Tema 2 Variables Aleatorias.pdf

Materia Estadística Matemática USFXCH Docente: Marco A. Sánchez L

VARIABLES ALEATORIAS TEMA #2

VARIABLES ALEATORIAS. Para conceptualizar lo que son las variables aleatorias consideremos el experimento :”Lanzar una monedad tres veces” ={ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} Establezcamos un interés común que lo que nos interesa en este espacio muestral es clasificarlo en función al numero de caras que se obtuvieron en los tres tiros y tendríamos: Elementos clasificados de 

Número de caras por juego de lanzamientos

sss css, scs, ssc ccs, csc, scc

0 1 2

ccc

3

VARIABLES ALEATORIAS Es decir, la función X en , definida por X(w)=“numero de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces”, es una función de valores reales que tiene como dominio el espacio muestral  y el subconjunto de números reales: Rx={x/x=0,1,2,3} como rango. En símbolos: X:  {0,1,2,3} w X(w) La figura siguiente da una idea intuitiva de lo expresado en el párrafo anterior

VARIABLES ALEATORIAS 

R X

CCC 3

SCC CSC CCS CSS

2 1

SCS

SSC

SSS

0

De esta manera se establece un nuevo conjunto {0,1,2,3} que pertenece al conjunto de los números Reales, a cada uno de los cuales le corresponde una probabilidad de la manera siguiente:

VARIABLES ALEATORIAS 1 P[3]=P[CCC]= 8

3 P[2]=P[CCS]+P[CSC]+P[SCC]= 8 3 P[1]=P[CSS]+P[SSC]+P[SCS]= 8 1 P[0]=P[SSS]= 8

Vemos pues que la función X hace corresponder a cada elemento w de  un número real x, y además, el conjunto de elementos de , cuya imagen es uno de estos números reales es un elemento de P(), o sea un evento, y tiene por lo tanto, una determinada probabilidad. La función X que cumple estas condiciones se llama variable aleatoria

VARIABLES ALEATORIAS DEFINICION: Dado un experimento aleatorio  y  el espacio muestral asociado al mismo. Una función X que asigna a cada elemento w de  uno y solamente un número real x=X(w), se llama variable aleatoria. Es decir X es una función real X: R 

R

X

x3 x2 RX x1

VARIABLES ALEATORIAS El dominio de la variable aleatoria X es  y el rango es un subconjunto de R que lo denotaremos por “RX”. Rigurosamente al hablar de la función asociamos a ella el conjunto de partida y el conjunto de llegada, mas en nuestro caso vamos a trabajar siempre con  como dominio que a su vez lo vamos a tomar como conjunto de partida. El rango RX de la variable aleatoria X, esta dado por el siguiente conjunto de números reales: RX={xR/ X(w)=x, w}=X() Cuando hubiera cierta duda sobre el rango de una variable aleatoria vamos a tomar como R, o un conjunto que razonablemente contenga a RX

VARIABLES ALEATORIAS El caso mencionado se puede presentar si consideramos como espacio muestral las estaturas de los alumnos de economía y los registramos en función a lo que midan, entonces existe una duda sobre el rango que seria un subconjunto de los números R y que estimativamente puede ser de {50cm a 3 metros} que son topes normales para la raza humana. Ejemplo: Sea X una variable aleatoria que se considera como el beneficio de un jugador , en un juego en el que se tira un dado y el jugador gana Bs.100, si salen los números 1 o 3, no gana ni pierde si salen los números 2 o 5 y pierde Bs 100 si salen los números 4 o 6.

VARIABLES ALEATORIAS El dominio de X es ={1,2,3,4,5,6} Las imágenes de X son: X(1)=X(3)=100; X(2)=X(5)=0; X(4)=X(6)=-100 Luego el rango de X será: RX={-100,0,100} EVENTOS EQUIVALENTES Sea  el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio , y X una variable aleatoria con rango RX definida sobre . Un evento A en  y un evento EX en RX se dice que son eventos equivalentes si: A={w / X(w)EX} La figura siguiente ilustra el concepto.

VARIABLES ALEATORIAS 

RX A

EX w

X

X(w)

Nótese que A y EX son eventos asociados a diferentes espacios. Si A es un evento en  tal que A={w/X(w)=a} su evento equivalente en RX es EX={a}, lo cual se denota por [X=a] O sea el evento [X=a] es el conjunto de puntos en el espacio  que son aplicados en el número real a por la función X.

VARIABLES ALEATORIAS Ejemplo: en el experimento aleatorio  =“lanzar una moneda tres veces” y X(w)=número de caras obtenidas. Sea A={w/X(w)=2}={ccs, scc, csc} es equivalente [X=2]. Por otro lado si EX={1,0} tenemos que: A={css, scs, ssc, sss} ya que X(css)=X(scs)=X(ssc)=1y X(sss)=0. Luego: A={w/X(w)=1,0}={css, scs, ssc, sss} lo denotaremos por [X=1ó 0] En general si: A={w/X(w)=a ó b} se denotara por [X=a,b], similarmente si A={w / a<X(w)
VARIABLES ALEATORIAS Ahora si queremos hallar la probabilidad de los eventos asociados a RX tales como: [X=a],[X=a,b],[a<X
VARIABLES ALEATORIAS También se pueden considerar eventos de la forma:[a≤X≤b] ; [a<X≤b]; etc. DEFINICION: Si A es un evento en el espacio muestral  y EX un evento en el rango RX de la variable aleatoria X, entonces definimos la probabilidad EX como: P[EX]=P[A], donde A={w / X(w)  EX}

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTÍNUAS. DEFINICION VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Si el rango de la variable aleatoria X , es un conjunto finito o infinito numerable , se llama variable aleatoria discreta en este caso: RX={x1,x2,x3,..} Ejemplo: Suponga que el número de días de trabajo en un año particular es 280 y los records de los empleados se marcan cada día que ellos están ausentes del trabajo. Se selecciona aleatoriamente un record y se observa los días marcados. La variable aleatoria X se define como el número de días ausentes del trabajo, entonces RX={0,1,2,..,280}. Luego X es una variable aleatoria discreta con un número finito de posibles valores.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS. La Función o Ley de Probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta con un rango RX. Una función definida por: p(x)=P[X=x]= {𝑤∈Ω \𝑋(𝑤)=𝑥} 𝑃[{𝑤}] Donde la suma es sobre los sucesos w∈ Ω tal que X(w)=x y satisface las siguientes condiciones: 1) p(x)>0, y x∈RX ; 2) x ∈ RX 𝑝 𝑥 = x ∈ RX 𝑃[𝑋 = 𝑥] = 1

DISTRIBUCIONES DISCRETAS Se llama función de probabilidad o ley de probabilidad (también llamada función de cuantía) de la variable aleatoria X. La colección de pares [(x, p(x)), xRX] se llama distribución de probabilidad de X. Si xRX, [X=x], es un evento imposible por lo tanto la p(x)=P[X=x]=0. Por esta razón cuando definimos una función de probabilidad p(x), para xRX, no diremos nada sobre la probabilidad en las xRX, pues entenderemos tácitamente que la función p(x), esta bien definida para todo xRX, y se asume para los eventos imposibles p(x)=0

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. El dominio de la función p, puede considerarse como el conjunto de números, reales y su rango el conjunto [0,1] u {0}, es decir: p: R [0,1] La distribución de probabilidad se la representa usualmente en una tabla como también gráficamente como se presenta a continuación: x

x1

x2

x3

p(x)=P[X=x] p(x1)

p(x2)

p(x3)

. …

. …

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS.

Se ha denotado a los eventos en RX por EX, pero no habrá confusión alguna si se conviene en representar a estos eventos por: A, B, C, etc.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Considerando lo antes mencionado la probabilidad de un evento A con RX, se define de la siguiente manera: P[A]= 𝑥∈𝐴 𝑝 𝑥 = 𝑥∈𝐴 𝑃[𝑋 = 𝑥] Ejemplo: Consideremos el lanzamiento de una moneda tres veces y definimos X(w)=nc-ns.Hallar la distribución de probabilidad de forma tabular y grafica. Para encontrar el resultado realizamos los siguientes pasos:

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. PRIMER PASO :Se establece el espacio muestral del experimento. ={ccc,ccs,csc,css,scs,scc,ssc,sss} SEGUNDO PASO: Se establece la función de la variable aleatoria X(w)= nc-ns donde nc= numero de caras y ns= numero de sellos con lo que establecemos la siguiente correspondencia entre  y R o entre: w y x.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. X(ccc)=3 X(ccs)=X(csc)=X(scc)=1 X(css)=X(scs)=X(ssc)=-1 X(sss)=-3 De donde sabemos que el rango de X(w) o sea RX={-3,-1,1,3} TERCER PASO: Se calcula la distribución de probabilidad calculando p(x) para cada x RX

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS.

P(3)=P[X=3]=P[ccc]= 1/8 P(1)=P[X=1]=P[ccs]+P[csc]+P[scc]= 3/8 P(-1)=P[X=-1]=P[css]+P[ssc]+P[scs]= 3/8 P(-3)=P[X=-3]=P[sss]= 1/8 CUARTO PASO Elaborando la tabla tendríamos x p(x)

3 1/8

1 3/8

-1 3/8

-3 1/8

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Valor asignado por la probabilidad

0,38

-4

0,13

-3

-2

-1

p(x) 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0,38

0,13

0

1

2

3

4

Valores en R

Los puntos rojos que se ven nos muestran el valor de la probabilidad asignada a cada “x” de los números reales, de acuerdo a la variable aleatoria X(w) y su probabilidad considerando .

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. En el ejemplo es claro también que: 1. p(x)>0 siendo que xRX 2. 𝑥∈𝑅𝑋 𝑝 𝑥 = 1 Si consideramos x=-2, tenemos que la p(-2)=0, pues es imposible que la diferencia nc-ns sea -2 en tres lanzamientos de la moneda. Similarmente por ejemplo la p(1/2)=P[X=1/2]=0 En general: si xRX={-3, -1, 1, 3} es p(x)=P[X=x]=0

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Ejemplo 2:En un lote de 10 artículos hay 3 artículos defectuosos. Del lote se toma al azar una muestra de cuatro artículos sin reposición. Sea X la variable aleatoria que representa el numero de artículos defectuosos en la muestra a)Describir el dominio de X b)Evaluar X(w) para cada w c)Evaluar la función de probabilidad, la presentación tabular y grafica de la distribución de probabilidad.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. La variable aleatoria X esta definida por X(w)= número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño 4. a) El dominio es: ={nnnn, nnnd, nndn, ndnn, dnnn, nndd, ndnd, nddn, dndn, ddnn, dnnd, nddd, dndd, ddnd, dddn,…} b) X(nnnn)..=0 X(nnnd)=X(nndn)= X(ndnn)=X(dnnn)….=1 X(nndd)=X(ndnd)= X(nddn)=X(dndn)=X(ddnn)=X(dnnd)…=2 X(nddd)=X(dndd)= X(ddnd)=X(dddn)…=3

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. La función de probabilidad se obtiene calculando p(x) para cada xRX. p(0)=P[X=0]= p(1)=P[X=1]=

p(2)=P[X=2]= p(3)=P[X=3]=

3 7 0 4−0 10 4 7 3 1 4−1 10 4 7 3 2 4−2 10 4 7 3 3 4−3 10 4

1 = 6 1 = 2 3 = 10

=

1 30

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. X p(x)

0 1 0,17 0,50

2 0,30

3 Total 0,03 1,00

p(x) 0,60

0,50

0,50 0,40

0,30

0,30 0,20

p(x)

0,17

0,10

0,03

0

1

2

3

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. En general la función de probabilidad de X es: 𝑝 𝑥 =𝑃 𝑋=𝑥 = Es claro que 1. p(x)>0 , y xRX

2.

𝑥∈𝑅𝑋 𝑝

𝑥 =

1 3 × 𝑥 4−𝑥 10 4

, x=0,1,2,3,

5 15 9 1 + + + 30 30 30 30

=1

Este ejemplo se lo puede generalizar de la siguiente manera: Supongamos que se tienen n artículos (n finito), de los cuales r son defectuosos. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño m sin reemplazamiento. Sea X el numero de artículos defectuosos en la muestra. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. La variable aleatoria esta definida por: X(w)= número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño m. RX= {0,1,2,3,.., min(m,r)} p(x)=P[X=x]=

𝑟 𝑛−𝑟 × 𝑥 𝑚−𝑥 𝑛 𝑚

, para x=0,1,2,3,..,min(m,r)

Que es la función de probabilidad de X. Esta distribución se conoce como la distribución se conoce como la distribución hipergeométrica

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Otro concepto importante es el de función de distribución o función de distribución acumulativa, como se conoce algunas veces debido a que se consideran eventos de la forma: [X ≤ x] y su probabilidad inducida P [X ≤ x]. DEFINICION Sea X una variable aleatoria discreta con rango RX={x1,x2,x3….} y función de probabilidad p(xi)=P[X=xi], sea x un número real cualquiera, la función de distribución de X se denota por “F(x)” y se define como: F(x)= P [X ≤ x] = 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖≤𝑥 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Ejemplo: Del ejemplo lanzamiento de una moneda 3 veces y X(w)=nc-ns. Hemos calculado la distribución de probabilidad. p(-3)=1/8, p(-1)=3/8,p(1)=3/8 y p(3)=1/8 Calculamos ahora la función de distribución para esta variable aleatoria. En efecto desde F(x) esta definida para todo xR, consideramos los siguientes casos: 1. Si x<-3, es claro que: F(x)=P[X≤x]= 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝(𝑥𝑖)=0 2. Si x=-3, es claro que: F(-3)=P[X≤ -3]= = 𝑥𝑖≤−3 𝑝(𝑥𝑖)=p(-3)=1/8

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS.

3. Si x[-3,-1 F(x)=P[X≤ x]= 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)=1/8 4. Si x=-1 F(-1)=P[X≤ -1]= 𝑥𝑖≤−1 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+ p(-1)=1/8+3/8=4/8 5. Si x[-1,1 F(x)=P[X≤ x]= 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+p(-1)=4/8 6. Si x=1 F(1)=P[X≤ 1]= 𝑥𝑖≤1 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+ p(-1)+p(1)=1/8+3/8+3/8=7/8

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. 7. Si x[1,3 F(x)=P[X≤ x]= 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+p(-1)+p(1)=7/8 8. Si x=3 F(3)=P[X≤ 3]= 𝑥𝑖≤3 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+ p(-1)+p(1)+p(3)=1/8+3/8+3/8+1/8=1 9. Si x>3 F(x)=P[X≤ x]= 𝑥𝑖≤𝑥 𝑝(𝑥𝑖)= p(-3)+ p(-1)+p(1)+p(3)=1/8+3/8+3/8+1/8=1 Nota1:Se puede observar que si x[-3,-1entonces F(x)=F(-3); si x  [-1,1entonces F(x)=F(-1), etc.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS.

En general si:x  [xk,xk+1 se verifica que F(x)=F(xk), donde xk y xk+1 son elementos del rango de X. Luego la función de distribución podemos escribirla así:

F(x)=

0

, Si x<-3

1/8

, Si -3≤x<-1

4/8

, Si -1≤x<1

7/8

, Si 1≤x<3

1

, Si x≥3

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Grafica de la función de distribución del experimento lanzar una moneda tres veces X=nc-ns

La función de distribución se representa también en una tabla como la siguiente

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS. Representación tabular x

-3

-1

1

3

p(x)

1/8

3/8

3/8

1/8

F(x)

1/8

4/8

7/8

1

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION Notación : Usaremos las siguientes notaciones: F(∞) en vez de lim 𝐹(𝑥) y 𝑥→∞

F(-∞) en vez de lim 𝐹 𝑥 𝑥→−∞

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS

Propiedad 1 0≤F(x)≤1, siendo x ℝ , pues F x es una probabilidad para cualquier “x” real y las probabilidades están limitadas por 0 y 1. Propiedad 2 F(x), es una función no decreciente. En efecto sean x1,x2 ℝtales que x1 ≤ x2 , entonces se tiene: {x/X≤x1} : {x/X≤x2} y aplicando la probabilidad a ambos eventos, por el teorema 3

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS

F(x1)=P[X≤x1] ≤ P[X≤x2]=F(x2) de donde obtenemos que F(x1) ≤ F(x2). Propiedad 3 (a) F(∞)=P[{x/X<∞}]=P[X<∞]=1, pues el evento: {x/X<∞} es el conjunto de todos los números reales. (b) F(-∞)=P[{x/X<-∞}]=P[X<-∞]=0, pues el evento: {x/X<-∞} es el conjunto nulo.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS

Propiedad 4 Sean xk ,xk+1 RX si x es tal que xk≤x<xk+1, entonces F(x)=F(xk) Es decir la función F(x),es constante e igual a F(xk) para todo x[xk,xk+1>. Esto implica que si X es una variable discreta, F(x) es una función escalonada (escalera)y la altura en un escalón xk(xk RX) es igual a la P[X=xk]como se muestra en la figura siguiente:

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS Gráfica: Función de distribución

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS Nota2 (a)La función de distribución da directamente: P[X≤a]=F(a) (b) P[X≥a]=1-P[X
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS (a<x≤b), a,bR y a
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS

También podemos calcular la P[a≤X≤b] y desarrollando los artificios matemáticos concluimos que: P[a≤X≤b]=F(b)-F(a)+P[X=a] Para el caso P[a<X
FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS 0 1/8 F(x)= ½ 5/8 1 Calcular

x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 x≥3 (a) P[X(w)<0,5]+P[X(w)≥2] (b) La distribución de probabilidades de X

FUNCIONES DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN. GRÁFICAS (a)

1 = 8

P[X(w)<0,5]+P[X(w)≥2]=F(0,5)+1-PP[X(w)<2] 1 = 8

1 8

+ 1 − 𝑃[𝑋(𝑤) ≤ 1] = + 1 − 𝐹(1) 1 2

1 8

1 2

5 8

+ 1− = + = (b) Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la función de distribución se tiene que el rango de la variable aleatoria X es el conjunto {0,1,2,3} y la distribución de probabilidad es: .

X

0

1

2

3

P(x)

1/8

3/8

1/8

3/8

DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS. DEFINICION VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Si el rango RX, de una variable aleatoria X es un intervalo sobre la recta de los números reales se llama variable aleatoria continua. Ejemplo: Sea X la variable aleatoria que representa el numero de kilogramos que pierde una persona al seguir una dieta especifica durante cierto periodo. Es una variable aleatoria continua, pues su rango (los valores que puede tomar), son todos los puntos de un intervalo por ejemplo: [1,3] kilos.

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN Definición Función de Densidad: Sea una variable aleatoria continua con RX. La función de densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria es una f(x) integrable que satisface las siguientes condiciones: 1. f(x)≥0 , para todo xR (o f(x) rel="nofollow">0, x RX) +∞ 𝑓 −∞

2. 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 (o 𝑥 𝑑𝑥 = 1) 𝑋 Esta definición implica la existencia de una función real (definida sobre RX. La condición uno establece que la grafica de la función de densidad esta por arriba del eje de las x.

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN La condición (2) indica que el área acotada por la curva f(x), el eje x y las rectas verticales que pasan por los puntos extremos de RX es 1 como se indica en la figura siguiente:

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN Si estamos interesados en calcular la probabilidad de un evento A={x/a≤X≤b} se define como sigue: 𝒃 𝒇 𝒂

P[A]=P[x/a≤X≤b]= 𝒙 𝒅𝒙 Y el concepto se lo ilustra en la siguiente gráfica:

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN Observaciones 1.Es importante darse cuenta que f(x) no representa la probabilidad de algo y que solamente cuando la función se integra entre 2 puntos produce una probabilidad. 2.Una consecuencia de la definición de probabilidad de un evento (ecuación), es que para cualquier valor especifico de X, digamos x0, P[X=x0]= 0, puesto que: P[X=x0]=P[x0<X≤x0]=

𝑥𝑜 𝑓 `𝑥0

𝑥 𝑑𝑥 = 0

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN

3. Una consecuencia inmediata de (2) es el siguiente resultado: P[a ≤ X≤ b]=P[a < X≤ b]=P[a < X< b]=P[a ≤ X< b] Para cuando X es una variable aleatoria continua. EJEMPLO: Sea X una variable aleatoria con función de densidad : a(3x-x2) , si 0 ≤ x ≤ 3 f(x) 0 , en otros casos

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN a) b)

c)

d)

Hallar el coeficiente a Construir la grafica de la función de densidad de probabilidad Calcular la probabilidad que x se encuentre en el intervalo [1,2] Hallar la probabilidad que X se encuentre en el intervalo <-1,3/2>

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN a) Como los valores de la variable aleatoria X se encuentran en el intervalo [0,3]. Es decir el RX=[0,3]. Entonces por la condición 2 de la función de densidad tenemos: 3 𝑎 0

2

3𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

3 2 𝑥 2

−

1 3 𝑥 3

1

27 3 = 𝑎( − 9) =1 2 0

1 2 𝑎= = = 27 18 9 9 − 2 2 2 b) La grafica de la función f(x) en el intervalo [0,3] y responde a la ecuación:

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN

3𝑥 − 𝑥

2

6 = 𝑥 9

2 2 2 2 2 − 𝑥 = 𝑥− 𝑥 9 3 9 2 2 2 y= 𝑥 − 𝑥 3 9

0,60 0,50

Función de x f(x)

2 y= 9

0,40 0,30 0,20 0,10 -

1

2 Valores del RX

3

4

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN c) La probabilidad que la variable X se encuentre en el intervalo [1,2] se determina por la ecuación: 2 2 2 2 𝑥2 2𝑥 3 2 P[1≤X ≤ 2] = 1 𝑥 − 𝑥 dx= − 3 9 3 27 1

=

4 16 − 3 27

−

1 2 ( − ) 3 27

=

20 7 − 27 27

=

13 27

=0,4814=48,14% d) Por la ecuación principal de probabilidad de un evento se tiene:

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN P[-1<X<3/2]=

=0 3 = 4

𝑥2 3 1 4

−

𝑑𝑥 +

3 (3)2 2 2= 3

2𝑥 3

2 4

0 0 `−1

27

0 1 2

−

3 2

0

2 𝑥 3

3 3 2( ) 2

27

− = = = 0,5 = 50%

=

2 2 − 𝑥 9 9 4

3

−

54 8

dx

9 54 = − 27 12 216

FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X denotada por F(x) se define por: F(x)=P[X≤x]=

𝑥 𝑓 −∞

𝑡 𝑑𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA EJEMPLO: Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por: 3𝑥 2 − 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑓 𝑥 = 4 0 , 𝐸𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 Hallar la función de distribución de X y su grafica b) F(1) La F(x) esta definida para toda x, entonces se consideran los siguientes casos: a)

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 𝑥 1. Si x<0, F(x)=P[X≤x]= −∞ 0 𝑑𝑡 = 0 𝑥 2. Si 0 ≤ x ≤2, F(x)=P[X≤x]= −∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥3 3 2 𝑡3 𝑥 0 𝑑𝑡 + 0 𝑡 2 − 𝑡 𝑑𝑡 = 0 + (𝑡 − )] = −∞ 4 4 3 0 3 2 𝑥 𝑥 (1 − ) 4 3 𝑥 23 3. Si x>2, F(x)=P[X≤x]= ∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0 + 0 𝑡(2 − 4

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 4. De 1),2)y3) la función de distribución de la variable aleatoria X es 0 F 𝑥 =

, 𝑥<0

3 2 𝑥 𝑥 (1 − ), 4 3

0≤𝑥≤2 1 , 𝑥≥2 La grafica de la distribución es la siguiente: b) F(1)=

3 P[X≤1]= 4

1

2

1−

1 3

=

1 2

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -2

-1

0

1

2

3

4

PROPIEDADES DE UNA FUNCION DE DISTRIBUCION

Las tres primeras propiedades son las mismas que el caso discreto. 1) 0≤F(x)≤1, y x 0 2) F(-∞)= lim 𝐹(𝑥)= lim −∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 F(∞)= lim 𝐹(𝑥)= lim −∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑥→∞ 𝑥→∞

=0

3)La función de distribución es no decreciente esto es si a≤b entonces F(a)≤ F(b)

PROPIEDADES DE UNA FUNCION DE DISTRIBUCION

4).lim 𝐹 𝑥 + ℎ = 𝐹(𝑥)siempre que x,con ℎ→0

h>0, es decir F es continua por la derecha en todos los puntos 5)Del segundo teorema fundamental de cálculo se tiene que si F(x) es una función derivable entonces: 𝑑 f(x)= 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥

PROPIEDADES DE UNA FUNCION DE DISTRIBUCION

EJEMPLO: Una estación de servicio es provisionada de gasolina una vez a la semana. El volumen X de la posible venta semanal en miles de galones tiene la siguiente función de distribución acumulada: F(x)=1-(1-x)4, 0<x<1 a) ¿Cuál debe ser la capacidad de su tanque para que la probabilidad que su provisión se agote en una semana sea del 0,01?

PROPIEDADES DE UNA FUNCION DE DISTRIBUCION

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta semanal esté entre los 800 y 900 galones? Solución a)Sea C la capacidad del tanque por lo tanto se quiere determinar el valor de C, tal que: 0,01=P[X≥C]=1-P[X≤C]=1-[1-(1-C)4]=(1-C)4,de donde C=1- 0,1 b)P[0,8<X<0,9]=F(0,9)-F(0,8) =(1-(1-0,9)4 )-[1-(1-0,8)4]=(0,2)4-(0,1)4=0,0015

MEDIA, VARIANZA Y SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN

FUNCION DE UNA VARIABLE ALEAORIA En muchos problemas frecuentemente se está interesado en el comportamiento de una función, digamos H de una variable aleatoria X, Y=H(X); y cada valor de Y(esto es y=H(X), se determina conociendo los valores de X. Desde que X es una variable aleatoria , Y también es una variable aleatoria y la distribución de y=H(X) se determina conociendo la distribución de probabilidades de X.

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EJEMPLO: Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) como se indica en la siguiente tabla: x -1 0 1 p(x)=P[X=x] 1/8 3/8 3/8

2 1/8

Determinar: a)El rango de la variable aleatoria Y=X2 b)La función de probabilidad de la variable aleatoria Y=X2 c)Lo mismo que a) y b) para la variable aleatoria Y=3X-1

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA a)Remplazando los valores de X en la función H(X) (y=H(X)) entonces: Si X=-1,Y=x2 toma el valor y=H(-1)=(-1)2=1 Si X=0,Y=x2 toma el valor y=H(0)=(0)2=0 Si X=1,Y=x2 toma el valor y=H(1)=(1)2=1 Si X=2,Y=x2 toma el valor y=H(2)=(2)2=4 Por lo tanto el rango de la variable aleatoria Y es RY={1,0,1,4}

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA b)La función de probabilidad se calcula como sigue: Py(0)=P[Y=0]=P[X=0]=p(0)=3/8 Py(1)=P[Y=1]=P[X=-1]+P[X=1]= =p(-1)+p(1)=1/8+3/8=4/8=1/2 Py(4)=P[Y=4]=P[X=2]=p(2)=1/8 Asi la distribución de probabilidad de Y=X2 representado en una tabla es:

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA y

0

1

4

Py(y)

3/8

4/8

1/8

En este caso Y=H(X)=3X-1 los valores de Y serian los siguientes: Si x=-1→ y=H(-1)=((3x(-1))-1)=-3-1=-4 Si x=0→ y=H(0)=((3x(0))-1)=0-1=-1 Si x=1→ y=H(1)=((3x(1))-1)=3-1=2 Si x=2→ y=H(2)=((3x(2))-1)=6-1=5 Por lo tanto RY={-4,-1,2,5} La función de probabilidad se calcula de la siguiente manera:

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA py(-4)=P[Y=-4]=P[X=-1]=p(-1)=1/8 py(-1)=P[Y=-1]=P[X=0]=p(0)=3/8 py(2)=P[Y=2]=P[X=1]=p(1)=3/8 py(5)=P[Y=5]=P[X=2]=p(2)=1/8 Luego la distribución de probabilidad esta dada en la tabla: y Py(y)

-4 1/8

-1 3/8

2 3/8

5 1/8

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Definición Eventos Equivalentes: Sea EX un evento en RX (EXRX) y FY un evento RY (FYRY), EX y FY son eventos equivalentes si: EX={xRX/H(X)  FY} La relación se presenta en la grafica siguiente: 

X

w.

RX x=X(w)

H

RY

y=H(x)

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Teorema: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f que satisface f(x)>0, para a<X
𝑑𝑥 𝑑𝑦

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA EJEMPLO: Suponiendo que X es una variable aleatoria con función de densidad: f(x)=

𝑥 10

,0 ≤ 𝑥 ≤ 2 5

0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 Si Y=H(X)=2X+6 calcular la función de densidad de g de Y. El procedimiento de solución seria: 1) G(y)=P[Y≤y]=P[2X+6 ≤y]=P[X≤

𝑦−6 ] 2

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA =

𝑦−6 2

0

𝑥 𝑑𝑥 10

=

𝑥2 20

𝑦−6 2

=

1 80

𝑦 2 − 12𝑦 + 36

0 𝑦−6 Donde los eventos Y≤y) en RY y [X≤( )]en RX son 2 equivalentes. 2)

𝑑 g(y)= 𝐺 𝑑𝑦

𝑦 =

𝑦 3 − 40 20

3) 0≤x≤2 5entonces 6≤2x+6≤4 5 + 6 o 6 ≤ y ≤4 5 + 6por lo tanto la función de densidad de y es:

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA g(y)=

𝑦 3 − 40 20

,6 ≤ 𝑦 ≤ 4 5 + 6

0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sea X una variable aleatoria con RX y función de probabilidad p(x) si es discreta o función de densidad f(x) si es continua, el valor esperado o esperanza matemática de X se denota por E(X) y se define:

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA E(X)= E(X)=

𝑥∈𝑅𝑋 𝑥𝑝(𝑥)si 𝑅𝑋

X es una variable aleatoria discreta (*)

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

∞ 𝑥𝑓 −∞

𝑥 𝑑𝑥si X es una variable aleatoria

continua (**) Siempre que 𝑥∈𝑅𝑋 𝑥𝑝(𝑥) , sea absolutamente convergente, es ∞ decir la 𝑥∈𝑅𝑋 𝑥 𝑝(𝑥)es finita y −∞ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es finita respectivamente. La Esperanza matemática de X, se llama también: media de la variable aleatoria y se denota por , o sea

=E(X)

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

EJEMPLO: Hallar la esperanza matemática de la variable aleatoria X con distribución de probabilidad: x

0

1

2

3

4

p(x)

0,2

0,4

0,3

0,08

0,02

Aplicando la formula para variables aleatorias discretas y generando una columna mas en la tabla obtenemos: x

0

1

2

3

4

p(x)

0,2

0,4

0,3

0,08

0,02

E(X) Sumatoria

xp(x)

0

0,4

0,6

0,24

0,08

1,32

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

EJEMPLO 2:Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad esta definida por: 3 2 0<𝑥<2 𝑓 𝑥 = 4𝑥 2 − 𝑥 , 0 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Calcular la esperanza de X. Aplicando la formula encontramos la esperanza matemática E(X)=

∞ 3 2 𝑥 −∞ 4

2 − 𝑥 𝑑𝑥 =

23 2 𝑥 0 4

2 − 𝑥 𝑑𝑥

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

2 = 0,99 0 Entonces la E(X)=0,9999=1 3 2𝑥 3 = 4 3

𝑥4 − 4

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA El siguiente teorema generaliza la definición de esperanza matemática a la de una función de la variable aleatoria Y=H(X) TEOREMA 1 Sea X una variable aleatoria e Y=H(X) una función de X. El valor esperado de la función H(X) denotado por E[H(X)] se define por:

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA i) E[H(X)]= 𝑋∈𝑅𝑋 𝐻 𝑋 𝑝(𝑥) , 𝑠𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 Siempre que esta serie sea absolutamente convergente ii) E[H(X)]=

𝑅𝑋

Siempre que

𝐻 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , si x es continua 𝑅𝑋

𝐻 𝑥 𝑓(𝑥) < ∞

Es posible que si X es continua, H(X) puede ser discreta o continua, en este caso restringiremos H a que Y=H(X) sea una variable aleatoria continua.

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA TEOREMA 2 Si X es una variable aleatoria , a y b constantes. Entonces: (i) E(a)= a, (ii) E[aH(X)]=aE[H(X)] (iii) E[aH(X)+bG(X)]=aE[H(X)]+bE[G(X)] TEOREMA 3 Sea X una variable aleatoria y si a y b son constantes entonces: E[aX±b]=aE(X)±b

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA

TEOREMA 4 Sea X1,X2,..Xn, n variables aleatorias y ai(i=1,2,3,..n) constantes, entonces: E[a0+ 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑋𝑖 ] = a0+ 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝐸(𝑋𝑖 ) Consecuencia del teorema 4: E[aX+bY]=aE(X)+bE(Y) EJEMPLO 1: Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad esta dada por:

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA x

0

1

2

3

p(x)

1/8

3/8

3/8

1/8

Calcular: a) E(2X+1); b) E(4X-2) c)E(2X2+3); d)E(4X2+X+3) 1 8

3 8

3 8

a)E(X)=0× + 1 × + 2 × + 3 × 3 E(2X+1)=2E(X)+1=2× 2

1 12 = 8 8

=

+1=3+1=4

3 2

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA 3 2

b) E(4X-2)=4E(X)-2=4× − 2 = 6 − 2 = 4 c)Primero calculemos E(X2) por la formula del teorema 1 se obtiene: 1 2 2 E(X )=0 × 8

2

3 8

2

+1 × +2 ×

3 + 8

2

3 ×

1 24 = 8 8

=3

E(2X2+3)=2E(X2)+3=2x3+3=9 d)

3 2 2 E(4X +X+3)=4E(X )+E(X)+3=4x3+ +3=16,5 2

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA

EJEMPLO 2 En un juego de lotería se venden 1000 boletos a 25 ctvs. Hay 5 premios en efectivo de: Bs.25,Bs. 20,Bs. 10,Bs. 5 y de Bs.1. primero, segundo, tercero, cuarto y quinto premio respectivamente. Calcular la ganancia esperada de un comprador de 2 boletos. PASO 1 Definimos la variable aleatoria: X(w)=Beneficio neto al comprar un boleto X(w)=Valor Premio - costo del Boleto

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA

PASO2 Establezco una segunda variable aleatoria relacionada con X que seria Y=2X que es el beneficio al comprar 2 boletos. PASO 3 La Esperanza de Y con relación a la de X será: E(Y)=E(2X)= 2E(X) PASO 4 Establezco el rango de la variable X y su correspondiente probabilidad en función al espacio muestral considerado

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA

El rango de X es el beneficio neto que obtiene el comprador de un boleto si pierde o gana uno de los diferentes premios en Bs., entonces: RX={-0,25;0,75;4,75;9,75;19,75;24,75} La probabilidad la establecemos el numero total de elemento de  que se constituyen en 1000 boletos y lo expresamos en la siguiente tabla:

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA X

-0,25

p(x)

995/1000 1/1000

xp(x) -0,24875

0,75 0,00075

4,75

9,75

19,75

24,75

1/1000

1/1000

1/1000

1/1000

E(X)

0,00475

0,00975

0,01975

0,02475

-0,18825

Por lo tanto el beneficio esperado al comprar un boleto es -0,18825, luego el beneficio de comprar dos boletos será: E(2X)=2x(-0,18825)=-0,3765 que es el beneficio esperado al comprar dos boletos.

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN Los momentos de la distribución de probabilidades son: la esperanza matemática como primer momento central y la Varianza como segundo momento central. Y dentro de la Varianza se tiene el concepto de la desviación estándar. A continuación se desarrollaran las definiciones de estos nuevos conceptos y su correspondiente aplicación e interpretación.

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria X se denota 2

por Var(X) o por la letra griega 𝑥 ( o simplemente 2 ), y se define como: Var(X)=2 =E[(X-)2] Por lo tanto: 2 =E[(X-)2]= 𝑥∈𝑅𝑋 𝑥 − 𝜇 2 p(x), si X es discreta

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN 

2

∞ 2 =E[(X-) ]=

−∞

𝑥 − 𝜇 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,si X es continua

La varianza es una medida de dispersión o concentración de la información alrededor de la media E(X). La varianza es pequeña si la información se encuentra concentrada alrededor de E(X), y si la varianza crece, la información se aleja de la media E(X).

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN La varianza de una variable aleatoria X es un caso especial del teorema 1 pues H(X)=(X-)2. Observe que la unidad de la variable aleatoria es , entonces la unidad de la media es la misma, en cambio la unidad de la varianza sería 2. DESVIACION TIPICA Otra medida de dispersión llamada desviación típica de la variable aleatoria se define como la relación cuadrada de la varianza y se denomina por sigma “”, es decir:

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN  = + 2 Note que la unidad de  es la misma que de la variable aleatoria y un valor pequeño de la desviación típica poca dispersión mientras que un valor grande indica gran dispersión. EJEMPLO 1 La variable aleatoria X tiene la siguiente función de distribución:

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN 0 F 𝑥 =

1 8 1 2 5 8

, ,

𝑥<0 0≤𝑥<1

,

1≤𝑥<2 ,

2≤𝑥<3

1 , 𝑥>3 Calcular la varianza y desviación típica de la variable aleatoria.

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN Paso 1 .-Definición del RX={0,1,2,3} Paso 2 Elaboración tabla de calculo x

0

1

2

3

F(x)

1/8

1/2

5/8

1

p(x)

1/8

3/8

1/8

3/8

xp(x)

0

3/8

2/8

9/8

Total E(X) 14/8

Paso 3.-Para el calculo de la Varianza requiero: 𝑥 − 𝜇 2 que podemos incluirlos en la anterior tabla y tendríamos:

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN x

0

1

2

3

F(x)

1/8

1/2

5/8

1

p(x)

1/8

3/8

1/8

3/8

xp(x)

0

3/8

2/8

9/8

14/8 (𝒙 −

𝑥−𝜇

2

(0-14/8)2

(1-14/8)2

(2-14/8)2

(3-14/8)2

𝑥−𝜇

2

196/64

36/64

4/64

100/64

196/512

108/512

4/512

300/512

𝑥−𝜇

2

p(x)

El valor de la Varianza o 𝜎 2 = 1,1875 Y la desviación típica es 𝜎= 𝜎 2 = 1,1875= 1,089

Total E(X)

608/512

MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN Ejemplo 2: Usando la función de densidad del ejemplo 2 de diapositiva 80 calcular la Varianza y desviación típica. =E(X)=1 𝜎

2

2 2 =E[(X-1) ]= 0

𝑥−

23 1 𝑥 4 2

2 − 𝑥 𝑑𝑥 =

𝜎 =0,2 = 0,2=0,45

1 5