Tajribi Math Sx (7)

‫اﻣﺘــﺤـــــــﺎن ﺗﺠــﺮﻳــﺒــــﻲ‬ ‫دورة ﻣــــﺎرس ‪2005‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳـﺔ ‪ :‬أﺑﻲ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﺴﺒﺘﻲ – ﻣﺮاآﺶ ﺗﺎﻧﺴﻴﻔﺖ اﻟﺤﻮز‬

‫اﻟﻤــﺎدة ‪ :‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴــــﺎت‬

‫اﻟﺸﻌﺒﺔ ‪ :‬اﻟﻌﻠــــــﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴــــﺔ‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺛﺎﻧﻮي‬

‫) ﻳﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻏﻴﺮاﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ (‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ . O, i, j , k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪A ( −1, 2, 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ )‪ u (1, −1, −1‬واﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ‪: ( Q ) ( P‬‬

‫‪( P ) : 3x + 2 y + z − 1 = 0‬‬ ‫أ‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬ ‫ب‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪ ( D ) ⊂ ( P ) :‬و ) ‪( D ) ⊂ ( Q‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ ذات اﻟﻤﺮآﺰ ) ‪ Ω (1, −2, 2‬واﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( Q‬‬ ‫أ‪ -‬ﺣﺪد ﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪( S‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪( S‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ أن ) ‪ Ω ∈ ( P‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬واﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬ ‫و‬

‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬

‫‪(3‬‬

‫‪( Q ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ آﺮة واﺣﺪة ﺑﻴﻀﺎء وآﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺳﻮد‪ ،‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ‪.‬‬ ‫ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ‪ 4‬آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺣﺪد ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺣﺪد ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﻣﻦ ﻟﻮن وﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﻠﻮن اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬

‫)‪) ( 3 + 1) + (1 − 3 ) i = 0‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ أن ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ) ‪. (1 + 3‬‬

‫‪3 + 2i z −‬‬

‫‪ (1‬أ ‪-‬‬

‫‪( E ) : ( z 2 + (1 −‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪ z1‬و ‪ z2‬ﺟﺬري اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﺣﻴﺚ ‪. ℜe ( z1 ) ≺ 0 :‬‬ ‫ج‪ -‬اآﺘﺐ ‪ z1‬و ‪ z2‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻠﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ م‪.‬م‪.‬م‪ .‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ O, e1 , e2‬اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A ( −1 − i‬و ‪3 − i‬‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪ B‬و‬

‫‪C 1+ 3‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ OABC‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪ z0‬ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ Ω‬ﻣﺮآﺰ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪. OABC‬‬

‫ج‪ -‬ﺣﺪد ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‪( ΩA, ΩB ) .‬‬

‫‪rm‬‬

‫اﻣﺘــﺤـــــــﺎن ﺗﺠــﺮﻳــﺒـــــــﻲ‬ ‫دورة ﻣــــﺎرس ‪2005‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳـﺔ ‪ :‬أﺑﻲ اﻟﻌﺒﺎس اﻟﺴﺒﺘﻲ – ﻣﺮاآﺶ ﺗﺎﻧﺴﻴﻔﺖ اﻟﺤﻮز‬

‫اﻟﻤــﺎدة ‪ :‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴــــﺎت‬

‫اﻟﺸﻌﺒﺔ ‪ :‬اﻟﻌﻠــــــﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴــــﺔ‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺛﺎﻧﻮي‬

‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬ ‫اﻟﺠﺰء اﻷول‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪⎧⎪ f ( x ) = x ( −2 + ln x ) ln x; x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪⎪⎩ f ( x ) = xe ; x ≤ 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫و ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. O, i, j‬‬ ‫‪ (1‬أ‪ -‬ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪x0 = 0‬‬

‫ج‪ -‬ادرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ وﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. x0 = 0‬‬

‫‪ (2‬ادرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C‬‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪∀x ∈ ]0, +∞[ ; f ' ( x ) = ( ln x ) − 2 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫⎛‬ ‫‪−x ⎞ −x‬‬ ‫‪∀x ∈ ]−∞, 0[ ; f ' ( x ) = ⎜⎜1 +‬‬ ‫‪⎟e‬‬ ‫⎠⎟ ‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫ب‪ -‬ادرس إﺷﺎرة ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0, +‬‬

‫ج‪ -‬اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ادرس ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0, +‬‬

‫ب‪ -‬اﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﻋﻨﺪ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪ I (1, 0‬و ) ‪. J ( e 2 , 0‬‬

‫‪ (5‬ﺑﻴﻦ أن ‪∀x ∈ ]−∞, 0[ ; f ( x ) ≤ x :‬‬ ‫‪ (6‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ . ( C‬ﻧﺄﺧﺬ ‪= 4,1 :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ e‬و ‪ e 2 = 7, 4‬و ‪= 0,3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. e−‬‬

‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ ( un )n≥0‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪− un‬‬

‫‪⎧⎪u0=−1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩∀n ∈ ; un +1 = un e‬‬

‫‪ (1‬ﺑﻴﻦ أن ‪∀n ∈ , un +1 − un ≤ 0 :‬‬ ‫) ﻳﻤﻜﻨﻚ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺴﺆال ‪ (5‬ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻷول (‬ ‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪∀n ∈ , un ≤ −1 :‬‬ ‫‪ (3‬هﻞ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( un‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‪.‬‬

‫‪rm‬‬