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计算困难与其应对策略 数学不仅仅是出现在学校里，更是 我们日常生活中广为应用的技能， 那为什么大多数人还是害怕计算呢？

背景介绍 • 学习数学时产生的焦虑感会让学生产生自己愚笨的恐惧感， 对自己失去信心，从而导致不愿再接触数学。 • 教师在教学过程中必须意识到这一点后，以自身的经验设 身处境地为学生思考，给予更多的耐心和同情心，让学生 更轻松地做数学，让他们不再恐惧。

什么是计算能力？ • 全国计算策略（National Numeracy Strategy）将计算能力定 义为，一种运用数学与测量能力的自信水平与熟练水平。 • 学生需要计算的技能，同时必须有意愿和能力在各种情况 下解决问题。

解决什么问题？

为何需要数学思维能力？ • 如果学生具备数学思维能力，那么他就会表现的自信，相 信自己有能力解决问题。 • 一旦有了数学思维能力就能在现代社会自如地生活，比如 说：购物时能够知道买来的商品物有所值、判断自己的健 康、是否适合过马路、是不是应该冒险、如何对问题采取 行动……

学生在计算上存在困难的表现？ • 载客试种，学生的一些言谈可以让我们得知他正在经历书 学生的困难。 • 例子： • • • • •

6X8是多少？ 直接告诉我要做什么。 是加法运算吗？ 为什么不能用来除？ 烦死了、没兴趣！

• 另外的一些行为也包括： • 抄写出错 • 朝窗外看 • 干扰性行为 • 抄袭同学答案 这些举动都暗示着学生失去了兴趣、或 是太过焦虑，而不能对问题加以思考， 正是这种慌乱导致学生失去思维能力。

如何解决？ • 教师必须注意的举动 1. 不要忽视有问题的学生。 2. 言语缓和，不要使用尖酸刻薄的语气。 3. 引导解决问题的方法，而不是直接告诉他们答案。

数学的本质是什么？ • 从早期的报告来看。计算困难由来已久。数学省的对与错。 给人们带来了明显的成功与失败感。 • 海洛克（1991）发现。我们过多的强调如何熟悉运用数学 符号和运算方法、执行无意义的数学程序、布置分解问题 的任务等，并且这种情况有增无减。

• 例如“重复计算20个三角形的面积可以提 高学生解题的速度，但是却不能帮助他们 加深对三角概念的理解。学生不能立即什 么时候可以哟小运用这些技能。” • 数学教学可分为5个方面：常识、技能、概 念、策略和个人素质。

• 常识： 需要学习的名称、法则 • 技能：学生的而自信与水平要达到一定的 要求，就要在不使用计算机的情况下，实 践与巩固测量与计算。 • 概念： 理解数学的核心，理解了概念就能 解决与此概念有关的问题。 • 策略： 测试、完整、保持系统性。有一系 列的策略组成学生心中的概念。 • 个人素质：教师的素质

计算困难出现的原因及解决策略

教师要有能力对可能出现的数学障碍的本 质加以鉴定，并拥有一系列的策略来克服 这些障碍。

下面讨论课程中常见的潜在问题。

数学术语

• 术语给学生学习数学制造了许多困难。 • 学生可能由于不理解词、符号、基本原理的意义， 而不能辨别出数学问题。 • 或许他们知道所需要的技能，但是术语阻碍了他们 把技能付诸实施。

歧义 • 许多词有着精确的数学意义，同时，还有着更为普通的意义。 • 例如，“volume（音量、体积）”对学生而言，可能意味着 声音的响度。因此，教师讨论一个物体所占空间有多大时， 他们暂时会感到困惑。 • 另一方面，体积与容量在日常用语中依然会使人混淆。如： 多数瓶子贴有体积的标签，更确切地讲，这是瓶子的容量， 它所能承载的量。体积，准确来说，是瓶子这种器具的容量。

其他容易产生歧义的术语有： i. Even （甚至、偶数） ii. Regular （经常的、等边等角的） iii. Similar （相同的、相似的） iv. Average （普通的、平均的） v. Digit （手指、阿拉伯数字） vi. Face （脸、表面） vii. Prime （主要的、质数的）

更为复杂的概念有： i. Difference （差额） ii. Take-away （减掉） iii. Greater （更大的） iv. Less than （少于） v. More than （多于） vi. Borrowing （借位） vii. Shorter （更短的） viii. Longer （更长的）

• 这些术语可能使学生本来能做的题也做不出来。因此，学生与 教师应该进行足够的交流，确保学生考虑到术语的多种意义， 意识到种种情况下的数学本意。 • 此外，问题有不同的解读方式也容易令人误解。如： What is the difference between 24 and 9?

（24与9有什么区别？ / 24减9等于几？） 学生可能回答： 1.一个是平方，一个不是。 2.一个是基数，一个是偶数。 3.一个是两位数，一个是一位数。 4.15。

• 以上的回答全都是正确的，但是，只有最后那个答案是将 “difference”准确理解为数学上的意义。 • 若说上面三个是错误的答案，学生就会感到困惑、失败或 不满。 • 由此可以看出，提供问题出现的上下文情境有助于学生辨 别题目的本意。

数学基本原理、符号的使用及其联系

3x+2=14 n=k ∑(2n–1)=k² n=1 • 对于数学专业的人，以上是表达数学的句子。基本原理有其 规则，符号的意义则是准确而通用的。 • 然而，诸如位值、括号的使用等法则，学生却很容易搞糊涂。

• 要让学生掌握基本的数学原则，就要使用相对具体的物体和 图像、相对熟悉的术语。 • 数学语言是很有效力的，重要的原因在于它意义精确，没有 歧义。 • 对许多人而言，术语是再明显不过的障碍了。在第一个示例 中，教师可以提供以下的情景：

我有个数字，将它乘以3，再加上2，结果是14。 请问这个数字是几？ *** 3x+2=14 ***

• 以上是个学习数学术语、法则与符号的简化过程，目的在 于使学生能用代数运算来解读它们。 • 若学生可以回答，证明他理解方程式的运用，并对自己解 决方程式问题的能力感到非常自信。

阅读能力与理解

成绩评定小组（1983）研究发现，11岁的学生中有90%的人可以 “计算 50X2 等于几”，只有61%的学生能够计算“20的5倍是 多少”，73%的学生知道，“2.70平均分给两个小孩。每个人可 以得1.35”。然而，对于问题“把一块2.7米长的布做成两块台 布，要求大小一样，请问一块台布需要多少布”，只有27%的学 生给出正确答案“1.35米”。更为复杂的数学表达方式，不同 的情景都能使计算的难度加大。

• 计算的核心就在于，学生要有能力在非数学环境中阐释与 运用数学技能。

• 但是通常，当术语阻碍了学生掌握数学的时候，学生会产 生不必要的挫败感和失败感。 • 因此，教师需给予他们极大的帮助，鼓励他们用自己的话 将问题发表出来。 • 通过小组的合作过程，听了组员的表述之后，学生可能会 对问题有了更好的理解。

英语为第二语言的学生 • 有些学生在语言方面存在一定的困难，但是，仍然有可能成 为优秀的数学专业人士。 • 例如：新到英国的外国学生，他们的数学学得很好。 • 如果数学不是用言语，而是用适当的实用或视觉资源来授课 的话，他们就可能在提高第二语言的同时，继续发展自己的 数学思想。 • 运用这种方法，视觉障碍生、听觉障碍生也可以从中受益。

解读图表以及复杂的数据 • 广告界、政界、科学界、宣传品、周围环境等，都使用图表 与数据来使大众相信“事实”。

• 学生与成年人要想读懂数据，首要的技能就是解读它们，教 师的职责就是帮助学生鉴定出有偏倚的观点。 • 任何不能鉴定出错误数据的成年人，肯定存在特殊需要。

距离

成绩评定小组（1983）、哈特 （1981）、雷顿与史蒂文斯 （1999）等的研究表明，学生， 甚至是研究生，看到下列所示 的图表时，经常会出现误解。

时间 描述成爬山，在顶部散步，接着下山。

距离

• 我们经常强调如何教学生 制作图表，如今利用电脑， 我们可以用多种方法处理 与呈现数据。

时间

描述成向东北、正北方行走，然后向 西北方向行走。

• 教师应该用更多的时间讨 论数据的意义，促使学生 有信心解读统计表。 • 教师可以让小组学生针对 图表创作故事、进行评论 或辩论。

• 阿斯科与威廉（Askew & William,1995）,曾经提 议：“如果一般性的误解能够在教学中得以检查、公 布与讨论，学生学习就会更加有效。” • 教师扮演着仲裁者的角色，促进推理与实验的发展。 • 运用建构主义的方法促进学生的理解。 • 要学生理解结构或概念，就需要让他们亲自消除所有 不全面的观念和错误的观念。

• 减法的术语很复杂，原因在于减法可用于截然不同的概念思想。 • 分割方面：有7个苹果，吃掉了3个，还剩下几个？ • 比较方面：我11岁，妹妹4岁，我比她大几岁？ • 学生须理解减法如何运用，需要有能力进行减法运算。 • 教师必须有明确的教学目标和策略来帮助学生理解之间的差别。 • 例子：比较不同国家温度或人口数量的数据（差异方面的问题） 使用具体的材料提出合适的问题、设计出合适 的模式，帮助学生认识到具体情境需要何种相 应的计算。

• 比率、比例和百分比这三个概念关系十分密切 • 教师要运用适合的材料让学生建构、拓展并进一步发展概念。 • 例子：苏珊和莎拉两人分10块糖果，每次苏珊拿2块，莎拉拿3块。 最后她们各拿到几块？ 如果将c 按照 a:b 的比率分为 d与 e, 那么它们分别为： 𝑑=

𝑎𝑐 𝑎+𝑏

e=

𝑏𝑐 𝑎+𝑏

比率符号： 苏珊拿2块糖果设为a， 那么莎拉拿3块设为b，那每次就要5 块，即a+b, 这里有10块糖果设为c，那就是双倍。 苏珊：4块【d=ac / (a+b)】 莎拉：6块【e=bc / (a+b)】

苏珊：4块，占整 个糖果的2/5，或 40% 莎拉：5块，占整 个糖果的3/5，或 60%

• 学生要经常运用比例尺、标尺、温度计和其他工具进行测量， 要集合多种计量单位来理解概念、解决问题、完成计算。 • 教师也可以根据实际经历通过对比进行教学： a. 密度：给学生两个装着不同物体的相同容器，比如，装着沙 子与羽毛； b. 面积、长度体积方面：给学生两个体积相同，形状各异的容 器，或者两个表面积相等，形状不同的容器 • 教师也该教授学生如何使用工具，加深学生的理解。

• 作为教师，我们有责任提高学生的计算能力，重要的是 要相信学生有这方面的潜能。 • 研究已经表明“教师所能做的最重要的一件事就是要意识 到学生的数学能力不是一成不变的”（Askew & William , 1995) .