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CALCULO VECTORIAL SUPERFICIES CUADRATICAS

CILINDRO

Un cilindro se genera al mover una línea que recorre la curva paralela al eje de coordenadas que es representada por la variable que falta en su ecuación.

Sí C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano, entonces el conjunto de todos los puntos (x,y,z) generado al mover una línea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro.

ESFERA Conjunto de todos los puntos P(x,y,z) en el espacio tridimensional que son equidistantes de un punto fijo llamado centro. 𝐴𝑋 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0

SUPERFICIE CUADRATICA • La gráfica de una ecuación de segundo grado de la forma 𝑨𝑿𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒛𝟐 + 𝑫𝒙𝒚 + 𝑬𝒚𝒛 + 𝑭𝒙𝒛 + 𝑮𝒙 + 𝑯𝒚 + 𝑰𝒛 + 𝑱 = 𝟎

Que describe un conjunto real de puntos se dice que es una superficie cuadrática. Consideramos seis superficies: elipsoide, cono elíptico, paraboloide elíptico, hiperboloide de una hoja y el hiperboloide de dos hojas.

ELIPSOIDE

- La gráfica de cualquier ecuación de la forma 𝑥2 𝑎2

𝑦2 + 2 𝑏

+

𝑧2 𝑐2

=1

- Todas las trazas son elipses.

CONO ELIPTICO - La gráfica de cualquier ecuación de la forma 𝑧2 𝑐2

=

𝑥2 𝑦2 + 𝑎2 𝑏2

- Las trazas horizontales son elipses. - Las trazas verticales en los planos 𝑥 = 𝑘 y 𝑦 = 𝑘 son hipérbolas si 𝑘 ≠ 0, pero son pares de rectas si 𝑘 = 0.

PARABOLOIDE HIPERBOLICO - La gráfica de cualquier ecuación de la forma 𝑧 𝑥2 𝑦2 = 2− 2 𝑐 𝑎 𝑏 - Las trazas horizontales son hipérbolas. - Las trazas verticales son parábolas.

PARABOLOIDE ELIPTICO - La gráfica de cualquier ecuación de la forma 𝑧 𝑐

=

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

- Las trazas horizontales son elipses. - Las trazas verticales son parábolas.

- La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide.

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA - La gráfica de cualquier ecuación de la forma 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2 − 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐 - Las trazas horizontales son elipses.

- Las trazas verticales son hipérbolas - El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS - La gráfica de cualquier ecuación de la forma −𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 − 2+ 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐

- Las trazas horizontales son elipses en 𝑧 = 𝑘 si 𝑘 > 𝑐 o 𝑘 < −𝑐. - Los dos signos menos indican dos hojas.