Vectores En R2

Vectores en R2 y R3 Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3). En R2: 1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2,

entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). 2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 ,

entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

Observa que si a = (a1, a 2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a. En R3: 1. la suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonce

s a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). 2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3 ,

entonces αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).

Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: a ∙ b = = (a1 ∙ b1 + a2 ∙ b2 + a3 ∙ b3 + … + an ∙ bn). Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero. Ejemplo (para discusión): Halla el producto interno de: 1. 2. 3. 4.

a = (1, 1) y b = (1, -1) en R2 a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R2 a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R3 a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R3

Definición: Sea a = (a1, a2, a3, …, an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = . Esto es:

Ejemplos (para discusión): Calcula la norma de: 1. a = (2, 2) en R2 2. a = (1, 3, -2) en R3

Notas: 1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección. 2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║. 3. Ejemplo para discusión: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara ║a +

b║ y ║a║ + ║b║.

Definición: Sean a y b vectores en Rn, donde a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3, …, bn). La distancia entre a y b representada por d(a, b) está definida por:

Ejemplos (para discusión): Halla la distancia de: 1. a = (1, 7) y b = (6, -5) en R2 2. a = (3, -5, 4) y b = (6, 2, -1) en R3

Ejercicios: 1. Halla el producto interno a ∙ b de: a) a = (3, -5, 2) y b = (4, 1, -2) b) a = (1, -8, 0, 5) y b = (3, 6, 4, 0) c) a = (3, -1) y b = (2, 4) 2. Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3) y b = (2, -5, 4) sean vectores ortogonales. 3. Halla la norma de los siguientes vectores: a) (2, -7) b) (3, -12, -4) 2. Determina el valor de k tal que ║a║ = √39 si a = (1, k, -2, 5).

3. Un vector unitario a es un vector cuya norma (longitud o magnitud) es

1. Verifica si el vector 4. Halla la distancia entre:

es un vector unitario.

a. (1, 5) y (1, 1) en R2 b. (3, 4, 5) y (2, 3, 5) en R3 c. (-2, -1, 2) y (-5, 1, 2) en R3 5. Halla el valor de k tal que d(a, b) = 6 si a = (2, k, 1, -4) y b = (3, -1, 6, -3). 6. Demuestra que ║a║2 = siendo a un vector en Rn. 7. Demuestra que = , donde a y b son vectores en Rn.