El producto escalar es conmutativo

2. v1 • ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = v1 • v2 + v1 • v2 ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

→

El producto escalar es distributivo

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3. ⎜ α v1 ⎟ • ⎜ β v2 ⎟ = αβ ⎜ v1 • v2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

→

→

Además, si →

v = ( x1 , x2 ,

→

v • v = ( x1 , x2 , →

Por lo tanto

→

→

, xn ) entonces

, xn ) • ( x1 , x2 ,

→ 2

v• v = v

→

→

o también

, xn ) = x12 + x2 2 + →

+ xn 2

→

v = v• v

1.4.3.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO Suponga que

θ

→

es el ángulo que forman entre si los vectores

Consideremos el triángulo:

Aplicando la ley del coseno, tenemos:

18

→

v1 y v2 .

Vectores en

Moisés Villena Muñoz → 2

→

→ 2

→ 2

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

v2 − v1 = v1 + v2 − 2 v1 v2 cos θ Aplicando propiedades y simplificando:

⎛ v→ − v→ ⎞ • ⎛ v→ − v→ ⎞ = v→ • v→ + v→ • v→ − 2 v→ v→ cos θ ⎜ 2 1⎟ ⎜ 2 1⎟ 1 1 2 2 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

v2 • v2 − v2 • v1 − v1 • v2 + v1 • v1 = v1 • v1 + v2 • v2 − 2 v1 v2 cos θ →

→

→

→

− 2 v1 • v2 = −2 v1 v2 cos θ Finalmente, resulta que: →

→

→

→

v1 • v 2 = v1 v 2 cos θ La utilidad de la última expresión la observamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo →

(

)

→

(

)

Hallar el ángulo θ que forman los vectores v1 = 1, 3 y v 2 = − 3 ,−1 SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos: → →

cos θ =

v1 • v 2 → →

v1 v 2

=

(1, 3 )• (− (1, 3 ) (−

)= −

3 , −1

)

3 ,1

3− 3

(2)(2)

=

−2 3 − 3 = 4 2

Por tanto:

⎛− 3⎞ ⎟=5π θ = arccos⎜⎜ ⎟ 2 6 ⎝ ⎠

Ejercicio Propuesto 1.2 1.

→

→

Dados los vectores: v 1 = (1, 2, −1) y v 2 = ( 2,1,0 ) el resultado de la operación: → → ⎛ → ⎞ ⎛→ ⎞ ⎜ 3 v1 − 2 v 2 ⎟ • ⎜ v 2 − 2 v1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es: a) 13

b) -39

c) -68

d) 39

e) -13

19

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

2.

→

→

Sean los vectores de R 3 , v 1 = ( −1, 2,1) , v 2 = ( −1, −2,1) y v 3 = ( 0, −1,0 ) . Entonces el valor

⎛→ ⎝

⎞ ⎠

→

→

2

de 2 ⎜ v 1 • v 2 ⎟ v 2 a) (0,−24,0 ) 3.

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ − 2 ⎢⎜ v 1 + v 2 ⎟ • v 3 ⎥ ⎠ ⎣⎝ ⎦ c) (24,0,0 )

b)-24 →

d)12 →

e)24 →

→

Sean v 1 , v 2 vectores de R 2 , tales que: v 1 = ( 5, 2 ) y v 2 = ( 7, −2 ) . Entonces un vector v 3 tal →

→

→

→

que: v 1 • v 3 = 38 y v 3 • v 2 = 34 es: →

b) v 3 = ( 6,9 )

→

→

e) v 3 = ( 4,9 )

a) v 3 = ( 4,6 )

→

d) v 3 = ( 6,0 ) 4.

Sean

→

c) v 3 = ( 6, 4 )

→

→

→

→

→

v 1 , v 2 y v 3 vectores de IR 3 tales que: v 1 = ( 3, −2,1) , v 2 = ( −5,1,0 ) y

→

v 3 = ( 0.4,0 ) . Entonces al efectuar la operación 2

→

→ ⎛→ → ⎞ ⎛→ → ⎞ − 4 ⎜ v 1• v 2 ⎟ − 6 ⎜ v 2 • v 3 ⎟ − 2 v 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 v1 se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84

d)184

2

e)52

1.4.3.3 VECTORES ORTOGONALES →

→

Sean v1 y v2 dos vectores de →

n

→

→

. Entonces v1 y v2 son

→

v1 • v2 = 0

ortogonales si y sólo si Ejemplo →

→

Los vectores v1 = (1, 2, −1) y v2 = (−3, 2,1) son ortogonales, porque →

→

v1 • v2 = (1)(−3) + (2)(2) + (−1)(1) = 0

→

El hecho de que

→

v1 • v2 = 0

medida de 90 , es decir θ =

π . ¿Porqué? 2 →

En este caso se dice que v1

20

significa que el ángulo entre ellos tiene

→

y v2

son vectores perpendiculares.

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el siguiente: Ejemplo →

→

(

)

Dados los vectores v1 = ( a 2 − 1, 2,3) y v2 = −2, − a, 5 , encontrar los valores 24 de " a " para que sean ortogonales. SOLUCIÓN: →

→

→

→

Para que v1 y v2 sean ortogonales se debe cumplir que v1 • v2 = 0 , entonces →

→

v1 • v2 = ( a 2 − 1, 2,3) • ( −2, − a, 245 ) = −2a 2 + 2 − 2a + 85 por lo tanto − 2a 2 − 2a +

21 8

=0

16a 2 + 16a − 21 = 0 a=−

7 4

∨ a=

3 4

1.4.3.4 VECTORES ORTONORMALES → →

→

Los vectores v1 , v2 , v3 ,

→

, vn de

n

son ORTONORMALES si y sólo

⎧→ → ⎪vi • v j = 1 cuando i = j si: ⎨ → → ⎪vi • v j = 0 cuando i ≠ j ⎩ Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.

21

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Ejemplo 1 Los vectores i = (1,0 ) y j = (0,1) son ortonormales porque i = 1 ,

j =1 y

i• j = 0

Ejemplo 2 ˆj = (0,1,0) , Los vectores iˆ = (1,0,0) , kˆ = (0,0,1) son ortonormales, porque i • j = i • k = j • k = 0 y además i = j = k = 1

Ejercicios Propuestos 1.3 1.

→

→

→

→

Sean v 1 y v 2 vectores en IR 3 , tales que v 1 = 2,1,1 y v 2 = 1,1,1 . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA identifíquela: a) b)

→

→

→

→

v 1 y v 2 son ortogonales. v 1 y v 2 son paralelos. →

→

c)

2 v 2 − 3 v1 = 3 2

d)

2 v 2 − 3 v 1 = 1,0, −1

→

→

→

e) 2.

→

2 v 2 − 3 v1 = 3 →

→

Sea los vectores de: v 1 = ( k , 3, k − 1) y v 2 = ( 3, − 1, k ) . Determine los valores de k tales que →

→

v 1 y v 2 sean ORTOGONALES.

a)3 y 1 3.

b)3 y -1

c)-3 y -1

d)-3 y 1

e)0 y -3 →

La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores v 1 = 1 − a,3a,1

y

→

v 2 = a, −1,3 SEAN ORTOGONALES, es: a)-3

4.

b)-1

c)-2 →

d) 0

Sean los vectores A = (1, −2,3) , →

→

e) 3 →

→

B = ( 4, −1, 2 ) y C = ( 2,0, −3) encontrar el valor de t , tal que

→

A+ t B sea ortogonal a C .

5.

→

→

→

→ → 3⎞ ⎛ v 1 = v 2 − 2 ⎜ a , a − 1, − ⎟ , entonces los valores de 2⎠ ⎝

a) 2 y

6.

3 2 →

b) →

1 y -2 2

c) -1 y

→

1 2

a y

d) →

b

, respectivamente son:.

1 y -1 2 →

e) -

1 2

y1 →

→

→

Sean v 1 , v 2 y v 3 vectores de R 3 tales que: v 1 = ( 3,1, 2 ) , v 2 = ( 2,1, −1) y v 3 = b v 1 + 2 v 2 . →

→

Entonces el VALOR de “ b ” para que v 3 sea ortogonal a v 2 es: b) − 2 c) 12 d) − 5 a) − 5 7 7 5 12

22

→

Si se tienen los vectores v1 = ( − 1, 2, 0 ) y v 2 = ( b − 1, 2 a , − 3 ) , si v1 y v2 son ortogonales y

e) − 12

5

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.4.3.5 PROYECCIONES 1.4.3.5.1 PROYECCIÓN ESCALAR →

La proyección escalar de

→

→

v2

sobre

v1 , denotada como proy v2 , →

v1

→

es la magnitud de la sombra que hace

v2

→

sobre

v1 . Observe la figura.

→

Del triángulo tenemos : cos θ =

proy → v2 v1

→

.

v2 →

Despejando, resulta:

→

proy v2 = cosθ v2 →

v1

→

Multiplicando y dividiendo por

v1

resulta:

⎛⎜ v • v ⎞⎟ cosθ v2 v1 1 2 → → → ⎝ ⎠ ⎛ = ⎜ v2 • u1 ⎞⎟ = proy v2 = → → v ⎝ ⎠ v1 v1 →

→

→

→

→ 1

23

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.4.3.5.2 PROYECCIÓN VECTORIAL →

→

El vector proyección de v2 sobre v1 , denotada como

⎯ ⎯→

→

proy v v2 , es: → 1

⎛→ →⎞ → ⎜v •v ⎟ v → → 1 2 1 ⎛ ⎞ proy v v2 = ⎜ → ⎟ → = ⎜ u1 • v2 ⎟ u1 ⎠ ⎜ v1 ⎟ v1 ⎝ ⎝ ⎠ ⎯ ⎯→

→

→ 1

Realice el trabajo análogo para obtener la proyección escalar y la →

proyección vectorial de

24

v1

→

sobre

v2 .

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.4.3.6 DESCOMPOSICIÓN ORTOGONAL →

Suponga que se tiene dos vectores ortogonales como se muestra en la figura.

→

→

v1

y

v2

→

→

→

→

en términos de

v1

realizando el producto punto con

v1

Suponga que se desea descomponer (expresar) →

v

→

v2 . En la expresión v = C1 v1 + C2 v2

v,

y otro vector

y

→

y

despejando, tenemos: →

→

→

→

→

→

v • v1 = C1 v1 • v1 + C2 v2 • v1 0

→

→ 2

→

v • v1 = C1 v1 →

C1 =

→

v • v1 → 2

v1 →

Análogamente, encontramos:

realizando

el

producto

punto

ahora

con

v2 ,

25

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

→

→

→

→

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

v • v2 = C1 v1 • v2 + C2 v2 • v2 0

→

→ 2

→

v • v2 = C2 v2 →

→

v • v2

C2 =

→ 2

v2 Es decir: →

→

→

v = C1 v1 + C2 v2 ⎛→ → ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ v• v ⎟ → ⎜ v→• v→ ⎟ → = ⎜ → 21 ⎟ v1 + ⎜ → 22 ⎟ v2 ⎜⎜ v ⎟⎟ ⎜⎜ v ⎟⎟ 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ v = ⎛⎜ v• u1 ⎞⎟ u1 + ⎛⎜ v• u 2 ⎞⎟ u 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

→

Observe que: →

→

→

v = Pr oy v + Pr oy v →

→

v1

v2

Ejemplo →

→

Sean v1 = (3,1) y v 2 = (1,5) vectores de R 2 . Hallar dos vectores ortonormales →

→

→

→

→

→

u1 y u 2 , Tal que u1 sea paralelo a v1 y u 2 sea ortogonal a v1 . SOLUCIÓN →

→

Lo que queremos hacer, es encontrar dos vectores u1 y u 2 tales que:

26

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

Primero, hallamos un vector unitario en la misma dirección (paralelo) de v1 .

(3,1) = ⎛

→

Entonces u1 =

⎜ 3 , 1 ⎞⎟ ⎝ 10 10 ⎠

10

→

→

´ SEGUNDO, hallamos un vector v 2 que sea ortogonal a v1 .

→ ´ Observe que v 2

→

⎯ ⎯→

→

= v 2 − Pr oy v v 2 entonces: →

1

→ ´

→

⎯⎯→

→

v2 = v2 − Pr oy → v1 v2 ⎛1 ⎞ ⎡⎛ = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎢⎜ ⎝ 5 ⎠ ⎢⎣⎜⎝

3

⎞ ⎛1 ⎞ ⎤ ⎛ ⎟ • ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟⎥ ⎜ 10 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝

1

⎛3 ⎜ ⎜1 ⎝ ⎛1 ⎞ ⎛ 2410 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ 8 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠

⎛1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎝ 5⎠

3

10

8 10

⎞ ⎟ ⎟ 10 ⎠

10 1

⎞ ⎟ ⎟ 10 ⎠

10

→ ⎛ −75 ⎞ ´ v2 = ⎜⎜ ⎟⎟ 21 ⎝ 5⎠

→ →

Luego u2 =

v2´ → ´ 2

v

=

7 5

( −1,3) ( −1,3) 7 5

10

=

10

(

= −

1 10

,

3 10

)

27

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Ejemplo →

Exprese y determine la combinación lineal del vector v = (1,1) en término de los

(

→

→

vectores ortogonales u1 = ⎛⎜ 3 , 1 ⎞⎟ y u2 = − ⎝ 10 10 ⎠ SOLICIÓN: →

1 10

,

3 10

).

→

Como u1 y u 2 son vectores ortonormales, empleamos la formula →

→

→

v = Pr oy→ v + Pr oy→ v v1

v2

⎛ ⎞ ⎛ →⎞ → v = ⎜ v • u1 ⎟ u1 + ⎜ v • u2 ⎟ u2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎡⎛1⎞ ⎛ 3 10 ⎞ ⎤ ⎛ 3 10 ⎞ ⎡⎛ 1⎞ ⎛ − ⎜ ⎟ = ⎢⎜ ⎟ • ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎢⎜ ⎟ • ⎜⎜ 3 ⎝ 1⎠ ⎢⎣⎝ 1⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 10 ⎠ ⎢⎣⎝ 1⎠ ⎝ ⎛ 1⎞ 4 ⎛ 3 10 ⎞ 2 ⎛ − 1 10 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = 10 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + 10 ⎜⎜ 3 ⎝ 1⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ →

→

→

→

→

1 10 10

⎞⎤ ⎛ − ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎝

1 10 10

⎞ ⎟⎟ ⎠

Utilizando esta propiedad no es necesario resolver sistema alguno

Ejercicios Propuestos 1.4 →

→

→

→

1. Sean v1 = (1,3) y v 2 = (1,1) . Descomponer v1 en dos vectores, un vector X paralelo a →

→

→

v 2 y un vector Y ortogonal a v 2 . →

Resp. X = (2,2 ) →

→

y Y = (− 1,1)

→

2. Sean los vectores V1 = 3iˆ − 2 ˆj + 4kˆ y V2 = 3iˆ + 3 ˆj − 2kˆ . →

→

a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 . →

→

b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 . ⎯ ⎯→ →

(

Resp. a) Pr oy → V1 = − 15 ,− 15 , 10 22 22 22 V2

)

b)

1.4.4. PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO CRUZ →

→

Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores de →

→

R 3 . El Producto Vectorial de v1 con v2 denotado como →

→

v1 × v2 se define como: →

→

v1× v2 = ( y1 z2 − z 1 y2 , − ( x1 z2 − x2 z1 ) , x1 y2 − y1 x2 ) 28

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

i v1 × v2 = x1

j y1

k z1

x2

y2

z2

→

→

Ejemplo. →

→

Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces

i v1 × v 2 = 1 →

→

j 2

2 −1

k − 1 = −i − 2 j − 5k 0

1.4.4.1 PROPIEDADES. →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de

3

1. El vector ⎛⎜ v1× v2 ⎞⎟ es tanto perpendicular a v1 ⎝ ⎠ →

→

→

→

como a v 2 2. El sentido del vector ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ se lo puede obtener ⎝ ⎠ empleando la mano derecha. Mientras los dedos se →

→

dirigen desde v1 hacia → → ⎛ dirección de ⎜ v1 × v2 ⎞⎟ . ⎝ ⎠ →

→

→

v2 , el pulgar indica la

→

v1× v2

→

v2 • •

→

v1

3. v1 × v2 = −⎛⎜ v2 × v1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ →

→

→

→

29

Vectores en

Moisés Villena Muñoz →

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

4. v1 × v1 = 0 →

→

→

→

→

5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0 → → → → 6. ⎛⎜ α 1 v1 ⎞⎟ × ⎛⎜ α 2 v2 ⎞⎟ = α 1α 2 ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → → → → 7. v1 × ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 × v2 ⎞⎟ + ⎛⎜ v1 × v3 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 → → 2 → 2 → 2 → → 8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛⎜ v1 • v 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado muy importante: →

→ 2

v1 × v 2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1

v2

→ 2 → 2

= v1 →

→ 2

v1 × v 2

v2

⎛→ →⎞ − ⎜ v1 • v 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎛ → → ⎞ − ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟ ⎝ ⎠ → 2 → 2

− v1

v2

2

cos 2 θ

[1 − cos θ ] 2

→ 2 → 2

= v1

v 2 sen 2θ

Finalmente: →

→

→

→

v1 × v 2 = v1 v 2 senθ

1.4.4.2 APLICACIONES 1.4.4.2.1 →

CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES.

→

Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura: →

v1

→

v1 h

θ

→ →

v2

30

v2

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

Tomando como base a v2 , tenemos: Area = base • altura →

= v2 h h

Observe que senθ =

→

→

→

entonces Area = v 2 v1 senθ

v1

Y por la propiedad del producto cruz: →

→

Area = v1 × v 2

Ejemplo 1 →

Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y →

v 2 = (2,−1, 0 ) SOLUCIÓN: →

→

El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir: →

→

v1 × v 2 Area Triángulo =

2

i j k Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k 2 −1 0 →

→

entonces →

→

v1 × v 2 Area Triángulo =

=

2

(− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2 2

=

30 2

Ejemplo 2 Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y (− 2,0,1) SOLUCIÖN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P2 (1,1,1) →

v1 P1 (1,−2,0 )

→

P3 (− 2,0,1)

v2

31

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − ( −2), 1 − 0 ) = (0,3,1) →

→

v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)

Entonces, →

i

→

j k

v1 × v 2 = 0 3 1 = i − 3 j − 9k −3 2 1 →

→

v1 × v 2 Area Triángulo =

=

2

(1)2 + (− 3)2 + (9)2 2

=

91 2

1.4.4.2.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.

→

→

v1 × v 2

→

h

v3 →

h

v2

• →

v1 →

→

Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura →

→

→

h del paralelepípedo será la proyección escalar de v3 sobre v1 × v2 , entonces:

Volumen = Area base × altura →

→

Donde Area base = v1 × v 2

altura = h = Pr oy →

→

v1 ×v2

⎛→ →⎞ → ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 → v3 = ⎝ → ⎠→ v1 × v 2

Por tanto.

⎛ v→ × v→ ⎞ • v→ 2 ⎟ 3 → → ⎜ 1 ⎝ ⎠ Volumen = v1 × v2 → → v1 × v2 Finalmente, simplificando resulta: 32

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→ → → Volumen = ⎛⎜ v1 × v 2 ⎞⎟ • v3 ⎝ ⎠

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO →

→

→

ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del →

→

→

paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.

Ejemplo →

Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) , →

→

v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) . SOLUCIÖN.

Por lo definido anteriormente,

1 −2 1 ⎛→ →⎞ → Volumen = ⎜⎜ v1 × v 2 ⎟⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3 ⎝ ⎠ 1 2 3

Ejercicios propuestos 1.4 →

→

1. Sean los vectores A = Ax iˆ − 5 ˆj + 2kˆ y B = −3iˆ + 2 ˆj − B z kˆ . Calcule los valores de Ax y → →

Bz para los cuales A× B es paralelo a:

a) al eje

Resp. a) Ax =

15 2

x Bz =

b) al eje 4 5

y

b) Ax = 15 2

Bz =

4 5

2. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6) Resp. Area = →

→

174 2 →

3. Dados tres vectores v 1 = ( 5, 2,6 ) , v 2 = ( −1,8,3) , v 3 = ( 2, −7, 4 ) forman un tetraedro Resp. h =

con vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

77 746

4. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice 67 opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. h = 5459 →

5. Sean u

y

→

v

→

→

→

→

→

→

vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v ,

→ → ⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ w3 = 12 ⎜ u + v ⎟ . Hallar w1 • ⎜ w2 × w3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resp. 0

33

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Misceláneos 1.

Demuestre que: → →

→ →

→

→

a.

v1 • v 2 ≤ v1 v 2 ( DESIGUALD DE SCHWARZ)

b.

v1 + v 2 ≤ v1 + v 2 (DESIGUALDAD TRIANGULAR)

→

→

→

→

c. k v = k v ; k ∈ 2.

Determine si las proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente. →

→

→

→

→

→

a. Si v1 y v 2 son vectores unitarios entonces v1 + v 2 = 2 →

→

→

son vectores ortogonales entonces v1 + v 2 = 2

b. Si v1 y v 2 →

→

→

2

c.Si v1 y v 2 son vectores ortogonales entonces v1 − v 2

→

→

2

e. Si v1 y v 2 son vectores ortogonales entonces v1 − v 2

2

→

→

→

→

→

d. Si v1 y v 2 son vectores ortogonales entonces v1 + v 2

→ →

→ →

→

→

2

= v1 + v 2 →

2

= v1 = v1

→

2

+ v2

2

+ v2

2

→

f. Si v1 • v 2 = v1 • v 3 entonces v 2 = v 3

→ → → → ⎛→ → ⎞ g. Si los vectores v1 y v 2 son paralelos entonces ⎜⎜ v1• v2 ⎟⎟ = v1 v2 ⎠ ⎝ →

→

→

→

→

→

→

→

h. Si v1 y v2 son vectores de R 2 , donde v1 = v2 entonces v1 + v2 y v1 − v2 son ortogonales. →

→

→

→

i. Sean u1 , u2 , v1 y v2 →

→

→

→

vectores en el plano tales que →

→

→ →

→

→

u1 = 7 ,

→

u2 = 2 ,

→

v1 = 2 u1 − 5 u2 y v2 = − u1 + 3u2 . Si u1• u2 = 4 entonces v1 y v2 son ortogonales. →

→

v1 y v2 son vectores de R 2 y α ∈ R . Si

j. Si →

→

→

→

→

v1 + v2 = v1 + v2 , entonces

→

v1 = α v2 →

→

→

→

→

→

→

k.Si v1 y v2 son vectores de R 2 entonces v1 + v 2 + v1 − v 2 = 2 v1 . →

→

→

l. Si los vectores v1 = ( 0,0, a ) , v2 = ( 3, 4,0 ) y v3 = ( 0,4,6 ) forman un paralelepípedo cuyo volumen es 120 u 3 , entonces a = 10 .

34

Vectores en

Moisés Villena Muñoz

3.

→

→

→

IR 2 , IR3 ,…, IR n

→

→

→

→

→

Sean v1 y v 2 vectores unitarios. Si los vectores v3 = v1 + 2 v 2 y v 4 = 5 v1 − 4 v 2 →

→

son ortogonales. Hallar la medida del ángulo θ que forman entre sí los vectores v1 y v 2 .

4.

Resp.

θ=

→

→

Sean v1

y v2

π 3 vectores de

2

→

→

, tales que v1 = (2,3) y v2 = (− 1,0) . Determine los

→⎞ ⎛→ valores de λ , de tal forma que los vectores ⎜⎜ v1 + λ v2 ⎟⎟ y ⎝ ⎠

→⎞ ⎛→ ⎜ v1 − λ v2 ⎟ sean ortogonales. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Resp. λ = ± 13

5.

→

→

→

v1 = −4i + 3 j , v2 = 2i − j y v3 = 6i − 7 j ; determinar escalares k y m tales

Sean →

→

→

que v3 = k v1 + m v2 .

k = −4 ,

Resp.

m = −5 6.

→

→

Sea θ (0 ≤ θ ≤ π ) , el ángulo que forman los vectores v1 →

→

→

→

→

y v 2 , Si v1 = v3 − 2v2 ,

→

→ → → → 5v − v v2 = 1 4 , v1 = v2 = 1 y v3 ⊥ v4 , determine el valor de la tan θ . 4

Resp. tan θ =

7.

→

3

→

Determine un vector X , perpendicular al vector v = 4i − 5 j que tenga una longitud de 10 unidades. →

Resp. X = 50 i + 40 j 41

8.

Sean

→

→

→

v1 = 3i − 2 j , v 2 = −3i + 4 j y v 3 = 7i − 8 j ; determinar escalares k y m →

→

→

tales que v3 = k v1 + m v2 . 9.

41

Resp.

k = 23 , m = − 53

→

→

Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el →

→

vector W = U −

→ →

U•V →

2

→

→

V es ortogonal a V .

V →

→

→

→

→

→

10. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para escalares cualquiera

cyd. →

→

11. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B → 1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ y C , es ⎜⎜ B − A ⎟⎟ × ⎜⎜ C − A ⎟⎟ 2⎝ ⎠ ⎠ ⎝ → →

→

→

→

→

12. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble →

→

→

del volumen del tetraedro de aristas A , B y C . 13. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

35