Teorema Fundamental Da Algebra

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Vinicius Elias da Costa Uma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra Utilizando Álgebra Linear

Pontal do Araguaia, MT 2008

Vinicius Elias da Costa

Uma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra Utilizando Álgebra Linear

Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura Plena em Matematica da UFMT, como requisito para a obtenção parcial do grau de Licenciatura Plena em Matemática.

Orientador: Adilson A. Berlatto

Pontal do Araguaia, MT 2008

Vinicius Elias da Costa

Uma Demostração do Teorema Fundamental da Álgebra Utilizando Álgebra Linear

Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura Plena em Matematica da UFMT, como requisito para a obtenção parcial do grau de Licenciatura Plena em Matemática. Aprovação em 19/12/2008

Banca Examinadora: Prof. Dr. Adilson A. Berlatto - UNB Prof. Dr. Carlos Rodrigues da Silva -UNB Prof. Dr. Jocirei Dias Ferreira - USP

Pontal do Araguaia, MT 2008

Dedico este trabalho em primeiro lugar a Deus, minha mãe, minhas irmâs e minha namorada Mônica.

Agradecimentos São muitas as pessoas que gostaria de agradecer, não apenas por este trabalho, mas por terem tido participação na minha formação e na minha vida. Ao meu orientador , Prof. Adilson Antônio Berlatto, pelo apoio, incentivo, paciência, amizade e dedicação na realização deste trabalho. Agradeço a minha Mãe acreditar nos meus sonhos e fazer deles os seus, além das orações... Ao Professor Daniel e o meu amigo Valdiego (Libâneo) pelas sugestões no LATEX de formatação e modelos de tese. Agradeço a minha namorada Mônica pelo companheirismo, e por ter me dado força nos momentos de angústia. Agradeço a minhas irmâs Neide e Lucidalva, por entenderem minhas horas de estudo. Agradeço a Tia Nilva e o Lauro, pelo incentivo, e pelo empréstimo do P.C. Ao G7 (ou seria G5?) grupo de amigos do terceiro horário. Aos demais colegas e professores, pelas críticas e sugestões. E enfim, a toda minha família pelo apoio durante esta jornada.

”Euler deu a mais algébrica das demostrações da existência das raízes de uma equação polinomial... Acho injustiça atribuir tal prova exclusivamente a Gauss, que meramente adicionou os retoques finais”. (Georg Frobenius,1907)

Resumo Neste trabalho será apresentada uma das demonstrações do Teorema Fundamental da Álgebra, ao qual iremos nos referir somente como TFA. Nosso principal foco foi a sua demonstração que faz uso da álgebra linear. Para tanto estudamos alguns resultados importantes sobre espaços vetoriais, subespaço, autovalores, autovetores, endomorfismos (especialmente os que comutam). Resultados que sem os quais seria impossível a realização deste trabalho. Ao término do estudo onde foram utilizados diversas técnicas e teoremas dos conteúdos citados acima mostramos que todo polinômio complexo admite pelo menos uma raiz real. Palavras-chave: Espaços vetoriais , subespaços, endomorfismos, polinômio.

Abstract The abstract must present to the reader a short, but clear idea of the work being reported in the thesis. The precise definition and importance of the problem being addressed, the main objectives, motivations and challenges of the research are a good starting point for the abstract. The strategy or metodology employed in the research, its main contributions, and the most important results achieved may be part of the abstract as well. Notice that the resumo and the abstract must share the same page. Keywords: Document Processing, , Thesis Preparation, Technical Reports.

Sumário

Introdução

11

1

Uma breve história do Teorema

13

2

Definições e Resultados Preliminares

15

2.1

Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Subespaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1

Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.2

Espaços Vetoriais Isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.5

Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.6

Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.7

Subespaços Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3

Teorema Fundamental da Álgebra

27

3.1

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Conclusão

37 9

Referências Bibliográficas

38

Introdução O presente trabalho é uma apresentação da demonstração do Teorema fundamental da Álgebra, que se baseia no artigo científico “The Fundamental Theorem of Algebra and Linear Algebra”de Harm Derkesen, que pode ser encontado em DERKSEN [1]. Normalmente as demostrações deste teorema, usam idéias bastante avançadas e em geral, o TFA é utilizado em cursos de álgebra linear, porém sem muita ênfase, pois como já foi dito sua demostração exige uma matemática mais elaborada, que em geral os alunos ainda não conhecem. Este trabalho visa demonstrar o TFA de forma simples possibilitando assim uma maior compreenção dos alunos de graduação. Para isto utilizaremos basicamente conceitos e definições de Álgebra linear. Indicamos resultados importantes também relacionados aos números complexos. O capítulo 1 trata de uma breve história do TFA, onde destacaremos os pontos mais relevantes da trajetória de grandes matemáticos na busca de sua prova. O capítulo 2 estabelece resultados prévios que serão necessários para um melhor entendimento do leitor no capítulo posteriore. Dividimos estes resultados em seções, onde daremos início ao estudo dos espaços vetoriais sobre um corpo K, sem esquecer da dimensão e das somas diretas. Para que o leitor se familiarize com algumas definições, não vamos deixar de fora também uma seção sobre matrizes. Nesta seção apresentaremos alguns tipos muito importantes de matrizes, tais como matrizes simétricas, anti-simétricas, hermitianas, e anti-hermitianas. Dedicamos também uma seção especial para os subespaços

11

12

vetoriais, subespaços invariantes,e autovalores e autovetores. O capítulo 3 é dedicado inicialmente a demostração de alguns resultados, e juntamente com algumas definições dos capítulos anteriores iniciaremos a prova do TFA.

Capítulo 1 Uma breve história do Teorema Qualquer problema que possa ser solucionado através dos números, com certeza será tratado direta ou indiretamente por meio de equações, sendo estas equações, as expressões algébricas, trigonométricas, diferenciais, exponenciais ou de qualquer outra natureza onde aparece em sua escrita o símbolo de igualdade. Equacionar um problema é geralmente entendido como colocá-lo dentro de um mecanismo do qual ele poderá ser resolvido. Resolver uma equação sempre foi um desafio desde o início do conhecimento matemático. Várias civilizações apresentaram estudos em equações, os gregos, árabes, hindus, chineses e outros. Equações estas vindas de problema com áreas e volumes. Por volta de 800 d.C. , Al-Khawarizmi, fez este estudo, mas nessa altura ainda não se coloca o problema das soluções não reais. Girolamo Cardano é que compreendeu que se podia trabalhar com quantidades mais gerais. Onde acabou publicando tudo no seu livro Ars Magna, suas descobertas e também os estudos do professor Scipione Del Ferro por volta de 1520, sobre as raízes das equações do tipo x3 + px = q , x3 + q = px que Tartaglia havia descoberto em 1535. Vale ressaltar que Del Ferro chegou até estas descobertas, mas sem entendê-las muito bem. Décadas depois, mais precisamente em 1572, Bombelli publica no seu livro Álgebra um conjunto de regras para operar este novo conjunto, começava aí os ’números complexos’. 13

CAPÍTULO 1. UMA BREVE HISTÓRIA DO TEOREMA

14

É necessário deixar bem claro, que vários outros matemáticos que não foram citados aqui, tiveram contribuições importantes, mas resolvemos citar apenas os que estivaram mais diretamente ligados á trajetória do TFA.Homens estes que aperfeiçoaram as equações cúbicas, em geral italianos, constituíram um grupo de matemáticos tão interessante que nunca aconteceu na história. A maioria deles eram autodidatas, trabalhavam em contabilidade, problemas de juros compostos e de seguros.

Capítulo 2 Definições e Resultados Preliminares Dedicamos esta seção a apresentação de alguns resultados que serão utilizados subsequentemente. Daremos noções básicas de espaço vetorial, subespaço, matrizes, determinantes, autovalores e autovetores etc. Iniciamos com alguns conceitos de álgebra linear.

2.1

Espaços Vetoriais

Nesta seção definiremos o conceito de espaços vetoriais, e apresentaremos alguns exemplos. A notação K, por sua vez, designará um corpo qualquer. Definição 2.1.1 Um Espaço Vetorial consiste do seguinte: (1) Um conjunto não vazio V de objetos, denominados vetores. (2) Um corpo K (R ou C) de escalares. (3) uma operação de adição de vetores, que associa a cada par de elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto é, V é fechado com relação à operação de adição. Esta operação tem as seguintes propriedades: (A1 ) Comutatividade. u + v = v + u ; ∀ u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade.u + (v + w) = (u + v) + w ; ∀ u, v, w ∈ V . 15

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

16

(A3 ) Elemento Neutro. Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u ; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Simétrico. Para todo elemento u ∈ V existe o elemento −u ∈ V tal que u + (−u) = 0V ; ∀ u ∈ V . (4) uma operação de multiplicação por escalar, que associa a cada elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ K um elemento αu ∈ V , isto é, V é fechado com relação à operação de multiplicação por escalar. Esta operação tem as seguintes propriedades: (M1 ) Associativa. (αβ)u = α(βu) ; ∀u ∈ V e α, β ∈ K. (M2 ) Distributividade para a Adição de Elementos. α(u + v)= αu + αv; ∀u, v ∈ V e ∀α ∈ K. (M3 ) Distributividade para a Multiplicação por Escalar. (α + β)u = αu + βu; ∀u ∈ V e ∀α, β ∈ K. (M4 ) Elemento Identidade 1K u = u;∀u ∈ V . Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo K = R, dizemos que (V, +, .) é um espaço vetorial real. Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo K = C, dizemos que (V, +, .) é um espaço vetorial complexo. Exemplo 2.1.1 Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo. Este resultado pode ser encontrado em COELHO [11] ou PULINO [6]. Exemplo 2.1.2 O conjunto F (R) = {f : R → R| f é uma função}, com a operação de adição de elementos definida como:

(f + g)(x) = f (x) + g(x); ∀f, g ∈ F (R) e a multiplicação por escalar definida como: (λf )(x) = λf (x); ∀ f ∈ F (R) e λ ∈ R

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

17

Exemplo: Seja n ≥ 0 um número natural. O conjunto dos polinômios reais de grau ≤ n, com coeficientes reais que denotamos por Pn (R), munido da operação de adição de elementos e da operação de multiplicação por escalar definidas de modo análogo ao exemplo anterior, é um espaço vetorial real. Assim, todo elemento p(x) ∈ Pn ((R) é escrito na forma: p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn , com os coeficientes a0 , a1 , ..., an ∈ R, para todo x ∈ R

2.2

Subespaço vetorial

Definição 2.2.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Um subespaço vetorial de V é um subconjunto U de V que é um espaço vetorial sobre o corpo K com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar definidas em V . Exemplo 2.2.1 Verifiquemos que S = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z = 0} é um subespaço vetorial de R3 . (i) É fácil ver que 0 + 0 + 0 satisfaz 0 + 0 + 0 = 0. (ii) Sejam x1 , x2 ∈ U + W então xj = uj + wj , uj ∈ U, wj ∈ W, j = 1, 2. Agora, se λ ∈ R então x1 +λx2 = u1 +w2 + λ(u2 +w2 ) = (u1 +λu2 )+(w1 +λw2 ) ∈ U +W , pois U e W são subespaços vetoriais. Exemplo 2.2.2 O subconjunto de um espaço vetorial V formado apenas pelo elemento nulo é um subespaço vetorial de V . O próprio V como subconjunto de V é também um subespaço vetorial. Estes dois subespaços são chamados de triviais. Teorema 2.2.1 (Subespaço Vetorial) Um subconjunto não vazio U de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se, e somente se, para quaisquer elementos u, v ∈ U e para escalar λ ∈ K, temse que u + v ∈ U e λu ∈ U . Demonstração: A demonstração deste fato pode ser encontrado em PULINO [6].

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

18

Definição 2.2.2 Mn (K) é o conjunto das matrizes de ordem n sobre um corpo K, e Mnm (K) é conjunto das matrizes de ordem n x m sobre um corpo R. Exemplo 2.2.3 O conjunto das matrizes simétricas n x n: W1 = {A ∈ Mn |At = A} e o conjunto das matrizes anti-simétricas n x n, onde At é a matriz transposta de A: W2 = {A ∈ Mn |At = −A} são subespaços do espaço Mn das matrizes n x n, pois a soma de matrizes (anti-)simétricas é uma matriz (anti-)simétrica. O mesmo ocorre com a multiplicação por escalar. Este resultado pode ser encontrado em SANTOS [13]. Exemplo 2.2.4 O conjunto Pn dos polinômios de grau (o maior indice j tal que aj 6= 0) menor ou igual a n juntamente com o polinômio nulo é um subespaço dos polinômios P . Pois, a soma de polinômios de grau menor ou igual a n é um polinômio de grau menor ou igual a n e a multiplicação de um polinômio por escalar é um polinômio de mesmo grau. A demonstração deste fato pode ser encontrada em SANTOS [13].

2.3

Soma direta

Definição 2.3.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K . Sejam U e W subespaços vetoriais de V tais que U ∩ W = {0V }. Neste caso o subespaço U + W é denominado soma direta dos subespaços U e W , e denotamos por U ⊕ W . Este resultado pode ser encontrada em PULINO Exemplo 2.3.1 Considere os seguintes subespaços de Mn (R): U = {A ∈ Mn (R)|At = A} e W = {A ∈ Mn (R)|At = −A} das matrizes simétricas e anti-simétricas. Então Mn (R) = U ⊕ W. Este resultado pode ser encontrado em SANTOS [13].

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

2.4

19

Transformações Lineares

Podemos encontrar a demostração de todos os resultados desta seção em PULINO [6], LIPSCHUTZ [12] e SANTOS [13]. Definição 2.4.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e A uma aplicação de V em W . Dizemos que A é uma Transformação Linear se possui as seguintes propriedades: (a) A(u + v) = A(u) + A(v) para todo u, v ∈ V . (b) A(λu) = λu para todo u ∈ V , e λ ∈ K. Exemplo 2.4.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Vamos definir a seguinte transformação linear A(v) = v para todo v ∈ V , que é a transformação identidade, denotada por IV .

2.4.1

Núcleo e Imagem

Definição 2.4.2 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e A uma transformação linear de V em W . O conjunto Im(A) = {A(v)|v ∈ V } é denominado imagem da transformação A. Teorema 2.4.1 O conjunto Im(A) ⊂ W é um subespaço vetorial de W . Definição 2.4.3 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e A uma transformação linear de V em W . O conjunto Ker(A) = {v ∈ V /A(v) = 0W } é denominado núcleo da transformação A. Teorema 2.4.2 O conjunto Ker(T ) ⊂ V é um subespaço vetorial de V . Teorema 2.4.3 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K, com dim(V ) = n, e A : V → W é uma transformação linear. Então, dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = dim(V ).

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

2.4.2

20

Espaços Vetoriais Isomorfos

Definição 2.4.4 Se uma transformação linear e A : V → W é injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo, damos o nome de isomorfismo. Além disso, quando existe uma tal transformação linear entre dois espaços vetoriais dizemos que eles são isomorfos. Uma transformação linear A : V → V é um endomorfismo de V . Teorema 2.4.4 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com dim(V ) = n. Então, V é isomorfo ao espaço vetorial K n . Definição 2.4.5 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Denotamos por L(V ) o conjunto de todos os endomorfismos sobre V , isto é, L(V ) = {A : V → V /A é um endomorfismo} . Exemplo 2.4.2 O espaço Pn é isomorfo a Rn+1 e o espaço Mnm (R) é isomorfo a Rnm .

2.5

Matrizes

DEFINIR MATRIZES SIM E ANTI-SIM NO EXEMPLO 2.3.3 Definição 2.5.1 Seja A = [aij ] uma matriz quadrada . Dizemos que A é simétrica se At = A, isto é, aij = aji para todos i, j. Exemplo 2.5.1 As matrizes A e B dadas por: 



  5 1 2   1 + 2i 2 + i    A =  1 6 3 B =    2+i 3 2 3 8 são matrizes simétricas, isto é, At = A e B t = B.

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

21

Definição 2.5.2 Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-simétrica se At = −A, isto é, aij = −aji para todos i, j. Exemplo 2.5.2 As matrizes A e B  0 1   A= 1 0  −2 −3

dadas por:    −2 0 2 − i −3       3  B =  −2 + i 0 i     0 3 −i 0

são matrizes anti-simétricas, isto é, At = −A e B t = −B. Definição 2.5.3 Considere A = [aij ] uma matriz complexa de ordem m × n. A matriz obtida de A substituindo cada elemento por seu conjugado é denominada matriz conjugada da matriz A, que denotamos por A. Assim, A = [aij ]. Exemplo 2.5.3 Dada a matriz complexa:  1 + 2i i   A= 1 0  3 2 − 3i

   . 

A matriz conjugada de A, que denotamos por A, é obtida da seguinte forma:   1 − 2i −i     A= 1 0 .   3 2 + 3i Definição 2.5.4 Seja A = [aij ] uma matriz complexa de ordem m×n. Definimos a matriz transposta Hermitiana da matriz A, que indicamos por A∗ , como sendo a matriz A∗ = [aij ] de ordem n × m, isto é, A∗ = (At ). Exemplo 2.5.4 Dada a matriz complexa   1 + 2i i . A= 3 2 − 3i

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

22

A transposta Hermitiana da matriz A é dada por:  A∗ = 



1 − 2i

3

−i

2 + 3i

.

Teorema 2.5.1 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] matrizes complexas, com ordens compatíveis com as operações. Então, (i) (A + B) = A + B. (ii) (AB) = AB. (iii) (λB) = λB para qualquer λ ∈ C. (iv) (A)t = (At ). A demonstração pode ser encontrada em LIPSCHUTZ [12] Definição 2.5.5 Dizemos que uma matriz A = [aij ] complexa de ordem n é uma matriz Hermitiana se (A)t = A, isto é, aij = aji para todos i, j. Geralmente indicamos A∗ = A para denotar uma matriz Hermitiana. Exemplo 2.5.5 A matriz complexa 

1

  A = 1+i  2

1−i 2

∗

3 −i



  i .  0

é uma matriz Hermitiana, isto é,(A)t = A.

2.6

Autovalores e Autovetores

Nesta seção apresentaremos algumas definições e resultados básicos de autovalores e autovetores, além de

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

23

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo R, considerenos A:V → V um endomorfismo de V , isto é, uma aplicação linear de V nele próprio. Um elemento de v ∈ V é denominado autovetor de A se existe um número λ ∈ K tal que Av = λv. Se v 6= 0, então λ está determinado de modo único, pois λ1 v = λ2 v acarreta que λ1 = λ2 . Neste caso, dizemos que λ é um autovalor de A pertencente ao autovetor v. Também dizemos que v é um autovetor com autovalor λ. Se A é uma matriz quadrada n × n, então um autovetor de A é , por definição, um autovalor da aplicação linear A de K n nele próprio representada pela matriz A. Portanto, um autovetor X de A é um vetor (coluna) de K n para o qual existe λ ∈ K tal que AX = λX. Exemplo 2.6.1 Se A:V → V é um endomorfismo, e se v é um autovetor de A, então para qualquer escalar c 6= 0, cv é também um autovetor de A, com o mesmo autovalor. Teorema 2.6.1 Seja V um espaço vetorial, e λ um número. Se A:V → V é uma aplicação linear, então λ é um autovalor de A se, e somente se, A − λI não for invertível. Demonstração: Vamos admitir que λ é um autovalor de A. Então existe um elemento v ∈ V , v 6= 0 tal que Av = λv. Logo Av − λv = 0, e assim (A − λI)v = 0. Portanto o núcleo A − λI tem um elemento diferente de zero o que implica que A − λI não é invertível. De forma recíproca, suponhamos que A − λI não seja invertível. Pelo teorema do núcleo e imagem , vemos que A − λI deve ter um núcleo não-nulo, indicando assim que existe um elemento v ∈ V , v 6= 0, tal que (A − λI)v = 0. Portanto Av − λv = 0, e Av = λv. Logo, λ é um autovalor de A, e isto prova nosso teorema. Seja A uma matriz n × n, A = (aij ). Podemos definir o polinômio característico PA de A como sendo o determinante PA (t) = Det(tI − A), ou escrito com

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

t − a11 · · · ... PA (t) = · · · −an1 · · ·

−ain ··· t − ann

24

.

A matriz A também pode ser vista como uma aplicação linear de K n em K n , e também podemos dizer que PA (t) é o polinômio característico dessa aplicação linear. Teorema 2.6.2 Seja A:V → V uma transformação linear e V um espaço vetorial. Se λ ∈ R e det(A − Ix)(λ) = 0, então existe v ∈ V tal que A(v) = λv. Demonstração: Temos por hipótese que det(A − Ix)(λ) = 0, o que implica que a matriz A − λI não é inversível, portanto não é injetiva, isto é, Ker(A − λI) 6= {0}. Disto segue que existe v ∈ V Ker(A − λI), ou seja: (A − λI)v = 0 Av − (λI)v = 0, isto é, Av =λv Proposição 2.6.1 Seja A : V → V um endomorfismo onde λ é autovalor de A, e ainda W =Ker(A − λI) e Z=Im(A − λI), então W e Z são invariantes sobre A. Demonstração:

i) Seja v ∈ Z , então v = (A − λI).u para algum u ∈ V. Como v ∈ Z, basta verificarmos que A(v) ∈ Z. A(v) = A(A − λI).u = A(Au − λu) = AAu − λAu = (AA − λA)u = (A − λ)uA = (A − λI)(Au). Com isto A(v) ∈ Z e portanto Z é invariante sobre A.

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

25

ii)Seja w ∈ W , então (A − Iλ)w = 0. Como w ∈ W basta verificarmos que Aw ∈ W.

(A − λI)(Aw) = A(Aw) − λI(Aw) = A(Aw) − A(λIw) = A(Aw − λIw) = A((A − λI)w). Como (A − λI)w = 0 segue que Aw = 0. Então A(w) = 0 ∈ W , pois o núcleo é um subespaço de V , assim W é invariante sobre A.

2.7

Subespaços Invariantes

Consideremos um espaço vetorial V sobre o corpo K, e seja A : V → V um endomorfismo de V . Seja W um subespaço de V . Diremos que W é um subespaço invariante sobre A se Aw pertencer a W para cada w em W ,ou seja, se A(W ) estiver contido em W . Exemplo 2.7.1 Seja v1 um autovetor não-nulo de A ,e seja V1 o espaço de dimensão 1, gerado por v1 . Então v1 é um subespaço invariante por A. Exemplo 2.7.2 Seja λ um autovalor de A,e seja Vλ o subepaço de V formado por todos os v ∈ V tais que vλ = λv.Então Vλ é um subespaço invariante por A,denominado auto-espaço de λ. Exemplo 2.7.3 Seja f (t) ∈ K[t] um polinômio, e seja W o núcleo de f (A). Então W é um subespaço invariante por A. Demonstração: Vamos supor que f (A)w = 0. Como tf (t) = f (t)t resulta que Af (A) = f (A)A, onde f (A)(Aw) = f (A)Aw = Af (A)w = A0 = 0. Logo, Aw também pertence ao núcleo de f (A), e com isso fica provado. Observemos que, em geral, para dois f e g quaisquer, vale f (A)g(A) = g(A)f (A) pois

CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS PRELIMINARES

26

f (t)g(t) = g(t)f (t). Passamos agora a descrever como a decomposição de um polinômio num produto de dois fatores cujo máximo divisor comum é 1 e dá origem a uma decomposição do espaço vetorial V numa soma direta de subespaços invariantes.

Capítulo 3 Teorema Fundamental da Álgebra 3.1

Preliminares

Nesta seção demonstraremos alguns resultados, que juntamente com as definições dos capítulos anteriores facilitarão a prova do TFA. Teorema 3.1.1 (Teorema do Valor Intermediário) Suponha que f é uma função contínua num intervalo [a, b] dos números reais, e seja N um número entre f (a) e f (b),onde f (a) 6= f (b). Então existe um número c pertencente a (a, b) tal que f (c) = N . Atilizaremos o teorema dos valor intermediário para garantir a existência de uma raiz em uma função polinomial num certo intervalo, pois se trata de uma função contínua. Lema 3.1.1 Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais têm uma raiz. Demonstração: Consideremos o polinômio P (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an com a1 , ..., an ∈ R e n ímpar. Queremos provar que existe um λ no intervalo [−a, a] tal que P (λ) = 0. ( i ) Seja b = |a1 | + ... + |an | + 1 então P (b) = bn + a1 bn−1 + ... + an bn . Como bn = b.bn−1 segue que, 27

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

28

(|a1 | + ... + |an |)n = (|a1 | + |a2 | + ... + |an | + 1).(|a1 | + ... + |an |)n−1 = (|a1 | + |a2 | + ... + |an | + 1)bn−1 . Pela distributividade no segundo membro da equação anterior temos: |a1 | .(b)n−1 + |a2 | .(b)n−1 + ... + |an | .(b)n−1 + (b)n−1 . Veja que (b)n ≥ (b)n−1 , dividindo por b os membros da desigualdade assim, (b)n−1 ≥ (b)n−2 disto segue que, |a1 | .(b)n−1 + |a2 | .(b)n−1 + ... + |an | .(b)n−1 + (b)n−1 ≥ |a1 | .bn−1 + |a2 | .(b)n−2 + ... + |an | .bn−2 + bn−2 ≥ |a1 | .bn−1 + |a2 | .(b)n−2 + ... + |an−2 | .bn−(n−2) + |an−1 | bn−(n−1) + |an | bn−n + bn−n = |a1 | .bn−1 + |a2 | .(b)n−2 + ... + |an−1 | .b + |an | + 1 ≥ −a1 .bn−1 − a2 .(b)n−2 − ... − an−1 .b − an + 1. pois |aj | ≥ −aj , ou seja, o máx {−aj , aj } = |aj |. com isto, bn ≥ (−a1 .bn−1 − a2 .(b)n−2 − ... − an−1 .b − an ) + 1. que implica em bn + a1 .bn−1 + a2 .bn−2 + ... + an−1 .b + an ≥ 1. Portanto P (b) ≥ 1 > 0. (ii) Por outro lado −b = − |a1 | + ... + |an | + 1 então P (−b) = −bn + a1 bn−1 + ... + an .bn como (−bn = −b.bn−1 ), segue que, (|a1 | + ... + |an |)n = (− |a1 | − |a2 | + ... − |an | − 1).(|a1 | + ... + |an |)n−1 . De modo análogo ao item (i) temos: −|a1 | .(b)n−1 − |a2 | .(b)n−1 − ... − |an | .(b)n−1 − (b)n−1 . como (b)n−1 ≥ (b)n−2 segue que,

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−|a1 | .(b)n−1 − |a2 | .(b)n−1 − ... − |an | .(b)n−1 + (b)n−1 ≤ −|a1 | .bn−1 − |a2 | .(b)n−2 − ... − |an | .bn−2 − bn−2 ≤ −|a1 | .bn−1 − |a2 | .(b)n−2 − ... − |an−2 | .bn−(n−2) − |an−1 | bn−(n−1) − |an | bn−n − bn−n = −|a1 | .bn−1 − |a2 | .(b)n−2 − ... − |an−1 | .b − |an | − 1 ≤ a1 .bn−1 + a2 .(b)n−2 + ... + an−1 .b + an + 1. pois −|aj | ≤ aj , Com isto, −bn ≤ (a1 .bn−1 + a2 .(b)n−2 + ... + an−1 .b − an ) + 1 o que implica em −bn − a1 .bn−1 − a2 .bn−2 − ... − an−1 .b − an ≤ 1. Portanto P (−b) ≤ 1 < 0 Pelo teorema do valor intermediário existe um λ no intervalo [−a, a] tal que P (λ) = 0. Lema 3.1.2 Todo número complexo admite uma raiz quadrada. Demonstração: Seja o número complexo Z = α + βi com α, β ∈ R e considere kZk = r ≥ 0. p β α Então r = α2 + β 2 , senθ = e cosθ = isto é, β = rsenθ e α = rcosθ r r assim, α + β = rcosθ + rsenθ o que implica Z = r(cosθ + isenθ). √ √ √ Daí α + βi = r cosθ + isenθ. Veja que:    2 2   √ √ 2 θ θ θ θ 2θ 2θ r cos + isen = ( r) cos + isen = r cos + isen 2 2 2 2 2 2 = rcosθ + irsenθ = α + βi. portanto, 

√

é uma raiz quadrada de α + βi.

  θ θ r cos + isen 2 2

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A proriedade a seguir será de fundamental importância para provar os lemas posteriores. Primeiramente vamos definir o que é P(K, d, r). P(K, d, r) é uma proriedade válida em um corpo K contendo r endomorfismos sobre um espaço vetorial V de dimensão finita n, tal que d não divide n. Propriedade 1 P(K, d, r) é verdadeira para algum r endomorfismo que comuta A1 , A2 , ..., Ar de um espaço vetorial V de dim n tal que d não divide n,então existe um autovalor comum. Exemplo 3.1.1 Seja um corpo K. Então K é um espaço vetrial sobre si mesmo e de dimensão 1. De fato, o elemento 1 de K constitui uma base de K sobre K, pois qualquer elemento x ∈ K se expressa de forma única por x =x.1.

Lema 3.1.3 Se P (K, d, 1) é verdadeira, então P (K, d, r) é verdadeira para ∀r ≥ 1. Demonstração: Hipótese:P (K, d, 1) é verdadeira, isto é, se K contém um endomorfismo sobre um espaço vetorial V , este gera uma base,e portanto contém um autovetor comum. Provaremos o lema por indução sobre r. Se r = 1, a proposição, por hipótese é verdadeira, isto é, dados r − 1 endomorfismos que comutam, definição do o espaço vetorial V sobre o corpo K onde d não divide n, então estes endomorfismos possuem um autovetor. Queremos provar que P (K, d, r) é verdadeira. Faremos por indução sobre n = dimV . Sejam A1 , A2 , ..., Ar endomorfismos que comutam, definidos sobre V tais que d não divide n. Se n = 1 P (K, d, r) é verdadeira, pois dimV = 1, isto implica que V é isomorfo a K, isto é, dado T : V → V linear: (T (K.u) = K.T (u)) então T (v) = T (v.1) = v.T (1), chamando T (1) = λ, temos T (v) = λv, ∀v ∈ V com v 6= 0.Suponhamos que n > 1. Como P (K, d, 1) é verdadeira, por hipótese, temos que Ar possui um autovetor. Seja λ ∈ K um autovalor associado. Sejam W = Ker(Ar − λI). Pela proposição 1 do capítulo anterior, segue que W e Z são invariantes sobre A1 , A2 , ..., Ar .Isto que dizer que A1 , A2 , ..., Ar são endomorfismos que comutam definidos nos espaços vetoriais W

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e Z. Se W 6= Z, temos que dim W < n. Como dimW + dimZ = n, segue que d não divide a dimW ou d não divide a dimZ , pois d não divide n. Como dimW 6= 0 (pois Ar possui autovetor), segue que dimW < n e dimZ < n. Por indução sobre n, temos que P (K, d, r) é verdadeira em W ou em Z. Logo P (K, d, r) é verdadeira em V .Suponhamos agora que W = V . Como P (K, d, r − 1) é verdadeira por hipótese de indução,A1 , A2 , ..., Ar−1 possuem um autovetor comum, digamos v ∈ V . Como W = V , segue que v ∈ Ker(Ar −λI). Daí (Ar −λI)v = 0, ou seja Ar (v) = λv. Logo v é autovetor de Ar e , portanto, um autovetor em comum para A1 , A2 , ..., Ar . Assim P (K, d, r) é verdadeira como queriamos demonstrar. Lema 3.1.4 Seja V um espaço vetorial de dimensão ímpar sobre R. Então P(R, 2, r) é verdadeira, ou seja dados A1 , ..., Ar endomorfismos comutando, então eles possuem um autovetor comum. Demonstração: Vamos provar que P(R, 2, 1) é verdadeira.Seja A um endomorfismo de V , com V tendo dimensão ímpar,então det(A − Ix) é um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais. Então segue pelo lema 4.0.1 que este polinômio admite uma raiz. Consequentemente esta raiz é um autovalor de A. Logo A possui um autovetor.Pelo lema anterior, P (R, 2, r) é verdadeira , ∀r ≥ 1. Observação 3.1.1 Considere V = Hermn (C), o conjunto das matrizes hermitianas de ordem nxn sobre os C. Vamos definir L1 ,L2 : V −→ V ,como: L1 (B) =

AB + BA∗ AB − BA∗ , L2 (B) = , ∀B ∈ V. 2 2i

Aqui A∗ = At é tranposta do conjugado da matriz A, assim como definimos no capítulo anterior. Então existe um autovetor comum de L1 e L2 ,digamos X.Daí, existem λ e µ ∈ R tal que: L1 (X) = λXL2 (B) = µX

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Assim, (L1 + iL2 (X)) = L1 (X) + iL2 (X) =

AX − BX ∗ AX + BX ∗ +i = AX. 2 2i

Veja que L1 e L2 são endomorfismos sobre V : Sejam A = (aij ), A∗ = (xij ) e B = (bij ). Então: (AB + BA∗ )ij

= = =

(AB)ij + (BA∗ )ij n X X aik bkj + bil xlj k=1 X

aik bkj +

k=1

k=1 X

bli ajl

k=1

xij = aji

pois

Ainda veja que L1 e L2 comutam:

L1 (L2 (X)) = L1

AB − BA∗ 2i

AB − BA∗ A 2i

!

AL2 (B) + L2 (B)A∗ 2

!

=

! AB − BA∗ A∗ 2i

+ 2

AAB − ABA∗ 2i =

=

=

! +

ABA∗ − BA∗ A∗ 2i

2 (AAB − ABA∗ ) + (ABA∗ − BA∗ A∗ ) 4i

A2 B − BA2∗ = . 4i De modo análogo temos que:

!

32

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

L2 (L1 (X)) = L2

AB + BA∗ 2

AB + BA∗ A 2i

! =

AL1 (B) − L1 (B)A∗ 2i

!

=

33

! AB + BA∗ A∗ 2i

− 2

AAB + ABA∗ 2i =

! −

ABA∗ + BA∗ A∗ 2i

!

2

=

(AAB + ABA∗ ) − (ABA∗ + BA∗ A∗ ) 4i

=

A2 B − BA2∗ . 4i

Lema 3.1.5 P (C, 2, 1)é verdadeira, isto é, todo endomorfismo de um espaço vetorial complexo de dimensão ímpar tem um autovetor. Demonstração: Queremos provar que P (C, 2, 1) é verdadeira. Então, seja A : Cn −→ Cn um endomorfismo sobre o espaço vetorial Cn sobre C, com n ímpar. Precisamos mostrar que A possui um autovetor (isto é ,P (C, 2, 1)é verdadeira). Considere V = Hermn (C), o conjunto das matrizes hermitianas de ordem nxn sobre os C. Vamos definir L1 e L2 : V −→ V ,como: AB + BA∗ , 2 AB − BA∗ , ∀B ∈ V. L2 (B) = 2i L1 (B) =

Então existe um autovetor comum de L1 e L2 ,digamos X.Daí, existem λ e µ ∈ R tal que: L1 (X) = λX e L2 (B) = µX. Assim,

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

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(L1 + iL2 (X) = L1 (X) + iL2 (X) AX + BX ∗ AX − BX ∗ +i = 2 2i = AX. Observe que dim(V ) = n2 é impar. Então pelo lema anterior P (R, 2, 2) é verdadeira, o que implica que L1 e L2 tem um autovetor comum, digamos X.Consideremos as matrizes A = (aij )m∗n e X = (xij )n∗m . Temos que B possui uma coluna não-nula, digamos que seja a primeira coluna. Seja v = (x11 , x21 , x31 , ..., xn1 )T a primeira coluna de X. Temos que: Como AX = (λ + µi)X, segue que (AX)jk = [(λ + µi)X]jk , ∀ j, k = 1, ...n. Daí: (AX)jk =

∞ X

ajl xlk = [(λ + µi)X]jk = (λ + µi)xjk

n=0

Com isto, (AX)jk =

∞ X

ajl xlk =(λ + µi)xjk , ∀ j, k = 1, ..., n.

n=0

Logo AX = (λ + µi)X. Assim, Av = (λ + µi)(x11 , x21 , x31 , ..., xn1 )T = (λ + µi)v. Portanto v é um autovetor comum de A o que implica que P (C, 2, 1)é verdadeira. Lema 3.1.6 P (C, 2k , r) é verdadeira para todo k e r. Demonstração: Pelo lema 3, basta provar que P (C, 2k , 1) é verdadeira. Vamos provar por indução sobre K. Para K = 1 o lema fica provado (pelos lemas 2 e 5). Suponha que 1 ≤ K < K e que P (C, 2l , r) seja verdadeira para qualquer espaço vetorial. Vamos provar que P (C, 2k , 1) é verdadeira. Ou seja, que todo o endomorfismo sobre um espaço vetorial sobre (C, onde a dimensão n não é divisível por 2k , possui um autovalor em C. Seja A : C → C. Se 2k−1 n, por indução P (C, 2k−1 , 1) é verdadeira, isto é, A possui autovalor em C. Suponha então

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

35

que 2k−1 | n. Seja V = M ASn (C) e considere os endomorfismos L1 (B) = AB + BAt e L2 (B) = ABAt que comutam. Veja que L1 e L2 são endomorfismos sobre V. (AB + BAt )ij

= (AB)ij + (BAt )ij n n X X = Aik Bkj + Bil Atlj

=

=

=

k=1

l=1

n X

n X

Aik Bkj +

k=1

l=1

n X

n X

Aik Bkj −

k=1

l=1

n X

n X

Aik Bkj −

k=1

Bil Ajl

Bli Ajl

Bjl Ali

l=1

= (AB)ij − (AB)ji Veja ainda que L1 e L2 comutam: 2

L1 (L2 (B))=L1 (ABAt ) = A(ABAt ) − (ABAt ) = A2 BAt − ABAt . 2

L2 (L1 (B))=L2 (AB − BAt ) = A(AB − BAt )At = A2 BAt − ABAt . Portanto L1 (B) = L2 (B). n(n − 1) (veja LEMA X). Usando a hipótese de indução, 2 P (C, 2k , 1) é verdadeira, para o espaço V , isto é, Observe que 2k−1 | dimV =

L1 e L2 possuem um autovetor em comum, digamos B ∈ M ASn (C).Daí L1 (B) = λB e L2 (B) = µB. Segue que: µB = ABAt = A(AB − λB) então (A2 − λA − µI)B = 0. Seja v uma matriz coluna não-nula de B. Assim, (A2 −λA−µI)v = 0, que um polinômio de matrizes com grau 2. Veja que (A2 − λA − µI)B = (A − αI)(A − βI) com α e β ∈ C. √ Pelo lema 3.0.2, existe um δ ∈ C, tal que, δ 2 = λ2 + 4µ. Observe que δ = ∆ o que resulta que δ 2 é igual ao discriminante do polinômio do 2o grau. E λ são respectivamente a (λ + δ) soma e o produto das raízes α e β do polinômio.Assim temos como raízes α = e 2

CAPÍTULO 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

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(λ − δ) . E segue que (A − λI)w = 0, onde w = (A − βI)v. Se w = 0, então v é um 2 autovetor de A com autovalor β; Se w 6= 0 então w é um autovetor de A com autovalor α. β=

E assim ficando provado o lema. Teorema 3.1.2 Se A1 , ..., Ar são endomorfismos que comutam de dimensão finita nãonula de um espaço vetorial complexo V, então eles tem um autovetor comum. Demonstração: Seja n a dimensão de V . Então existe um inteiro positivo k tal que 2k não divide n. Assim pelo lema 3.0.6 todo o endomorfismo sobre um espaço vetorial sobre C, onde a dimensão n não é divisível por 2k , possui um autovalor em C, ficando provado assim o teorema.

3.2

Teorema Fundamental da Álgebra

Aqui inicia-se a demostração do TFA. Teorema 3.2.1 (Teorema Fundamental da Álgebra). Se P (x) é um polinômio não-constante com coeficientes complexos, então existe um λ ∈ (C tal que P (λ) = 0. Isto é suficiente para provar para este polinômio mônico. Suponha que: p(x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an .Então p(x) = det(xI − A), onde A é a matriz companheira de P :       A=    

0 0 ··· 1 0 ··· 0 .. .

1 ··· .. . . . . ···

0

−a0



  0 −an−1    −an−2    .. ..  . .  1 −a1

n×n

O teorema 3.12, implica que A tem um autovalor complexo λ ∈ C, de onde segue que p(λ) = 0.

Conclusão De acordo com ........................

37

Referências Bibliográficas [1] DERKSEN, Harm. The Fundamental Theorem of Algebra and Linear Algebra. The Mathematical Association of America- Monthly 110 - 2003. [2] ROCHA , Vanessa; TOOM, André . Senhora com cachorro. Revista do professor de matemática n.40, 1999 - Pag.23. [3] ISRAEL, Teorema Fundamental da Álgebra. Disponível em: < http\\ www.mat.ufmg.br\∼ israel\ Ensino\AlgebraI\Expos\teorfund_alg_wiki.htm >. Acesso em: 30 Setembro de 2007. [4] LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear (Terceira edição). Instituto de Matemática Pura e Aplicada ( IMPA), CNPq,1998 - Coleção Matemática Universitária -Rio de Janeiro. [5] FINE, B. e ROSENBERGER, G. The Fundamental Theorem of Algebra, Springer, New York, 1948. [6] PULINO, Petronio. Álgebra Linerar e suas aplicações - Notas de aulas. Disponível em: . Acesso em: 25 de Julho de 2008. [7] PINEDO, Christian Q.- Equações: Quadráticas, Cúbicas e Quarticas. VII EREMATSUL - CEFET-PR UNED-PB COMAT outubro2001. [8] PINEDO, Christian Q.- História das Equações. VII EREMATSUL - CEFET-PR UNED-PB COMAT outubro2001 p. 5-15.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[9] GONÇALVES, Adilson; SOUZA, Rita M. L. de. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: Edgard Blucher, 1977. [10] HOFFMAN, kenneth; KUNZE, Ray. Linear Algebra. Second edition. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brazil, 1971. [11] COELHO,Flávio Ulhoa. Um Curso de Álgebra Linear/Flávio Coelho,Mary Lilian Lourenço.-2a ed. rev. e ampl. 1. reimp.-São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2007. [12] LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: Teoria e Problemas. 3a edição. São Paulo: Person Makron Books, 1994. [13] SANTOS,Reginaldo J. Álgebra Linear e Aplicações/ Reginaldo J. Santos-Belo Horizonte: Imprensa Universitária UFMG, 2002.