Superficies

Superficies en el Espacio Claudia Isela Torres Garibay Febrero 27, 2001

Matemáticas II

Cálculo Vectorial Clave ACM9304

Tema 1.7 Cilíndros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.

Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

Clasificación de las superficies en el espacio: Esfera Plano Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cuadráticas Superficies de Revolución

Esfera Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

Plano Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x,y,z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica) ax + by + cz + d = 0 (ecuación general)

Superficies Cilíndricas (Cilindros) El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro. Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto. Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

Cilindros (cont.) La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

1 z= 2 y

x2 z2 + =1 16 64

y = 2 senx

Superficies cuadráticas Su ecuación es de la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Existen 6 tipos: Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico

Elipsoide

x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c Trazas xy: Elipse xz: Elipse yz: Elipse

x2 y2 + 2 =1 2 a b x2 z2 + 2 =1 2 a c y2 z2 + 2 =1 2 b c

Hiperboloide de una hoja

x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c

Trazas 2 2 x y xy: Elipse + 2 =1 2 a b x2 z2 xz: Hipérbola 2 − 2 = 1 a c 2 2 y z yz: Hipérbola − 2 =1 2 b c

Hiperboloide de dos hojas

x2 y2 z2 − 2 − 2 =1 2 a b c

Trazas xy: Hipérbola xz: Hipérbola

x2 y2 − 2 =1 2 a b x2 z2 − 2 =1 2 a c

yz: (x=0) No existe 2 2 y z (|x|>0) Elipse + 2 =k 2 b c

Cono Elíptico

x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c Trazas

xy: (z=0) Punto (|z|>0) Elipse xz:

yz:

x2 y2 + =k a2 b2

az (y=0) Rectas c 2 2 x z (|y|>0) Hipérbola − 2 + 2 = k a c x =±

bz (x=0) Rectas c 2 y z2 (|x|>0) Hipérbola − 2 + 2 = k b c y =±

Paraboloide Elíptico

x2 y2 + 2 −z =0 2 a b Trazas

xy: (z=0) Punto (z>0) Elipse xz: Parábola yz: Parábola

x2 y2 + 2 =k 2 a b x2 z = 2 a y2 z = 2 b

Paraboloide Hiperbólico

y2 x2 − 2 −z =0 2 b a Trazas

b y = x xy: (z=0) Recta a y2 x2 (|z|>0) Hipérbola 2 − 2 = k b a 2 x xz: Parábola z =− 2 a y2 yz: Parábola z = 2 b

Superficies de Revolución Si la gráfica de una función radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las formas siguientes: 1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2 2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2 3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

Ejemplo de Superficies de Revolución Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la y2 + z2 = (x2 + función 1)2.