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Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

´ FUNDAMENTOS DE ESTADISTICA Clase 5: Variables Aleatorias Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´atico, MSc [email protected] Escuela de Estad´ıstica Universidad del Valle

Periodo II de 2018

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional

En ocasiones, la probabilidad de ocurrencia de un evento, se encuentra condicionada a la ocurrencia de otro. Esto nos indica, que existe alg´ un grado de asociaci´ on entre ambos eventos.

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional

En ocasiones, la probabilidad de ocurrencia de un evento, se encuentra condicionada a la ocurrencia de otro. Esto nos indica, que existe alg´ un grado de asociaci´ on entre ambos eventos.

P (A|B) =

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

P (A ∩ B) P (B)

FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejemplo

Se sabe que el 95 % de los gatos de 3 colores son hembras. El 40 % de los gatos son hembras. Al tomar un gato al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que sea una hembra de 3 colores?

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejemplo

Si denominamos como A al suceso es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra, entonces se busca P(A∩B).

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejemplo

Si denominamos como A al suceso es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra, entonces se busca P(A∩B). Se tiene que P(A|B) = 0.95 y P(B) = 0.4.

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejemplo

Si denominamos como A al suceso es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra, entonces se busca P(A∩B). Se tiene que P(A|B) = 0.95 y P(B) = 0.4. Con esto, haciendo uso de la probabilidad condicional, podemos calcular:

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejemplo

Si denominamos como A al suceso es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra, entonces se busca P(A∩B). Se tiene que P(A|B) = 0.95 y P(B) = 0.4. Con esto, haciendo uso de la probabilidad condicional, podemos calcular: P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = 0.95 · 0.4 = 0.38

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejercicio

Ejercicio 3 Se tienen en una urna 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al sacar 3 bolas sin reposici´on:

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejercicio

Ejercicio 3 Se tienen en una urna 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al sacar 3 bolas sin reposici´on: sean 3 blancas

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejercicio

Ejercicio 3 Se tienen en una urna 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al sacar 3 bolas sin reposici´on: sean 3 blancas la primera sea blanca, la segunda negra, y la tercera roja.

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Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional: Ejercicio

Ejercicio 3 Se tienen en una urna 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al sacar 3 bolas sin reposici´on: sean 3 blancas la primera sea blanca, la segunda negra, y la tercera roja. sea una de cada color.

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Probabilidad Condicional

Independencia

Dos eventos se denominan independientes, siempre y cuando, el hecho de conocer que ocurri´ o uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

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Probabilidad Condicional

Independencia

Dos eventos se denominan independientes, siempre y cuando, el hecho de conocer que ocurri´ o uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, Dos eventos se A y B son independientes si, y solo si:

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Probabilidad Condicional

Independencia

Dos eventos se denominan independientes, siempre y cuando, el hecho de conocer que ocurri´ o uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, Dos eventos se A y B son independientes si, y solo si: P(A|B) = P(A) ⇔

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Probabilidad Condicional

Independencia

Dos eventos se denominan independientes, siempre y cuando, el hecho de conocer que ocurri´ o uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, Dos eventos se A y B son independientes si, y solo si: P(A|B) = P(A) ⇔ P(B|A) = P(B) ⇔

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Probabilidad Condicional

Independencia

Dos eventos se denominan independientes, siempre y cuando, el hecho de conocer que ocurri´ o uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, Dos eventos se A y B son independientes si, y solo si: P(A|B) = P(A) ⇔ P(B|A) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

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Probabilidad Condicional

Independencia

Ejercicio 4 Analizar la independencia de A y B, por medio de las siguientes probabilidades: P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(A ∩ B) = 0.5 P(A ∩ B c ) = 0.1, P(A ∩ B) = 0.2 y P(A|B) = 0.3

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Probabilidad Condicional

Independencia

Ejercicio 5 Se tiene una cierta moneda cargada, para la cual la probabilidad de sacar cara es 0.7. Si un experimento consiste en tirar dicha moneda 2 veces, calcule la probabilidad de:

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Probabilidad Condicional

Independencia

Ejercicio 5 Se tiene una cierta moneda cargada, para la cual la probabilidad de sacar cara es 0.7. Si un experimento consiste en tirar dicha moneda 2 veces, calcule la probabilidad de: sacar primero cara y despu´es sello

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Probabilidad Condicional

Independencia

Ejercicio 5 Se tiene una cierta moneda cargada, para la cual la probabilidad de sacar cara es 0.7. Si un experimento consiste en tirar dicha moneda 2 veces, calcule la probabilidad de: sacar primero cara y despu´es sello sacar primero sello y despu´es cara

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FUNDAMENTOS DE ESTAD´ ISTICA

Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Independencia

Ejercicio 5 Se tiene una cierta moneda cargada, para la cual la probabilidad de sacar cara es 0.7. Si un experimento consiste en tirar dicha moneda 2 veces, calcule la probabilidad de: sacar primero cara y despu´es sello sacar primero sello y despu´es cara sacar una cara y una sello

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Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos,

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Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces, la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro evento B en t´erminos de las ocurrencias de los eventos Ai , esta dada por la expresi´on:

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Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces, la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro evento B en t´erminos de las ocurrencias de los eventos Ai , esta dada por la expresi´on:

P(B) = P(B|A1 )P(A1 ) + P(B|A2 )P(A2 ) + ... + P(B|Ak )P(Ak )

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Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces, la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro evento B en t´erminos de las ocurrencias de los eventos Ai , esta dada por la expresi´on:

P(B) = P(B|A1 )P(A1 ) + P(B|A2 )P(A2 ) + ... + P(B|Ak )P(Ak ) Lo que es:

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Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces, la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro evento B en t´erminos de las ocurrencias de los eventos Ai , esta dada por la expresi´on:

P(B) = P(B|A1 )P(A1 ) + P(B|A2 )P(A2 ) + ... + P(B|Ak )P(Ak ) Lo que es: P(B) =

k X

P(B|Ai )P(Ai )

i=1 Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Probabilidad Condicional

Teorema de la Probabilidad Total

Ejercicio 6 Una empresa que fabrica l´amparas tiene 2 plantas, la A y la B. Cada l´ampara fabricada por A tiene probabilidad 0.01 de ser defectuosa. Cada l´ampara fabricada por B tiene probabilidad 0.02 de ser defectuosa. Si las plantas A y B producen el 60 % y el 40 % de las unidades respectivamente, ¿cu´al es la probabilidad de que una l´ampara fabricada por la empresa sea defectuosa?

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, tales que P(Ai ) 6= 0 para todo i = 1, 2, ...k

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, tales que P(Ai ) 6= 0 para todo i = 1, 2, ...k entonces, dada la ocurrencia de cualquier otro evento B, tal que P(B) 6= 0 , la probabilidad de Aj esta dada por la expresi´ on:

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Sean A1 , A2 , ..., Ak . k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, tales que P(Ai ) 6= 0 para todo i = 1, 2, ...k entonces, dada la ocurrencia de cualquier otro evento B, tal que P(B) 6= 0 , la probabilidad de Aj esta dada por la expresi´ on:

P(Aj |B) =

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P(Aj ∩ B) P(B)

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Pero por el teorema de probabilidad total, se tiene que:

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Pero por el teorema de probabilidad total, se tiene que: P(B) =

k X

P(B|Ai )P(Ai )

i=1

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Pero por el teorema de probabilidad total, se tiene que: P(B) =

k X

P(B|Ai )P(Ai )

i=1

Por lo tanto se tiene que:

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Probabilidad Condicional

Teorema de Bayes

Pero por el teorema de probabilidad total, se tiene que: P(B) =

k X

P(B|Ai )P(Ai )

i=1

Por lo tanto se tiene que: P(Aj |B) = Pk

P(Aj ∩ B)

i=1 P(B|Ai )P(Ai )

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 7 Tres m´aquinas A, B, C, producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en una f´abrica. Adicionalmente, se sabe que los porcentajes de que las m´aquinas produzcan un articulo defectuoso son respectivamente 3 %, 4 % y 5 %.

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 7 Tres m´aquinas A, B, C, producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en una f´abrica. Adicionalmente, se sabe que los porcentajes de que las m´aquinas produzcan un articulo defectuoso son respectivamente 3 %, 4 % y 5 %. ¿Cual es la probabilidad de seleccionar una pieza y esta sea defectuosa?

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 7 Tres m´aquinas A, B, C, producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en una f´abrica. Adicionalmente, se sabe que los porcentajes de que las m´aquinas produzcan un articulo defectuoso son respectivamente 3 %, 4 % y 5 %. ¿Cual es la probabilidad de seleccionar una pieza y esta sea defectuosa? ¿Dado que se seleccion´ o una pieza y esta fue defectuosa ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido producida por la m´aquina B?

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 7 Tres m´aquinas A, B, C, producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, del total de las piezas producidas en una f´abrica. Adicionalmente, se sabe que los porcentajes de que las m´aquinas produzcan un articulo defectuoso son respectivamente 3 %, 4 % y 5 %. ¿Cual es la probabilidad de seleccionar una pieza y esta sea defectuosa? ¿Dado que se seleccion´ o una pieza y esta fue defectuosa ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido producida por la m´aquina B? ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicios

Consideramos los eventos:

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Consideramos los eventos: D: La pieza es defectuosa.

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Ejercicios

Consideramos los eventos: D: La pieza es defectuosa. N: La pieza no es defectuosa.

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Consideramos los eventos: D: La pieza es defectuosa. N: La pieza no es defectuosa. Haciendo uso de la probabilidad total, se tiene que: P(D) = P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D)

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Consideramos los eventos: D: La pieza es defectuosa. N: La pieza no es defectuosa. Haciendo uso de la probabilidad total, se tiene que: P(D) = P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) = (0.45)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.25)(0.05)

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Consideramos los eventos: D: La pieza es defectuosa. N: La pieza no es defectuosa. Haciendo uso de la probabilidad total, se tiene que: P(D) = P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) = (0.45)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.25)(0.05) = 0.038

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

¿Dado que se seleccion´ o una pieza y esta fue defectuosa ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido producida por la m´aquina B? P(B|D) =

P(B)P(B|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D)

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Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Probabilidad Condicional

Ejercicios

¿Dado que se seleccion´ o una pieza y esta fue defectuosa ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido producida por la m´aquina B? P(B|D) = =

P(B)P(B|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.3)(0.04) 0.038

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

¿Dado que se seleccion´ o una pieza y esta fue defectuosa ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido producida por la m´aquina B? P(B)P(B|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.3)(0.04) = 0.038 = 0.316

P(B|D) =

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A|D) =

P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D)

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A|D) = =

P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) 0.038

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) = 0.038 = 0.355

P(A|D) =

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) = 0.038 = 0.355

P(A|D) =

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) = 0.038 = 0.355

P(A|D) =

P(C |D) =

P(C )P(C |D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D)

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) = 0.038 = 0.355

P(A|D) =

P(C |D) = =

P(C )P(C |D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.25)(0.05) 0.038

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Probabilidad Condicional

Ejercicios ¿Cu´al de las tres m´aquinas posee mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa? P(A)P(A|D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.45)(0.03) = 0.038 = 0.355

P(A|D) =

P(C )P(C |D) P(A)P(A|D) + P(B)P(B|D) + P(C )P(C |D) (0.25)(0.05) = 0.038 = 0.329

P(C |D) =

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Ejercicio 9 Se tiene un dado legal. Hallar la probabilidad de que en un solo lanzamiento salga un numero menor o igual que 4 dado que: No se da ninguna informaci´ on adicional. Se sabe que el resultado fue un numero impar.

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Ejercicio 10 Dos fabricas producen l´amparas el´ectricas. La primera proporciona el 70 % y la segunda el 30 % de la producci´ on total. Por otra parte, se sabe que el 83 % de las l´amparas suministradas por la primera fabrica se ajusta a las normas establecidas , mientras que s´olo el 63 % de las producidas por la segunda, se ajusta a dichas normas. Calcular la probabilidad de que una l´ampara haya sido producida por la primera f´abrica, si se sabe que se ajusta a las normas

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Ejercicio 11 La probabilidad de acertarle a un blanco en cada disparo es de 0.6. ¿Cu´al es la probabilidad de que, efectuando 5 disparos, se acierte el primero, se falle el segundo, se acierten el tercero y el cuarto, y se falle el quinto?

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Ejercicio 12 En una determinada ciudad, la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y tenga ojos azules es 0.1, y la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y tenga ojos azules es 0.15. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga ojos azules?

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Probabilidad Condicional

Ejercicios

Ejercicio 13 Encontrar la probabilidad de no obtener un total de 5 o 9 en ninguno de los dos lanzamientos de un par de dados honrados.

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Ejercicios

Ejercicio 14 Se extraen dos cartas. de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean ases si la carta:

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Ejercicios

Ejercicio 14 Se extraen dos cartas. de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean ases si la carta: Se remplaza

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Ejercicios

Ejercicio 14 Se extraen dos cartas. de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean ases si la carta: Se remplaza No se remplaza

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que:

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas

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Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas 2 sean rojas y 1 blanca

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas 2 sean rojas y 1 blanca Al menos 1 sea blanca

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas 2 sean rojas y 1 blanca Al menos 1 sea blanca se extraiga una de cada color

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Probabilidad Condicional

Ejercicios Ejercicio 15 Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas aleatoriamente sin renplazamiento, determinar la probabilidad de que: Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas 2 sean rojas y 1 blanca Al menos 1 sea blanca se extraiga una de cada color las bolas sean extra´ıdas en el orden rojo, blanco, azul.

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Definiciones

Variable Aleatoria

Definici´ on ´ que asocia un n´ Una variable aleatoria es una FUNCION umero real a cada elemento del espacio muestral.

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Definiciones

Variable Aleatoria

Definici´ on ´ que asocia un n´ Una variable aleatoria es una FUNCION umero real a cada elemento del espacio muestral. Ejemplo: Supongamos que se lanza una moneda legal 2 veces y se observa el resultado en cada caso. Si X es la variable aleatoria asociada a la cantidad de caras obtenidas

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Definiciones

Variable Aleatoria

Definici´ on ´ que asocia un n´ Una variable aleatoria es una FUNCION umero real a cada elemento del espacio muestral. Ejemplo: Supongamos que se lanza una moneda legal 2 veces y se observa el resultado en cada caso. Si X es la variable aleatoria asociada a la cantidad de caras obtenidas, entonces: S = {cc, cs, sc, ss}

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Definiciones

Variable Aleatoria Ejemplo: Supongamos que se lanza una moneda legal 2 veces y se observa el resultado en cada caso. Si X es la variable aleatoria asociada a la cantidad de caras obtenidas, entonces: S = {cc, cs, sc, ss} y Evento cc cs sc ss

Numero de Caras 2 1 1 0

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X= 2 1 1 0

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Definiciones

Variable Aleatoria

Ejercicio 1: Supongamos que se tiene una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras se sacan 2 bolas de manera sucesiva y sin reemplazo. Hallar los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y , donde Y es el n´ umero de bolas rojas.

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Definiciones

Variable Aleatoria

Ejercicio 2: Sea X la variable aleatoria definida como el tiempo que pasa, en minutos, entre la llegada de cierta ruta del MIO. ¿Que valores puede tomar la variable aleatoria X ?

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Definiciones

Variable Aleatoria Discreta

Definici´ on Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles (Finito o infinito numerable).

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Definiciones

Variable Aleatoria Continua

Definici´ on Una variable aleatoria se llama variable aleatoria Continua si la cantidad de resultados posibles que esta puede tomar es infinito no numerable.

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Definiciones

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Ejercicio 3 Considere la variable aleatoria X asociada a si un bombillo dura mas de 1000 horas de funcionamiento. Defina el tipo de variable aleatoria.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Ejemplo Suponga que se lanza una moneda legal 3 veces.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Ejemplo Suponga que se lanza una moneda legal 3 veces.Si la variable aleatoria X define el numero de caras obtenidas en los tres lanzamientos, podemos asignar probabilidades a los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria X .

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Ejemplo Suponga que se lanza una moneda legal 3 veces.Si la variable aleatoria X define el numero de caras obtenidas en los tres lanzamientos, podemos asignar probabilidades a los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria X . Ejemplo Valor de X 0 1 2 3

Eventos asociados sss css, scs, ssc ccs, csc, scc ccc

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P(X=x) 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 1/8

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Ejemplo Suponga que se lanza una moneda legal 3 veces.Si la variable aleatoria X define el numero de caras obtenidas en los tres lanzamientos, podemos asignar probabilidades a los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria X . Ejemplo Valor de X 0 1 2 3

Eventos asociados sss css, scs, ssc ccs, csc, scc ccc

P(X=x) 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 1/8

Note que P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad

Ejercicio 4 Suponga que se lanza una moneda cargada 3 veces,

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad

Ejercicio 4 Suponga que se lanza una moneda cargada 3 veces,donde la probabilidad de que salga cara es de 1/4. Si la variable aleatoria X define el numero de caras obtenidas en los tres lanzamientos.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad

Ejercicio 4 Suponga que se lanza una moneda cargada 3 veces,donde la probabilidad de que salga cara es de 1/4. Si la variable aleatoria X define el numero de caras obtenidas en los tres lanzamientos. Asignar las probabilidades asociadas a los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria X .

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Una funci´on de distribuci´ on de probabilidad, describe el comportamiento probabil´ıstico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como f (x).

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Una funci´on de distribuci´ on de probabilidad, describe el comportamiento probabil´ıstico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como f (x). Definici´ on El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una funci´on de probabilidad, una funci´on de masa de probabilidad o una distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible:

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Una funci´on de distribuci´ on de probabilidad, describe el comportamiento probabil´ıstico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como f (x). Definici´ on El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una funci´on de probabilidad, una funci´on de masa de probabilidad o una distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible: f (x) ≥ 0

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Una funci´on de distribuci´ on de probabilidad, describe el comportamiento probabil´ıstico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como f (x). Definici´ on El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una funci´on de probabilidad, una funci´on de masa de probabilidad o una distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible: f (x) ≥ 0 P x f (x) = 1

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Una funci´on de distribuci´ on de probabilidad, describe el comportamiento probabil´ıstico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como f (x). Definici´ on El conjunto de pares ordenados (x, f (x)) es una funci´on de probabilidad, una funci´on de masa de probabilidad o una distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible: f (x) ≥ 0 P x f (x) = 1 P(X = x) = f (x) Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de computadoras defectuosas.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de computadoras defectuosas. Sea X la variable aleatoria asociada al numero de computadoras defectuosas en un conjunto de 2 computadoras.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de computadoras defectuosas. Sea X la variable aleatoria asociada al numero de computadoras defectuosas en un conjunto de 2 computadoras.luego: (3)(17) f (0) = P(X = 0) = 0 20 2 = 136 190 (2)

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de computadoras defectuosas. Sea X la variable aleatoria asociada al numero de computadoras defectuosas en un conjunto de 2 computadoras.luego: (3)(17) f (0) = P(X = 0) = 0 20 2 = 136 190 (2) 3 17 ( )( ) 51 f (1) = P(X = 1) = 1 20 1 = 190 (2)

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta Ejemplo Un pedido de 20 computadoras port´atiles del mismo modelo para una tienda minorista contiene 3 que est´an defectuosas. Si una escuela compra al azar 2 de estas computadoras, calcule la distribuci´on de probabilidad para el n´ umero de computadoras defectuosas. Sea X la variable aleatoria asociada al numero de computadoras defectuosas en un conjunto de 2 computadoras.luego: (3)(17) f (0) = P(X = 0) = 0 20 2 = 136 190 (2) 3 17 ( )( ) 51 f (1) = P(X = 1) = 1 20 1 = 190 (2) (3)(17) 3 f (2) = P(X = 2) = 2 20 0 = 190 (2) Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta

Ejemplo La distribuci´on de probabilidad sera:

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta

Ejemplo La distribuci´on de probabilidad sera: x f (x)

0

1

2

68 95

51 190

3 190

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Discreta

Ejercicio Suponga que el 50 % de los autos vendidos en un concesionario vienen equipados con un sensor de proximidad.

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Distribuci´ on de Probabilidad Discreta

Ejercicio Suponga que el 50 % de los autos vendidos en un concesionario vienen equipados con un sensor de proximidad. Halle una f´ormula para la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de autom´oviles con sensor de proximidad entre los siguientes 5 veh´ıculos vendidos.

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Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta

Definici´ on La funci´on de la distribuci´ on acumulada F (x) de una variable aleatoria discreta X con distribuci´ on de probabilidad f (x) esta definida como:

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta

Definici´ on La funci´on de la distribuci´ on acumulada F (x) de una variable aleatoria discreta X con distribuci´ on de probabilidad f (x) esta definida como: F (x) = P(X ≤ x) =

X

f (x)

t≤x

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Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) =

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1 4 16 x




.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X

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Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X F (0) = f (0) =

1 16

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Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X F (0) = f (0) =

1 16

F (1) = f (0) + f (1) =

5 16

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Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X F (0) = f (0) =

1 16

F (1) = f (0) + f (1) =

5 16

F (2) = f (0) + f (1) + f (2) =

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11 16

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X F (0) = f (0) =

1 16

F (1) = f (0) + f (1) =

5 16

F (2) = f (0) + f (1) + f (2) =

11 16

F (3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) =

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15 16

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x .Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X F (0) = f (0) =

1 16

F (1) = f (0) + f (1) =

5 16

F (2) = f (0) + f (1) + f (2) =

11 16

F (3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) =

15 16

F (4) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 1

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x . Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta Ejemplo
1 4 Dada la funci´on de distribuci´ on de probabilidad f (x) = 16 x . Hallar la funci´on de distribuci´ on de probabilidad acumulada de X

F (x) =

  0     1   16   5 16

11   16    15   16   1

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Para Para Para Para Para Para

x <0 0≤x <1 1≤x <2 2≤x <3 3≤x <4 x ≥4

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta

Ejercicio Dada la funci´on de distribuci´ on acumulada anterior

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Distribuci´ on de Probabilidad

Distribuci´ on de Probabilidad Acumulada Discreta

Ejercicio Dada la funci´on de distribuci´ on acumulada anterior, calcular f (2), f (3) y P(1 < x ≤ 3)

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad

Definici´ on Una funci´on f (x), es una funci´ on de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de n´ umeros reales, si, y solo si:

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad

Definici´ on Una funci´on f (x), es una funci´ on de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de n´ umeros reales, si, y solo si: f (x) ≥ 0

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad

Definici´ on Una funci´on f (x), es una funci´ on de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de n´ umeros reales, si, y solo si: f (x) ≥ 0 R +∞ −∞ f (x)dx = 1

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad

Definici´ on Una funci´on f (x), es una funci´ on de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de n´ umeros reales, si, y solo si: f (x) ≥ 0 R +∞ −∞ f (x)dx = 1 P(a < X < b) =

Rb a

f (x)dx.

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad Ejemplo Sea X una Variable aleatoria continua, verifique la que funci´on f(x) es en efecto una funci´ on de densidad para X y calcule P(1<X<3) ( 2 x Para − 1 ≤ x < 2 f (x) = 3 0 En otro caso

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad Ejemplo Sea X una Variable aleatoria continua, verifique la que funci´on f(x) es en efecto una funci´ on de densidad para X y calcule P(1<X<3) ( 2 x Para − 1 ≤ x < 2 f (x) = 3 0 En otro caso R +∞ −∞

f (x)dx =

x2 −∞ 3 dx

R +∞

=

x3 2 9 |−1

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=

8 9

+

1 9

=1

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Densidad de Probabilidad Ejemplo Sea X una Variable aleatoria continua, verifique la que funci´on f(x) es en efecto una funci´ on de densidad para X y calcule P(1<X<3) ( 2 x Para − 1 ≤ x < 2 f (x) = 3 0 En otro caso R +∞ −∞

f (x)dx =

x2 −∞ 3 dx

=

x3 2 9 |−1

x2 0 3 dx

=

x3 1 9 |0

R +∞

P(0 < X < 1) =

R1

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=

=

1 9

8 9

+

1 9

+0=

=1

1 9

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Distribuci´ on Acumulada Continua

Definici´ on Para una variable aleatoria continua X con funci´ on de densidad f (x), la funci´on de distribuci´ on acumulativa F (x) esta dada por:

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Distribuci´ on Acumulada Continua

Definici´ on Para una variable aleatoria continua X con funci´ on de densidad f (x), la funci´on de distribuci´ on acumulativa F (x) esta dada por: Z x F (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt. −∞

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Funci´on de Distribuci´ on Acumulada Continua

Ejercicio La distribuci´on de probabilidad de X, el n´ umero de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sint´etica que viene en rollos continuos de ancho uniforme, est´a dada por:

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Distribuci´ on de Probabilidad

Funci´on de Distribuci´ on Acumulada Continua

Ejercicio La distribuci´on de probabilidad de X, el n´ umero de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sint´etica que viene en rollos continuos de ancho uniforme, est´a dada por: x f (x)

0 0.41

1 0.37

2 0.16

3 0.05

4 0.01

Construya la funci´on de distribuci´ on acumulada de X.

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta Dada una V.A con funci´ on de masa f (x). El valor esperado de X se define como:

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Esperanza Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta Dada una V.A con funci´ on de masa f (x). El valor esperado de X se define como: X E (X ) = x · f (x) x

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Esperanza Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta Dada una V.A con funci´ on de masa f (x). El valor esperado de X se define como: X E (X ) = x · f (x) x

Valor Esperado de una Variable Aleatoria Continua Dada una V.A con funci´ on de densidad f (x). El valor esperado de X se define como:

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Esperanza Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta Dada una V.A con funci´ on de masa f (x). El valor esperado de X se define como: X E (X ) = x · f (x) x

Valor Esperado de una Variable Aleatoria Continua Dada una V.A con funci´ on de densidad f (x). El valor esperado de X se define como: Z +∞ E (X ) = x · f (x)dx −∞

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Esperanza

Ejemplo En un determinado juego de azar se paga 5 fichas a una persona si s´olo salen caras o sellos cuando se lanzan tres monedas, y ella pagar´a 3 fichas si salen una o dos caras. ¿Cu´al es su ganancia esperada?

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Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B

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Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B S = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss}

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B S = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss} A = {ccc, sss}

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B S = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss} A = {ccc, sss} B = {ccs, csc, scc, scs, ssc, css}

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B S = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss} A = {ccc, sss} B = {ccs, csc, scc, scs, ssc, css} E (X ) = (5)( 14 ) + (−3)( 34 ) = −1

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Esperanza Soluci´ on Sea X la variable aleatoria, el monto que el jugador puede ganar y los valores posibles de X son 5 si ocurre el evento A y -3 si ocurre el evento B S = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss} A = {ccc, sss} B = {ccs, csc, scc, scs, ssc, css} E (X ) = (5)( 14 ) + (−3)( 34 ) = −1 Por cada lanzamiento de las tres monedas, perder´a una ficha.

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Esperanza

Ejercicio Suponga que se lanza 4 veces una moneda cargada con probabilidad de que salga cara de 1/4. Si X es la variable aleatoria que cuenta el n´ umero de caras obtenidas en los 4 lanzamientos, hallar la esperanza de X.

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Esperanza

Ejercicio Suponga que se lanza 2 veces una moneda legal. Si X es la variable aleatoria que cuenta el n´ umero de caras obtenidas en los 4 lanzamientos, hallar la esperanza de X.

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Esperanza

Ejercicio Un inspector de calidad obtiene una muestra de un lote que contiene 7 componentes; el lote contiene 4 componentes buenos y 3 defectuosos. El inspector toma una muestra de 3 componentes. Calcule el valor esperado del n´ umero de componentes buenos en esta muestra.

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Esperanza

Ejercicio La distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es:    x  3−x 3 1 3 x 4 4 Para X = 0, 1, 2, 3. Halle E (X )

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Esperanza

Ejercicio Sea X la variable aleatoria que denota la vida u ´til en horas de cierto dispositivo electr´onico. La funci´ on de densidad de probabilidad esta dada por:

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza

Ejercicio Sea X la variable aleatoria que denota la vida u ´til en horas de cierto dispositivo electr´onico. La funci´ on de densidad de probabilidad esta dada por: ( 20000 Para x > 100 x3 f (x) = 0 En otro caso

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Esperanza

Ejercicio Sea X la variable aleatoria que denota la vida u ´til en horas de cierto dispositivo electr´onico. La funci´ on de densidad de probabilidad esta dada por: ( 20000 Para x > 100 x3 f (x) = 0 En otro caso Hallar la esperanza de vida u ´til.

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Esperanza

Ejercicio Si la utilidad para un distribuidor de un autom´ ovil nuevo, en unidades de $5000, se puede ver como una variable aleatoria X que tiene la siguiente funci´on de densidad: ( 2(1 − X ); para 0 < X < 1 f (X ) = 0; En otro caso

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Varianza de Una Variable Aleatoria

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Varianza de Una Variable Aleatoria

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Esperanza Matem´ atica Varianza de Una Variable Aleatoria

Varianza Ejercicio Supongamos que la variable aleatoria X representa el n´ umero de autom´oviles que se utilizan con prop´ ositos de negocios oficiales en un d´ıa de trabajo dado. y supongamos que se requiere analizar el promedio de dichos autom´ oviles y su varianza en dos empresas diferentes. De esta manera, la distribuci´ on de probabilidad para la variable aleatoria X en una empresa A es:

Y la distribuci´on de probabilidad para la variable aleatoria X en una empresa B es:

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Uniforme Discreta

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Uniforme Discreta

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Uniforme Discreta

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Uniforme Discreta

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Bernoulli

Un proceso de Bernoulli se caracteriza por: El experimento consta de ensayos repetidos. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como ´exito o fracaso. La probabilidad de un ´exito, que se denota con p, permanece constante de un ensayo a otro. Los ensayos repetidos son independientes.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Bernoulli

Ejemplo Suponga que en una f´abrica se produce un cierto articulo el cual posee una probabilidad de ser defectuoso de 1/5. Si se seleccionan 4 art´ıculos al azar, se inspeccionan y clasifican como defectuosos y no defectuosos.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Binomial

Si X es una variable aleatoria que designa el n´ umero X de ´exitos obtenidos en n ensayos de Bernoulli, esta se denomina variable aleatoria Binomial y su distribuci´ on recibe el nombre de Distribuci´on Binomial.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Binomial

Ejemplo Suponga que en una f´abrica se produce un cierto articulo el cual posee una probabilidad de ser defectuoso de 1/5. Si se seleccionan 4 art´ıculos al azar, se inspeccionan y clasifican como defectuosos y no defectuosos. Halle la funci´on de distribuci´ on de probabilidad para el numero de art´ıculos defectuosos. Halle E (X ) Halle la varianza de X

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Binomial

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Binomial

Ejercicio La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enferme dad sangu´ınea es de 0.4. Si se sabe que 15 personas contrajeron la enfermedad, ¿cu´al es la probabilidad de que Sobrevivan al menos 10. Sobrevivan de 3 a 8. Sobrevivan exactamente 5.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Binomial Ejercicio Se conjetura que hay impurezas en 30 % del total de pozos de agua potable de cierta comunidad rural. Para obtener informaci´on sobre la verdadera magnitud del problema se determina que debe realizarse alg´ un tipo de prueba. Como es muy costoso probar todos los pozos del ´area, se eligen 10 al azar para someterlos a la prueba. Si se utiliza la distribuci´on binomial: ¿cu´al es la probabilidad de que exactamente 3 pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es correcta? ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de 3 pozos tengan impurezas?

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Binomial

Ejercicio Se sabe que 60 % de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que: Ninguno contraiga la enfermedad; Menos de 2 contraigan la enfermedad; M´as de 3 contraigan la enfermedad.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Poisson

Un fen´omeno que produce un valor num´erico de una variable aleatoria en un intervalo de tiempo determinado, se denomina de Poisson

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Poisson

El n´ umero de resultados que ocurren en un intervalo o regi´on espec´ıfica es independiente del n´ umero que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o regi´ on del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.

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Poisson

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo muy corto o en una regi´ on peque˜ na es proporcional a la longitud del intervalo o al tama˜ no de la regi´ on, y no depende del n´ umero de resultados que ocurren fuera de este intervalo de tiempo o regi´on.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Poisson

La probabilidad de que ocurra m´as de un resultado en tal intervalo de tiempo corto o que caiga en tal regi´ on peque˜ na es insignificante.

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Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Poisson

El n´ umero medio de resultados se calcula a partir de µ = λt, donde t es el tiempo, la distancia, el ´area o el volumen espec´ıficos de inter´es. Como las probabilidades dependen de λ, es usual denotar la tasa de ocurrencia de los resultados con p(x; λt).

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Teoremas de Probabilidad Condicional Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Esperanza y Varianza de una Variable Aleatoria Algunas Distribuciones de Probabilidad Discretas

Uniforme Discreta Bernoulli y Binomial Poisson

Poisson

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribuci´on de Poisson con par´ametro λ > 0, si la funci´ on de masa es: P(X = k) =

e −λ λk k!

Donde λ es una tasa por unidad de tiempo, ´area, longitud, etc.

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Poisson

Si X ∼ Poisson(λ), entonces.

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Si X ∼ Poisson(λ), entonces. Valor Esperado E (X ) = λ

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Si X ∼ Poisson(λ), entonces. Valor Esperado E (X ) = λ varianza V (X ) = λ

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Poisson

Ejercicio Durante un experimento de laboratorio el n´ umero promedio de part´ıculas radiactivas que pasan a trav´es de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cu´al es la probabilidad de que entren 6 part´ıculas al contador en un milisegundo dado?

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicio La tecnolog´ıa cibern´etica ha generado un ambiente donde los robots funcionan con el uso de microprocesadores. La probabilidad de que un robot falle durante cualquier turno de 6 horas es de 0.10. ¿Cu´al es la probabilidad de que un robot funcione a lo sumo 5 turnos antes de fallar?

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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Ejercicio Se sabe que para cierto tipo de alambre de cobre ocurren, en promedio, 1.5 fallas por mil´ımetro. Si se supone que el n´ umero de fallas es una variable aleatoria de Poisson, Halle una formula para la probabilidad en 10 mil´ımetros. Halle una formula para la probabilidad en 0.5 mil´ımetros. ¿cu´al es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta parte de un alambre que tiene 5 mil´ımetros de longitud? ¿Cu´al es el n´ umero promedio de fallas en alguna parte.

Cristhian Leonardo Urbano Leon. Matem´ atico, MSc

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