Td Loi De Poisson

Probabilités - Loi de Poisson

Traitement des matériaux L'objectif de cet exercice est d'analyser la production d'une entreprise réalisant des résistors pour des fours électriques. Ces résistors sont fabriqués à partir de fil métallique livré en bobine. Le fil utilisé présente des défauts soit de diamètre soit d'homgénéité qui rendent inutilisable le résistor. On considère un très grand nombre de bobines et on constate que sur l'ensemble des résistors produits avec le fil d'une bobine, il y a en moyenne 6 résistors défectueux. On admet que la variable aléatoire Z qui, à tout fabrication utilisant une bobine prélevée au hasard, associe le nombre de résistors défectueux, suit une loi de Poisson de paramètre λ . a) Déterminer la valeur de λ . b) Calculer la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10 −3 près : de la probabilité P1 qu'il n'y ait aucun résistor défectueux, de la probabilité P2 qu'il n'y ait pas plus de 6 résistors défectueux.

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Probabilités - Loi de Poisson

Fabrications textiles Un chef d'entreprise, pour éviter l'attente des camions venant livrer, envisage si cela s'avère nécessaire, de construire de nouveaux postes de déchargement. Il y en a actuellement cinq. On considère, pour simplifier l'étude, qu'il faut une journée pour décharger un camion. Une enquête préalable sur 120 jours ouvrables a donné les statistiques suivantes : Nb d'arrivées par jours xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nb de jours ni

2

10

18

22

23

19

12

7

4

2

1

1° Déterminer à 10 −2 près la moyenne, la variance et l'écart type de cette distribution. 2° Soit X la variable aléatoire qui, à un jour choisi au hasard, associe le nombre de camions venant livrer ce jour. Le responsable fait l'hypothèse que cette variable aléatoire suit la loi de Poisson de paramètre 4. a) Quelle est à 0,0001 près, la probabilité de n'avoir aucun camion en attente ? b) Combien faudrait-il de postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95 ? b) On prévoit, pour les années à venir, un doublement de la fréquence des livraisons. On admettra que la variable aléatoire Y = 2 X suit la loi de Poisson de paramètre 8. Combien faudrait-il de postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95 ?

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Maintenance industrielle Dans cet exercice on donnera les valeurs approchées de tous les résultats à 10 −2 près. Un distributeur automatique élabore du jus d'orange en mélangeant de l'eau et du concentré d'orange. A - Vous êtes chargé d'approvisionner chaque matin l'appareil en concentré, Le plein de concentré étant réalisé chaque matin, on suppose maintenant que la probabilité qu'un jour pris au hasard la machine soit hors service par manque de concentré est p = 0,05. Les pannes sont supposées indépendantes les unes des autres. 1° Montrer que la variable aléatoire Y qui, à toute période de 30 jours associe le nombre de jours où le distributeur est hors service par manque de concentré, suit une loi binomiale. Quels sont ses paramètres ? 2° On approche cette loi par une loi de Poisson. Quel est son paramètre ? Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus deux mises hors service du distributeur, en un mois de 30 jours, par manque de concentré. B - Vous êtes également chargé de la maintenance du distributeur. 1° Une enquête a montré que la variable aléatoire Z qui, à toute période de 30 jours associe le nombre de pannes mécaniques du distributeur, suit la loi de Poisson telle que P(Z = 1) = 6 × P(Z = 3). Démontrer que le paramètre de cette loi de Poisson est λ = 1. 2° a) On suppose que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes. Déterminer la probabilité de l'événement :"Y = 1 et Z = 1". b) Déterminer la probabilité de l'événement "le distributeur est hors service deux fois exactement en un mois de 30 jours", le hors service se produisant par manque de concentré ou par défaillance mécanique du distributeur et ce de façon indépendante. Pour simplifier, on considérera que si le distributeur est victime le même jour d'une panne mécanique et d'une panne de concentré, il s'agit quand même de pannes distinctes.

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Productique Un constructeur a besoin, pour équiper ses vélos, de tubes de selle en aluminium. Ce constructeur se propose de contrôler les lots qu’il reçoit par comptage, au moyen de plans d’échantillonnage indiqués par la norme NF X06 - 022. Il constitue un échantillon de 80 tubes. La norme conseille d’accepter le lot si le nombre de tubes défectueux de cet échantillon est inférieur ou égal à 2. On admet que, la variable aléatoire X qui, à tout échantillon aléatoire de 80 tubes, associe le nombre de tubes défectueux, obéit à une loi de Poisson de paramètre λ inconnu. 1° Montrer que la probabilité d’accepter le lot est égale à f ( λ ) = e − λ (1 + λ +

λ2 ). 2

2° Étudier les variations de la fonction f pour λ variant de 0 à 10. 3° Donner le tableau de valeurs de f(λ) pour λ entier variant de 0 à 10. Tracer alors la courbe (courbe d’efficacité) représentant la fonction f sur [0, 10] (on prendra pour unités 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. 4° On appelle p la probabilité qu’un tube pris au hasard dans un lot soit défectueux. On admettra que λ = 80 p. En utilisant la courbe représentative de la fonction f, a) déterminer la probabilité d’acceptation quand p vaut 0,01 ; b)

inversement, déterminer la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d’acceptation devient inférieure à 0,1.

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Industries papetières Une machine fabrique des tiges en acier. Un client achète un lot de tiges fabriquées par cette machine ; pour contrôler la qualité de ce lot, il prélève 80 tiges et accepte ce lot si le nombre de tiges défectueuses parmi les 80 est au plus égal à 2. On désigne par p la probabilité qu'une tige prise au hasard dans le lot soit défectueuse et l'on suppose p < 0,1. On assimile tout prélèvement de 80 tiges à un prélèvement aléatoire non exhaustif. 1° On admet que la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement aléatoire de 80 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses de cet échantillon, suit une loi de Poisson de paramètre m = 80 p . Montrer que la probabilité que le client accepte un lot est :

ϕ ( m ) = e − m (1 + m +

m2 ) 2

2° Étudier les variations de la fonction ϕ sur l'intervalle [0, 8] et tracer sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. 3° Utiliser la représentation graphique précédente pour déterminer, a) la probabilité que le lot soit accepté si p = 0,07; b) la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d’accepter le lot est inférieure à 0,95.

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Maintenance On considère une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ inconnu telle que : P(X ≤ 1) = 0,95. 1° Démontrer que λ est solution de l'équation ln (1 + x) – x = ln (0,95). 2° Étudier les variations de la fonction ϕ définie sur [ 0 , + ∞ [ par : ϕ(x) = ln (1 + x) – x . En déduire que l'équation du 1° admet une solution unique, λ, dans [ 0, + ∞[ . Déterminer un encadrement d'amplitude 10 −1 de λ.

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Approximation d'une loi binomiale à l'aide d'une loi de Poisson Bâtiment Une machine produit des pièces cylindriques destinées à faire des axes de moteurs. On étudie le diamètre, exprimé en millimètres, des pièces issues de cette fabrication. On suppose maintenant que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est p = 0,05. On prélève au hasard 60 pièces. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 60 pièces. On appelle Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 60 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses. a) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. b) Calculer P(Y ≤ 2). c)

On approche la loi binomiale de la question précédente par la loi de Poisson de même espérance mathématique. Préciser le paramètre de cette loi. En utilisant cette loi de Poisson, déterminer la probabilité qu'un échantillon de 60 pièces contienne au plus deux pièces défectueuses.

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En assistance technique d'ingénieur Dans un service public, on s'intéresse à l'événement : "Une personne se présente au guichet au cours d'une minute, c'est à dire entre la minute t et la minute (t + 1), t étant entier". On a observé que la probabilité de cet événement est 0,1. On admet que la probabilité que deux personnes se présentent au guichet au cours d'une même minute est négligeable et que l'arrivée des personnes est indépendante de la minute considérée. On désigne par X la variable aléatoire qui, à une heure choisie au hasard, associe le nombre de personnes qui peuvent se présenter au guichet durant cette heure. 1° Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. 2° On admet que l'on peut approximer la loi précédente par une loi de Poisson. Quel est son paramètre ? Déterminer à 10 −3 près P(X = 3), puis P(X ≤ 6).

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