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Chapitre 8 : Diffusion

0. Préambule • Dans ce chapitre, on s’intéressera aux aspects microscopiques de l’agitation thermique. • La diffusion est le paradigme des processus stochastiques en physique. • L’équation de diffusion est générique. • Le lien entre diffusion microscopique et macroscopique est la température.

1. Agitation thermique • Mouvement Brownien : découvert par Brown en 1827 (grains de pollen au microscope)

- mouvement erratique - segments de trajectoire : MRU - trajectoire couvre le plan - pas de direction privilégiée

• Marche de l’ivrogne : modèle statistique du mouvement Brownien

2. Collisions et libre parcours • Description microscopique du mouvement Brownien : 1/τ

- fréquence des collisions :

- temps moyen entre deux collisions : τ - libre parcours moyen : ! = vτ

avec

1 mv 2 = kB T 2

• Libre parcours moyen :

!v 2d ! N 1 = 2 πd " V

1 != πd2 n

• Estimation du libre parcours moyen :

NA = 6 1023

particules

V = 22 10−3 m3 !0

r0

d

libre parcours moyen :

r = 0.15 nm ! "1/3 V d= ≈ 3.3 nm NA 1 N = 2 !0 πr0 V

section efficace

fréquence des collisions :

!0 ≈ 130 nm

f = v/!0 = 5 109 Hz

• vitesses individuelles et vitesse de groupe :

F! = !0 v != 0

vg = 0

v != 0

sur chaque portion du mouvement : ma = F F à chaque collision : vg = aτ = τ m

mobilité des particules : vg = µF

F! != !0

vg != 0

3. Equation de la diffusion • Vue macroscopique de la diffusion : densité et courant

ρ

x

densité :

ρ("r, t)

courant :

! r, t) = ρ(!r, t)!v (!r, t) J(!

• Loi de Fick : atténuation des hétérogénéités ρ J!

t t + dt

! J! = −D∇ρ

loi de Fick

x ! 2 " coefficient de diffusion D m /s

• Equation de continuité : conservation de la matière ! ! dm ∂ρ # n dS = dV = − J.# J! dt V ∂t S ! ! dm ∂ρ # J# dV dV = − ∇. dt V ∂t V ∂ρ # # + ∇.J = 0 ∂t équation de continuité

• Equation de la diffusion : ! J! = −D∇ρ

∂ρ = D∇2 ρ ∂t

∂ρ # # + ∇.J = 0 ∂t

• A une dimension : une solution

loi de la diffusion

∂ρ ∂2ρ =D 2 ∂t ∂x !

ρ0 (x − x0 ) ρ(x, t) = √ exp − 4Dt 4πDt

2

"

ρ != x0

√

2Dt x

4. Coefficient de diffusion • Particules soumises à une force F : F!

- apparition d’une vitesse de groupe : vg - potentiel associé : U = −F x

- deux courants : potentiel et diffusif

à l’équilibre : Jtot = Jpot + Jdif f = 0 ∂ρ Jtot = ρµF − D =0 ∂x ! " U solution type : ρ = ρ0 exp − kB T D = µkB T relation d’Einstein

(Boltzmann)

• Loi de Stokes-Einstein : particules Browniennes kB T D= 6πηr

F = 6πηRv

• Et dans les solides ? déplacement de matière via les lacunes

!

Ea D = D0 exp − kB T

"

5. En résumé microscopique

macroscopique ρ D

τ

x

lien D = µkB T température