Td Loi Normale

Probabilités - Loi normale

Loi normale Maintenance Une usine assure le conditionnement d'un très grand nombre de bouteilles d'un certain type. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard, associe sa contenance exprimée en litres. On admet que lorsque la machine est bien réglée X suit la loi normale de moyenne 1 L et d'écart type 0,01 L. a) Quelle est, à 10 −4 près, la probabilité p1 qu'une bouteille, prise au hasard, contienne moins de 0,98 L . b) La capacité maximale d'une bouteille est de 1,025 L ; quelle est, à 10 −4 près, la probabilité p2 qu'une bouteille, prise au hasard, contienne plus de 1,025 L ?



 1 

Probabilités - Loi normale

Groupement B 2000 Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur. Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70. On note D la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre de sa tête. On suppose que D suit la loi normale de moyenne 25,50 et d'écart type 0,10. Déterminer, à 10 −2 près, la probabilité qu'un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de la tête.



 2 

Probabilités - Loi normale

Productique des alliages moulés Une machine fabrique en série des pièces métalliques de forme cylindrique. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production, associe la mesure en millimètres de son diamètre. A la suite de contrôles statistiques on estime que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne µ = 16 et d'écart type σ = 0,14. a - Déterminer la probabilité P(Y < 16,2). b - Déterminer la probabilité P(Y > 15,7). c - On accepte les pièces dont le diamètre appartient à l'intervalle [15,7 ; 16,2]. Quelle est à 10 −4 près la probabilité qu'une pièce, tirée au hasard dans la production soit acceptée ? Quel rebut peut-on prévoir sur un lot de 1000 pièces ?

 3 

Probabilités - Loi normale

Mécanique et automatismes industriels Une entreprise fabrique des plaquettes dont la longueur et la largeur sont mesurées en mm. On suppose dans cette partie que L suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 1,6 et on suppose que la variable aléatoire l qui à chaque plaquette prélevée au hasard dans la production associe sa largeur suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 1,2. a) On tire au hasard dans la production une plaquette. Quelle est la probabilité d'obtenir une longueur comprise entre 37 et 43 ? Quelle est la probabilité d'obtenir ne largeur comprise entre 22 et 28 ? b) Une plaquette est acceptée si sa longueur est comprise entre 37 et 43 mm et si sa largeur est comprise entre 22 et 28 mm. En admettant que L et l sont des variables aléatoires indépendantes, quelle est la probabilité d'obtenir une plaquette qui soit acceptée ?

 4 

Probabilités - Loi normale

Maintenance On désigne par x, y, z les dimensions, exprimées en centimètres, des pièces fabriquées par les machines. On suppose que : 

les variables aléatoires X et Y qui, à chaque pièce tirée au hasard, associent respectivement leurs dimensions x et y suivent la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,05.



la variable aléatoire Z qui, à chaque pièce tirée au hasard, associe sa dimension z suit la loi normale de moyenne 7 et d'écart type 0,02. a) Une pièce étant tirée au hasard, calculer à 10 −4 près les probabilités : p1 = P(9,9 ≤ X ≤ 10,1) ;

p2 = P(9,9 ≤ Y ≤ 10,1) ;

p3 = P(6,95 ≤ Z ≤ 7,05)

b) Une pièce est acceptable si ses dimensions sont telles que : 9,9 ≤ x ≤ 10,1  9,9 ≤ y ≤ 10,1 6,95 ≤ z ≤ 7,05  Les variables aléatoires X, Y, Z étant supposées indépendantes, calculer à 10 −4 près, la probabilité qu'une pièce soit acceptée.



 5 

Probabilités - Loi normale

Lecture inverse de la table : Conception de produits industriels Une usine produit des billes d'acier en grande quantité. On note X la variable aléatoire associant à chaque bille, prélevée au hasard, sa masse exprimée en milligrammes. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ = 64 et d'écart type σ = 2. 1° Une bille est déclarée défectueuse si sa masse est inférieure à 60 mg ou supérieure à 68 mg. Calculer la probabilité qu'une bille choisie au hasard dans la production soit défectueuse. 2° Déterminer le réel positif r tel que la probabilité qu'une bille ait une masse comprise entre

µ - r et µ + r soit égale à 0,99.



 6 

Probabilités - Loi normale

Productique des alliages moulés Une usine produit des bobines de fil d'acier. Etude de la longueur du fil des bobines produites. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bobine tirée au hasard de la production, associe la longueur du fil de cette bobine. On admet que X suit la loi normale de moyenne µ = 50 et d'écart type σ = 0,2. 1 - Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a)

la longueur du fil de la bobine est inférieure à 50,19 m ;

b)

la longueur du fil de la bobine est supérieure à 50,16 m ;

c)

la longueur du fil de la bobine est comprise entre 50,16 m et 50,19 m.

2 - Déterminer le réel positif a tel que : P(50 – a ≤ X < 50 + a) = 0,9.



 7 

Probabilités - Loi normale

En assistance technique d'ingénieur Une usine fabrique en grande quantité des écrous. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écrou pris au hasard dans la production, associe son diamètre intérieur exprimé en millimètres. On admet que cette variable aléatoire suit la loi normale de moyenne µ = 10 et d'écart type σ = 0,05. 1) a) Calculer la probabilité qu'un écrou, pris au hasard dans la production, ait un diamètre inférieur à 9,9 mm. b) Calculer la probabilité qu'un écrou, pris au hasard dans la production, ait un diamètre supérieur à 10,01 mm. c) Déterminer le réel positif α tel que P(10 – α ≤ X ≤ 10 + α ) = 0,9974. 2)

Un écrou est rejeté par le service "contrôle de qualité" si son diamètre intérieur n'est pas compris entre 9,85 et 10,15 millimètres. Quelle est la probabilité qu'un écrou soit rejeté ?



 8 

Probabilités - Loi normale

Productique Des machines fabriquent en série des plaques de tôle destinées au montage de transformateurs électriques. Ces plaques sont empilées et servent de conducteur au champ magnétique du transformateur. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque plaque utilisable tirée au hasard, associe son épaisseur exprimée en mm. On suppose que Y suit une loi normale de moyenne 0,3 mm et d'écart type σ. Soit A l'événement : " une plaque, tirée au hasard dans la production, a une épaisseur inférieure à 0,35 mm ". 1° On suppose σ = 0,04 mm. Calculer P(A) à 10 −2 près. 2° On souhaite que P(A) = 0,95. Déterminer alors σ.



 9 

Probabilités - Loi normale

Mécanique et automatismes industriels Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glace. Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque cône, prélevé au hasard dans la production, associe la masse (exprimée en grammes) de glace qu'il contient. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ = 100 et d'écart type σ. 1° Dans cette question, σ = 2 On choisit au hasard, un cône rempli de glace. Calculer à 10 −2 près, la probabilité que la masse de glace qu'il contient soit comprise entre 95g et 105g. 2° Un cône est considéré comme "bon" lorsque la masse de glace qu'il contient appartient à l'intervalle [95, 105]. Déterminer la valeur du paramètre σ telle que la probabilité de l'événement "le cône est bon" soit égale à 0,95 (on donnera le résultat avec deux décimales).



 10 

Probabilités - Loi normale

Mécanique automatismes industriels Le but de cet exercice est d'étudier une méthode de granulométrie fréquemment utilisée dans l'industrie sucrière pour calibrer le sucre blanc en fonction de la taille de ses cristaux. Le calibrage consiste alors à faire passer le sucre au travers d'une série de tamis emboîtés les uns sur les autres et posés sur un fond. On admettra que la variable aléatoire X qui associe à chaque cristal de sucre sa taille x suit une loi normale n(µ ; σ). Dans le cadre de cet exercice on supposera qu'on dispose de 3 tamis dont voici les ouvertures de mailles en mm:

tamis 1 tamis 2 tamis 3

Tamis n° 1 : ouverture 0,8 mm ;

Fond

Tamis n° 2 : ouverture 0,5 mm ; Tamis n° 3 : ouverture 0,2 mm.

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le fond à la fin du calibrage. 1ère question : Compléter le tableau suivant : Niveau de récupération Tamis n° 1 Tamis n° 2 Tamis n° 3 Fond

Taille des cristaux récupérés 0,8 ≤ x ... ≤ x < ... ... ≤ <… x < 0,2

2ème question : On verse 1800 g de sucre, la variable aléatoire X définie précédemment suit la loi normale de moyenne µ = 0,58 mm et d'écart type σ = 0,2 mm. Calculer la probabilité de l'événement : [X < 0,2] et la probabilité de l'événement : [0,5 ≤ X < 0,8] puis estimer la masse de sucre récupéré d'une part dans le fond et d'autre part dans le tamis n° 2. 3ème question : On constate maintenant que µ = 0,65 et que 40 % de la quantité de sucre initialement versé se retrouve dans le tamis n° 2. Quelle est alors la valeur de l'écart type σ de la variable aléatoire X ?



 11 

Probabilités - Loi normale

Constructions métalliques L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production d'une entreprise fabriquant des poutres IPE 200. Pour chaque probabilité demandée on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale approchée à 10 −3 près. 1) Soit H la variable aléatoire qui, à chaque poutre tirée au hasard dans la production , associe sa hauteur en mm. On suppose que H suit la loi normale de moyenne µ1 = 199,8 et d'écart type σ 1 = 1,5. Déterminer la probabilité qu'une poutre tirée au hasard ait une hauteur n'appartenant pas à l'intervalle [197, 203]. 2) Soit L la variable aléatoire qui, à chaque poutre tirée au hasard dans la production , associe sa largeur en mm. On suppose que L suit une loi normale de moyenne µ2 = 100. Déterminer l'écart type σ2 pour que 98 % des poutres aient une largeur appartenant à l'intervalle [97, 103]. Donner de σ2 une valeur décimale approchée à 10 −2 près. 3) Dans une étude de qualité on estime que 5 % des poutres ont une hauteur défectueuse et 2 % une largeur défectueuse, ces deux défauts étant indépendants. On prélève dans la production une poutre au hasard. Déterminer les probabilités que cette poutre ait : - ses deux dimensions acceptables ; - ses deux dimensions défectueuses.



 12 

Probabilités - Loi normale

Maintenance Soit X la variable aléatoire qui, à toute pièce JB OO7 aléatoire, associe le délai de livraison , exprimé en jours. On admet que X suit la loi normale de moyenne µ = 30 (jours) et d’écart type σ = 5 (jours). Déterminer le nombre réel x tel que dans 95% des cas le délai de livraison d’une pièce JB OO7 soit supérieur à x jours.



 13 

Probabilités - Loi normale

Constructions métalliques Une entreprise métallurgique produit des tôles d'acier d'épaisseur 10 mm. Chaque tôle est supposée parfaitement homogène. On considère la variable aléatoire X qui, à toute tôle choisie au hasard dans la production, associe sa contrainte limite d'élasticité en Mégapascal. On suppose que X suit une loi normale de moyenne : µ = 242,8 et d'écart type: σ = 5. 1° Calculer, à 10 −1 près, la probabilité : P(X > 250). 2° Une tôle n'est pas conforme si sa contrainte limite d'élasticité est inférieure ou égale à 235. Calculer à 10 −2 près, la probabilité qu'une tôle ne soit pas conforme. 3° Déterminer, à 10 −1 près, le réel positif a tel que : P(X ≤ a) = 0,1.



 14 

Probabilités - Loi normale

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale Informatique de gestion On suppose que 5 % des pièces livrées présentent le défaut A. On prélève avec remise 400 pièces du stock. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces présentant le défaut A. a) Quelle est la loi suivie par Y ? b) On approche la loi de Y par une loi normale. Quels sont les paramètres de cette loi normale ? c) On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale. Déterminer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit inférieur ou égal à 10. Pour répondre à cette question on calculera P(Z ≤ 10,5).



 15 

Probabilités - Loi normale

En assistance technique d'ingénieur On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque groupe de 1000 candidats, associe le nombre de candidats sélectionnés. On suppose que la probabilité qu'un candidat choisi au hasard soit sélectionné est 0,02 et on assimile tout groupe de 1000 candidats à 1000 choix aléatoires et indépendants. Quelle est la loi de probabilité de Y ? On admet que la loi de probabilité de Y peut être approchée par la loi normale n (m , σ) avec m = 20 et σ = 4,4 . On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale Déterminer la probabilité (on demande la réponse à 10 −2 près) que le nombre de candidats sélectionnés dans un groupe soit compris entre 10 et 25 c'est à dire : P(9,5 ≤ Z ≤ 25,5).



 16 

Probabilités - Loi normale

Électrotechnique Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut B dans 7% des cas. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 250 pièces, fait correspondre le nombre de pièces présentant le défaut B. On décide d'approcher la loi de la variable discrète Y par la loi normale de paramètres µ = 17,5 et σ = 4,03. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale n (17,5 ; 4,03). a) Justifier les valeurs de µ et σ. b) Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 20 pièces présentant le défaut B c'est à dire P(Z ≤ 20,5). a)

Calculer la probabilité que le nombre de pièces présentant le défaut B soit compris au sens large entre 15 et 20, c'est à dire : P(14,5 ≤ Z ≤ 20,5).



 17 

Probabilités - Loi normale

Maintenance 2000

Armoire de contrôle

Bras articulé

Groupe hydraulique

Les ateliers de peinture d'un grand constructeur d'automobiles comportent des robots permettant de positionner les pistolets autour de la carrosserie. Ces robots sont constitués de trois parties : un bras articulé actionné par des vérins hydrauliques, un groupe hydraulique et une armoire de contrôle (système électronique qui gère les mouvements du robot par des programmes). A. Pannes mécaniques sur le bras articulé.

Au moment de s'équiper de 300 robots équipés de bras articulés d'un certain type, le constructeur d'automobiles s'intéresse aux essais réalisés par le fournisseur lors de la mise au point des robots : la probabilité qu'un robot ait une panne mécanique sur un bras articulé pendant une période déterminée est alors 0,05 et les pannes mécaniques des bras des différents robots sont supposées indépendantes. On prélève au hasard 300 robots dans le stock très important du fournisseur et on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de robots dont le bras a connu une panne mécanique pendant la période considérée. 1.

Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

2.

On approche X par la variable aléatoire Y de loi normale de moyenne µ = 15 et d'écart type σ = 3,77. Justifier le choix des paramètres µ et σ.

3.

Soit E l'événement "lors de leur mise au point, strictement plus de 20 robots ont eu une panne mécanique sur leur bras articulé pendant la période considérée". Calculer P(Y ≥ 20,5) à 10 −2 près, (c'est, en utilisant l'approximation de X par Y, la valeur de P(E) ).



 18 