Ds Loi Binomiale&poisson Ati

BTS ATI 2ème Année – Loi Binomiale et loi de Poisson – 16/01/2009 Problème 1 Une usine fabrique des objets d'un certain type. Chacun de ces objets est constitué de deux éléments a et b. Les résultats demandés seront, s'il y a lieu, arrondis à 10 −2 près. 1.

On tire au hasard l'un des objets dans la production. On désigne par A l'événement "l'élément a de l'objet présente un défaut de fabrication", et par B l'événement "l'élément b de l'objet présente un défaut de fabrication". Les deux événements A et B sont indépendants et on donne : P(A) = 0,1 et P(B) = 0, 2. a)

Calculer P(A ∩ B) et P(A ∪ B).

b) La défectuosité d'un élément au moins suffit à faire déclasser un objet : il n'est plus de premier choix, mais de deuxième choix. Soit E l'événement : "l'objet est de deuxième choix". Montrer que P(E) = 0,28. En déduire la probabilité de l'événement : "l'objet est de premier choix". 2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet tiré au hasard dans la production, associe le nombre d'éléments défectueux de cet objet. a)

Utiliser les résultats des questions précédentes pour donner : P(X = 0) et P(X = 2). En déduire P(X = 1).

b) Calculer l'espérance mathématique de X. c) Sachant qu'un objet tiré au hasard dans la production est de deuxième choix, quelle est la probabilité pour que cela provienne de la défectuosité d'un et d'un seul élément ? 3.

On prélève un échantillon de 100 objets, pris au hasard et avec remise, dans la production. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre d'objets de deuxième choix dans cet échantillon. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ? Donner ses paramètres. b) Donner la moyenne et l'écart type de Y. c) Quelle est la probabilité qu’il y ait au plus 2 objets de deuxième choix ?

BTS ATI 2ème Année – Loi Binomiale et loi de Poisson – 16/01/2009 Problème 2 Une étude statistique montre que la probabilité de l'événement "une intervention au moins est nécessaire sur l'installation au cours d'un mois donné" est 0,125. On admet que la nécessité d'intervenir au cours d'un mois ne dépend pas du mois considéré. On note X la variable aléatoire qui, à chaque année, associe le nombre de mois où il a fallu intervenir sur l'installation. 1° Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et donner les paramètres n et p de cette loi. 2° Calculer la probabilité des événements suivants : a) on n'est pas intervenu dans l'année. b) on est intervenu un seul mois dans l'année. c) on est intervenu au moins deux mois dans l'année. 3° On se propose d'approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ En utilisant cette loi de Poisson, déterminer les probabilités respectives des événements définis aux questions 2a, 2b et 2c. Les valeurs sont-elles bien compatibles avec les résultats du 2° ?