Superficies Extendidas

Superficies Extendidas (Aletas) Una superficie extendida (también conocida como aleta) es un sistema que combina la conducción y la convección. En una aleta se asume que la transferencia de calor es 1D. El calor también se transfiere por convección (y/o radiación) desde la superficie a los alrededores.

Capítulo 3

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1

Superficies Extendidas (Aletas) Las superficies extendidas pueden existir en muchos tipos de situaciones pero son normalmente utilizadas como aletas para mejor la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y/o radiación). Ellas son particularmente útiles cuando h es pequeño, o en convección natural con gases.

Capítulo 3

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Superficies Extendidas (Aletas)

Capítulo 3

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3

Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal variable Balance de energía para un volumen de control diferencial

dqconv dAs

Ac(x) qx+dx

qx

dx E& in = q x

E& out = q x + dx + dqconv

⎛ 1 dAc ⎞ dT ⎛ 1 h dAs ⎞ ⎟ ⎟(T − T∞ ) = 0 + ⎜⎜ − ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 A dx dx A k dx dx ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠

d 2T Capítulo 3

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Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal constante ⎛ 1 dAc ⎞ dT ⎛ 1 h dAs ⎞ ⎟ ⎟(T − T∞ ) = 0 + ⎜⎜ − ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 A dx dx A k dx dx c c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d 2T

qconv

and

⎛ hP ⎜ − dx 2 ⎜⎝ kAc

d 2T

Tb Ac qf

dAc =0 dx

dAs =P dx

⎞ ⎟(T − T∞ ) = 0 ⎟ ⎠

Cambios de variable:

θ (x ) ≡ T (x ) − T∞ Capítulo 3

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m2 ≡

hP kAc 5

Condiciones de frontera Solución de la ecuación diferencial resultante en una aleta de sección transversal constante

θ (x ) ≡ C1e mx + C 2 e − mx Base (x = 0)

θ ( 0 ) = Tb − T∞ ≡ θb Extermo derecho ( x = L) dθ dx dθ −k dx

= hθ ( L)

A. Convección: − k B. Adiabático:

x=L

=0 x=L

C. Temperatura cte: θ ( L ) = θ L D. Aleta infinita:

θ (L ) = 0

Transferencia de Calor:

dθ q f = − kAc |x = 0 = ∫ Af hθ ( x ) dAs dx

Capítulo 3

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Distribución de temperatura y balance de calor para aletas de sección transversal cte

Capítulo 3

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Desempeño de aletas,

εf

• Las aletas se usan para aumentar q aumentando A • Sin embargo las aletas son una resistencia de conducción para la transferencia de calor

Desempeño de una aleta, εf εf =

qf hAc ,bθ b

∴

Ac,b: Área de la sección transversal en la base de la aleta

Se justifica el uso de aletas si Capítulo 3

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εf ≥2 8

Desempeño de aletas, εf Hipótesis: h sin aleta = h con aleta •

εf =

•

q f = hPkAc θ b

Aleta infinita:

hPkAc θ b hAc ,bθ b

∴ Ac = Ac ,b

Extremo de la aleta adiabático

⎛ kP ε f = ⎜⎜ ⎝ hAc Capítulo 3

⎛ kP ε f = ⎜⎜ ⎝ hAc

⎞ ⎟⎟ ≥ 2 ⎠

kP ≥4 hAc

q f = hPkAc tanh(mL )

⎞ ⎟⎟ tanh(mL ) ⎠

ε f ,max si tanh(mL) = 1,0 IMC 484

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Extremo de la aleta adiabático tanh(mL)=0,98 1

tanh(mL)

0,8

0,6

0,4

0,2

mL=2,3

0 0 Capítulo 3

1

2

3 mL

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4

5 10

Eficiencia de la aleta, η f ηf =

qf qmax

=

qf hA f θ b

Af: Área superficial de la aleta

Para una aleta de sección transversal uniforme con un extremo adiabático η f

ηf =

Si

q f ,ad hA f θ b

=

hPkAc tanh( mL ) tanh( mL ) = hPL mL

1

tanh (mL ) L→0 ηf = →1 mL tanh (mL ) L→∞ ηf = →0 mL

ηf

Costo

0 Capítulo 3

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mL

Eficiencia de la aleta, η f Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena? Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K. El ambiente se encuentra a 25 ºC. a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay transferencia de calor por convección. b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.

Ecuación larga T ( x ) - T∞ Tb − T∞

cosh[ m( L − x )] + (h / mk )sinh[ m( L − x )] , m = hP = 3,138 θ = = kAc cosh mL + (h / mk )sinh mL θb

cosh[3138 . (0.2 − x )] + 0.00672 sinh[3138 . (0.2 − x )] cosh(0.6276) + 0.00672 sinh(0.6276) . x ) + 0.00672 sinh(0.6276 − 3138 . x )} T ( x ) = 25 + 62.09{cosh(0.6276 − 3138 =

Capítulo 3

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Eficiencia de la aleta, η f T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo 100

T ( x ) - T∞ cosh m( L − x ) θ = = cosh mL Tb − T∞ θb

96.25

cosh[3138 . (0.2 − x )] T − 25 , = cosh(3138 . * 0.2) 100 − 25 . (0.2 − x )] T ( x ) = 25 + 62.32 * cosh[3138

T( x ) 92.5 T c( x ) 88.75 85

Extremo adiabática

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °C

x en el extremo de la aleta es ligeramente inferior Nota 1: la temperatura

en el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!! Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta. Capítulo 3

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Eficiencia de la aleta, η f Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se utiliza la suposición de extremo adiabático pero utilizando una longitud de aleta corregida para tener en cuenta la transferencia de calor por convección en el extremo LC=L+(t/2). LC=L+t/2 t L

L

t/2 Extremo aislado

Con convección

Luego se aplica una condición de extremo adiabática Capítulo 3

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Eficiencia de la aleta, η f Retomando el ejemplo anterior tenemos, m=3.138. La longitud corregida es LC=L+(t/2)=0.2+0.0025=0.2025(m)

Tcorr ( x ) − T∞ θ cosh[m ( Lc − x )] Tcorr ( x ) − 25 cosh[3,138(0,2025 − x )] = = = ; Tb − T∞ θb 100 − 25 cosh (3,138 × 0,2025) cosh (mLc )

Tcorr ( x ) = 25 + 62,05 × cosh[3,138(0,2025 − x )] 100

T( x ) T c( x )

96.25

T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °C Tcorr(0.2025)=87.05 °C

92.5

T corr( x ) 88.75 Capítulo 3 85

0

0.04

0.08

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0.12

0.16

0.2

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Curvas para calcular η f en aletas • •

D.R. Harper y W.B. Brown en 1922 desarrollar el siguiente método para calcular de forma simple la eficiencia de aletas de diferentes formas El método: utilizar la expresión para aletas con extremo adiabático, pero utilizando una longitud corregida:

Lc = L + ( Ac / P )

Ac es el área de la sección transversal y P es el perímetro de la aleta en el extremo.

Lc = L + t / 2, aletas rectangulares Lc = L + D / 4, aletas cilíndrica Lc = L + (w 4 ), aleta cuadrada •

t: espesor de la aleta D: diámetro de la aleta

La velocidad de transferencia de calor y la eficiencia de la aleta serán entonces de la forma q = M tanh (mL ) f

ηf = Capítulo 3

tanh (mLc ) mLc

c

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M = hPkAc θ b 16

Curvas para calcular η f en aletas 12

Si w >> t ⇒ P ≈ 2 w

Capítulo 3

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⎛ h ⎞ 32 ⎛ hP ⎞ ⎟ Lc ⎟ ⎜ mLc = ⎜ Lc = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ kAc ⎠ ⎝ kA p ⎠

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Arreglo de aletas Arreglo representativo de aletas (a) rectangulares (b) anulares.

– Área superficial total :

At = NA f + Ab Número de aletas Área de la base

– Calor transferido total:

q t = Nη f hA f θ b + hAbθ b = η o hAt θ b = – Eficiencia y Resistencia total :

ηo = 1 − Capítulo 3

NA f At

(1 − η )

Rt , o

f

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θb Rt , o

θb

1 = = q t η o hAt 18

Circuitos térmicos para arreglo de aletas • Circuito térmico equivalente SIN resistencia de contacto superficial :

• Circuito térmico equivalente CON resistencia de contacto superficial : q t = η o ( c ) hAt θ b =

θb Rt ,o ( c )

η o(c ) = 1 −

∴ Rt , o ( c ) =

NA f ⎛ η f ⎜⎜1 − At ⎝ C1

(

1 η o ( c ) hAt

⎞ ⎟⎟ ⎠

C1 = 1 + η f hA f Rt",c / Ac ,b

Capítulo 3

) IMC 484

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Aletas de sección transversal no uniforme •

d 2T ⎛ 1 dAc ⎞ dT ⎛ 1 h dAs ⎞ ⎟⎟(T − T∞ ) = 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ + ⎜⎜ Ecuación general 2 dx ⎝ Ac dx ⎠ dx ⎝ Ac k dx ⎠

d 2T ⎛ 1 ⎞ dT ⎛ 2h ⎞ +⎜ ⎟ − ⎜ ⎟(T − T∞ ) = 0 2 dr ⎝ r ⎠ dr ⎝ kt ⎠ d 2θ ⎛ 1 ⎞ dθ 2 − m θ =0 + ⎟ ⎜ 2 dr ⎝ r ⎠ dr

Ec de Bessel modificada

Solución θ (r ) = C1 I 0 (mr ) + C 2 K 0 (mr ) I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera

C.F

dθ dr

= 0 ∧ θ (r1 ) = θ b r = r2

I (mr )K1 (mr2 ) + K 0 (mr )I1 (mr2 ) θ = 0 θ b I 0 (mr1 )K1 (mr2 ) + K 0 (mr1 )I1 (mr2 )

I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera Capítulo 3

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Ejercicio •

• • •

Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen a un flujo de gas que esta a T∞=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC. a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone? b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de cada álabe al fluido refrigerante? c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!

Capítulo 3

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