Poisson

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

ÚLOHA 4 – MĚŘENÍ POISSONOVY KONSTANTY, MĚŘENÍ DUTÝCH OBJEMŮ VÁŽENÍM A KOMPRESÍ PLYNU

Datum měření: 23. 10. 2009

Skupina I: Michal Kuna, Iveta Matějů

Kroužek: 5. ZS

Kroužek v rámci praktik: Pátek 7,30

Vypracoval: Michal Kuna

Hodnocení:

Abstrakt V první části úlohy jsme měřili objem lahve dvěmi způsoby – vážením a poté kompresí plynu. Z první metody jsme získali hodnotu V=(1016,99±0,19)cm3 a z druhé V=(1010,6±6,2)cm3. V druhé části jsme změřili Poissonovu konstantu pomocí komprese plynu. Výsledek tohoto měření je κ=(1,282±0,003). Poissonova konstanta nebyla měřena metodou kmitajícího pístu.

Pracovní úkoly Pro první část úlohy byly stanoveny tyto úkoly: 1. Jednolitrovou láhev zvažte prázdnou. 2. Jednolitrovou láhev zvažte plnou vody. 3. Z obou výsledků určete objem lahve. 4. Objem prázdné jednolitrové lahve změřte kompresí plynu. 5. Stejným způsobem změřte objem hadičky spojující byretu s měřeným prostorem. Tuto hodnotu poté odečtěte od výsledku z bodu 4. Pro druhou část úlohy byly stanoveny tyto úkoly: 1. Změřte kompresí plynu objem baňky systému s kmitajícím pístkem. 2. Změřte Poissonovu konstantu metodou adiabatické expanze a současně metodou kmitajícího pístku. 3. Oba výsledky porovnejte. Výsledek metody kmitajícího pístku považujte za tabulkovou hodnoty Poissonovy konstanty.

Úvod 1) Metoda vážení a komprese plynu Vyplníme-li nádobu kapalinou o hmotnosti mv a hustotě ρ v , platí pro objem nádoby: m V = v = m vVv , (1) ρv kde Vv je měrný objem 1g vody, pro nějž platí vztah:  cm 3  Vv = 0,9998(1 + 0,0018t )  ,° C  , (2)  g  kde t je teplota ve stupních celsia. Takto můžeme měřit objemy dutých nádob. Pokud tato metoda nelze použít musíme použít jinou metodu, ve které využijeme Boyle-Mariotteova zákona: pV = const p (V0 + V ) = ( p + ∆ p )(V1 + V ) , (3) p V = (V0 − V1 ) − V1 ∆p kde V je měřený objem a pro nás případ je V0 objem části byrety po výchozí dílek a V1 objem po dílek, ke kterému hladina dosáhla na konci měření, ∆ p = ρ gh (ρ značí hustotu vody) je změna tlaku úměrná rozdílu hladin. Výchozí tlak p je v našem případě aktuální atmosférický tlak.

2) Měření Poissonovy konstanty Poissonova konstanta κ (vždy větší než jedna) je poměr měrného tepla Cp při stálém tlaku ku měrnému teplu Cv při stálém objemu. Cp κ = (4) Cv Adiabatický děj je charakterizován Poissonovou rovnicí: pV κ = const , (5) kde p je tlak a V objem plynu. My jsme se pokusili přiblížit k cyklu o 3 ideálních částech: izotermickou kompresi (V0 -> V1), adiabatickou expanzi (V1 -> V2) a izochorické vyrovnání teplot (teplota plynu vzroste na teplotu okolí). Tento cyklus není uzavřený. Po izotermické kompresi máme tlak p1: p1 = b + h , (6a) kde b je aktuální atmosférický tlak, h je přetlak, který odečteme z manometru. Dále po adiabatické expanzi se p2 vyrovná atmosférickému tlaku, ale teplota bude nižší. p2 = b (6b) A konečně při izochorickém ohřátí na teplotu okolí tlak p3 bude: p3 = b + h ' , (6c) kde h' je přetlak způsobený zvýšením teploty plynu při izochorickém ději. Pro izotermickou kompresi máme z B-M zákona (3): p1V0 = p2V . (7) Pro adiabatickou expanzi máme z Poissonova zákona (5): κ κ p 2V = p 3V0 , (8) Z těchto dvou rovnic (7),(8) dostáváme κ p 2 V0 p2  V0  = =   a p1 V p3  V  Z této soustavy dostáváme:

ln(b + h) − ln b . (9a) ln(b + h) − ln(b + h' ) To aproximujeme prvními dvěmi členy Taylorova rozvoje a dostaneme přibližný

κ =

vztah:

κ =

h . h − h'

(9b)

Postup měření 1) Metoda vážení a metoda komprese plynu Pomůcky: měřený objem (láhev se závitem), speciální plynová byreta s porovnávacím ramenem, katetometr, technické výhy do 3 kg se sadou závaží, teploměr. Na technických vahách jsme určili hmotnost prázdné lahve me=(559,3±0,1)g a poté i plné lahve mf=(1573,5±0,1)g. Také jsme změřili teplotu vody t=16,4°C v láhvi. Při měření pomocí komprese plynu jsme použili aparaturu na obr 1. V označuje měřený objem, Z zásobník vody (zde byl realizován lehce jinak), B byretu s dílky, které jsme použili k přibližnému určení hladiny vody a také otevřenou trubici T (tzn. je v ní atmosférický tlak), ve které jsme také určovali hladinu vody. Když jsme připojili měřený objem V, tak jsme při otevřením ventilu u byrety B zvýšili tlak, aby hladina dosahovala nejspodnějšího dílku 0 (na obr 1 označen V0), poté jsme uzavřeli ventil u byrety B a zvyšovali nadále tlak, dokud

hladina v byretě nedosáhla horního dílku 25. Poté jsme katetometrem změřili výšku hladiny na dílku 25 v byretě B a také hladinu vody v trubici T. Jejich rozdíl Δh je důsledkem rozdílu tlaku plynů Δp nad hladinami v byretě B a trubici T. Tento rozdíl Δp je kompenzován hydrostatickým tlakem mgΔh. Jako první jsme provedli 6 měření pro láhev a poté jsme provedli další měření se záslepkou, abychom zjistili objem hadičky, která spojuje měřený objem s byretou.

Obr 1: Experimentální sestava pro měření dutých objemů pomocí komprese plynu

Obr2: Experimentální sestava pro Cleméntovu-Désormesovu metodu měření Poissonovy konstanty

2) Měření Poissonovy konstanty Pomůcky: barometr, skleněná báň se dvěma kohouty, otevřený manometr, gumový měch, světelná brána s čítačem. K měření Poissonovy konstanty jsme použili Cleméntovu-Désormesovu metodu s experimentální sestavou zobrazenou na obr 2. Na trubičku označenou 1 byl připojen měchýř, oddělený uzávěrem K’. trubice 2 propojovala báň B s okolním prostředí. Tedy ventil K sloužil k vyrovnání tlaku v báni B s atmosférickým. Symbol H značí otevřený manometr. Při otevřeném kohoutu K’ jsme pomalu zvýšili tlak v báni pomocí měchýře. Odečetli jsme z manometru H rozdíl hladin. Poté jsme kohout K’ uzavřeli a krátkýokamžik otevřeli kohout K - dobu jeho otevření jsme měřili pomocí světelné brány. Dále jsme nechali vyrovnat teplotu v báni s okolní teplotou a odečetli znova rozdíl hladin z manometru H. Tento postup jsme několikrát opakovali pro různě dlouhé doby otevření pístu.

Výsledky Měření dutých objemů Hmotnost vody (tedy rozdíl naměřených hmotností) činí mv=(1014,2±0,1) g. Teplota vody byla t=16,4°C. Ze vzorců (1) a (2) dostávám pro objem lahve: V=(1016,99±0,19)cm3 Z druhého metody – stlačení plynu, dostávám tyto data: h [mm] 170,1 170,53 170,25 170,47 170,32 170,68

h' [mm] 19,85 17,21 21,55 18,96 18,13 17,31

V'[cm3] 1085,309 1063,249 1096,793 1076,147 1071,266 1062,897

Tab 1: Rozdíly hladin při kompresi z dílku 0 na dílek 25 při připojené lahvi

h [mm] 182,04 182,04 182,04 182,04

h' [mm] 15,3 8,05 8,69 2,5

V"[cm3] 57,45123 54,37392 54,63521 52,18613

h [mm] 176,33 176,33

h' [mm] V"[cm3] 98,46 95,07205 84,5 78,12606

Tab 3: Rozdíly hladin při kompresi z dílku 24 na dílek 25 při měření objemu hadičky

Tab 2: Rozdíly hladin při kompresi z dílku 23 na dílek 25 při měření objemu hadičky

Z naměřených výšek hladin v byretě (h) a v trubičce (h’) jsem objem lahve a hadičky stanovil na V’=(1075,9±5,4) cm3. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 1. Pro objem hadičky jsme provedli 2 částečně odlišná měření – kompresi z 23.dílku na 25. (tab 2) a z 24.dílku na 25. (tab3). Objem V” jsem vypočítal V”=(65,3±7,1) cm3. Tedy objem láhve V=(1010,6±6,2) cm3. P o slo up n o st 1

f (x )= 1 .2 8 1 7 5 * 0 .9 2 1 8 5 3 ^x ; R 2 = 0 .3 3 7 8

Poissonova konstanta d [cm] 26,2 19 27,8 24,4 34,9 23,1 34,6 25,6 34,3 30,1 26,4 20,7 19,3

d' [cm] 6,1 4,1 5,9 5,1 7,2 4,5 6,7 4,6 5,7 4,7 4,1 3,2 2,8

t [s] 0,126 0,293 0,234 0,792 0,528 0,252 0,744 0,429 0,477 0,508 0,945 0,525 0,781

κ [-] 1,303483 1,275168 1.3 1,269406 1,264249 1.25 1,259928 1,241935 1.2 1,240143 1,219048 1.15 1,199301 1,185039 1,183857 1.05 1,182857 1,169697

Tab 4: Naměřené výšky hladin, doba otevření pístu a výsledná hodnota Poissonovy konstanty

[-]

t [s] 0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.6 0.7

0.8 0.9

1

Obr 3: Výsledné hodnoty Poissonovy konstanty jako funkce času, proložené exponenciálou

Do vzorce (6b) bych měl dosazovat tlaky, ale jelikož oba tlaky jsou přímo úměrné výšce hladiny a jejich konstanta úměrnosti je stejná, tak ji mohu vytknout a vykrátit. Takto jsem získal hodnoty zapsané v tabulce 4. Jelikož jsme nechávali kohout K otevřený různě dlouhou dobu, můžeme proložit časovou závislost získaných hodnot Poissonovy konstanty exponenciálou (obr 3) a extrapolovat hodnotu pro t=0. Čas t=0 volíme proto, že předpokládáme adiabatický děj, pro který platí, že soustava je tepelně izolovaná – při otevření

pístu dochází k výměně tepla. Extrapolace je vidět na obr 3, extrapolovanou hodnotu jsem určil κ=(1,282±0,003).

Diskuze Měření dutých objemů Výsledek získaný vážením považuji za mnohem přesnější než výsledek získaný druhou metodou. Je to vidět na absolutních chybách – u metody komprese plynu je chyba řádově větší. U kompresní metody vznikají chyby vlivem netěsnosti aparatury. Tato netěsnost se nejvíce projevila při měření objemu hadičky (obecně relativně malých objemů), kdy hladina v trubici T klesala velice rychle a výšku hladiny bylo zapotřebí odečíst velice rychle. Tento jev byl znatelnější při měření s menším rozsahem – z 24. na 25. dílek. Obě hodnoty se ale v rámci chyby shodují. Poissonova konstanta Tato metoda měření Poissonovy konstanty počítá se vzduchem jakožto s ideálním plynem. Taktéž izotermická komprese není dokonale izotermická, stejně tak adiabatická expanze. Problém u adiabatické expanze jsme se pokusili odstranit extrapolací hodnoty Poissonovy konstanty jako funkce času pro nulový čas. Proto jsem prováděli i měření pro delší čas (více jak 0,5sec), kde již hodnoty mají větší rozsah. Nejkratší čas otevření ventilu, kterého se nám podařilo dosáhnout je o něco málo delší než 0,1sec. Příště by bylo možná lepší provést měření jen na intervalu (0; 0,5) sec a ne jak jsme prováděli my - na (0;1) sec. Při použití přesného vzorce (9a) se výsledná hodnota liší jen velmi málo od hodnoty získané z přibližného vzorce (9b), rozdíl je v rámci přesnosti měřený zanedbatelný a vzorec (9b) je dostatečně přesný. Tabelovaná hodnota v [3] pro vzduch je κ=1,4, kde se předpokládá, že se vzduch skládá pouze ze směsi dvouatomových molekul (tj. O2,N2). Ve skutečnosti se ve vzduchu nachází vodní pára, oxid uhličitý (3-atomová molekula) a mnohé další…Proto je reálná hodnota Poissonovy konstanty nižší. Naše hodnota κ=(1,282±0,003) odpovídá tomuto faktu. Měření pomocí kmitajícího pístku nebylo provedeno z důvodu nefunkčnosti aparatury.

Závěr Objem láhve jsme měřili dvěmi metodami, jejichž výsledky jsou si v rámci jejich chyb rovny. Z metody komprese plynu jsme získali hodnotu V=(1010,6±6,2) cm3. Z metody vážení V=(1016,99±0,19)cm3. Poissonovu konstantu jsme stanovili s přesností na 3 desetinná místa κ=(1,282±0,003), toto měření přes veškeré zdroje chyb považuji za přesné, jelikož se nám dalo odstranit systematickou chybu (tepelná neizolovanost soustavy při předpokládaném adiabatickém ději) extrapolací. Bohužel jsme nemohli tento výsledek porovnat s výsledkem z metody kmitajícího pístu, která je údajně přesnější.

Literatura [1]

http://praktika.fjfi.cvut.cz/Poisson/Poisson.pdf [28.10.09]

[2]

http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/Objemy.pdf [28.10.09]

[3]

J. MIKULČÁK

A KOL.:

Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední

školy, Prometheus, Praha, 2003