Identifica Da Fundamental

INTEGRAÇÃO CONTÍNUA DOS COEFICIENTES DA SÉRIE DE FOURIER PARA IDENTIFICAÇÃO DA FUNDAMENTAL Alexandre Candido Moreira1 , César Daltoé Berci2 , Rafael...3 1

2

alexandre... UNICAMP, CAMPINAS, BRASIL, [email protected] 1 rafael...

Resumo Resumo... Keywords: Integração Contínua, Serie de Fourier, Identificação da Fundamental

a0 ai

1. INTRODUÇÃO

= =

Introdução... bi

=

2. SERIE DE FOURIER O estudo de sinais periódicos é de extrema relevância em diversas áreas da engenharia, onde pode-se citar sistemas de controle, processamento digital de sinais, análise da qualidade da energia elétrica entre outros. Esta vasta gama de aplicações torna esse tema objeto de interesse de matemáticos, físicos e engenheiros desde épocas remotas. Ainda no século XIX, Jean-Baptiste Joseph Fourier1 estudou sistematicamente séries infinitas as quais aplicou a solução da equação do calor, publicando seus resultados em 1807 e 1811, porém, estes não apresentavam uma notação concisa, introduzida posteriormente em seu trabalho por Dirichlet e Riemann. Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de sinais periódicos, comumente chamados de componentes harmônicos. Atualmente esse tipo de estudo é por vezes definido como análise harmônica. Neste trabalho, nos restringimos ao estudo da série de Fourier trigonométrica, definida pela equação 1:

f (t) = a0 +

∞ X

[ai cos(iωt + θ) + bi sin(iωt + θ)]

(1)

i=1

onde os coeficientes a0 , ai e bi são dados por: 1 Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830, foi um matemático e físico francês

2 T

Z

2 T

Z

2 T

Z

t+T

f (t)dt

(2)

f (t) cos(iωt)dt

(3)

f (t) sin(iωt)dt

(4)

t t+T

t t+T

t

2.1. Componente Fundamental Em análise harmônica, da-se o nome de componente fundamental ao sinal:

fu (t) = a0 + a1 cos(ωt + θ) + b1 sin(ωt + θ)

(5)

Aplicando algumas propriedades trigonométricas à equação 5, obtém-se a seguinte representação para componente fundamental:

fu (t) A

= a0 + A sin(ωt + φ) q a21 + b21 =

(7)

φ

=

(8)

arctan(a1 /b1 )

(6)

Dessa forma, o objetivo principal do presente trabalho resume-se a, dado um sinal periódico amostrado qualquer, com período conhecido, identificar a função fu (t) dada pela equação 6, mais precisamente, pretende-se conhecer A e φ desse sinal. Para tanto, consideremos o sinal amostrado dado na Figura 1, com período 1/60 e freqüência de amostragem de fa = 1kH:

a função f (t) por uma função interpoladora f 0 (t), dada por uma reta ligando dois pontos amostrais consecutivos: f 0 (t) = at + b

(16)

onde a e b são dados por:

a

=

b

=

f (k) − f (k − ∆k) ∆k f (k − ∆k)k − f (k)(k − ∆k) ∆k

(17) (18)

Existe ainda a possibilidade de escolher funções interpoladoras diferentes, o que pode ser adequado em algumas situações. O coeficiente a0 por conter apenas o sinal amostrado, é calculado com a equação (13), ou outro método numérico de integração. Os coeficientes a1 e b1 por sua vez, são calculados como segue: Coeficiente a1 :

Figura 1 – Sinal periódico

Esse sinal é descrito pela seguinte equação: f (t) = 10 sin (120 π t + 1/8 π) + sin (360 π t + 1/8 π) + 2 + sin (840 π t + 1/8 π)

a1

+ sin (1200 π t + 1/8 π) + 2 sin (1440 π t + 1/8 π) +3 sin (3000 π t + 1/8 π)

(9)

=

T fa a1 /2

2 T fa Z k

Z

(at + b) cos(ωt)dt k−∆k

=

(at + b) cos(ωt)dt k−∆k Z k

Portanto, a componente fundamental desse é dada por: = f (t)

=

10 sin (120 π t + 1/8 π)

(10)

A

=

10

(11)

φ

=

1/8 π

(12)

=

n 2 X f (k) T fa j=1

(13)

a1

=

n 2 X f (k)cos(k) T fa j=1

(14)

b1

=

n 2 X f (k)sin(k) T fa j=1

(15)

a0

+

b cos(ωt)dt k−∆k

Z

a (cos (wt) + wt sin (wt)) w2 b sin (wt) = w ⇒  a (cos (wt) + wt sin (wt)) = w2 k b sin (wt) + w k−∆k  2 a (cos (wk) + wk sin (wk)) = T fa w2 a cos (w(k − ∆k)) − w2 a (w(k − ∆k) sin (w(k − ∆k))) − w2 b sin (wk) + w  b sin (w(k − ∆k)) − (19) w =

Z b cos(ωt)dt

T fa a1 /2

a1

onde n é o número de amostras por ciclo do sinal, e k é a ordem da amostra (discretização do tempo). Existem algumas alternativas que podem melhorar a precisão do resultado obtido pelas equações anteriormente expostas, usando funções interpoladoras diferentes, aumentando a frequência de amostragem, entre outros. Uma dessas alternativas, aqui explorada, é considerar uma integração contínua entre dois pontos amostrais, utilizando as integrais (2), (3) e (4) exatas, substituindo apenas

at cos(ωt)dt k−∆k Z k

at cos(ωt)dt Propõe-se aqui, calcular esses valores (A, φ) com base no sinal da Figura 1, utilizando as equações (2), (3) e (4). Um método convencional de solução para esse problema é aplicação de uma integração retangular ou trapezoidal para obtenção de a0 , a1 e b1 , onde obtém-se entre outras a seguinte solução:

k

Coeficiente b1 : Analogamente:

b1

=

2 T fa

Z

k

(at + b) sin(ωt)dt k−∆k

 =

a (sin (wt) − wt cos (wt)) b cos (wt) − w2 w

k k−∆k

A figura 3 mostra a componente fundamental plotada juntamente com o sinal completo:

 = − + − +

a (sin (wk) − wk cos (wk)) w2 a (sin (w(k − ∆k))) w2 a (w(k − ∆k) cos (w(k − ∆k))) w2 b cos (wk) w  b cos (w(k − ∆k)) w

(20) Figura 3 – Componente fundamental e sinal completo

3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Consideremos um sinal periódico f puramente senoidal com frequencia de 60Hz, amplitude 10 (valor RMS) e ângulo de fase de 30o . A esse sinal são adicionadas as seguintes componentes harmônicas, dadas em porcentagem da fundamental: h2 (120Hz)

=

10%

h3 (180Hz)

=

2%

h4 (240Hz)

=

10%

h5 (300Hz)

=

5%

h6 (360Hz)

=

7%

h7 (420Hz)

=

2%

h9 (540Hz)

=

20%

h1 1(660Hz)

=

10%

h1 3(780Hz)

=

20%

O erro cometido pelo ajuste da função interpoladora para este caso foi de: erroA

=

0, 0116189%

(24)

erroφ

=

0, 00048301%

(25)

Consideremos agora a aplicação da Transformada Rápida de Fourier, para obtenção da componente fundamental do sinal em questão. Para este caso são encontrados os seguintes valores: A φ

= =

9, 99788 29, 9924

(26) o

(27)

e os seguintes erros percentuais: (21)

É plotado na Figura 2 o referido sinal com relação ao tempo:

erroA

=

0, 0211757%

(28)

erroφ

=

0, 0253304%

(29)

Nota-se nos resultados, que o algoritmo proposto apresenta um erro significativamente menor no calculo do ângulo de fase quando comparado ao método F F T . Tomemos agora um caso onde a freqüência do sinal muda de 60 para 61 Hz no tempo t = 0, 2 s, a fim de examinar a adaptação do algoritmo a variações no sinal. A magnitude A, e o ângulo de fase φ para este caso de estudo estão plotados nos gráficos das Figuras 4 e 5 com relação ao tempo.

Figura 2 – Sinal periódico com componentes harmônicas

Utilizando uma frequencia de amostragem de 100µs, obtém-se o seguinte resultado da aplicação das equações propostas: A

=

9, 99884

(22)

φ

=

30, 0001o

(23)

Figura 4 – Variação da magnitude

Figura 5 – Variação do ângulo de fase

É possível notar nos gráficos anteriores, que o algoritmo proposto requer um ciclo para adaptar-se a uma variação na freqüência do sinal. A seguir, são plotados a fundamental e o sinal completo na Figura 6 para o caso em questão:

Figura 8 – Variação do ângulo de fase após variação de tensão

Novamente verifica-se através do exemplo, que o algoritmo requer um ciclo do sinal para se adaptar ao novo cenário. A Figura 9 mostra a componente fundamental e o sinal completo para este exemplo:

Figura 9 – Fundamental e sinal completo após uma variação na tensão Figura 6 – Fundamental e sinal completo após uma variação na frequencia

Analogamente, consideremos o caso onde a amplitude da fundamental tem um valor inicial 11, 0, para t < 0, 2 s, passando então a ter o valor 10, 0, mesmo utilizado anteriormente. Os gráficos plotados nas Figuras 7 e 8 ilustram a variação da amplitude A e do ângulo de fase φ para o caso em tela:

Figura 7 – Variação da magnitude após variação de tensão

Os exemplos de aplicação aqui analisados, comprovam a eficiência do método proposto neste documento, sendo este uma alternativa para o calculo da componente fundamental de sinais periódicos. Referências