Trabajo 10 Vectores.pdf

COLEGIO JOSE CELESTINO MUTIS FÍSICA NOVENO GRADO Guía N°4 - Vectores Profesor: Ing. José Alexander Puerto Nombre: ________________________________________________ Grado: ________ Fecha: _____________

VECTORES DEFINICIÓN Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por: • • • •

Su origen o punto de aplicación, el punto O, y su extremo, el punto A. Su dirección, es la de la recta que lo contiene (que pasa por O y A). Su sentido, el que indica la flecha; es decir, el recorrido de la recta cuando nos trasladamos del punto O al punto A. Su módulo, la longitud del segmento ̅̅̅̅. Se expresa en Valor Absoluto |̅̅̅̅|. El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector se puede calcular de dos formas: A partir de sus componentes vertical y horizontal; o a partir de las coordenadas de los puntos. CALCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR A PARTIR DE SUS COMPONENTES HORIZONTAL Y VERTICAL El módulo de un vector es igual al valor absoluto de suma de los cuadrados de sus componentes. Es decir, se obtiene a partir de sus componentes, aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes:

⃗

(

), donde u1 y u2 son las componentes en x y y respectivamente. ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |

( √(

) )

“La disciplina, tarde o temprano, vencerá a la inteligencia.” Proverbio japonés

Ejemplo: Sean las componentes horizontal y vertical de un vector igual a (3, 4) respectivamente; determine el módulo del vector.

(

Ejemplo: Grafique y halle el módulo del vector

). (

Teniendo en cuenta lo visto anteriormente sabemos que

(

); entonces

y

Primero graficamos el vector. Para hacer esto ubicamos la componente horizontal sobre el eje horizontal con punto de inserción en el origen como se pide en el ejercicio. Luego ubicamos la componente vertical dándole como punto de inserción el extremo de la componente horizontal. Finalmente Dibujamos el vector con punto de inserción que coincida con el punto de inserción de la componente horizontal, y extremo que coincida con el extremo de la componente vertical.

)

Calculo del módulo:

⃗⃗⃗⃗⃗ | |

√(

⃗⃗⃗⃗⃗ | |

√

)

)

√(

El módulo del vector es | |

√(

)

√

ACTIVIDAD 1: En su cuaderno de Física, usando colores diferentes, dibujar las componentes horizontal y vertical de cada uno de los siguientes vectores y dibujar el vector resultante en cada caso. Luego, calcular el módulo de los siguientes vectores a partir de sus componentes vertical y horizontal. Sí no es una raíz exacta, expresar como numero decimal con un solo decimal. Ubicar el origen de todos los vectores en el punto (0, 0). 1. 3. ⃗⃗

( (

)

2. 4. ⃗

)

( (

) )

CALCULO DEL MÓDULO A PARTIR DE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS Sean las coordenadas de los puntos de origen (A) y el extremo (B)

Las componentes en x y y del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ se pueden calcular restando las componentes x y y de los puntos B y A respectivamente. (

)

(

)

El modulo del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ lo podemos calcular aplicando el teorema de Pitágoras a las componentes en x y y del vector.

“La disciplina, tarde o temprano, vencerá a la inteligencia.” Proverbio japonés

Ejemplo: Sean las coordenadas de los puntos de origen, A, y su extremo, B, determine el módulo del vector.

Ejemplo: Ubicar los puntos (

)

(

) en el plano cartesiano, dibujar el vector resultante y hallar su módulo.

Teniendo en cuenta lo visto anteriormente sabemos que el modulo del vector ⃗⃗⃗⃗ lo podemos calcular aplicando el teorema de Pitágoras a la diferencia de las coordenadas en x y y entre el extremo (K) y el origen (J) del vector, sabiendo que las coordenadas de J son: ( ) y las coordenadas de K son: ( )

(

)

Primero graficamos el vector. Para hacer esto ubicamos el punto en el plano cartesiano y hacemos lo mismo para el punto . Finalmente Dibujamos el vector ⃗⃗⃗⃗ desde hasta

⃗⃗⃗⃗

Calculo del módulo:

( (

)

.

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |

√((

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |

√((

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |

√

)

(

)

) ) (

(

)) )

)

√(

√

El módulo del vector ⃗⃗⃗⃗ es |⃗⃗⃗⃗ |

√

ACTIVIDAD 2: En su cuaderno de Física, ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano y dibujar el vector desde su origen a su extremo. Luego, calcular el módulo de los vectores a partir de sus coordenadas de origen y extremo. Sí no es una raíz exacta, expresar como numero decimal con un solo decimal. 1. 3.

( (

) )

( (

)

)

2. 4.

( (

)

)

(

(

)

)

TAREA: Ingrese a http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html lea acerca de los tipos de vectores y consigne en su cuaderno las definiciones y un ejemplo de cada uno.

DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES A partir del módulo de un vector y su ángulo de aplicación, este se puede descomponer en sus componentes vertical y horizontal. Esto se hace usando razones trigonométricas como se muestra a continuación:

y 𝑢 ⃗ 𝜃

“La disciplina, tarde o temprano, vencerá a la inteligencia.” Proverbio japonés

°

x

Ejemplo: Sea el vector ⃗ con modulo igual a |⃗⃗⃗⃗⃗| , con su punto de aplicación en el origen, y con un ángulo de aplicación de °. Hallar sus respectivas componentes en x y y, Ux y Uy.

( (

) )

ACTIVIDAD 3: En su cuaderno de Física, haciendo uso de transportador y regla, dibujar los siguientes vectores y sus componentes x y y . Luego, mediante las ecuaciones vistas en clase, calcular las componentes horizontal y vertical de cada uno y corroborar con las componentes graficadas. 1. 3.

⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | |

, ,

°

2. 4.

°

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗ | |

° °

, ,

ANGULO DE UN VECTOR A PARTIR DE SUS COMPONENTES Dadas las componentes horizontal y vertical (en x y y) de un vector, Ux y Uy. Se puede calcular el ángulo de aplicación del mismo, mediante el inverso de su tangente.

( Ejemplo: Hallar el ángulo de aplicación del vector ⃗⃗

(

)

)

( )

°

El ángulo de aplicación del vector ⃗⃗ es de 37° con respecto a la horizontal.

ACTIVIDAD 4: En su cuaderno de Física, calcule el ángulo de aplicación de los vectores de la actividad 1 y 2.

OPERACIONES CON VECTORES SUMA DE VECTORES Método Gráfico Para realizar la suma gráfica de dos o más vectores, se dibuja el primero a escala en un plano cartesiano. Luego al final del primero se ubica punto de origen del siguiente vector, respetando su dirección y sentido. Se hace lo mismo con los demás vectores a sumar. El vector resultante es el que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del último vector. Luego se mide la magnitud y ángulo de dirección del vector resultante.

“La disciplina, tarde o temprano, vencerá a la inteligencia.” Proverbio japonés

ACTIVIDAD 5: En su cuaderno de Física, aplicando el método gráfico y usando colores diferentes, dibujar las siguientes sumas de vectores planteadas, y dibujar el vector resultante en cada caso. Ubicar el origen de todos los vectores en el punto (0, 0). ⃗⃗

( (

) )

⃗

⃗⃗

1. 3.

( (

) )

2. ⃗ 4.

⃗⃗ ⃗

Método del Paralelogramo Se representan los dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo. El vector suma coincide con la diagonal del paralelogramo. Se mide la magnitud del vector resultante y su ángulo. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

ACTIVIDAD 6: En su cuaderno de Física, haciendo uso de transportador y regla, dibujar los siguientes vectores y sus componentes x y y . Luego, aplicando el método del paralelogramo, hallar la magnitud y ángulo de los vectores suma planteados. ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | | 1. 3.

°

, ,

° ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗ | | 2. ⃗ 4.

, ,

° °

⃗⃗ ⃗

Método Numérico o Analítico Para hallar la suma de dos vectores, se suman algebraicamente las componentes en x de los vectores y las componentes en y.

ACTIVIDAD 7: En su cuaderno de Física, aplicando el método analítico, hallar los vectores suma planteados, y usando colores diferentes, dibujar el vector resultante en cada caso. Ubicar el origen de todos los vectores en el punto (0, 0).

“La disciplina, tarde o temprano, vencerá a la inteligencia.” Proverbio japonés

⃗⃗

( (

)

)

⃗

⃗⃗

1. 3.

( (

2. ⃗ 4.

) ) ⃗⃗ ⃗

RESTA DE VECTORES Método Gráfico Para restar dos vectores libres ⃗ y ⃗ , se suma ⃗ con el opuesto de ⃗ , es decir, ⃗⃗⃗⃗⃗ .

ACTIVIDAD 8: En su cuaderno de Física, aplicando el método gráfico y usando colores diferentes, dibujar las siguientes restas de vectores planteadas, y dibujar el vector resultante en cada caso. Ubicar el origen de todos los vectores en el punto (0, 0). ⃗⃗

( (

) )

⃗

⃗⃗

1. 3.

( (

2. ⃗ 4.

) ) ⃗⃗ ⃗

Método Numérico o Analítico Para hallar la resta de dos vectores, se restan algebraicamente las componentes en x de los vectores y las componentes en y.

⃗

(

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

([

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

(

)

][

(

)])

)

ACTIVIDAD 9: En su cuaderno de Física, aplicando el método analítico, hallar los vectores suma planteados, y usando colores diferentes, dibujar el vector resultante en cada caso. Ubicar el origen de todos los vectores en el punto (0, 0). ⃗⃗ 5. 7.

( (

) )

⃗

⃗⃗

( (

6. ⃗ 8.

) ) ⃗⃗ ⃗

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