Sucesiones Series

SUCESIONES Y SERIES José Darío Sánchez Hernández [email protected]

§1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES. 1.1. Introducción. Los números naturales son algo que actualmente está en el medio ambiente, quizás por esto llegó el matemático alemán Leopoldo Kronecker a decir: “El buen Dios dió al hombre los números naturales; el resto ha sido obra suya " . Se consideran los números naturales como la estructura básica de la Matemática y siguiendo al matemático italiano Giuseppe Peano, los únicos términos técnicos que intervienen son los de número natural, primer natural (cero para nosotros y uno para otros, según los gustos) y “ el siguiente de ", o, “ el sucesor de ", con los siguientes axiomas: N . Cero es un número natural N . El siguiente de todo número natural también es número natural N . Si : es una colección de números naturales tal que cumple: ²³ 0 esta en : ²³ Cada vez que un natural está en : , también el siguiente de él está en :. Entonces S es el conjunto de todos los naturales. N À Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son iguales. N ÀCero nunca es sucesor de un natural. Sucesor de un conjunto significa, a otro conjunto con un elemento más; una manera de formar a partir de un conjunto dado ( otro con un elemento más, es agregar el mismo ( como elemento, a esté le llamaremos “el sucesor de ( " y se le nota (b À (b ~ ( r ¸(¹. Así 0b ~  r ¸¹ ~  r ¸¹ ~  b ~  r ¸¹ ~ ¸¹ r ¸¹ ~ ¸Á ¹ ~  b ~  r ¸¹ ~ ¸Á ¹ r ¸¹ ~ ¸Á Á ¹ ~  b ~  r ¸¹ ~ ¸Á Á ¹ r ¸¹ ~ ¸Á Á Á ¹ ~  Å

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Notaremos con o al conjunto de todos los números naturales.

1.2. Definición de sucesión. Sea ( ‰ s un subconjunto de números reales y  ¢ o — ( una función, es decir, (D  o³²% !  ²³ w  ²³  (³. Al conjunto ¸ ²³¹ ‹ ( se le llama una sucesión en (À De la teoría de conjuntos se sabe que cuando  ²³  ( significa que “% !   ( ! "  ²³ ~ " , en este caso se denota  ~  . En esta forma al conjunto ¸ ¹B ~0 es al que usualmente se le llama una sucesión y a  se le conoce como el -ésimo término de la sucesión. Á ÄC son sucesiones en Ejemplo. Así los conjuntos BÁ Á Á  Á ÄC y BÁ  Á  Á 

s, representados por B C ¸ ¹B ~ ~ Á Á Á  Á Ä

y

B b CB B   C  ~ ~ Á  Á Á  Á Ä .

Cuando ( ‹ s y  ¢ o — A es una sucesión entonces ¸ ¹B ~0 es llamada una sucesión de números reales o simplemente una sucesión real .

1.3 . Sucesiones Monótonas. B Sea ¸ ¹B ~0 una sucesión real, se dice que ¸ ¹~0 es una sucesión creciente cuando la siguiente proposición es verdadera    ¬     B Ejemplo. Los conjuntos ¸ ¹B ~1 Á ¸¹~1 son sucesiones crecientes. B Análogamente sea ¸ ¹B ~0 una sucesión real , se dice que ¸ ¹~0 es decreciente si    ¬  ‚  b B Ejemplo. Los conjuntos ¸  ¹B ~ Á ¸  ¹~ son sucesiones decrecientes.

Se dice que una sucesión ¸ ¹B ~0 es una sucesión monótona decreciente.

si es creciente o

Una sucesión ¸ ¹B ~0 se dice acotada superiormente si existe una constante 4 tal que   4 Á  !   oÀ Se dice que la sucesión ¸ ¹B ~0 es acotada inferiormente si existe una constante 2 tal que  ‚ 2Á  !   oÀ

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Se dice que una sucesión ¸ ¹B ~0 es acotada, si es acotada superior e inferiormente, es decir que existe una constante 4 ‚  tal que O O  4 Á para todo   oÀ

1.4. Límite de una sucesión. Si los términos de una sucesión ¸ ¹B ~0 se acercan a un número 3, se dice que la sucesión tiende al límite 3 ( o que converge a 3 ) y se nota: lim  ~ 3 ²ó,  ¦ 3 "  ¦ B ³ ¦B

Más precisamente la sucesión ¸ ¹B ~0 converge a 3 , si dado un número cualquiera  € , es posible la determinación de un número natural 5 tal que si  ‚ 5 ¬ O c 3O   Esto es, a partir de un 5 -ésimo término todos los elementos de la sucesión están en un entorno de 3 con radio . c À ²5 À  ÀÃ

3ÀÃ 5 b À ³  À ÀÄ5 c c

™ ™ 3c 3b Una sucesión que tiene un límite se le llama

sucesión convergente, en caso

contrario la sucesión de dice divergente Formalmente tenemos la siguiente definición:

Definición. ¢ Una sucesión ¸ ¹B ~  se dice convergente hacia 3 si “ dado  € Á existe 5  o tal que si  ‚ 5 entonces O c 3O   ”.

Ejemplos. 1. La sucesión ¸  ¹B ~ naturalmente es convergente y su límite es À Para mostrar esto demos  €  y tratemos de hallar 5  o tal que O  c O   ¯ O  O  À Ahora 5   ¯ 5 €  À Por lo tanto como los números naturales no son acotados en s podemos tomar un número natural 5 tal que 5 €  Á así la proposición (D € )(E5 €  ! "   ‚ 5 ¬ O  c O  ³ es verdadera, luego

lim  ~ À

¦B 

2. Para la sucesión ¸1¹B , dado  €  Á existe 5 ~  ~0  ‚ 5 ~  ¬ O c O ~   À Esto significa que lim  ~ À

tal

que

si

¦B

À Consideremos la sucesión ¸¹B ~0 ~ ¸Á Á Á Á ĹÁ probemos que esta sucesión no tiene límite. Supongamos por contradicción que lim ~ 3 y que 3  s , entonces para ¦B

cada  €  existe un 5  o tal que si  ‚ 5 Á entonces O c O  À En particular si  ~  Á existe 5  o tal que

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O c 3O   ²  ‚ 5 ³ ¯ c    c 3   ² ‚ 5 ³ ¯ 3 c     3 b  ² ‚ 5 ³À Esta última afirmación asegura que para todo  ‚ 5 Á   3 b  de donde los números naturales resultarían acotados lo cual es imposibleSR, luego lim  no existe. ¦B

4. Consideremos la sucesión ¸² c ³ ¹B ~0 ~ ¸Á c Á Á c Á Ĺ y supongamos que  lim ² c ³ ~ 3 ¯ ²D € ³²E5  o tal que si  ‚ 5 entonces |² c ³ c 3O  ³À

¦B

En particular para  ~  , E5  o tal que O² c ³ c 3O  ² ‚ 5 ³ ¬ H

O c 3O   O c  c 3O 

 

 

 ‚ 5 .

si  es par si  es impar

pero esto es contradictorioSR pues, en ese caso se tendría 2 ~ OO ~ O b O ~ O b 3 c 3 b O  O b 3O b O c 3O   b así    lo cual es contradictorioSR, luego lim ² c ³ no existe.

 

~

¦B

5. Hallar

lim D  ° E ¦B b

Por teoría de límites se considera:   %c°

°

%  %  lim %b% ° ~ lim b  %c° ~ lim % ° b ~ lim  %c° ~ . %¦B %¦B %¦B %¦B   B

 Esto nos sugiere que la sucesión D b ¦ ° E ~  Para esto dado  €  ,E5 € Á tal que si  ‚ 5 ¬ c b ° c c  

¯ c cc  b°

°

c ¯

° b°



pero ° b°

° °   y si   

°

 ² ‚ 5 ³ ¬ b °  

pues °

°

       b ° ¯ b °   ¯ b°   y °   ² ‚ 5 ³. Esto nos lleva a elegir 5 de tal manera que   Á esto es escoger 5 €   5 °

en esta forma °   para  ‚ 5 con 5 €  ² pues °  5 ° si  ‚ 5 ³  Con esto hemos probado que dado  €  existe 5  o tal que 5 €   así  c ° ° ° c b ° c c ~ c b° c ~ b°    °  5 °  

luego lim



¦B b

°

~ .

…

Teorema 1. Si ¸  ¹B ~ es una sucesión de números no negativos y si lim

¦B



~ 3Á entonces 3 ‚ À

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+ !ó ¢ Supongamos que por contradicción que 3  À Entonces para  ~ c 3 existe 5  o tal que O  c 3O  c 3 ² ‚ 5 ³ ¬ O

c 3O  c 3 ¯ 3  3 c 5  c 3 ¬ 5 c 3  c 3 3 3 o sea que 5  3 c  ~  luego 5   así los términos de la sucesión son negativos lo cual es contradictorioSR. Luego 3 ‚  . … 5

1.5. Sucesiones convergentes Definición. Si una sucesión de números reales ¸  ¹B ~ tiene por límite a B 3Á decimos que ¸  ¹B ~ es convergente a 3. Si ¸  ¹~ no tiene límite,

decimos que ¸  ¹B ~  es divergente. En los ejemplos anteriores tenemos que ¸  ¹B y ¸Á Á Á Ĺ son convergentes ~  B mientras que ¸² c ³ ¹~ es una sucesión divergente.

Teorema 2. Si una sucesión de números reales ¸ ¹B ~  converge a 3 entonces ¸ ¹B ~  no puede converger a otro límite 4 distinto de 3À Esto es si lim  ~ 3 y lim  ~ 4 entonces 3 ~ 4 À ¦B

¦B

+ !ó ¢ Dado  €  existen 5 y 5  o tales que  ‚ 5 ¬ O c 3   H  ‚ 5 ¬ O c 4 O   

Tomando entonces 5 ~ %¸5 Á 5 ¹ se tiene que O3 c 4 O ~ O3 c  b  c 4 O  O3 c  O b O c 4 O   Como  es arbitrario, entonces se tiene lo deseado. … Sea ¸ ¹B definida por k ª (k) una función ~0 una sucesión y  : o — o B estrictamente creciente, entonces ¸ ²³ ¹~0 es llamada una subsucesión de ¸ ¹B ~0 . B Ejemplo: ¸¹B ~ ~ ¸Á Á Á Ĺ es una subsucesión de ¸¹~0 ~ ¸Á Á Á Á Ĺ  B ¸¹B ~ ~ ¸Á Á Á Ĺ es una subsucesión de ¸² c ³ ¹~ ~ ¸ c Á Á c Á Á ĹÀ

Teorema 3. Si la sucesión de números reales ¸ ¹B ~  es convergente a 3, entonces cualquier subsucesión de ¸ ¹B ~  es también convergente a 3À + !ó ¢ Si lim  ~ 3 ¯ (D € ³²E5  o°  ‚ 5 ¬ O ¦B

B  c 3O  ³. Sea ¸²³ ¹B ~ una subsucesión de ¸ ¹~0 y sea ²³ ‚ 5 À Ahora si  ‚  entonces ²³ ‚ ²³ ‚ 5 Á luego ²³ c 3O   ²para todo  ‚ ³ esto es lim ²³ ~ 3 À ¦B

o O

tal que

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…

1.6. Sucesiones divergentes  B Ya hemos visto que las sucesiones ¸¹B ~0 Á ¸² c ³ ¹~0 son ambas divergentes. Sin embargo estas dos sucesiones tienen un comportamiento diferente. Para la sucesión ¸¹B tiene la divergencia por no ser acotada, mientras que la sucesión ~0 se  B ¸² c ³ ¹~0 es divergente por ser una sucesión oscilante.

Definición. Sea ¸ ¹B ~  una sucesión de números reales. Decimos que  tiende a infinito cuando  tiende a infinito si para cualquier número real 4 €  existe un número natural 5 tal que  ‚ 4 ²D ‚ 5 ³À En este caso escribimos  ¦ B cuando  ¦ BÀ En lugar de “   %   !” algunas veces decimos ¸ ¹B ~0 diverge hacia infinito. B Es obvio que ¸¹~0 es divergente a infinito , pues para 4 €  dado, justamente existe 5  o tal que 5 ‚ 4 Á entonces ciertamente  ‚ 4 ²D ‚ 5 ³À En forma análoga se tiene ¢

Definición. Sea ¸ ¹B ~  una sucesión de números reales. Decimos que  se aproxima a menos infinito cuando  tiende a infinito si para cada

número real 4 €  existe un número entero 5 tal que entonces   c 4 À

si  ‚ 5

En este caso escribimos  ¦ c B cuando  ¦ B y decimos que ¸ ¹B ~0 diverge a menos infinito.

Ejemplo. La sucesión ¸²  ³¹B ~0 diverge a menos infinito, pues dado 4 € 

debemos hallar 5  o tal que ²  ³  c 4 ²D ‚ 5 ³. Pero esto es equivalente a   € 4 ²D ‚ 4 ³ ¯  € 4 ²D ‚ 5 ³ Así, si escogemos 5 ‚  4 entonces se tendrá  € 4 ²D ‚ 5 ³ y por lo tanto   € 4 ²D ‚ 4 ³À La sucesión ¸Á c Á Á c Á Ĺ no se aproxima ni a +B ni a c B. Sin embargo, esta sucesión tiene una subsucesión ¸Á Á Á Ĺ la cual se aproxima a +B y también una subsucesión ¸Á c Á c Á Ĺ la cual se aproxima a c BÀ Es fácil demostrar que si la sucesión ¸ ¹B ~0 diverge a infinito, entonces cualquier B subsucesión de ¸ ¹~0 también converge a infinito. Algunas sucesiones divergentes que no divergen a b B ni a c B, entonces ellas dan la idea de ZZ  ó ZZ À

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Definición. Si una sucesión ¸ ¹B ~  de números reales es divergente pero no diverge a b B ni a c B, entonces decimos que ¸ ¹B ~  es oscilante. Un ejemplo de una sucesión la cual es oscilante se presenta en ¸² c ³ ¹B ~0 À Otro B ejemplo es la sucesión ¸Á Á Á Á Á Á Á Á Á Ĺ la cual tiene a ¸¹~0 como subsucesión, luego es divergente, sin embargo, la sucesión no diverge a infinito; puesto que no existe 5  o para el cual la afirmación  €  ²D ‚ 5 ³ sea verdadera. Esta sucesión obviamente no diverge a c BÀ Por lo tanto la sucesión es  !. La sucesión ¸Á c  Á  Á c  Á Ĺ converge a cero. Por lo tanto no es  !À

1.7. Sucesiones acotadas. Recordemos que una sucesión de números reales ¸ ¹B ~0 es una función de o en s, B vemos que el recorrido de ¸ ¹~0 es un subconjunto de s.

Definición. Decimos que una sucesión ¸ ¹B ~ es acotada por encima (ó superiormente ) si el recorrido de ¸ ¹B ~  es acotado superiormente. Análogamente decimos que la sucesión ¸ ¹B ~  es acotada por debajo (ó inferiormente ) si el recorrido de la sucesión ¸ ¹B ~  es acotado inferiormente. Será acotada si el recorrido de la sucesión ¸ ¹B ~  es respectivamente acotado superior e inferiormente. Así la sucesión ¸ ¹B ~  es acotada si y solamente si existe 4  s tal que O O  4 ²D  o³. Si una sucesión diverge a infinito entonces la sucesión no es acotada. Una sucesión que converge a infinito puede sin embargoÁ ser acotada inferiormente. Una sucesión que es oscilanteÁ puede o noÁ ser acotada. La sucesión ¸Á c Á Á c Á Á Ĺ es oscilante y no es acotadaÁ ni superiormenteÁ ni inferiormente. La sucesión ¸ c Á Á c Á Á c Á Ĺ es oscilante y es acotada. La sucesión ¸Á Á Á Á Á Á Á Á Ĺ es oscilante, es acotada inferiormente, pero no es acotada superiormente.

Teorema 4. Si la sucesión ¸ ¹B ~  de números reales es convergente, entonces la sucesión ¸ ¹B ~  es acotada. + !ó ¢ Supóngase que 3 ~ lim  À Entonces dado  ~ , existe ¦B

5  o tal que O  c 3O   ²D ‚ 5 ³À Esto implica O O  O3O b  ²D ‚ 5 ³ ´ pues, O O ~ O3 b ² c 3³O  O3O b O c 3O µ À Si tomamos 4 ~ á%¸O OÁ O OÁ ÄÁ O5 c O¹ entonces tenemos

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| O  4 b O3O b  ² ²D  o³ lo cual demuestra que la sucesión ¸ ¹B ~0 es acotada. …

1.8. Operaciones en sucesiones monótonas. Teorema 5. Una sucesión creciente que está acotada superiormente, es convergente

+ !ó ¢ Supongamos que la sucesión ¸ ¹B ~0 es creciente y acotada. Entonces el conjunto ( ~ ¸ Á  Á Ĺ es un subconjunto no vacío y acotado de s, luego existe el extremo superior de ( (ó el supremo) o sea 4 ~ " ¸ Á  Á Ĺ ~ " (À Probemos que  ¦ 4 cuando  ¦ BÀ En efecto dado  € , entonces 4 c  no es cota superior de (. Por lo tanto para algún 5  o Á 5 € 4 c  À Pero, puesto que la sucesión ¸ ¹B ~ es creciente, esto implica que  € 4 c  ²D ‚ 5 ³. Por lo tanto como 4 ~ " ( entonces 4 ‚  ²D ‚ 5 ³À De aquí concluimos que O  c 4 O   ²D ‚ 5 ³À

Corolario: La sucesión ¸² b  ³ ¹B ~  es convergente. + !ó ¢ Sea ²c³ ²c³Ä  ~ ² b  ³ ~  b   b h  b Ä b hhhÄ  Para  ~ Á Á Á ÄÁ Á el ( b )-ésimo término es de la forma ²c³Ä²cb³  hhhÄ 

 ~ hhÄ ² c  ³²c  ³Ä² c c ²³  ³ Si expandimos b obtenemos  b  términos (uno más que  ³ y para  ~ Á Á ÄÁ Á el término ² b ³ c ésimo es    c ²³ hhÄ ² c b ³²c b ³Ä² c b ³ el cual es más grande que las cantidades en (1). Esto prueba que   b , así ¸² b  ³ ¹B ~0 es creciente. Pero también       b  b h b hh b Ä b hÄ c²°³    b  b  b  b Ä b c ~  b c° ~  Luego ¸² b  ³ ¹o es acotada, de donde lim ² b  ³ existe. ¦B

…

Teorema 6: Una sucesión creciente de números reales, la cual no es acotada superiormente, es divergente a infinito. + !ó ¢ Supuesto que ¸ ¹B ~0 es creciente pero no acotada por encima, dado 4 €  debemos hallar 5  o tal que  € 4 ²D ‚ 5 ³. Ahora puesto que 4 no es cota superior para ¸ Á Á Ä ¹ debe existir 5  o tal que 5 € 4 À Entonces

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para este N y como por hipótesis la sucesión ¸ ¹B ~0 es creciente se tiene  € 4 ²D ‚ 5 ³ . Esto prueba el teorema. …

Teorema 7. Una sucesión decreciente que es acotada por debajo es convergente. Una sucesión decreciente que no es acotado por debajo diverge a menos infinito. La demostración se deja como ejercicio. .

1.9. Operaciones en sucesiones convergentes. Puesto que las sucesiones de números reales son funciones a valor real la suma, B multiplicación y división entre sucesiones se pueden definir así, si ¸ ¹B ~0 y ¸ ¹~0 B B son sucesiones de números reales, entonces ¸ ¹~0 b ¸ ¹~0 es la sucesión B B B ¸ b  ¹B ~0 y ¸ ¹~0 h ¸ ¹~0 es la sucesión ¸ h  ¹~0 y así sucesivamente. B También, si   s entonces ¸ ¹B ~0 es la sucesión ¸ ¹~0 . B Teorema 8. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones de números reales, si

lim  ~ 3

¦B

y

lim  ~ 4 Á entonces

¦B

lim ² b  ³ ~ 3 b 4 À

¦B

En otras

palabras el límite de la suma es la suma de los límites. + !ó ¢ Dado  € , debemos hallar 5  o tal que O² b  ³ c ²3 b 4 ³O   ²D ‚ 5 ³ ²³ Ahora O² b  ³ c ²3 b 4 ³O ~ O² c 3³ b ² c 4 ³O  O c 3O b O c 4 O Por lo tanto (1) se tendrá solamente si O c 3O b O c 4 O   ²D ‚ 5 ³ ²³  Así debemos tener que tanto O c 3O como O c 4 O deben ser menores que  tomando  suficientemente grande. Puesto que lim  ~ 3, existe 5  o tal que | c 3O   ²D ‚ 5 ³. ¦B

También como lim  ~ 4 , existe 5  o tal que O c 4 O   ²D ‚ 5 ³ . ¦B

Por lo tanto si seleccionamos 5 ~ %¸5 Á 5 ¹Á entonces los términos del primer miembro de (2) son cada uno menor que  cuando  ‚ 5 À …

Teorema 9. Si

¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales,   s y

lim  ~ 3Á entonces

¦B

lim  ~ 3 À

¦B

+ !ó: Si  ~  Á el teorema es obvio. Por lo tanto suponemos que  £  . Así dado  €  debemos hallar 5  o tal que O c 3O  À Ahora puesto que lim  ~ 3Á existe N  o tal que O  c 3O  O O ²D ‚ 5 ³À ¦B Pero entonces OOO c 3O   ²D ‚ 5 ³

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Lo cual es equivalente a lo que queremos demostrar. …

Teorema 10 : ²³ Si   %  Á entonces ¸% ¹B ~ converge a . ²³ Si   %  B Á entonces ¸% ¹B ~ diverge a infinito.

+ !ó ¢ ²³ Si   %   entonces %b ~ % h %  % À Por lo tanto   B ¸% ¹B ~0 es decreciente. Puesto que % €  para   oÁ ¸% ¹~0 es acotada por debajo, por lo tanto es convergente. Sea 3 ~ lim % À Tomando  ~ % tenemos por el ¦B

resultado anterior lim % h % ~ % h lim % ~ %3À Esto es la sucesión ¸% ¹B ~0 converge a ¦B

¦B

 B %3Á esto por que ¸%b ¹B ~0 es una subsucesión de ¸% ¹~0 Á por lo tanto %3 ~ 3 así 3²% c ³ ~  puesto que % £ 1 ¬ 3 ~ À () Si % €  entonces %b ~ % h % € % así que ¸% ¹B ~0 es creciente. Mostremos  B  B que ¸% ¹~0 no es acotada superiormente. Pues si ¸% ¹~0 fuera acotada por arriba entonces ¸% ¹B ~0 convergería digamos a 3, así por un razonamiento análogo al de (a) se sigue que %3 ~ 3 ¯ lim % ~ À Pero como % ‚  entonces obviamente ¸% ¹B ~0 no ¦B

converge a  lo cual es contradictorio. Luego ¸% ¹B ~0 no es acotada superiormente y de hecho es divergente a infinito. B Teorema 11. Si ¸ ¹B ¸ ¹~ ~  y  son sucesiones de números reales, lim  ~ 3 y lim  ~ 4 entonces lim ² c  ³ ~ 3 c 4 À

¦B

¦B

¦B

+ !ó ¢ (1) lim ² c  ³ ~ lim ² c ³ ~ ² c ³ h lim  ~ c 4 ¦B

¦B

¦B

(2) lim ² c  ³ ~ lim ² b ² c ³ ³ ~ lim  b lim ² c ³ ~ 3 c 4 À ¦B

¦B

Corolario: Si ¸ ¹B ~  y    ²D  o³ y

¦B

B ¸ ¹~ 

lim  ~ 3Á

¦B

¦B

son sucesiones de números reales, lim  ~ 4 entonces 3  4 À

¦B

+ !ó ¢ 4 c 3 ~ lim ² c  ³À Pero  c  ‚  ²D  o³ por lo ¦B

tanto por un resultado anterior 4 c 3 ‚  ² ver ejercicio 1 de esta sección.). Con el fin de mostrar que el producto de límites, es el límite del producto, consideremos:

Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales la cual es  convergente a 3, entonces ¸ ¹B ~  converge a 3 À + !ó ¢ Debemos probar que lim  ~ 3 À Esto es, dado  €  debemos

Lema :

¦B

hallar 5  o tal que O c 3 O   ²D ‚ o³ ¯ O c 3OO b 3O   ²D ‚ o³ ²³ B Ahora por ser ¸ ¹~0 una sucesión convergente entonces es acotada, así para algún 4 €  Á O  O  4 ²D  o³ así que O b 3O  O O b O3O  4 b 3 ²D  o³ ²³

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Puesto que lim  ~ 3Á existe 5  o tal que ¦B

O c 3O ~ 4 b3 ²D ‚ o³ Pero usando ²³ y ²³, tenemos O c 3O O b 3O  4 b3 h ²4 b 3³ ~  ²D ‚ o³ Así, para este 5 , ²³ es verdad y tenemos el resultado deseadoÀ …

²³

B Teorema 12. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones de números reales,

lim  ~ 3 y

¦B

lim  ~ 4 Á entonces

¦B

lim   ~ 34 À

¦B

7   !óÀ Usamos la siguiente identidad:  ~  ´² b ³ c ² c ³ µ ²Á   s³ Ahora, cuando  ¦ B  b  ¦ 3 b 4 y ² b  ³ ¦ ²3 b 4 ³ también  c  ¦ 3 c 4 y ² c  ³ ¦ ²3 c 4 ³ Así tenemos ² b  ³ c ² c  ³ ¦ ²3 b 4 ³ c ²3 c 4 ³ ~ 34 finalmente por la identidad (1) tenemos   ~  ´ ² b  ³ c ² c  ³ µ ¦  ²34 ³ ~ 34

(1)

:"  !ó ¢ Dado  €  , debemos hallar 5  o tal que |  c 34 O   ²D ‚ 5 ³ El problema aquí es puramente algebráico. Usando la hipótesis de que lim  ~ 3 y ¦B

lim  ~ 4 Á tenemos

¦B

  c 34 ~   c 3 b 3 c 34 ~  ² c 3³ b 3² c 4 ³ O   c 34 O  O O h O c 3O b O3O h O c 4 O. Por lo tanto nos basta mostrar que O O h O c 3O b O3O h O c 4 O   ²D ‚ 5 ³ ²2³ B Pero ¸ ¹~0 es convergente luego es acotada así existe 8 €  tal que O O  8 ²D ‚ 5 ³ Á así (2) se reduce a Q h O c 3O b O3O h O c 4 O   ²D ‚ 5 ³  Ahora como ¸ ¹B existe 5  o tal que ~0 ¦ 3 para 8 €   | c 3O  8 ²D ‚ 5 ³  en forma análoga como ¸ ¹B ~ para O3O € Á existe 5  o tal que  O c 4 O  O3O ²D ‚ 5 ³ luego tomando 5 ~ %¸5 Á 5 ¹ tenemos si  ‚ 5 Á entonces   8O c 3O b O3O h O c 4 O  8 8 b O3O O3O ~ . …

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Lema : Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales y si lim  ~ 4 ¦B

lim ¸  ¹ ~

donde 4 £  entonces

¦B

 4

À

+ !ó ¢ Se tienen dos casos 4 € Á ó, 4  À Probaremos el caso 4 €  ² El caso 4   se puede probar aplicando el mismo razonamiento a la sucesión ¸ c  ¹B ~ ³.  Así usamos 4 €  dado  € , debemos hallar 5  o tal que O  c 4 O O c4 O O 4 O

²D ‚ 5 ³ Á óÁ



  ²D ‚ 5 ³

4 Como ¸ ¹ — 4 , para 4  € Á existe 5  o tal que  ‚ 5 ¬ O c 4 O   , ó, también 4 4 4 c4    c 4   ²D ‚ 5 ³ ¯      ²D ‚ 5 ³ así | O ‚  € 4 ²³  ²D ‚ 5 ³

También para

4  

existe 5  o tal que 

O c4 O  4  ²D ‚ 5 ³ Así si 5 ~ %¸5 Á 5 ¹ tenemos, para  ‚ 5 O c4 O O 4 O

²³





~ O |4 h 4   44 h 4  ~  . 

… B Teorema 13. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones de números reales, 3 lim  ~ 3 y lim  ~ 4 donde 4 £ , entonces lim ²  ³ ~ 4 À

¦B

¦B

¦B

+ !ó ¢ Se tiene

 3 lim  ~ lim  h  ~ lim  h lim  ~ 3 h 4 ~ 4 .    ¦B ¦B ¦B ¦B

…

Ejemplos:      lim b ~ ° ~ lim  blim ¦B ¦B b ° ¦B 



 °

~

c   Hallar el valor de lim   ¦B  b

À

 c   b

~

 ²c  ³

 ² b  ³

~



À Ya hemos mostrado que

c 

b   lim  ¦B

~ y

lim  ~  , además

lim  ~ 

¦B 

¦B

À. De todo lo anterior se tiene 





lim ²c  ³ lim c lim   c  c  ¦B ¦B ¦B lim  ~ lim ~ ~ ~  .    lim ² b  ³ lim b  lim  ¦B  b ¦B b    ¦B ¦B ¦B 

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Resutado: Sean ¸ ¹o Á ¸ ¹o , y , ¸ ¹o tres sucesiones de números reales tales que      para todo   o, si

lim  ~ lim  ~ 3,

¦B

¦B

entonces lim  ~ 3À ¦B

1.10. Operaciones con sucesiones divergentes. Hemos visto que para sucesiones convergentes la suma, la diferencia, el producto y el cociente aún siguen siendo convergente. En sucesiones divergentes esto no sucede en B general. Por ejemplo si las sucesiones ¸ ¹B ~0 y ¸ c  ¹~0 son ambas divergentes entonces la suma claramente no es divergente. Más aún el producto de la sucesión divergente ¸² c ³ ¹B con si misma no es divergente. Sin embargo veamos el ~0 siguiente resultado. B Teorema 14. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones de números reales las

cuales divergen a infinito, entonces su suma y su producto divergen a B infinito. Esto es ¸ b  ¹B ~  y ¸ h  ¹~  divergen a infinito. + !ó ¢ Dado 4 €  se puede escoger 5  o tal que  € 4 (D ‚ N ³ y escojamos 5  o tal que  €  ²D ‚ 5 ³ (Lo anterior es posible puesto que ambos límites  ¦ B y  ¦ B cuando  ¦ B ). Entonces, para 5 ~ %¸5 Á 5 ¹ tenmos  b  € 4 b  € 4 ²D ‚ 5 ³ y  h  € 4 h  ~ 4 ²D ‚ 5 ³ Puesto que 4 era un número positivo arbitrario, esto prueba el teorema. … B y ¸ ¹~ Teorema 15. Si ¸ ¹B ~   son sucesiones de números reales, B ¸ ¹B ~  diverge a infinito y ¸ ¹~  es acotada entonces

B ¸ b  ¹~ 

diverge a infinito.

+ !ó ¢ Por hipótesis existe 8 €  tal que O O  8 ²D  o³À Dado 4 €  escojamos 5  o tal que  € 4 b 8 ²D ‚ 5 ³À Entonces para  ‚ 5 se tiene  b  €  c O O € ²4 b 8³ c 8 ~ 4 Esto es  b  € 4 ²D ‚ 5 ³ lo cual demuestra que  b  ¦ B cuando  ¦ BÀ … B Corolario: Si ¸ ¹B ¸ ¹~ converge, ~  diverge a infinito y si 

entonces ¸ b  ¹B ~  diverge a infinito. B + !ó ¢ (1) ¸ ¹B ~0 diverge a infinito y ¸ ¹~0 es acotado por ser convergente. (2) Se sigue del teorema 15 que ¸ b  ¹ ¦ B.

Darío Sánchez

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14

…

1.11. Límite superior e inferior Si ¸ ¹B ~0 es una sucesión convergente entonces lim  mide rapidamente “el tamaño ¦B

de  cuando  es grande”. Se sigue que lim  es un concepto usado solamente en ¦B

conección con sucesiones convergentes. En esta sección introducimos un concepto relacionado con la acotación superior e inferior el cual puede aplicarse a cualquier sucesión. A grosso modo el límite superior de una sucesión ¸ ¹B ~0 es la medida de “que tan grande  puede ser cuando  crece” y el límite inferior “que tan pequeño es  cuando  es grande”. Si lim  existe, es plausible que el límite superior y el límite ¦B

inferior sean iguales. Primero consideremos una sucesión ¸ ¹B ~0 la cual es acotada por encima, digamos que existe 4 €  tal que   4 ²D  o³ À Entonces para cada   oÁ el conjunto ¸ Á b Á b Á Ĺ es claramente acotado por arriba y por lo tanto tiene una mínima cota superior ó supremo 4 ~ supÀ¸ Á b Á b Á Ĺ Más aún, es facil ver que 4 ‚ 4b puesto que 4b ~ supÀ¸b Á b Á Ĺ es el supremo de un subconjunto de ¸ Á b Á b Á Ĺ. Así la sucesión ¸4 ¹B ~ es decreciente y por lo tanto se tendra una de dos cosas, es convergente ó es decreciente a menos infinito.

Definición : Sea ¸ ¹B ~  una sucesión de números reales acotada por arriba y sea 4 ~ supÀ¸ Á b Á b Á Ĺ ²³ Si ¸4 ¹B lim supÀ  ~ lim 4 ~  converge , definimos ¦B

²³ Si

¸4 ¹B ~ 

¦B

diverge a menos infinito escribimos lim supÀ  ~ c BÀ ¦B

B Por ejemplo, sea  ~ ² c ³ ²  o³À Entonces ¸ ¹~ 0 es acotada por arriba. En este caso 4 ~  para cada   5 y por lo tanto lim 4 ~ À ¦B

Así lim supÀ ² c ³ ~ À

¦B

Consideremos en seguida la sucesión ¸Á c Á Á c Á Á c Á Á c Á Á ĹÁ de nuevo 4 ~  para cada  y así el límite superior de esta sucesión es . Si  ~ c  entonces 4 ~ supÀ ¸ c Á  c Á c  c Á Ĺ ~ c Á por lo tanto 4 ¦ c B cuando  ¦ BÁ así lim supÀ  ~ c BÀ ¦B

Definición : Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales la cual no está acotada superiormente, entonces

lim supÀ  ~ BÀ

¦B

En este punto el lector podrá verificar las siguientes afirmaciones:

Darío Sánchez

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(1) Si ¸ ¹B ~0 es acotada por arriba y tiene una subsucesión la cual es acotada por debajo por (Á entonces lim supÀ  ‚ ( ¦B

²³ Si ¸ ¹B ~0 no tiene subsucesiones las cuales son acotadas por debajo entonces lim "  ~ c BÀ

¦B

Notemos que cambiando un número finito de términos de la sucesión ¸ ¹B ~0 no cambia el lim supÀ  À Así, el límite superior de la sucesión ¦B

¸ Á Á c Á Á c Á Á Ĺ es À

Teorema 16. Si ¸ ¹B ~  es una sucesión convergente de números reales, entonces lim supÀ  ~ lim À ¦B

¦B

+ !ó ¢ Sea 3 ~ lim  À Entonces dado  €  Á existe N  o tal que ¦B

O c 3O   ²D ‚ 5 ³ Á óÁ 3 c     3 b  ²D ‚ 5 ³À Así,  ‚ 5 , entonces 3 b  ~ ! " ¸ Á b Á b Á Ĺ y 3 c  no es cota superior. Por lo tanto 3 c   4 ~ supÀ¸ Á b Á Ĺ  3 b  se sigue de la monotonía del límite que 3 c   lim 4  3 b  ¦B

Pero lim 4 ~ lim supÀ  À Así ¦B

¦B

3c  lim supÀ   3 b  ¯ O lim supÀ  c 3O   ¦B

¦B

Puesto que  es arbitrario, esto implica lim supÀ  ~ 3 Á lo cual muestra la afirmación. ¦B

… Definamos ahora el límite inferior. Si la sucesión de números reales ¸ ¹B ~0 es acotada por debajo entonces el conjunto ¸ Á b Á b Á Ĺ tiene un ínfimo, ó, una máxima cota inferior. Si tomamos  ~ infÀ¸ Á b Á b Á Ĺ entonces ¸ ¹B ~0 es una sucesión creciente ²# í"³ y por lo tanto sucederá que la sucesión converge, ó, diverge a infinito.

Definición: Sea

¸ ¹B ~ 

una sucesión de números reales la cual es acotada por debajo y sea  ~ infÀ¸ Á b Á b Á Ĺ ²³ Si ¸ ¹B ~  B converge, entonces definimos lim infÀ  ~ lim  ²³ Si ¸ ¹~  diverge a ¦B

¦B

infinito, entonces lim infÀ ~ BÀ Así

¦B 

lim infÀ² c ³ ~ c  Á

¦B

lim infÀ ~ BÁ

¦B

¸Á c Á  c Á  c Á Á c Á Ĺ tiene

lim infÀ² c ³ ~ c BÀ La sucesión

¦B

lim infÀ¸Á c Á c Á Á Ĺ ~ c BÀ

¦B

Teorema 17. Si ¸ ¹B ~0 es una sucesión de números reales, entonces lim infÀ  lim supÀ À

¦B

¦B

+ !ó ¢ Si ¸ ¹B ~0 es una sucesión acotada, entonces  ~ infÀ¸ Á b Á b Á Ĺ  supÀ¸ Á b Á b Á Ĺ ~ 4 .

Darío Sánchez

Así   4 y

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lim   lim 4 ¯

¦B

¦B

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lim infÀ  lim supÀ  .

¦B

¦B

Si ¸ ¹B no es acotada, entonces se tiene una de las siguientes afirmaciones ~0 lim infÀ ~ c BÁ óÁ lim supÀ  ~ B y en ese caso se sigue la desigualdad deseada.

¦B

¦B

…

Teorema 18. Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales y lim supÀ  ~ lim infÀ  ~ 3

donde 3  s, entonces

¦B ¸ ¹B ~ 

¦B

es convergente y

lim  ~ 3À

¦B

+ !ó ¢ Por hipótesis tenemos 3 ~ lim supÀ ~ lim supÀ ¸  Á b Á Ĺ. ¦B

¦B

Así dado  €  existe 5  o tal que OsupÀ ¸  Á b Á Ĺ c 3O   ²D ‚ 5 ³ ¯  c 3  supÀ ¸  Á b Á Ĺc3   esto implica   3 b  ²D ‚ 5 ³ Análogamente, puesto que lim infÀ ~ 3Á existe 5  o tal que ¦B

OinfÀ¸ Á b Á Ĺ c 3O   ²D ‚ 5 ³ pero esto es equivalente a c   infÀ¸ Á b Á Ĺ c 3   c 3 ²D ‚ 5 ³ Si se toma 5 ~ maxÀ¸5 Á 5 ¹Á entonces tenemos 3 c     3 b  ²D ‚ 5 ³ lo cual es equivalente a c    c 3   ²D ‚ 5 ³ ¯ O  c 3O   ²D ‚ 5 ³ esto prueba que lim  ~ 3À ¦B

… Hay un resultado análogo en sucesiones divergentes a infinito.

Teorema 19. Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de números reales y si lim supÀ  ~ B ~ lim infÀ 

¦B

¦B

entonces ¸ ¹B ~  diverge hacia infinito. + !ó ¢ Puesto que lim supÀ  ~ BÁ entonces dado 4 €  existe un ¦B

número 5  o tal que supÀ ¸ Á b Á b Á Ĺ € 4 Esto implica que 4 es una cota inferior (pero no el supremo ) para ¸ Á b Á Ĺ , así que  € 4 ²D ‚ ³ lo cual establece la conclusión requeridaÀ … Hay un análogo obvio del resultado anterior para sucesiones divergentes a menos infinito, que el lector podrá formular y probar.

Darío Sánchez

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17

B Teorema 20. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones acotadas de números

reales y si    ²D  o³ entonces lim supÀ   lim supÀ  y ¦B

lim infÀ   lim infÀ À

¦B

¦B

¦B

+ !ó ¢ Por hipótesis    es claro que í ! "¸ Á b Á Ĺ  í ! "¸Á bÁ Ĺ y á% !  ¸ Á b Á Ĺ  á% !  ¸Á bÁ Ĺ (¿como puede Ud. probar esto?). Tomando el límite cuando  ¦ B en ambos lados de estas desigualdades tenemos probado el resultado. … No es siempre verdad que lim supÀ² b  ³ ~ lim supÀ  b lim supÀ  ¦B

¦B

¦B

B ¸ ¹~  ~ ² c ³ aún para sucesiones acotadas ¸ ¹B ~0 y 0 À Por ejemplo, si ²D  o³ y  ~ ² c ³b ²D  o³ Á entonces  b  ~  ²D  o³À De aquí lim supÀ  ~  ~ lim supÀ  Á pero lim supÀ² b  ³ ~ À ¦B

¦B

¦B

Hay sin embargo una importante desigualdad que puede ser probada. B Teorema 21. Si ¸ ¹B ~  y ¸ ¹~  son sucesiones acotadas de números

reales entonces lim supÀ² b  ³  lim supÀ  b lim supÀ 

¦B

¦B

¦B

lim infÀ² b  ³ ‚ lim infÀ  b lim infÀ  .

¦B

¦B

¦B

+ !ó ¢ () Sean 4 ~ supÀ¸ Á b Á Ĺ Á 7 ~ supÀ¸ Á b Á Ĺ. Entonces   4 ²D ‚ ³Á   7 ²D ‚ ³ y así  b   4 b 7 ²D ‚ ³ De aquí 4 b 7 es una cota superior para ¸ b  Á b b b Á ĹÁ así que supÀ¸ b  Á b b b Á Ĺ  4 b 7 Por lo tanto lim supÀ¸ b  Á b b b Á Ĺ  lim ²4 b 7 ³ ~ lim 4 b lim 7 ¦B

¦B

¦B

¦B

o sea lim supÀ¸ b  ¹  lim supÀ  b lim supÀ 

¦B

¦B

¦B

lo cual es precisamente la afirmación ()À () Se deja como un ejercicio al lector. … Hay otra forma de definir límite superior y límite inferior. El siguiente teorema nos muestra una de tales aproximaciones.

Teorema 22. Sea ¸ ¹B ~  una sucesión acotada de números reales

Darío Sánchez

1. Si

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lim supÀ  ~ 4 Á entonces para cada  € 

¦B

²³   4 b  para todo valor numérico finito de  ²³  € 4 c  para infinidad de valores de À

2À Si lim infÀ  ~ Á entonces para cada  € Á ¦B

²³  €  c  para todo número finito de valores de  ²³    b  para una infinidad de valores de À

+ !ó ¢ Mostremos solamente la parte 2. Si (c) fuese falsa, entonces, para algún  €  , podríamos tener    c  para infinidad de valores de À Pero entonces para algún   o el conjunto ¸ Á b Á Ĺ podría contener un número de términos   c  para una infinidad de valores de  . Esto implica que á% !   ¸ Á b Á Ĺ   c  ²D  o³ y pasando al límite obtendríamos, por la monotonía del límite, que lim infÀ    c  ¦B

lo cual es contradictorioSR, con la hipótesis. Así (c) es verdadero. Ahora supóngase ( ) falso. Entonces para algún  € ,    b  pero solamente para un número finito de valores de À Pero entonces existe 5  o tal que  ‚  b  ²D ‚ 5 ³. Por la monotonía del límite inferior, obtenemos lim infÀ  ‚  b  ¦B

lo cual de nuevo va contra SR la hipótesis. Así ( ) es verdadera . … Se sigue del resultado anterior que si ¸ ¹B ~0 es una sucesión acotada de números reales y si 4  s es tal que (a) y (b) se tienen para cada  € , entonces lim supÀ  ~ 4 ¦B

Análogamente, si   s es tal que (c) y (d) se tienen para cada  €  Á entonces lim infÀ  ~ À ¦B

Usando el teorema 22 podemos probar el siguiente resultado útil.

Teorema 23. Cualquier sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente. + !ó ¢ Supóngase que ¸ ¹B ~0 es una sucesión acotada de números reales y sea 4 ~ lim supÀ  À Construyamos una subsucesión ¸ ¹B ~0 la cual ¦B

converge a 4 . De la parte (³ del teorema 22 hay una infinidad de valores de  tales que  € 4 c À Sea  uno cualquiera de tales valores de  así  € 4 cÀ Análogamente como hay infinidad de tales valores de  tales que  € 4 c  Á podemos hallar   o para el cual  €  y  € 4 c  . Continuamos en esta forma, para cada entero  €  podemos hallar   o tal que  € c y  € 4 c  ²³ Dado  €  por (a) del teorema 22 podemos hallar 5  o tal que   4 b  ²D ‚ 5 ³ ²³

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Ahora se escoge 2  o tal que 2   y 2 € 5 À Entonces, si  ‚ 2 por (1) y (2) se tendrá 4 c   4 c     4 b  ²D ‚ 2³ lo cual implica que O c 4 O   ²D ‚ 2³ Esto prueba que lim  ~ 4 Á lo cual demuestra nuestra afirmaciónÀ ¦B

…

1.12. Sucesiones de Cauchy El más importante criterio para probar que una sucesión converge sin conocer su límite es llamado “ criterio de Cauchy ”

Definición: Sea

¸ ¹B ~  una sucesión de números reales. Entonces

¸ ¹B ~  es llamada una sucesión de Cauchy si para cada

 €  Á existe

5  o tal que

si Á  ‚ 5 entonces O c  O   ¯ O c  O   ²Á  ‚ 5 ³. A grosso modo una sucesión ¸ ¹B ~0 es de Cauchy si  y  estan muy próximos cuando  es muy grande.

Teorema 24. Si la sucesión de números reales

¸ ¹B ~  converge

entonces ¸ ¹B ~  es una sucesión de Cauchy. + !ó ¢ Sea 3 ~ lim  À Entonces dado  € Á existe un 5  o tal ¦B

que O c 3O 

 

²D ‚ 5 ³

Así si Á  ‚ 5 tenemos O c  O ~ O² c 3³ b ²3 c  ³O  O c 3O b O3 c O   b  ~  así que O c  O   ²Á  ‚ 5 ³ lo cual prueba de ¸ ¹B ~0 es una sucesión de Cauchy.

Lema : Si

¸ ¹B ~  es una sucesión de Cauchy de números reales

entonces ¸ ¹B ~  es acotada. + !ó ¢ Dado  ~ , escogemos 5  o tal que ²Á  ‚ 5 ³À Entonces O c 5 O   ² ‚ 5 ³ Por lo tanto, si  ‚ 5 Á tenemos O O ~ O² c 5 ³ b 5 O  O c 5 O b O5 O y así usando (1) tenemos O O   b O5 O ²D ‚ 5 ³ Si tomamos 4 ~ maxÀ¸O OÁ O OÁ O OÁ ÄÁ O5 b O¹Á entonces O O  4 b  b O5 O ²D  o³

O c  O   ²³

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de aquí se sigue que la sucesión ¸ ¹B ~0 es acotada. …

Teorema 25. Si ¸ ¹B ~  es una sucesión de Cauchy de números reales entonces ¸ ¹B ~  es convergente. + !ó ¢ Por el lema conocemos que

lim supÀ  y

¦B

lim infÀ  son

¦B

números reales finitos. Para la existencia del límite basta con mostrar que lim supÀ  ~ lim infÀ  ¦B

¦B

Por el teorema de la convergencia monótona conocemos que lim supÀ ‚ lim infÀ  ¦B

¦B

Así solamente necesitamos probar que

lim supÀ   lim infÀ 

¦B

¦B

Puesto que ¸ ¹B ~0 es una sucesión de Cauchy, dado  €  existe 5  o tal que O c  O   ²Á  ‚ 5 ³ y así O5 c  O   ²D ‚ 5 ³ Se sigue que 5 b  y 5 c  son respectivamente las cotas superior e inferior del conjunto ¸5 Á 5 b Á 5 b Á Ĺ . Por lo tanto si  ‚ 5 Á 5 b  y 5 c  son cotas superior e inferior par ¸n Á nb Á nb Á ĹÀ Esto implica que para  ‚ 5 5 c   á% !   ¸ Á b Á b Á Ĺ  í ! "¸ Á b Á b Á Ĺ  5 b  Por lo tanto los extremos izquierdo y derecho de esta desigualdad difieren en , tenemos así íÀ ! "¸ Á b Á b Á Ĺ c á%À !  ¸Á bÁ bÁ Ĺ   Tomando el límite en ambos lados y por la monotonía del límite obtenemos lim supÀ  lim infÀ  b  ¦B

¦B

Puesto que  era arbitrario, esto establece que lim supÀ   lim infÀ  , lo cual era lo ¦B

¦B

queríamos mostrar

Fin del primer bloque

1.13. Ejercicios resueltos.  1.+ ! " lim j  ~  ² € ³

¦B

 :"ó ¢ Si  €  tómese % ~ j  c  entonces % € Á tenemos

 b %  ² b % ³ ~  luego Por lo tanto

lim % ~  o sea

¦B

  %  c   lim j  ~ À

¦B

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Si   Á sea  ~  €  entonces  lim j  ~ ¦B

lim  ¦B j

~

 lim j  ~ lim  ~ À

Si  ~  entonces

¦B

¦B



À + ! "

lim  ~  ¦B  :"ó ¢ (a) Si  ~ Á sea  

21

 ~  b  ²D € ³ Á tenemos

   ˜˜˜˜˜˜˜˜˜—  ²c³ ~ ²c³   ¦ B    bb ²c³       (b) Si    entonces 0     ¦  ²cuando  ¦ B³  (c) Si  €  entonces lim °  ~  ya que ° €  ³ ¦B (

~

 ²b³

² € Á  € ³



Por lo tanto 



lim  ~ lim ´ °  µ ~ À ³ ¦B ¦B ²  lim j ~

3. + ! "

¦B

:"ó ¢ Sea

 % ~ j  c  entonces

 ~ ²% b ³ ‚  b % b

% ‚  y tenemos

²c³ ²% ³ 

‚

²c³ ²% ³ 

Luego    %  k c ¦

² ¦ B³

esto es  lim j  ~ lim ² b % ³ ~ À

¦B

¦B



. + ! "

lim ~ ¦B [ 

:"ó ¢ Sea  un número natural tal que

 €  y sea [ ~ 

Si  €  entonces tenemos 

  [ ~  À + ! "

 b

h

lim

¦B

h

 b

hÄh

    c ¦  ² ¦ B³À

   ~ À

:"ó ¢ Sea & ~

  

entonces   ~ & À Tomando exponencial a los

dos lados tenemos

 ~ & €  b & b Luego

²& ³ 

  &  k  ¦ À

€

²& ³ 

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22

j Á  ~ À + ! "

À : ¸ ¹B ~0 " " ó ! " b ~ k b  " ó  #! À :"ó ¢ Tenemos



b c  ~ k b j c k b jc ~ ~

bj ccjc kbj bkbjc

~

4kbj 5 c4kbjc 5

j cjc kbj bkbjc



kbj bkbjc

ÀÀÀÀÀetc. ( vea ejercicio 68)

1.14. Ejercicios 1. Si ¸  ¹o es una sucesión de números reales, si



 M y si

lim

¦B



~ 3 probar

que 3  4 À 2. Si 3  s Á 4  s y 3  4 b  para todo  € Á probar que 3  4 À 3. Si ¸  ¹o es una sucesión de números reales y si, para cada  €  , O  c 3O   ² ‚ 5 ³ donde N no depende de , pruebe que a partir de un número finito los términos de ¸  ¹o son iguales a 3À  4.(a) Hallar N  o tal que si  ‚ N, entonces | b c O   (b) Pruebe que

 lim b ~ À

¦B

À²a³ Halle N  o tal que si  ‚ N entonces j   À b  (b) Pruebe que lim j ~ À ¦B

b

.Para cada una de las siguientes sucesiones probar en cada caso, si la sucesión es convergente o divergente, en el caso convergente halle el límite.  (a) B  C (b) B 3 C (c) B 3n  C b o

b o b7n o  B 10 7. (a) Pruebe que la sucesión B  C~ tiende a À n CB (b) Pruebe que B 10 no tiene límite. ~ B  8. Pruebe que B c  C~ no tiene límite.  9. Si  ~ [ , muestre que lim  ~  ²(&" ¢ 7 " " ¦B



 [ À    € ³

10. Si P es una función polinomial de tercer grado P(%³ ~ % b % b % b  ²Á Á Á Á %  s³ 7 ²b³

lim ~ À ¦B 7 ²³ 11.Sea {  ¹B ~ una sucesión definida por  ~ Á  ~ Á ² ~ Á Á Á à ³ b ~  b c Halle ², ! ú     ú  -  ³À 12. Escriba la fórmula o “ término general  ” para cada una de las siguientes sucesiones (Por ejemplo, la sucesión 2,1,4,3,6,5,8,7,à puede ser definida por probar que

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~F

23

 b Á      c Á    

(a) 1,0,1,0,1,0,à (b) 1,3,6,10,15,à (c) 1, c , Á c  Á  Á c  Á à (d) Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á à À ¿Cada una de las sucesiones (a), (b), (c), (d) en el ejercicio anterior son subsucesiones de {}B ~ ? B B B 14. Si : ~ {  ¹B 2 ~ ¸ ¹~ ~ ¸ ¹~ hallar Á Á Á  À ~ ~ ¸ c ¹~ y B ¿ Es 2 una subsucesión de ¸¹~ ? 15. Para cada Á   sÁ se muestra que b| O c OOb  O c OÀ Entonces demostrar que B ¸|  |¹B ~ converge a |3O si ¸  ¹~ converge a L. B 16. Dar un ejemplo de una sucesión ¸  ¹B ~ de números reales , para la cual ¸|  |¹~ converge pero ¸  ¹B ~ no converge. B 17.Probar que si ¸|  |¹B ~ converge hacia  entonces ¸  ¹~ también converge a . 18.¿ Puede usted hallar una sucesión de números reales ¸  ¹B ~ la cual no tenga B subsucesiones convergentes y sin embargo se tenga que ¸  ¹~ es convergente ? 19. Si ¸  ¹B ~ es una sucesión de números reales y si lim  ~ 3Á lim c ~ 3Á ¦B

¦B

pruebe que  — 3 cuando  — B ²Esto esÁ si las subsucesiones de ¸  ¹B ~ de términos pares y de términos impares convergen a 3 Á entonces la sucesión ¸  ¹B ~ también converge a 3). 20. Estudiar cada una de las siguientes sucesiones según sean (A) convergentes, (B) divergentes a infinito, (C) divergentes a c B ,(D) oscilantes. (Use su intuición o su información sobre cursos de cálculo. No intente probar ninguna afirmación)  B B B B (a) ¸ ( n (b) ¸   ¹~ (c) ¸  ¹~ ²d) ¸   ¹~  ³ ¹~    ²e³ ¸ (  ³ ¹B ²f³ ¸² c ³ !(  c  ³ ¹B ~ ~    B  B ²g³ ¸1 b  b  b Ä b  ¹~ ²h³ ¸ c  ¹~ B j À Pruebe que ¸  ¹~ diverge a infinito. 22. Pruebe que ¸j b  c j ¹B ~ es convergente (Ayuda: recuerde el método para & hallar % por el proceso "x donde & ~ j% ³ 23. Pruebe que si la sucesión de números reales ¸  ¹B ~ diverge hacia infinito entonces ¸ c  ¹B diverge a menos infinito. ~  B 24. Supóngase que ¸  ¹B ~ converge hacia 0. Pruebe que ¸² c ³  ¹~ converge hacia 0.  B 25. Suponga que ¸  ¹B ~ converge a 3 £ À Pruebe que ¸² c ³  ¹~ es una sucesión oscilante. B 26. Supóngase que ¸  ¹B diverge a infinito. Pruebe que ¸² c ³  ¹~ es una ~ sucesión oscilante. 27. Es verdad o falso, que si una sucesión de números positivos no es acotada entonces la sucesión diverge a infinito. 28. Dar un ejemplo de una sucesión ¸  ¹B la cual no es acotada pero que ~ lim  ~ 

¦B

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29. Pruebe que si



lim

¦B 

£ Á entonces ¸

B  ¹~

24

no es acotada.

B 30. Si ¸  ¹B ~ es una sucesión acotada de números reales, y ¸! ¹~ converge a 0, pruebe que ¸  ! ¹B ~ converge a 0. 31. Si la sucesión ¸  ¹B ~ es acotada, pruebe que para cualquier  €  existe un intervalo cerrado J ‰ s de longitud  tal que   J para infinidad de valores de n. 32 ¿Cuales de las siguientes sucesiones son monótonas ?  B B (a) ¸  ¹B ²³ ¸!  ¹~ ²³¸ b  ¹~ ~ ²³¸ b ² c ³ ¹B ~ 33. Si ¸  ¹B es creciente y acotada por arriba y L ~ lim  Á probar que s  L. para ~ ¦B

todo   o À Formule el resultado dual para sucesiones decrecientes. B 34. Si ¸  ¹B   ! ²  o³Á probar que ~ y ¸! ¹~ son sucesiones crecientes y si lim   lim ! .

¦B

¦B



35. Si s ~  [ hallar N  o tal que b  36. Hallar el límite de ¸cc ² b ³ ¹B ~ 37À Para N  o, sea s ~ lim    À

¦B

38. Para   o sea



hh IJc³ hh hÄ



²  o³

À Probar que ¸

hh Ä ~ hh IJc³ h  À Verifique que

B  ¹~



€

es convergente y



€

 À Probar

que

B  ¹~

¸ es decreciente.     39. Para   o sea ! ~  b [ b [ b [ b Ä b [ ²³ Probar que ¸!n ¹B ~ es creciente ²³ Usando solamente hechos establecidos en la prueba de   B B lim ¸² b  ³ ¹~ , para probar que ¸! ¹~ es acotada por encima y probar que

¦B

lim ! ‚ lim ² b  ³

¦B

¦B

 b    lim  ²³ lim ²c³  b ~   c ~   ¦B ¦B 41À Probar que si ¸  ¹B es una sucesión convergente a , entonces ¸ ~ también convergente a . 42. Evalúe lim j²j b  c j³

40À Pruebe

²³

° B  ¹~

es

¦B

45À Supóngase que ¸  ¹B ~ es una sucesión de números positivos y   %  À Si b  %  para todo   o Á pruebe que lim  ~ À 46À Supóngase

lim

 c

¦B  b

¦B

~  À Pruebe

que

lim

¦B



~  ´ (&" ¢ :  ~

 c  b

&

 "v   ¹À ¿Cuales teoremas Ud. usa en su demostración ?   47. Probar que lim ² b  ³b ~  À También pruebe lim ² b +1 ³ ~. ¦B

¦B

¿Cuales teoremas Ud. usa en su demostración ?   48. Si c € , pruebe que lim j  ~  ´(&" ¢ ,  j  ~b ¦B

-é  !      ! " ¸ ¹B ~ Á ,! "& "  —  "  —B µ 49. Sea 1 =j y sea b ~ jj  para  ‚  (a) Pruebe , por inducción que    para todo 





& !  !À

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

25

(b) Pruebe que b ‚  para todo  (c) Pruebe que ¸  ¹B ~ es convergente (d) Pruebe que lim  ~ À ¦B

50. : upóngase  €  €  y sea b ~  ²  b c ³ ² ‚ ³À Pruebe que (a)  Á 3 Á Á à Á es decreciente (b)  Á  Á Á à es creciente (c) ¸  ¹B ~ es convergente. B 51. Dar un ejemplo de sucesiones ¸  ¹B ~ y ¸! ¹~ para las cuales, cuando  tiende a infinito ²³ n —B Á ! — c B y  b ! — B ²b) n —B Á ! — B y  c ! —  52. Supóngase que ¸  ¹o es una sucesión divergente de números reales y c  s, c £ 0À Probar que ¸c  ¹B ~ es divergente. 53. ¿Es verdad o falso? Si ¸  ¹o es oscilante y no acotada, y ¸! ¹o es acotada entonces ¸  b ! ¹o es oscilante y no acotada. 54. Halle el límite superior y el límite inferior para las siguientes sucesiones ²³ 1,2,3,1,2,3,1,2,3,à ²³ ¸ ²  ³¹o

B ²³ ¸² b  ³ ¹B ²³ ¸² b  ³ ¹~ ~ 55À Si el límite superior de la sucesión ¸  ¹o es igual a M, pruebe que el límite superior de cualquier subsucesión de ¸  ¹o es  M. 56.Si ¸  ¹o es una sucesión acotada de números reales y lim   ~ Á pruebe que ¦B

hay una subsucesión de ¸  ¹o la cual es convergente hacia À También, pruebe que ninguna subsucesión de ¸  ¹o puede converger a un límite menor que À 57. Si ¸  ¹o es una sucesión de números reales divergente hacia infinito, probar que lim "  ~ B ~ lim   À (Esto es, el inverso de un resultado probado en la

¦B

¦B

clase ¿Cual es? ). Formule y pruebe el correspondiente resultado para sucesiones convergentes hacia menos infinito. 58. Escriba el conjunto de todos los números racionales del intervalo (0,1) como el conjunto ¸ Á  Á  Á …¹À Calcule lim "  Á y lim   ¦B

¦B

((&" ¢ "   ! À) 59. Pruebe que si la sucesión ¸  ¹o no tiene subsucesiones convergentes entonces ¸|  |¹o converge a infinito. 60. Si ¸  ¹o es una sucesión de números reales y si   ~  b  bÄb ²  o³  Pruebe que lim "   lim "  y lim   ‚ lim   ¦B

¦B

¦B

¦B

²(&" ¢ <   ! À³ 61. Si ¸  ¹o es una sucesión de números reales la cual tiene una subsucesión convergente hacia L, entonces ¸  ¹o también converge hacia L. 62. Sea ¸ ¹o una sucesión de números reales, y para cada   o sea  ~  b   b Ä b  

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

26

! ~ O O b O O b Ä b O O Pruebe que si ¸! ¹o es una sucesión de Cauchy, entonces también ¸  ¹o es una sucesión de Cauchy.  63. Demuestre que lim j  ~  para todo  €  ¦B



64À Demuestre que lim  ~  para  €  y  €  ¦B  65ÀDemuestre que lim j ~ ¦B

66À Demuestre que

 lim [ ~ 

¦B

67À Demuestre que ¢   ²³ lim  ~  ¦B

² ³  ¦B

(b) lim

~

para todo

€

(donde  es el logaritmo natural) ²  es una constante )

68À Sea ¸ ¹o una sucesión tal que

(c)

lim

 

 ¦B 

~

² € ³

b ~ k b j Á  ~ À Demostrar que

esta sucesión es convergente. 69. Sea ¸ ¹o una sucesión tal que b ~  ² es una constante) , estudiar convergencia o divergencia de la sucesión. 70. Sea ¸ ¹o una sucesión tal que b ~  Á  ~ Á demostrar que ¸ ¹o es divergente a infinito. 71. Sea ¸ ¹o una sucesión tal que  ‚ Á  ‚ Á b ~ j b À  Demostrar que tiene un límite L ~ j   72. Sea ¸ ¹o una sucesión tal que ² ³ ~ c ² € Á  € ³. Demostrar que la sucesión converge a À 73. Sea ¸ ¹o una sucesión tal que b ~  c  c para todo  , entonces demostrar que lim  ~  ¦B

74À Sea ¸ ¹o una sucesión tal que b b  b c ~  ²Á  son constantes ) hallar lim  ¦B

75. Sea ¸ ¹o una sucesión de términos no negativos, demostrar que: (a) lim " ¸ ¹ ~ ¸ lim "  ¹ ² € Á  es constante.) ¦B

¦B

(b) lim  ¸ ¹ ~ ¸ lim   ¹ ¦B

¦B

² € Á  es constante.)

§2. SERIES DE NUMEROS REALES 2.1. Introducción.

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

27

Recordemos que la suma de la serie infinita  b  b Ä b  b Ä es definida como lim ² b  b Ä b  ³Á probando que el límite existe. Esto, sin embargo, es la

¦B

definición de la suma de una serie infinita y no es la definición de « serie infinita » en si misma, pues para ello se requiere de un par ordenado de sucesiones.

Una

Definición:

serie

infinita

B

  es

una

pareja

ordenada

~ 

º¸ ¹o Á ¸  ¹B ~ » donde ¸ ¹o

es una sucesión de números reales y  ~  b  b Ä b  ²D  o³À El número  es llamado el -ésimo término de la serie. El número  es llamado la -ésima suma parcial de la serie. B

Notacionalmente la serie

  la podemos con frecuencia indicar

con

~

 b  b Ä b  b Ä ó simplemente con  b  b Ä Como un ejemplo la -ésima suma parcial de la serie  c  b Ä b ² c ³b b Ä si  es par da 1 y si  es impar da 0 . Es con frecuencia conveniente iniciar los términos de una serie empezando con  ~  o cualquier número  £  cuidando siempre que el término  c ésimo tenga sentido. Esto B

es, escribimos algunas series como

  (en este caso se entiende que ~0

B

~  b  b Ä b  ³ À Así la serie  b % b % b Ä se puede escribir  % À Es sin



~0

embargo trivial verificar que cualquier definición ó teorema a cerca de series escritas B B B   tiene exacto análogo para series escritas en la forma   , ó,   para ~

~0

cualquier  ‚ 0.

~

B

La definición de convergencia ó divergencia de una serie   depende de la ~

convergencia ó divergencia de la sucesión de las sumas parciales ¸  ¹B ~ À B

Definición: Sea   una serie de números reales con sumas parciales ~ 

~  b  b Ä b  ²D  o³À Si la sucesión ¸  ¹B ~ converge a (  s, B

podemos decir que la serie   converge hacia (. Si ¸  ¹B ~ diverge, B

~

decimos que   diverge. B

~

B

B

~

~

Si   converge hacia (, con frecuencia escribimos   ~ (À Así usamos   no ~

solamente para denotar la serie sino también para denotar su suma (en el caso de series convergentes). Con esta advertencia dejamos al lector convencerse así mismo que no se

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

28

tienen ambigüedades. Como una consecuencia de las sucesiones se siguen los siguientes resultados. B

B

~

~

  es serie convergente hacia ( y   converge a ) ,

Teorema 1. Si B

entonces  ² b  ³ converge hacia ( b ) . También si   s entonces ~

B

  converge a (À ~

+ !ó ¢ Si por hipótesis lim

¦B





~  b  b Ä b  y ! ~  b  b Ä b  entonces B

~ ( y lim ! ~ ) . Pero la -ésima suma parcial de  ² b  ³ ¦B

~

es ² b  ³ b   b   b Ä b ² b  ³ ~





lim ²

¦B



b ! ³ ~ lim  ² ¦B ~ B



b ! Á así

b ! ³ ~ lim



¦B

b lim ! ~ ( b )À ¦B

Una consecuencia obvia es  ² c  ³ ~ ( c )À ~

Teorema 2.

B

Si   es una serie convergente, entonces lim  ~ À ¦B

~

B

+ !ó ¢ Supóngase que   ~ ( . Entonces ~ 

~  b  b Ä b  À Pero entonces

lim

c

¦B

lim

¦B



~(

~ (À Puesto que  ~



donde c

c

tenemos lim  ~ lim ²

¦B

¦B



c

c ³

…

~ lim

¦B



c lim

¦B

c

~ ( c ( ~ .

B

c Así vemos inmediatamente que la serie  b debe diverger, puesto que  ~ c + y ~

se tiene lim  ~ c ¦B 

 

B

£ À Análogamente  ² c ³ debe ser divergente puesto que ~

lim ² c ³ no existe.

¦B

B

Enfatizamos que la condición lim  ~  no es suficiente para asegurar que   sea ¦B

B

convergente. En la sección siguiente se verá que  ~

lim  ~ lim  ~ À

¦B

~

 

no converge, sin embargo

¦B

2.1.1. Series Telescópicas. Una importante propiedad de las sumas finitas es conocida como propiedad telescópica dada por    c b  ~  c b ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

29

Cuando examinamos una extensión de esta propiedad para series infinitas consideramos B la serie   en la cual cada término  puede ser expresado como la diferencia de dos ~

términos sucesivos de una sucesión ¸ ¹o en la forma  ~  c b , entonces esta serie es conocida como serie telescópica y cuya conducta está caracterizada por el siguiente resultado.

Resultado.Sean ¸ ¹o y ¸ ¹o dos sucesiones tales que  ~  c b B

para  ~ Á Á Á Ã À Entonces la serie   es convergente si y sólo si ~

¸ ¹o

B

es convergente, en tal caso tenemos   ~  c 3Á donde ~

3 ~ lim  . ¦B

+ !ó: Sea 





~

~

B



denotando la -ésima suma de   , entonces tenemos ~

~   ~   c b  ~  c b . Por lo tanto ambas sucesiones ¸  ¹o y

¸ ¹o convergen o ambas divergen. Además si  S3 cuando SB entonces  S  c 3 y esto completa la prueba del resultado. … B B Ejemplo. La serie   ~  2  c  3 ~  c lim  ~  es convergente. ~

b

~



b



¦B 

2.2. Series con términos positivos. Las series más faciles de tratar son aquellas cuyos términos son positivos. Para estas series toda la teoria en convergencia y divergencia es abarcada en los siguientes teoremas. B

Teorema 3. Si   es una serie de números no negativos con ~ 

~  b  b Ä b  ²D  o³Á

entonces B

²³   converge si la sucesión ¸  ¹B ~ es acotada; ~ B

²³   diverge si ¸  ¹B ~ no es acotada. ~

+ !ó ¢ ²³ Puesto que b ‚  tenemos Así ¸ B

B  ¹~

~  b  b Ä b  b b ~  b b ‚  B es creciente y por hipótesis acotada, entonces ¸  ¹~ es convergente y así

  converge. ~

b

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

30

B

B   es ²³ Si ¸  ¹B ~ no es acotada, entonces ¸  ¹~ diverge . Por lo tanto también ~

divergente. … Damos dos ejmplos importantes de series con términos positivos. El primero es la serie geométrica  b % b % b % b Ä

Teorema 4. ²³ Si

B

  %  Á entonces  % converge a B

~

 c %

²³ Si % ‚ Á entonces  % es divergente. 

~

+ !ó ¢ La conclusión de (b) es inmediata puesto que lim % no existe y ¦B

B

 % es divergente.

por lo tanto

~

(a) Tomemos b³

s ~  b % b % b Ä b % c %  ~ c % c % c Ä c % c %b b  ² c %³ ~  c %

b  %b ~ c% c% ~ c% c c% ²D  o³ Pero ya mostramos que si   %  Á entonces lim % ~  . Por lo tanto lim

Luego



¦B

¦B



 ~ c%

así hemos probado (a). … El segundo ejemplo es la serie  b  b  b  b Ä b  b Ä conocida como la «  ó » À B

Teorema 5. La serie  

es divergente.

~

+ !ó ¢ Examinemos la subsucesión  Á  Á  Á Á ÄÁ donde en este caso,  ~  b  b  b Ä b  À Tenemos

 Á Ä de

¸  ¹B ~

~    ~ b  ~         ~ b  b  b  €  b  b  ~          ~ b b b  b € b b b b ~  B en general, podemos mostrar por inducción que  € b  À Así ¸  ¹~ contiene una 

B

  es divergente. subsucesión divergente, luego ¸  ¹B ~ es divergente y por lo tanto  ~

… Hacemos incapie en el hecho de que la divergencia de la serie armónica muestra que B   puede diverger y lim  ~ À ~

¦B

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

31

B

Para series con términos positivos solo introducimos la siguiente notación: Si   es B

convergente entonces simplemente escribimos    B . Si ~

B

  es una serie ~

divergente de términos positivos, algunas veces escribimos

~

B

B

  ~ B. Así ~

B

 (  ³  BÁ   ~ BÀ   ~ ~ Es muy importante notar que no hay series que divergen «tan lentamente como sea posible». Más exactamente. B

Teorema 6. Si   es una serie divergente de números positvos, ~

entonces hay una sucesión ¸ ¹B ~ de números positivos la cual es B

convergente a cero para la cual    todavía diverge. ~

+ !ó ¢ Sea 





~ 



~  b  b Ä b  À Nos basta mostrar que la serie



es divergente



b c 

~

b



‚

b c 

~

~

b



~

b c  b

b

€

¸²

b

c

 b c  b b

³

b²

b

c

b³

bÄb²

b

c

 ³¹

~ 

Así, para cada   o existe   o tal que   b c  ‚  . 

b

~



Las sumas parciales de la serie  

tanto Pero

b

c



b c  b

~



b c 

~

b

no forman una sucesión de Cauchy y por lo

~ B.

~ b . Así

B

B

 b ~   ~ BÀ ~

b

~



B Sea  ~  À Entonces  ¦  cuando  ¦ B y    ~ BÀ 

~

…

2.3. Series alternadas. Una serie alternada es una serie infinita cuyos términos alternan en signo. Por ejemplo  c  b  c  b cÄÁ  c  b  c  b c ÄÁ  c  b  c  b c Ä son todas series alternadas. Una serie alternada puede también escribirse como B B  ² c ³b  donde  es un número positivo [ ó como  ² c ³  si el primer ~

~

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

32

término de la serie es negativo ] . Demostremos ahora un resultado fundamental para series alternadas

Teorema 7 (Prueba de Leibniz). Si ¸ ¹B ~ es una sucesión de números positivos tales que ²³  ‚  ‚  ‚ Ä ‚  ‚ b ‚ Ä. Esto es, la sucesión es decreciente y ²³ lim  ~ . ¦B

B

Entonces la serie alternada  ² c ³b  es convergente. ~

+ !ó ¢ Considere primero las sumas parciales con índices impar  Á  Á Á Ä Tenemos

~  c ² c  ³ w  c  ‚  por lo tanto    À En realidad , para cualquier   o tenemos b ~ c c  b b  c , así la sucesión ¸ c ¹B ~ es decreciente. Ahora como c ~ ² c  ³ b ² c  ³ b Ä b ²c c c ³ b c y como cada cantidad dentro de los paréntesis es positiva y c €  se tiene que B c € , en esta forma ¸ c ¹~ es una sucesión decreciente de términos positivos, luego esta acotada por debajo, entonces es convergente. Análogamente la sucesión de sumas parciales par y como b ~  b c c b ‚   Á  Á ÄÁ  Á Ä B entonces ¸  ¹~ es creciente además  ~  c ² c  ³ c Ä c ²c c c ³ c  así    por lo tanto ¸  ¹B ~ es una sucesión creciente y acotada por encima, se sigue que es una suceción convergente. Sean ahora 4 ~ lim c y 

¦B

3~

lim

¦B

c Á

entonces puesto que

 ~



c

c lim

c

c

y como por hipótesis

lim  ~  Á tenemos

¦B

 ~ lim  ~ lim ¦B

¦B



¦B

~3c4

B de donde se recibe que 3 ~ 4 y así ambas sucesiones ¸  ¹B ¸ c ¹~ ~ y convergen a 3 . Pero es fácil mostrar (#    § ³ que ¸  ¹B ~ converge a B

3 y por lo tanto  ² c ³  es convergente a 3, con lo cual demostramos el resultado. ~

… Nótese que en la prueba se demuestra que c ‚ 3 y   3 Á por lo tanto    c 3  b c  ~  , de donde , O c c 3O   . Análogamente   3 c   c c  ~ b Á así que O  c 3O  b . Esto es, si  es par ó impar tenemos demostrado que O  c 3O  b , Tenemos así el siguiente corolario, el cual nos facilita estimar la suma de este género de sucesiones alternadas convergentes.

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Corolario. Si la serie alternada

33

B

 ² c ³  satisface las hipótesis del ~

teorema 7 y cuando converge a algún 3  s ²D  o³À

entonces

O



c 3O  b

B

Así la diferencia entre la suma de  ² c ³  y cualquiera suma parcial no será más ~

grande que la magnitud del primer término no incluido en la suma parcial. B Ilustremos ahora con un ejemplo. Vimos que   es divergente, sin embargo, puesto que ~

¸  ¹B ~ es una sucesión creciente y



 ¦B 

lim

B

~  , se sigue que  ² c ³  es ~

convergente. Esto es para algún 3  s tenemos ²c³b  c  b  c  b c Ä b b Ä ~ 3.  Sin duda, no conocemos que es 3Á pero usando el corolario podemos estimarlo, así para cualquier   o tenemos ²c³b

 O¸ c  b  c  b c Ä b ¹ c 3O  b  si tomamos  ~ esto nos brinda  OÀ c 3O   ¯ À   3  À 

Continuando se puede demostrar que 3 ~  ~ À

. …

Si   %   , tenemos que la serie  c % b % c % b c Ä converge , pues por el teorema 4 se tiene que  c % b % c % b c Ä ~ b % ²  %  ³ Como un ejemplo final tenemos que la serie B   ²c³ ~  c  b  c  b cÄ ~ B

es convergente. : i

[

[

[

[



²c³ 3 ~  [ Á entonces ~

 O² c [ b [ c [ b [ c [ ³ c 3O  [ De esto concluimos que O3 c À

O  À ( Por un cálculo elemental podríamos llegar a que 3 ~ c ~ À  ijÀ

2.4. Convergencia condicional y convergencia absoluta. Vimos en el numeral anterior que las series  c  b  c  b Ä y  c  b  c  b Ä son ambas convergentes. Sin embargo estas dos series difieren en el siguiente sentido: Si tomamos el valor absoluto a cada uno de los términos de la primera serie obtenemos  b  b  b  b Ä la cual es convergente; mientras que si tomamos el valor absoluto a todos los términos de la segunda serie obtenemos

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34

 b  b  b  b Ä la cual es la serie armónica de quien ya sabemos que es divergente. Esto nos conduce a la siguiente definición, la cual establece una división entre las series convergente en dos clases. B Definición: Sea   una serie de números reales ²³ Si

~

B

B

 O  O converge, decimos que   converge absolutamente. ~ B

B

~

²³ Si   converge pero  | | es divergente, decimos que ~

~

B

  es ~

condicionalmente convergente. B

B



²c³ Así la serie   ~

~

condicionalmente convergente. Debemos justificar el uso de la palabra “convergente” en la frase convergente”. Esto se da en el siguiente teorema. B

Teorema 8. Si



 ²c³ es 

es absolutamente convergente mientras que

“absolutamente

B

  converge absolutamente entonces

 

~

~

es

convergente. Sea  ~  b  b Ä b  À Probemos que ¸  ¹B ~ es B convergente. Basta mostrar que ¸  ¹~ es una sucesión de Cauchy. Por hipótesis

+ !ó ¢ B

B  O O  B y ¸! ¹B ~ converge donde ! ~ O O b O O b Ä b O OÁ luego ¸! ¹~ es

~

una sucesión de Cauchy. Así, dado  €  , existe 5  o tal que O! c ! O   ²Á  ‚ 5 ³. Pero si suponemos  €  recibimos O  c  O ~ Ob b b b Ä b  O  Ob O b Ob O b Ä b O O ~ O! c !O De donde tenemos O  c  O   ²Á  ‚ 5 ³ Esto prueba que ¸  ¹B es una sucesión de Cauchy, lo cual deseabamos mostrar. ~ … B Si separamos la serie   en la serie de términos positivos  y los términos negativos ~

podemos mostrar una importante distinción entre series absolutamente convergente y series condicionalmente convergentes. B Más exactamente, si   es una serie de números reales, sea ~

  ~ F     ´Así, para la serie  c  b  c  ~   ~ Ä ~  µ Análogamente, sea

si  €  si        b Ä Á  ~ Á  ~  Á c ~ c Á mientras que

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

35

 si   Á  ~ F   si  € À B

Los  son términos positivos de   (junto con algunos ceros) mientras que  son ~

términos negativos. Es fácil ver que  ~ maxÀ¸ Á ¹ Á  ~ minÀ¸ Á ¹ y por lo tanto  ~  b O O y  ~  c O O También  ~  b  ² ~  ² b  ³ ~  ² b O O b  c OO ³ No es ahora difícil probar el siguiente resultado interesante. B

Teorema 9. ²³ Si   converge absolutamente entonces ambas series B

~

B

  y

  convergen . Sin embargo

~

~ B

²³ Si B

B

  converge condicionalmente, entonces ambas series

  y

~

~

  son divergentes. ~

B

+ !ó ¢ (a) Si B

B

  y

 O O

~

~

son ambas convergentes, entonces B

 ² b O O³ también es convergente. Así como  ~  b O O se sigue que   ~

B

B

~

~

~

 p es convergente. La serie   puede mostrarse

es convergente y por lo tanto

análogamente que es convergente. B B (b) Supongamos ahora que   converge condicionalmente, entonces   converge ~

B

~ B

pero  O O es divergente, tenemos además que O O ~  c  À Si   converge, ~

entonces tendríamos que contradictorio.

B

B

~ B

~

 ² c  ³ ~  O O

Por lo tanto B

 

~

convergería,

lo cual es

es divergente. Análogamente se muestra la

~

divergencia de   . ~

…  c  b  c  b c Ä es condicionalmente convergente , entonces se sigue que  b  b  b  b  b  b Ä diverge y por lo tanto que De donde, puesto que

b

 

b



b Ä es divergente.

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36

2.5. Criterios para convergencia absoluta. B

Definición: Sean B

B

  y

  dos series de números reales . Se dirá

~

~ B

que   es dominada por   si existe 5  o tal que ~

~

O O  O O ²D ‚ 5 ³ .

( Esto es , O O  O O excepto para un número finito de valores de  ³ En

Ejemplos: B



²c³ 1)   ~

B

B

~

~

  ‡   À

este caso escribimos

B

 ‡  b puesto que ~ 

O ²c³  O 

 b

¯

    b   bÄ

¯  b    para  ‚ 

2)  b  b  b Ä ‡  b  b B B Nota. Que   ‡   no implica necesariamente que ~

~ B

Teorema 10. Si

B

B

~

~

      À

B

B

  es dominada por   donde

  converge

~

~

B

 

absolutamente, entonces

~

también converge absolutamente.

~

Simbólicamente tenemos B

B

B

~

~

~

B

Si   ‡   y  | O  B Á entonces  O O  B ~

B

+ !ó ¢ Sea 4 ~  O O À Tenemos O O  O O para todo n ‚ N. Puesto ~

que   O O b O O b Ä b O5 O b O5 b O b O5 b O b Ä b O O  O  O b O  O b Ä b 4 Así

las sumas parciales de

B

B

~

~

 | | son acotadas por arriba, entonces  | |

es

convergente. … Al teorema 10 se le conoce como critero de comparación absoluta.

para la convergencia B

Se sigue inmediatamente que para cualquier %  ² c À³ la serie geométrica  % es absolutamente convergente, puesto que converge abolutamente.

B

B

~

~

 % ‡  O% O

~

y la serie de la derecha

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

37

Enfatizamos que el criterio de comparación es verdadero solamente para convergencia absoluta. El siguiente resultado es facilmente deducible. B

Teorema 11. Si   esta dominada por ~

B

B

B

  y

 | | ~ B entonces

~ B

~

 O O ~ B ( Esto es ,

B

B

   ‡   y

  es divergente entonces

~ B

~

~

~

  es divergente ).

~ B

B

~

~

 À Esta serie domina a Ejemplo: Considere   ~  b B

divergente entonces  ~

 b

es divergente

 ² 



 b

B   Á la cual es 

~

para  € ³

B

Teorema 12. ²³ Si   converge absolutamente y si B

existe

  converge absolutamente.

entonces ²³ Si

~

O O ¦B O O

lim

~

B

 O O es divergente y ~

O O ¦B O O

lim

existe ,

entonces

B

 O O es ~

divergente.

+ !ó ¢ a) Si

O O

lim  existe entonces ¦B O O

¸ OOOO ¹B ~ es acotada . Por lo

tanto para algún 4 € Á O O  4 O O

B

Esto muestra que

²D  o³

B

  es dominada por la serie convergente absolutamente  4  , ~

B

~

por lo tanto  O O converge. ~

B

B

 b) Como en la prueba de (a) tenemos O O  4 O O así que   domina a  ² 4 ³O O ~ ~ B

la cual diverge entonces  O O ~ BÀ ~

…

B

 Como ejemplo tomemos la serie   cb y comparémosla con la serie armónica ~

B   entonces aquí  ~   Á  ~  tenemos entonces   cb  ~

B

B

 lim O  O ~ lim  cb ~   ¦B  ¦B

B

 Pero  O O ~   ~ BÁ luego   cb es divergente. ~ ~ ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

38

El siguiente resultado, es llamado criterio de la razón y es muy útil en el tratamiento específico de las series de potencias. B Teorema 13. Sea   una serie de números reales y sean ~

 ~ lim  O b OÁ 

( ~ lim "O b O 

¦B

¦B

²así que   (³

Entonces B

²³ Si (  Á entonces  O O es convergente ~ B

²³ Si  € Á entonces   es divergente ~

²³ Si     (Á entonces el criterio falla

( no es consistente³. + !ó ¢ (a) Si (   escójase ) tal que (  )  . Entonces ) ~ ( b  para algún  €  por lo tanto existe 5  o tal que  c b c  ) ²D ‚ 5 ³  entonces 









c Nb c  ) , c 5 b c  )Á y así c Nb2 c ~ c Nbb2 cc Nb c  )  N N N 1 N 5 b Para cada  ‚  en forma análoga tenemos    c Nb2 c  c  Nbk cÄc Nb c  )  N

Así O5 b O  O5 O)  B

N

N+k-1

² ~ Á Á Á Á ijÀ

Pero  O5 O h )  converge puesto que   )  .Así por el criterio de comparación se ~0

B

sigue que  O5 b O converge. Esto es O5 O b O5 b O b Ä converge. Se sigue facilmente B

~0

que  O O  BÀ Esto prueba (a). ~



c b c €  para todo  ‚ 5 ( para   O5 b O  ÄÁ y así ciertamente la

(b) Si  € , entonces por el teorema 22 de §1 algún 5  o³. Pero entonces O5 O  O5 bO

B

  divergeÀ sucesión ¸ ¹B ~ no converge hacia  , entonces B

B

~

~

~

(c) Ilustremos considerando primero   ~   À Puesto que B

que  ~  ~ (À La serie   es divergente. ~

 ²b³  ¦B 

lim

B

y aquí   es convergente. ~



lim b ~  se sigue ¦B 

Ahora tomemos

B   vemos que 

~ 

  ~ lim ²b³   ~   ~ lim ¦B ¦B ²b  ³

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

39



Vemos inmediatamente que si lim O b O existe ( y es igual digamos a 3 ), entonces  ¦B B

 O O converge si 3   y diverge si 3 €  Á mientras que si 3 ~  no podemos ~

concluir nada. B



Ejemplo: Consideremos  [ Á aquí  ~ ~

Ob O O O

~

²b³b ²b³[

h

[ 

 [ Á

así que

²b³ 

~

~ ² b  ³

B  Pero lim ² b  ³ ~  € Á y así  ~  ~ (À En particular  €  así que  [ es ¦B ~

B divergente. Este cálculo muestra que la serie  [ tiene ( ~      por lo tanto ~ B

se sigue que  [ es convergente. ~

Si el

Teorema 14.

 lim supÀ j O O ~ (

¦B

B

entonces la serie de números reales  . ~

(a) Es convergente absolutamente si (  Á  (b) Es divergente si ( €  ( Esto incluye el caso lim supÀ j O O ~ B) ¦B

(c) Si ( ~  el criterio no es concluyente. + !ó ¢ Si (   escojamos ) tal que (  )  À Entonces por el  teorema 22 del §1 existe 5  o tal que j O O  ) ²D ‚ 5 ³ À Esto implica B B O O  )  À Así  O O es dominada por  )  Á la cual es absolutamente convergente, ~

~

B

así por el criterio de comparación se sigue que  O O  B . Esto prueba (a) si ~

 lim supÀj O O € Á entonces por el teorema 22 del §1 O O €  para infinidad de

¦B

valores de , así la sucesión ¸ ¹B ~ no converge a . Por convergencia dominada B

  es divergente. Esto prueba (b). ~

B

B

Cuando ( ~  tenemos las dos series   y   Á para las cuales ~ ~ c   lim k  ~ lim 

¦B

¦B

 

~  ~ 

También se tiene 

    k lim k  ~ lim 4  5 ~~

¦B

¦B

Darío Sánchez

B 

y aquí

~

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

B   es convergente. 

es divergente y



40

~

Teorema 15. Supongamos que  €  y  €  para todo  ‚ À Si existe una constante  €  de manera que    DÀ B

B

Entonces la convergencia de   implica la convergencia de   À ~

+ !ó ¢ entonces 

Sean

~ 

~  b   b Ä b   Á

B

! ~  b  b Ä b   B

 ! À Si   converge entonces las sumas parciales de   quedan acotadas por ~

4 y ¸

B  ¹~

~ B

es creciente luego existe lim

¦B



de donde   es convergente ~

.

Teorema 16. Supongamos que  €  y  ¦B 

supongamos que lim

 € 0 para todo  ‚  y

B

B

~

~

~ . Entonces   converge si y sólo si  

es convergente.

+ !ó ¢ Como O   

c O  Por lo tanto

 

lim  ~ , dado  ~  Á existe 5  o tal que

¦B 

²D € 5 ³ ¯ c     c    ²D € 5 ³ ¯ 

 

     

   y     para todo  ‚ 5 Á el resultado se sigue del teorema 15. …

Nota: 1) Si B

lim  ¦B 

comparar   con ~

2) Sin embargo si

~ Á siempre que  €  Á puesto que B

Fin del segundo bloque lim  ~  podemos ¦B 

  À ~

B lim  ~  concluimos solamente que la convergencia de  

¦B  B

~

implica la convergencia de   . ~ B

Ejemplo: Estudiar la convergencia de  ²   ³À ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

B

:"ó ¢

Sabemos

 ~ ²   ³ y  ~ c ²   ³ c  ¦B

lim  ~ lim

¦B 

41

~ ™

3Z / ô!

~ ™

3Z / ô!

es

convergente.

Consideramos

~

 

!~

!c ! ~ lim !  ! ~ c! !¦ ™

c  

que

consideramos ²

!

lim c!! !¦  

³



~ ™

3Z / ô!

² ! ! ³  !¦ ! ²c! ³

lim ! 

! !c ! ! ! ~ lim c! !¦

~

!c !c! ! c !c! ! lim    ! ~ lim c !c! !c! !b!  ! ~ c! !c! !¦ ¦

c !c !b! ! c  lim c !c  !b ! !b! !b!  ! ~ c ~

!¦

B

luego

 ²   ³ es convergente. 

~

2.6. Series cuyos términos forman una sucesión decreciente. Los criterios de las secciones previas fallan al dar alguna información acerca de la B importancia de la serie   À Esta serie tiene la propiedad especial que sus términos ~

forman una sucesión decreciente . Tales series son frecuentemente tratadas con el criterio de la integral. Sin embargo, puesto que no hemos dicho nada sobre el criterio de la integral usamos otro criterio interesante llamado criterio condicional de Cauchy.

Teorema 17. Si ¸ ¹B ~ es una sucesión decreciente de términos positivos B

B

~

~

y si    converge, entonces   es convergente.

+ !ó ¢ Tenemos      b    b  ~   b  b    De estas desigualdades se sigue que b c



B

~

~

~

            

Por lo tanto para cada   o tenemos  B       ~

~ B

Por el criterio de comparación se sigue que   converge. ~

…

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

42

Teorema 18. Si ¸ ¹B ~ es una sucesión decreciente de números positivos B

B

~

~

y si    es divergente, entonces   es divergente.

+ !ó ¢ Tenemos  b  ‚   b  b  b  ‚  en general  b b Ä b b ‚  b ~  ²b b ³ así que b



b

~

~

~

  ‚   b b ~     À  

…

B

Corolario: La serie   es convergente. ~

 

+ !ó ¢ Para  ~ B

B

tenemos B

   ~     ~  ²  ³ ~    B ² ³  c  c ~ ~ Por lo tanto

B

B

~

~

  ~    BÀ 

…

B

Nota: Que para   tenemos  ~ ~

B



Así se sigue la divergencia de

~

 

B

B

B

~

~

~

   ~   ²  ³ ~   ~ BÀ 

y así

 .

B

 Ejemplo: 3       #!À ~

 Para esto tomamos  ~    y se tiene B B B    ~      ~  ²  ³ h        ~

~

~

B

 la cual es divergente. Se sigue entonces la divergencia de    . ~

Teorema 19. (Abel) Si ¸ ¹B ~ es una sucesión decreciente de números B

reales positivos y si   converge, entonces lim  ~ À ¦B B

~

+ !ó ¢ Sea



~  b  b Ä b  . Si   ~ (Á entonces ~

lim

¦B



~ ( ~ lim

¦B



Luego lim ²

¦B



c

³

~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

43

Ahora 

c



~ b b b b Ä b  ‚  b  b Ä b 

de donde    



c

À

Por lo tanto lim  ~ 

¦B

y también lim  ~ 

²³

¦B

Pero b   Á de donde ² b ³ b  ² b  ³² ³ y por ²³ lim ² b ³ b ~ , de donde el resultado. ¦B

… La serie geométrica y la función zeta son dos de los más grandes resultados de las series por el gran número de aplicaciones en el estudio de la convergencia de series. A continuación damos un criterio dado y demostrado por Cauchy en 1837.

Teorema 20. (Criterio de la integral) Sea  una función decreciente y definida para todo % ‚ À Para cada  ‚  tómese 





~  ²³ y ! ~   ²%³ % 

~ B  ¹~

B Entonces ambas sucesiones ¸ y ¸! ¹~ convergen ó ambas divergen. + !ó ¢ Comparando  con las funciones escalonadas dadas en la figura, obtenemos   c   ²³    ²%³ %    ²³ ²³ ~

    ²³    ²%³ %

&

&



~

™ f()  

~



™ f(1) 0 1

f(n)



Ä n

x

c    ²%³ %    ²³ 

~

f(n)

2

Än

x

B ó  c  ²³  !  c À Puesto que ambas sucesiones ¸  ¹B ~ Á ¸! ¹~ son monótonas decrecientes, entonces estas desigualdades muestran que ambas sucesiones son acotadas o ambas no son acotadas. Por lo tanto ambas sucesiones convergen ó ambas sucesiones divergen (vea teorema 7 del No.1.7) B

Ejemplo: 4  ! "     #  & ó  €  À ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

44

Esta serie es llamada FUNCION ZETA (ó función cita) Tomando  ²%³ ~ %c Á tenemos   %

c c c

si £    si ~   c Cuando €  el término  ¦  Á cuando  ¦ B y por lo tanto ¸! ¹B ~ es convergente. Por el criterio de la integral, esto implica convergencia de la serie para € Á cuando  Á entonces ! ¦ B y la serie diverge . En el caso especial cuando ! ~ 

% ~ H

B

~  se tiene también divergencia y es el caso de la serie armónica   . ~

Ejemplo: Estudiar la convergencia de la serie siguiente: B j c  ²b³



 ² b³

~

³

jc ²b³ ²b³

³ Comparemos con

j j  ²b³ ²b³  ° ²b³ B   ° la cual converge porque  



€ À

~ j  ²b³ °  ¦B  °

lim

~ lim

¼

¦B

 j%° %b %¦

~ lim

j  b

~  j lim

%¦ ¦B

¦B

~ lim

lim

j  %b %¼

¦B %¦

 c¼ %



~ lim

j  

%b

%¦  %c° ¦B

~ j lim ¼ ~  À ¦B 

B j c  ²b³



Por el criterio de comparación con el límite se sigue que

 ² b³

es

  es otra serie

 b

~

~

~

convergente.

2.7. Reordenación de series. B

Hablando a grosso modo, una reorganización de una serie B

cuyos téminos son los mismos como aquellos de

B

  pero ocurriendo en orden ~

diferente (una definición exacta de reordenación es dada posteriomente en esta sección ). Veremos que reorganizando una serie se pueden tener efectos dramáticos por así decirlo. B ²c³b Hemos visto que la serie  converge condicionalmente para algún L  s, ~



L £ 0. Tenemos 3 ~  c  b  c  b  c  b  c  b Ä

²³

Así  3

  ~  c  b  c  b  c  bÄ

y así claramente         3 ~  b  c  c  b  b c  c b  b  c  c  b Ä Si sumamos ahora (1) con (2) obtenemos otra vez

²³

Darío Sánchez

 3

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

45

~

   ² b ³ b ² c  b  ³ b ²  c ³ b ² c  b c  ³ b ² b ³ b ² c b ³ b Ä

ó  3

 ~  b  c  b  b  c  b  b  c  b Ä ²³ La serie en lado derecho de (3) es una reordenación de la serie convergente del lado derecho de (1), pero ellas convergen a sumas diferentes. en verdad, podemos hallar una B ²c³b reordenación de  que converja para algún número real previamente asignado. 

~

Definición: Sea 5 ~ ¸ ¹B ~ una sucesión de números enteros positivos donde cada entero positivo se da, exactamente una vez entre los  (Esto B

es, 5 es una función uno a uno de o sobre o ). Si   es una serie de números

reales

y

si

 ~  ²  o ³ entonces B

~ B

  es

llamado

un

~

reordenamiento de  . ~

B Si ( ~ ¸n ¹B n ~ y ) ~ ¸ ¹ ~ , entonces, la definición nos dice que (k5 ~ )À Si c B N ~ ¸ ¹ ~ es la función inversa de 5 Á entonces ( ~ ) k5 c así que  ~  À B

Esto muestra que   es también una reordenación de ~ B

B

b i

B

si

  es una ~

i~

reordenación de   . Hemos deducido el siguiente resultado: ~

Teorema 21. Sea

B

  una serie condicionalmente convergente de ~

números reales entonces para cada %  s hay una reordenación la cual converge a %. Para series absolutamente convergentes la teoría es enteramente diferente. Primero tratamos el caso de series de términos positivos. B Lema: Si   es una serie de números positivos la cual converge a ~ B

B

B

~

~

(  s y   es una reordenación de   , entonces   converge y B

~

  ~ (. ~

+ !ó ¢ Para cada 5  o sea

~  b  b Ä b 5 À Puesto que  ~  para alguna sucesión tenemos  ~  Á  ~  Á ÄÁ 5 ~ 5 À Sea 4 ~ %¸ Á  Á ÄÁ 5 ¹À Entonces ciertamente 5   b  b Ä b 4  (À Así ¸ ¹B ~

5

B

las sumas parciales de   convergen para algún )  s. Pero ) ~ lim ~

5 ¦B

5

y así por

B

B

B

~

~

~

convergencia dominada )  (. (Esto es,   ‡   ³ . Pero puesto que   es

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

46

B

B

~

~

también una reordenación de   Á el mismo razonamiento con los papeles de   y B

 b invertidos demostraríamos que (  ) . Por lo tanto ) ~ ( y el teorema queda ~

probado. … El resultado anterior claramente se tiene tembién para series de números no positivos. El lema es un caso especial del siguiente teorema.

Teorema 22.Si B

B

  converge absolutamente a (, entonces cualquier ~

B

reordenación   de   también converge absolutamente hacia (À ~

~

+ !ó ¢ Definamos  ~ F

 si  €   si   

, y,  ~ F

 si     si  € 

B

B

~

~

así que  ~  b  À Entonces veamos que ambas series   y   convergen, B

B

~

~

B

pues   y  |  |

convergen,

 ´  b O Oµ

así

~

converge puesto que

B

 ~ %² Á ³ entonces  ~  b O O entonces   es convergente. En forma ~

B

B

análoga se puede demostrar que   es convergente. Digamos que   ~ 7 y ~

B

  ~ 8

~

( donde 8  ), entonces ( ~ 7 b 8À Para alguna ¸ ¹B ~ tenemos

~

B

 ~  ~  b  À Además   es una reordenación ~

B

B

términos positivos. Así por el lema   es convergente y análoga

  ~ 8 À Puesto que

~

B

 ~  b  lo cual implica que   es

~

convergente y

~

  ~ 7 , en forma

~

B

B

de la serie   de

~

B

B

B

~

~

~

  ~   b   ~ 7 b 8 ~ (. B

Lo que resta es demostrar la convergencia absoluta de   . Pero como  ~  b  ~

tenemos O O  O O b O O ~  c  À Por lo tanto para cualquier 5  o 5

5

B

B

~

~

~

~

O O b O O b Ä b O5 O   c    c  ~ 7 c 8 B

B

Las sumas parciales de  O O son por lo tanto acotadas por 7 c 8 por lo tanto  | | es ~

convergente. Esto prueba el teorema. …

~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

47

El teorema 22 nos brinda un resultado para la multiplicación de series. Si formalmente el B B producto de dos series   % y   % y reagrupando términos con la misma potencia ~

~

de % , tenemos ² b  % b  % b Ä)² b  % b  % b ij ~ ~   b ²  b   ³% b ²  b   b   ³% b Ä Esto es , B B B (   % ³²  % ³ ~   % ~

donde

~

²³

~ 

 ~   c

² ~ Á Á Á Ã ³

~

Con el propósito de aplicar el teorema 22, es suficiente examinar (1) en el caso % ~ À Probaremos que B B B ²  ³²  ³ ~   ~

~

~

Bajo la hipótesis de que las dos series de la izquierda convergen absolutamente. B

B

~

~

Teorema 23. Si las series   y   son absolutamente convergentes a ( y ) respectivamente, entonces

() ~ *

donde

B

* ~  

y

~



 ~   c ~

+ !ó ¢ Para  ~ Á Á Á à tenemos O O  O  O b O c O b Ä b O  O. Así, para cada Á O O b O | b Ä b O O   O  O b ²O  b   O³ b Ä b ²O  O b O cO b Ä b OO³ B

B

~

~

 ²O O b O O b Ä b O O³ b ²O O b O O b Ä b OO³  ² O O³² O O³ B

La sucesión de sumas parciales de  O O es así acotada superiormente y por lo tanto ~ B

 O O  BÀ

~

La anterior desigualdad también demuestra la convergencia absoluta de la serie   b   b   b   b   b   b   b   b Ä B

²³

²cuya suma es   ). Por el teorema 22 de reordenación podemos reordenar los términos ~

de (1) para obtener B   ~ ´  µ b ´  b   b   µ b ´  b   b   b  b µ b Ä ²³ ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

48

El interior del n-ésimo paréntesis ² ~ Á Á Á à ³ en la derecha de (2) son todos los productos   donde cualquiera  ó  es igual a  y ningún  ó  es más grande que . Examinaremos las sumas de los términos en cada paréntesis . Si ( ~   b   b Ä b   Á )  ~   b   b Ä b   Á tenemos   ~ ( ) À   b   b   ~ ² b  ³² b  ³ c   ~ ( ) c ( ) À   b   b   b   b   ~ ~ ² b  b  ³² b  b  ³ c ² b  ³² b  ³ ~ ( ) c ( )À y en general, para  ‚  la cantidad en el -ésimo paréntesis en el lado derecho de (2) es igual a ( ) c (c )c . La suma de los  primeros paréntesis en el lado derecho de (2) es por lo tanto ´A ) µ b ´( ) c ( ) µ b Ä b ´( ) c (nc Bc µ ~ ( ) lo cual tiende a () cuando  ¦ B. El lado derecho de (2) es así igual a () y la demostración es ahora completa. … B B Corolario: Si para algún %  s las series de potencias   % y   % ~

~

son convergentes absolutamente entonces B

B

B

6    % 7 6   % 7 ~    % 

~



~





~

donde 

 ~   c ~ 

+ !ó ¢ Sean ( ~  % Á ) ~  % . Entonces por el teorema 23 se tiene

B

B

B

~

~

~

² ( ³² ) ³ ~  *, donde

²³







~

~

~

* ~  ( )c ~   % c %c ~ %   c ~  % À Entonces ²³ se sigue por lo tanto de ²³. … B Dadas dos sucesiones ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ Á sea ( ~  b  b Ä b  Á ( ~ , entonces        ~  ²( c (c ³ ~  (  c  (c  ~

~

~



c

c

~

~

~

~

~  (  c  ( b ~  ( ² c b ³ b (  c (  ²( ~ ³

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

49

B Teorema 24. (Criterio de Dirichlet) Sean ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ dos sucesiones

tales que B ³ ¸( ¹B ~ ~ ¸ b  b Ä b  ¹~ es acotada ³ ¸ ¹B lim  ~  ~ es decreciente y ¦B

B

entonces la serie    es convergente. ~

+ !ó ¢ Tenemos lim (  ~ Á también ¦B

c

c

c

~

~

 O( ² c b ³O ~  O( OO c b O  4  ² c b ³ ~ 4 ² c  ³  4 

~

B

por lo tanto la serie

 ( ² c b ³ converge absolutamente. ~

…

Ejemplo: Demostrar que las siguientes series son absolutamente convergentes B 1)  %

³   %

~



²% £ ³

~

:"ó: Veamos que ¸  %¹B ~ es acotada ~

  ³% c 

 ² b  c ² c  ³% ~ c   %  % À Entonces    ² c  %  % ³ ~ c   %   %   ~

~



~  ´ ² b  c ~

  ³% c 

² c  ³%µ ~  ² b  c  ³% c  ² c  ³%

Lo cual es equivalente a       %c ²b  ³%  ³%   % ~   %c ²b ² ³À  ~   % ~      %    % ~ ~ Así las sumas parciales son acotadas . Por el criterio de Dirichlet se sigue la convergencia de 1) y 2)

Teorema 24. (Criterio de Abel) Sean tales que

B

B ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ dos sucesiones

³   es convergente y ³ ¸ ¹B ~ es decreciente,  ‚ . ~

B

Entonces se tiene que    es convergente. ~

B

+ !ó ¢ Sea   ~  y B

 ¦  ² ¦ B³Á tenemos (  ¦ 

~

² ¦ B³. La serie  ( ² c b ³ converge absolutamente ya que ¸( ¹B ~ es acotada ~

y se está en las hipótesis de criterio de DirichletÀ …

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

50

2.8. Ejercicios 1. Probar que si  b  b Ä b  +Ä converge a  b  b Ä b  +Ä converge hacia c  À

, entonces

B

 2. Pruebe que la serie  < ²b³ =converge. [(&" ¢ ,  ~

 ²b³

~

( 

c

) b

& "  "    ] 3. Pruebe que la serie ² c  ³ b ² c  ³ b ² c  ³ b Ä es convergente si y B sólo si { ¹~ es convergente . La serie así obtenida es llamada serie B

telescópica y se tiene

 ² c b ³ ~  c lim  . ~



¦B 

4. ¿ Para que valores de % la serie ²c%³ b ²% c % ³ b ²% c % ³ b ²% c % ³ b Ä es convergente ? B

5. ¿ Es la serie  ² b  ³ convergente o divergente ? ¿cual es la razón de su ~

afirmación?. 6. Pruebe que para cualesquiera Á   s la serie  b ² b ³ b ² b ³ b ² b ³ b Ä diverge a menos que  ~  ~ À B

7. Mostrar que   converge si y sólo si para cada  €  existe N  o tal que ~



c  c   ²Á  ‚ 5 ³ À Esta propiedad es conocida como condición de ~b

Cauchy para series 8. Pruebe que si  b  b  b Ä converge a ( , entonces   ²

b  ³ b  ² b  ³ b  ² b  ³ b Ä

es converge. ¿ Cual es el valor de la suma de la segunda serie ? B

B

~

~

 b 9. ¿  < b b = converge o diverge? ¿  ²b³ converge o diverge ? 10. Mostrar que si la serie  b  b  b Ä converge a 3 , entonces también  b  b  b  b  b  b Ä converge a 3. Más generalmente mostrar que cualquier número de términos con  pueden ser insertados en una serie convergente sin alterar su convergencia o suma. B

B

B

~

~

~

11. Probar que si   converge y   diverge entonces  ² b  ³ es divergente. B

12. Sea   una serie convergente. Sea { ¹B ~ cualquier subsucesión de la sucesión ~

natural. Finalmente sea

 ~  b  b Ä b   ~  b b  b b Ä b 

Darío Sánchez

B

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

51

Å  ~ c b b c b b Ä b  ²  o³ B

Probar que  b converge a la misma suma que   ~

~

B

13. Dar un ejemplo de una serie   tal que ² b  ³ b ² b  ³ b Ä converge ~

pero  b  b   b  b Ä diverja. (Esto demuestra que removiendo parentesis puede causarse dificultades). B

14. Si   es una serie convergente de números positivos y si ¸ ¹B ~ es una ~

B

   converge. subsucesión de ¸ ¹B ~ Á probar que 15. Probar que  b

 [

b

 [

b



[

~

b Ä es convergente. B

16. Si      ² ‚ ³ y si   %  Á entonces probar que   % convege y que su suma no es más grande que c % À 17. ¿ Para que valores de  la serie  c 

~

b

 

c

18. Si % no es un número entero, probar que

  b Äconverge?    %b c %b b %b

c

 %b

b Ä es

convergente. 19. Probar que 





(a)  c   b   c   b Ä es divergente    (b) ² c ³ c ² c   ³ b ² c   ³ c ² c   ³ b Ä es convergente 20. Mostrar que si  ~

 j

b

²c³c 

B

entonces  ² c ³b  es divergente (aquí ~

 €  y lim  ~  ¿Porque no se puede aplicar el teorema de las series alternadas?) ¦B

B

 21. Mostrar que  ² c ³b c es divergente. ~

22. Clasifique como divergente, condicionalmente convergente o absolutamente convergente a cada una de las siguientes series :

(a)  c [ b [ c [ b ÄÁ ²³  c  b  c  b ÄÁ ²³  c  b  c  b Ä ²³ c  b  c  b  c  b Ä 23À ¿Puede una serie de números no negativos converger condicionalmente? B

B

B

~

~

~

24. Probar que si  O O  BÁ entonces |  O   O OÀ

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52

B

25. Pruebe si es verdad o de un contra-ejemplo en caso de ser falso: Si   es una serie ~

B

convergente de números reales positivos y   es una serie divergente de téminos B

B

~

~

~

positivos, entonces   ‡   .

26. ¿Cuales de las siguientes series son convergentes? B  B B ²³  b ²³    (a)   ~0

[

~

b

B

~

b

27. Mostrar que si O%O   entonces  n % converge absolutamente. ~

28. Para cada % €  probar que las series  c 



% [

b

% [

cÄ y

% c %[ b % [ c Ä convergen absolutamente. 29. (a) ¿El criterio de la razón da alguna información acerca de la serie ²  ³ b ²  ³ b ²  ³ b ²  ³ b ²  ³ b Ä ? ²³ ¿Es esta serie convergente ? b 30. Si ¸ ¹B ~ es una sucesión de números reales, y si lim O  O ~ 3   pruebe ¦B

que lim  ~  ¦B

31. ¿Para que valores de % la serie  b % b % b % b Ä converge? 32. ¿Para que valores de % la serie % c B

33. Si  | O  B y si cada

% 

  o,

~

% % c  b Ä converge? B  b  |  |  , probar que c b c c c  

b

~

²(&" ¢  ! " O O  O  OO O ³ B

34. Examinar la convergencia de

 ² c ³² c   ³² c   ³Ä² c   ³

~

35. Use el criterio de la raíz en las siguientes series y que puede concluir en B  B B ²b  ³   ²³  % ²³  ²³ ²³   ~

B

~

~



36. Mostrar que  % converge para todo %  s. ~

B

37. ¿Para qué valores de % la serie  % converge.? ~ B

 38. ¿Para qué valores de % la serie  ´²³ % µ converge ? ~2 B

 39. Pruebe que para cada valor real % la serie  ²³ % diverge ~3

B

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53

B

40. ²³Si los términos de la serie convergente   son positivos y forman una sucesión lim   ~ 

decreciente, probar que ²³ Demostrar que si B

~



¦B ¸ ¹B ~

es una sucesión decreciente de números positivos y si

  converge, entonces lim  ~ À ¦B

~

Cada una de las siguientes series son de tipo telescópica ² é#    ³ Á en cada caso pruebe que la serie converge y tienen la suma indicada B

 41. ²c³²b³ ~ ~ B

4À

~ B

4À

~ B

 b



~

B

 

~ B j

 

 À

~

 ²b³²b³²b³

B

 À c ~

~

 

bc j j b B

 À ~ B

c

. c ~ ~ B

 

 À b ²b³ ~ 

~

~

 b b b ²b³

~

 

´²b  ³ ²b³µ j À ² ³´²b³ b µ ~ 

²c³ ²b³ 4 À ~ ²b³ ~

~2

. Hemos demostrado en las notas de clase que  b % b % b %  b Ä b %  b Ä ~

 c %

si O%O  

Haciendo uso de esta afirmación muestre que  ²³  b % b % b Ä b % b Ä ~ c% si O%O    %  b ²³ % b % b % b Ä b % b Ä ~ c% si O%O    ²³ c % b % c % b Ä b ² c ³ % b Ä ~ b% si O%O    (d³ c % b % c % b Ä b ² c ³ % b Ä ~ b% si O%O   % (e³ % c % b % c % b Ä b ² c ³ %b b Ä ~ b% si O%O     ² ³ b % b  % b Ä b  % b Ä ~ c% si O%O      c ²³ b % b % b Ä b % b Ä ~ ²c%³ si O%O  

²³% c

²c³ %b % % % b c b Ä b    b ²c³ %b % % %  b c  bÄb b

b Ä ~ ² b %³ si O%O  

²³% c b Ä ~ ! % si O%O    .Usando el ejercicio  demuestre la igualdad de cada uno de las siguientes series, todas válidas para O%O   B

²³ % ~ ~ B

% ²c%³

²³  % ~ ~ B

²³

~0

~

% b% b% b% ²c%³

²³ ² b ³% ~ ~0 B

B

²³  % ~

 ²c%³

²b³²b³²b³  % [

~

B

²³ ~ B

²³

~0

 ²c%³

B

% b% ²c%³

²³  % ~ ~

% 

% b%b% ²c%³

B

c

 % ~  c% ² ³ c ~   b% c%

²b³²b³  % [

~

~

 ²c%³

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54

B

 À.Dado que  %[ ~ % para todo %, hallar la suma de las siguientes series,

~

suponiendo que es posible operar con series infinitas como cuando ellas son sumas finitas. B

B

²³  c [

B

²³ b [

~2

²³

~2

~2

B

²c³²b³ [

 

²³ [% ~ ²% b %³% ~

Usando criteros de comparación y adecuadas acotaciones estudie la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series ¢ B

 .  ²c³²c³ ~ B  5À  ~ B

[

À ²b³[ ~ B

.

~ B

bj ²b³ c



. b ~ B

6 À c



~

B

B

j À c²b³ ²b³

~ B 5 À O %O ~ B  

À j b ~ B

À ²³ ~2 B   ²  ³ 6À  ~ B  j % À  b% % ~

5 À b  B

~

5 À b²c³ 



~ B



À j²b³ ~

B

O

À O  Á O O  

B

~

 6 À    ²  ³ ~

B

b À  cj% % ~

Usando los criteros de la razón y de la raíz estudie la convergencia de las siguientes series B

B



²[³ . ²³[

. ²[³  

~ B

À c





~ B

7 À

À ²  c c ³ ~

jb²c³ µ 

À  ´ ~

~ B

7À [

~ B

B

 À [ 

~ B

7 À [ ~ B

B





B

  ² ³  ~ B  À ²³ [ ~

  À [ 

~

B

 7 À ²j  c ³

~

B

b 

  . ²b   ³ ~

À   O  %O Á  €  ~

§3.

SUCESIONES DE FUNCIONES.

Estamos interesados en funciones definidas mediante ecuaciones de la forma  ²%³ ~  ²%³ b  ²%³ b  ²%³ b Ä



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55

%c Donde  ²%³ es una función, como por ejemplo  ²%³ ~ ²c³[ . En tal situación

¸ ¹B ~ será cierta sucesión de funciones; la cual para cada % obtenemos una sucesión de números ¸ ²%³¹B ~ y  ²%³ es la suma de esta sucesión. Para analizar tales funciones hace falta ciertamente recordar que cada suma  ²%³ b  ²%³ b  ²%³ b Ä es por definición, el límite de la sucesión  ²%³Á  ²%³ b  ²%³Á  ²%³ b  ²%³ b  ²%³Á à Si definimos una nueva sucesión de funciones ¸  ¹B ~ mediante  ~  b   b   b Ä b   entonces podemos expresar más sucintamente este hecho escribiendo  ²%³ ~ lim  ²%³ ¦B

Por algún tiempo nos concentramos, por lo tanto, en funciones definidas como  ²%³ ~ lim  ²%³ ¦B

en lugar de funciones dadas como sumas infinitas.

figura 1

Todos los resultados acerca de tales funciones pueden resumirse muy fácilmente: nada de lo que era de esperar que se cumpliera, se cumple en realidad; disponemos por el contrario, de una espléndida colección de contraejemplos. El primero de éstos indica que aún siendo continua cada  Á puede no serlo la función límite  . Contrariamente a lo que se podría esperar las funciones  serán muy sencillas. La figura 1 muestra las gráficas de las funciones % Á   %    ²%³ ~ F  Á %‚ Estas funciones son continuas, pero la función límite  ²%³ ~ lim  ²%³ no es continua; ¦B

en efecto, Á %  Á %‚ ¦B Otro ejemplo de este mismo fenómeno se ilustra en la figura 2 en donde las funciones  estan definidas por lim  ²%³ ~ F

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|  c Á %  c   ²%³ ~ } % Á c   %    ~  Á   %

56

 

figura.2

En este caso, si %   , entonces  ²%³ es eventualmente (es decir, para  suficientemente grande ) igual a c  y si %   Á entonces  ²%³ es eventualmente  , mientras que  ²³ ~  para todo À Así que | c Á % %~ lim  ²%³ ~ }  Á ¦B ~  Á %€ de modo que, una vez más la función  ²%³ ~ lim  ²%³ no es continua. ¦B

Redondeando el esquema en los ejemplos anteriores es incluso posible construir una sucesión de funciones derivables ¸ ¹B ~ para las cuales la función lim  ²%³ ~  ²%³ ¦B

no es continua. Tal sucesión es fácil de definir explícitamente: |  c Á % %    ²%³ ~ } ²  ³Á c   %     ~  Á   %À

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57

figura.À

estas funciones son derivables ( figura 3), pero todavía tenemos | c Á %   lim  ²%³ ~ }  Á % ~  ¦B ~ Á % €  La continuidad y derivabilidad no son, además, las únicas propiedades para las cuales se presentan problemas. Otra es ilustrada por la sucesión ¸ ¹ indicada en la grafica 4; sobre el intervalo ´ Á  µ la gráfica de  forma un triángulo isósceles de altura Á mientras que  ²%³ ~  para % ‚  À Estas funciones pueden definirse explícitamente como sigue: |    % Á   %     ²%³ ~ }  c  %Á   %     ~  Á   %  

figura 4

figura 5

Al variar esta sucesión de manera tan errática en la proximidad de , nuestros instintos matemáticos primitivos podrían sugerirnos que lim  ²%³ no siempre existe. No ¦B

obstante este límile existe para todo %, y la función  ²%³ ~ lim  ²%³ es incluso %¦B

continua. Efectivamente, si % € , entonces  ²%³ es eventualmente

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58

0, de modo que lim  ²%³ ~ ; además ,  ²³ ~  para todo , de modo que tenemos ¦B

ciertamente lim  ²³ ~ À En otras palabras  ²%³ ~ lim  ²%³ ~ Á para todo % À Por ¦B

¦B

otra parte, la integral revela rápidamente el comportamiento extraño de esta sucesión: tenemos     ²%³% ~  pero   ²%³% ~  



Así pues, 







lim   ²%³ % £ 

¦B

lim  ²%³ %

¦B

Esta sucesión particular se comporta de manera que nunca hubiésemos podido imaginar cuando empezamos a considerar funciones definidas por límite. Si bien es verdad que  ²%³ ~ lim  ²%³ para cada % en [0,1] ¦B

Las gráficas de las funciones  no se « acercan » a la gráfica de  en el sentido de estar próximas a ella; si, como es la gráfica 5, dibujamos una banda alrededor de  de anchura total 2 (dando una anchura de  por encima y por debajo ) entonces las gráficas de  no quedan completamente dentro de esta banda , por grande que sea À Por esto, para cada % existe algún 5 tal que el punto ²%Á  ²%³³ queda dentro de esta banda para  € 5 esta afirmación equivale al hecho de que lim  ²%³ ~  ²%³ ¦B

ÀPero hace falta elegir unos 5 cada vez más grandes a medida que elegimos los % más próximos a , y no habrá ningún 5 que de resultado para todos los % a la vez. La misma situación se presenta en realidad, aunque no tan obviamente, para cada uno de los ejemplos dados anteriormente. La figura 6 ilustra este punto para la sucesión % Á   %    ²%³ ~ F  Á %‚

figura 6

Se ha trazado una banda de anchura total  a lo largo de la gráfica de  ²%³ ~ lim  ²%³ À ¦B

Si    , esta banda se compone de dos partes, las cuales no contienen ningún punto con segunda coordenada igual a  ; puesto que cada una de las funciones  toma el valor  , la gráfica de cada  deja de estar dentro de esta banda. Una vez más, para cada punto %

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existe algún 5 tal que ²%Á  ²%³³ quede dentro de esta banda para  € 5  pero no es posible elegir un 5 que dé resultado a la vez para todos los %À Es fácil comprobar que la misma situación exactamente se presenta para cada uno de los demás ejemplos. En cada caso tenemos una función  y una sucesión de funciones ¸ ¹B ~ Á definidas todas sobre algún conjunto (Á tales que  ²%³ ~ lim  ²%³ para todo %  ( ¦B

Esto significa que D €  y D %  (Á existe algún 5 tal que si  € 5 Á entonces | ²%³ c  ²%³O  À Pero en cada caso deben elegirse unos 5 para distintos distintos %   y no se cumple que « D €  existe algún 5 tal que D%  (Á si  € 5 Á entoncesO ²%² c  ²%³O   » Aunque esta condición difiere solamente de la primera en un pequeño desplazamiento de la frase « para todo %  ( » Á tiene un significado completamente distinto. Si una sucesión ¸ ¹B satisfece esta segunda condición entonces las gráficas de los  ~ quedan eventualmente próximas a la gráfica de  , según queda ilustrado en la figura 7. Definición : Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones definidas sobre (Á y

sea  una función también definida sobre (. Entonces  recibe el nombre de límite uniforme de ¸ ¹B ~ sobre ( si dado  €  existe algún 5 tal que

figura 7

para todo %  ( si  € 5 Á entonces O ²%³ c  ²%³O  À Decimos también que ¸ ¹B ~ converge uniformente hacia  sobre (Á o que  tiende hacia  uniformente sobre ( y notaremos  ¦  uniformemente sobre (. Como contraste con esta definición, si solamente sabemos que  ²%³ ~ lim  ²%³ para todo %  ( ¦B

entonces decimos que ¸ ¹B ~ converge puntualmente hacia  sobre (. Evidentemente, la convergencia uniforme implica la convergencia puntual (pero no recíprocamente). No es difícil reunir evidencia acerca de la utilización de la convergencia uniforme . Las integrales representan un tema particularmente fácil: por la gráfica 7 resulta casi evidente

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60

que si ¸ ¹B ~ converge uniformemente hacia  entonces la integral de  puede hacerse tan próxima como se quiera a la integral de  À Expresado con más precisión tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1. Supóngase que ¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones integrables sobre un intervalo ´Á µ y que ¸ ¹B ~ converge uniformente sobre ´Á µ hacia una función  que es integrable sobre ´Á µ entonces    ²%³% ~ lim   ²%³%À ¦B

+ !ó: Sea  € , existe algún 5 tal que para todo  € 5 tenemos O ²%³ c  ²%³O   para todo %  ´Á µ. Así pues si  € 5 tenemos     |  ²%³% c   ²%³%O ~ O ´ ²%³ c  ²%³µ %O   O ²%³ c ²%³O%    % ~ ² c ³ Al cumplirse esto para todo  €  Á se sigue que

   ²%³% ~ …

 lim   ²%³%À

¦B

Solamente algo más difícil resulta el tratamiento de la continuidad el cual supone un «razonamiento  », estimación en tres pasos de O ²%³ c  ²% b ³O À Si ¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones continuas que convergen uniformente hacia  , entonces existe  tal que ²³ O ²%³ c  ²%³O   ²³ O ²% b ³ c  ²% b ³O   Además, al ser  continua, para  suficientemente pequeño tenemos ²³ O ²%³ c  ²% b ³O   . Se seguirá de (1), (2), y (3) que O ²%³ c  ²% b ³O  À Para obtener (3), debemos restringir, sin embargo, el tamaño de OO en un modo que no puede predecirse hasta una vez elegido  ; es por tanto completamente esencial que exista algún  fijo que haga que se cumpla (2), por pequeño que sea OOÂ es precisamente en este caso donde entra en la demostración la convergencia uniforme.

Teorema 2. Supóngase que

¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones

contínuas sobre ´Á µ y que ¸ ¹B ~ converge uniformemente hacia  sobre ´Á µ. Entonces  es también una función continua sobre ´Á µÀ + !ó: Para todo %  ´Á µ debemos demostrar que  es continua en %. Tratemos solamente el caso en el cual % está en ²Á ³; los casos % ~  y % ~  requieren las sencillas modificaciones usuales. Sea  € À Al converger ¸ ¹B ~ uniformemente hacia  sobre ´Á µÁ existe algún  tal que O ²&³ c  ²&³O   D&  ´Á µ. En particular, para todo  tal que % b   ´Á µÁ tenemos ²³ O ²%³ c  ²%³O  

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²³ O ²% b ³ c  ²% b ³O   Ahora bien,  es continua, de modo que existe algún  €  tal que para OO   tenemos ²³ O ²%³ c  ²% b ³O   Así pues, si O O   Á entonces O ²% b ³ c  ²%³O ~ O ²% b ³ c  ²% b ³ b ²% b ³ c  ²%³ b ²%³ c  ²%³O  O ²% b ³ c  ²% b ³O b O ²% b ³ c  ²%³O b O²%³ c  ²%³O   b  b  ~  Esto demuestra que  es continua en %À … Después de los dos notables éxitos ofrecidos por los teoremas 1 y 2 el asunto de la derivabilidad resulta muy decepcionante. Si cada  es derivable y si ¸ ¹B ~ converge uniformemente hacia  , todavía no se cumple necesariamente que  sea derivable. Por ejemplo la figura 8 indica que existe una sucesión de funciones derivables ¸ ¹B ~ que converge uniformemente hacia  ²%³ ~ O%O. Puede aún suceder que  sea derivable pero no sea verdad que  Z ²%³ ~ lim Z ²%³. ¦B

Esto no es en ningún modo sorprendente si tenemos en cuenta que una función suave puede ser aproximada por funciones de oscilación muy rápida.

figura 8

B Por ejemplo (fig.9) si  ²%³ ~  ² %³ entonces ¸ ¹~ converge uniformemente Z  hacia la función  ²%³ ~  , pero  ²%³ ~  ² %³ y lim  ² %³ no existe ¦B

siempre . ²por ejemplo existe si % ~ ³ Fin del tercer bloque

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figura 9

A pesar de estos ejemplos, el teorema fundamental del cálculo garantiza prácticamente que se podrá deducir del teorema 1 algún tipo de teorema acerca de derivadas; la hipótesis crucial es que ¸Z ¹B (hacia alguna función ~ converge uniformemente continua).

Teorema 3. Supongamos que cada una de las funciones de la sucesión ¸ ¹B ~ es

derivable sobre el intervalo ´Á µ y que ¸ ¹B ~ converge puntualmente hacia  . Supóngase además que ¸Z ¹B ~ es una sucesión convergente uniformemente sobre ´Á µ hacia una función continua . Entonces  es derivable y  Z ²%³ ~ lim Z ²%³. ¦B

+ !ó: Si aplicamos el teorema 1 en un intervalo adecuado podemos lograr un buen camino con el fin de tener la veracidad del teorema, con tal fin tomemos un número % tal que   %   y consideremos el intervalo ´Á %µ Á se tiene % ²%³% ~ lim % Z ²%³% ~™ lim ² ²%³ c  ²³³ ¦B

!  "!   á"

¦B

~  ²%³ c  ²³ Como  es continua, se tiene que  Z ²%³ ~ ²%³ ~ lim  ²%³. ¦B

…

Teorema 4. Supongamos que ¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones convergente uniformemente hacia una función  en un conjunto +. Si cada una de las  esta acotada en + entonces existe una constante 4 tal que

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O ²%³O  4 Á D  o y D%  +

²³ y

además se tiene que  es una función acotada en +À Si existe 4 la cual satisfece la condición ²³, se dice que ¸ ¹B ~ es uniformemente acotada en +. + !ó: Dado  €  por la hipótesis existe 5 tal que para todo  ‚ 5 tenemos O ²%³ c  ²%³O   ²D%  +³ o sea O ²%³O  O ²%³O b  ²D%  +³ ²³ En particular se tiene O ²%³ c 5 ²%³O   ¯ O ²%³O  O5 ²%³O b  Sea 4 una cota de 5 en + entonces O ²%³O  4 b  ²D%  +³ o sea que  es acotada en +. De (2) tenemos O ²%³O  4 b  b  ~ 4 b  ²D%  +³ Sea 4 una cota de  ² ~ Á Á Á à Á 5 c ³ en +, sea 4 ~ á%¸4 Á 4 Á à Á 45 c Á 4 b ¹ Se sigue de aquí que 4 es la cota uniforme de todas las funciones  ² ~ Á Á Á à ³ en +À …  Ejemplo: Sea  ²%³ ~ c% c% una familia de funciones definidas en ´Á ³À Para cada  Á  es acotada en ´Á ³ pues    c O ²%³O ~ c%  c% ~  b % b % b % b Ä b %  Además lim  ²%³ ~ c% en ´Á ³Á como la función límite no es acotada en ´Á ³ , ¦B

entonces la convergencia no es uniforme.

Teorema 5. Sean ¸ ¹B ~ y

B ¸ ¹~ dos sucesiones uniformemente

convergentes en un conjunto + , entonces se tiene que la sucesión ¸ b  ¹B ~ es también convergente uniformemente en +À + !ó: Por hipótesis exi ten  y  tales que lim  ~  y lim  ~  ¦B

¦B

uniformemente en +. Entonces dado  €  existe 5 (independiente de %  + ³ tal que D ‚ 5 tenemos O ²%³ c  ²%³O   Á O ²%³ c ²%³O   ²D%  +³ Entonces O¸ ²%³ b  ²%³¹ c ¸ ²%³ b ²%³¹O  O ²%³ c  ²%³O b O²%³ c ²%³O   b  ~  … Para el producto de sucesiones de funciones se tiene el siguiente resultado

Teorema 6. Sean ¸ ¹B ~

B y ¸ ¹~ dos sucesiones de funciones las cuales convergen uniformemente a  y  respectivamente en un conjunto

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B +. Si ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ son sucesiones de funciones acotadas entonces se

tiene que lim  h  ~  h 

¦B

uniformemente en +. + !ó: Por el teorema 4 las sucesiones son uniformemente acotadas así es posible hallar una constante 4 € , para la cual se tenga que O ²%³O  4 Á O ²%³O  4 Á O ²%³O  4 Á O²%³O  4 DÁ D%  + Como  ¦  Á y  ¦  uniformemente sobre +, dado  €  existe 5 tal que si  ‚ 5 tenemos   O ²%³ c  ²%³O  4 Á O ²%³ c ²%³O  4 ²D%  +³ Entonces | ²%³ ²%³ c  ²%³²%³O ~ O ²%³ ²%³ c  ²%³ ²%³ b  ²%³²%³ c  ²%³²%³O  O ²%³² ²%³ c  ²%³³O b O ²%³² ²%³ c ²%³³O    O ²%³OO ²%³ c  ²%³O b O ²%³OO ²%³ c ²%³OO  4 4 b 4 4~ o sea  h  ¦  h  uniformemente sobre +. …

Definición ¢ Al conjunto ¸%  s°O%O  ¹ se le llama conjunto compacto. En general si 2 ‹ s tal que 2 es cerrado y acotado , entonces a 2 se le llama conjunto compacto. Teorema 7. Supongamos que

 ¦  uniformemente sobre + y que

¸ ¹B ~ es

una sucesión de funciones uniformemente acotada por 4 À Si  es una función continua definida en ¸%  s°O%O  4 ¹ entonces se tiene que k ¦ k uniformemente sobre +. + !ó: Como  es uniformemente acotada , entonces  es uniformemente continua, o sea dado  €  existe  tal que O& c 'O   Á O&O  4 Á O'O  4 implica que O²&³ c ²'³O   Para este  ya escogido, existe 5 ²independiente de %  +³ tal que  ‚ 5 implica O ²%³ c  ²%³O   para todo %  + luego O² ²%³³ c ² ²%³³O   D%  + y Dn ‚ 5 ya que O ²%³O  4 y por el teorema 4 O ²%³O  4 , así se tiene que  k ¦  k uniformemente en +. Lo cual se quería demostrar. … Para una sucesión numérica se ha estudiado la condición de Cauchy, en el siguiente resultado se presenta la validez de tal condición para sucesiones de funciones. (Condición de Cauchy) . Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones definidas sobre un conjunto +. Entonces la sucesión ¸ ¹B ~

Teorema 8.

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converge uniformemente en + si y sólo si dado  €  existe 5 , independiente de %  +, tal que  € 5 implica O ²%³ c b ²%³O   ²³ para todo %  +Á y para todo  ~ Á Á Á à + !ó: ) Si  ¦  uniformemente sobre +, dado  €  existe 5 tal que para todo  ‚ 5 tenemos: O ²%³ c  ²%³O   D%  + Como  b  ‚ 5 tenemos también : Ob ²%³ c  ²%³O   D%  + De las dos desigualdades anteriores se recibe Ob ²%³ c  ²%³O  Ob ²%³ c  ²%³O b O ²%³c ²%³O 

 

b

 

~

) Supongamos ahora válida la condición (1). La sucesión numérica ¸ ²%³¹B ~ satisface la condición de Cauchy para cada % fijo, entonces ¸ ¹B ~ converge puntualmente en +Á sea  la función límite. De ²³ tomando límite cuando  ¦ B se tiene : O ²%³ c  ²%³O   D%  + esto es la convergencia  ¦  es uniforme sobre +À … % Ejemplo: Sea  ²%³ ~ %b en ´Á B³ entonces se tiene % ²c³

% %  ²%³ c  ²%³ ~ %b c %b ~ ²%b³²%b³ para  €  tenemos : % ²c³

O ²%³ c  ²%³O ~ ²%b³²%b³ 

% ²c³ %

   ~ c  ~  ² c  )  

Dado  €  si escogemos  €  ²ó 5  ³Á para todo  ‚ 5 y todo  €  se tiene : O ²%³ c  ²%³O    5   % por lo tanto la sucesión ¸ %b ¹B ~ satisface la condición de Cauchy, o sea que la sucesión converge uniformemente. Para facilitar la resolución de algunos ejercicios es necesario el conocimiento del siguiente teorema el cual enunciamos sin demostración.

Teorema 9. (Dini). Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones a valor real continuas en un espacio compacto 4 tal que B  ²%³   ²%³  Ä   ²%³  Ä ²%  4 ³À Si ¸ ¹~ converge puntualmente en 4 a una función continua  , entonces ¸ ¹B converge ~ uniformemente a  en 4 À

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3.2. Ejercicios  1. Sea f ²%³ ~ % ²  %  ³ ¿ Existirá 5  o tal que |f ²%³ c O   ²  5 ³ para todo %  ´Á µ ? % B 2. Sea  ~ b%  ²  %  ³À Probar que ¸ ¹~ converge puntualmente en [0,1]. Si

 ²%³ ~ lim  ²%³ ²  %  ³ Á ¿ existe 5  o tal que si  ‚ 5 Á O ²%³ c  ²%³O   ¦B

para todo %  ´Á µ ? 3. Sea  la función característica del intervalo abierto (0,  ³ ²  %  ³ ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge hacia 0 en ´Á µ ²³ ¿Existe 5  o tal que si  ‚ 5 entonces | ²%³ c O   para todo %  ´Á µ ? ²³ Calcular



lim   ²%³%

¦B

²³ Compare () con (c). (: ( ‰ sÁ ! (   función característica  ( &  !á    í ¢  %( ( ~ F  %¤( ³ 4. Para   o sea  ²%³ ~ %² c % ³ ²  %  ³ ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge a 0 en ´Á µ   ²³ Probar que ¸  ²%³%¹B ~ converge a  ²³ Compare ²³ con ²³À % 5. Sea  ²%³ ~ % c  ²  %  B³À ²³ Pruebe que ¸ ¹B ~ converge a 0 en [0,B).  ²³ ¿ Existirá 5  o tal que si  ‚ 5 Á entonces O ²%³ c 0O   , para todo %  ´Á B³ ?  ²³ Si A € Á ¿ existirá 5 tal que  ‚ 5 Á entonces O ²%³ c O   Á se tenga para todo %  ´Á (³ ? B 6. Si ¸ ¹B ¸ ¹~ son uniformemente convergentes en A, pruebe que ~ y B ¸ b  ¹~ converge uniformemente en A. 7. Sea  ²%³ ~  c% ²  %  B³À Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente a 0 en ´Á B³À À Sea  una función a valor real uniformemente continua en ² c BÁ B³ y para cada   o sea  ²%³ ~  ²% b  ³ ² c B  %  B³ Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente en ² c BÁ B³ a  À % 9. Sea  ²%³ ~ b% ²  %  ³   ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente en ´Á  µ ²³ ¿ Convergerá ¸ ¹B ~ uniformemente en ´Á µ ? % c % 10. Sea  ²%³ ~   ²  %  B³ ²³ ¿ Convergerá ¸ ¹B ~ uniformemente a 0 en ´Á B³ ?

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67

²³ ¿ Convergerá ¸ ¹B ~ uniformemente a 0 en ´Á µ ? B 11. Sea ¸ ¹~ una sucesión de funciones a valor real la cual converge en el intervalo cerrado y acotado ´Á µ. Para cada   o sea % - ²%³ ~   ²!³! ²  %  ³ Probar que ¸F ¹B ~ converge uniformemente en ´Á µ.  12. Sea  ²%³ ~ % ²  %  ³ ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente a 0 en [0,1] Z B ²³ ¿Convergerá ¸ ¹~ a cero en [0,1] ? 13. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones continuas en [0,1] la cual converge uniformemente. ²³ Probar que existe 4 €  tal que O ²%³O  4 ²   o   %  ³ ²³ ¿Será el resultado de la parte ²³ verdadero si la convergencia uniforme es reemplazada por convergencia puntual ? 14. Examinemos  ²%³ ~ lim  ²%³ para   %  BÁ donde ¦B

  ²%³ ~ b%  B probar que ¸ ¹~ no converge uniformemente en ´Á B³À 15. Sea  una función continua en un intervalo cerrado y acotado ´Á µ. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones la cual converge uniformente en ´Á µ a  . Probar que 



lim  ² ³²%³% ~  ² ³²%³%

¦B

16. Sea  ²%³ ~ %² c % ³ ²   %  ³À Use el resultado del ejercicio 4Á para probar que ¸ ¹B ~ no converge uniformemente en [0,1], sin embargo converge puntualmente. 17. Sea  ²%³ ~ % ²  %  ³À Demostrar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente Z B a 0 en [0,1], pero que ¸ ¹~ no converge puntualmente a 0 en [0,1]. Z 18. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones en [Á µ tal que  ²%³ existe para cada %  [a,b] ²  o y ²³ ¸ ²% ³¹B ~ converge para algún %  ´Á µ Z B ²³ ¸ ²%³¹~ converge uniformemente en ´Á µ Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente en ´Á µ. 19. Sea  ²%³ ~ %² b  ³Á %  s ~ ² c BÁ B³  ²%³ ~ H

 

b

 % ~  Á óÁ %    

 %  r ²% ~   € ³

B ²³ Demostrar que ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ convergen uniformemente en cualquier intervalo acotado. ²³ Demostrar que ¸ h  ¹B ~ no converge uniformente en ningún intervalo. B 20. Sea ¸ ¹~ una sucesión de funciones monótonas que tienden a una función  puntualmente en [Á ] , demostrar que  S  uniformemente en [Á µÀ 21. Sea ¸ ¹B demostrar que ² ³% S  % ~ una sucesión convergente a  € Á uniformemente en ´ c 4 À4 µÀ

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68

À Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones monótonas que tiende a  uniformemente en ´Á µ, demostrar que  es monótona. 23. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones continuas en + . Si  S  uniformemente en + , demostrar que lim  ²% ³ ~  ²%³ donde % S % ²SB³Á % Á %  +À ¦B

% 24. Consideremos  ~ b%  si %  sÁ  ~ Á Á Á à Encontrar la función límite  B B de la sucesión ¸ ¹~ la función límite de la sucesión ¸Z ¹~ ²³ Demostrar que  Z ²%³ existe para todo % pero  Z ²³ £ ²³À ¿ Para qué valores de % es  Z ²%³ ~ ²%³ ? ²³ ¿ En qué subintervalo de s,  —  uniformemente ? ²³ ¿ En qué subintervalo de s, Z —  uniformemente ?   25. Sea  ²%³ ~ ²  ³c % si %  sÁ  ~ Á Á Á à Demostrar que  —  Z uniformemente en s, que  —  puntualmente en s, pero que la convergencia de ¸Z ¹B ~ no es uniforme en cualquier intervalo que contenga al origen. 26. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones reales continuas definidas en [0,1] y supongamos que  —  uniformemente en [0,1]. Demostrar si es ó no cierta la igualdad: c 

lim 

¦B



 ²%³% ~   ²%³%À

. Consideremos  ~ b % si   %  Á  ~ Á Á Á à . Demostrar que ¸ ¹B ~ converge puntualmente pero no uniformemente en [0,1]. ¿ Es posible integrar término a término ?  28. ²³ Consideremos que  ²%³ ~ %b Á si   %  Á  ~ Á Á Á à demostrar que ¸ ¹B ~ converge puntualmente pero no uniformemente en (0,1). % ²³ Consideremos  ~ %b si   %  Á  ~ Á Á Á à À Demostrar que  —  uniformemente en (0,1).

§4. CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES DE SUCESIONES DE FUNCIONES Justo como en la convergencia de series de números, una serie de funciones es definida por medio de la convergencia de una sucesión de sumas parciales, la convergencia de series de funciones es también definida en términos de una sucesión de sumas parciales de funciones.

Definición: Sea  Á  Á Ã una familia de funciones a valor real definidas B

todas sobre un conjunto , . Decimos que   converge a la función  en , si las sucesiones de funciones ¸

~ B  ¹~ converge

a  en , , donde

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69

~  b  b Ä b  À En este caso escribimos

B

B

~

~

  ~  Á óÁ   ²%³ ~  ²%³

²D%  ,³. B

Por ejemplo, si  ²%³ ~ % para c   %  Á entonces   converge  en ² c Á ³ ~

% donde  ²%³ ~ c% ² c   %  ³À Así tenemos B

B

  ²%³ ~  % ~ % ~  ²%³ ² c   %  ³ c% ~ ~ En seguida definimos convergencia uniforme de serie de funciones.

Definición : Si ¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones definida sobre un B

conjunto ,Á decimos que   converge uniformemente a  sobre , si ~

la sucesión de funciones de sumas parciales ¸  ¹B converge ~ uniformemente hacia  donde este caso  ~  b  b Ä b  À En escribimos

B

  ~ 

B

uniformemente ó   ²%³ ~  ²%³ uniformemente

~

~

²%  ,³.

Teorema 1. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones a valor real definidas B

sobre un conjunto , . Si   converge uniformemente hacia  en , y si ~

cada una de las funciones  es continua en el punto   , , entonces  es también confinua en . + !ó: La sucesión de funciones ¸  ¹B ~ converge uniformemente hacia  en , , donde  ~  b  b Ä b  À Ahora cada una de las  es continua en À Entonces como la suma de funciones continuas es continua se sigue que  es continua en . Así por el teorema 2 de §3 se sigue que  es continua en Á lo cual es lo que deseábamos probar. … Corolario: Si ¸ ¹B ~ es una sucesión de funciones a valor real continuas en , , y si

B

  converge uniformemente hacia  en , , entonces  es ~

continua en ,À B

Ejemplo: La serie  %² c %³ converge en [0,1] hacia la función  donde  ²³ ~  y ~

 ²³ ~  (0  x  1). Pero si   %  Á entonces B

B

~

~

  %² c %³ ~ % ² c %³ ~ %´ c²c%³ µ ~ À

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70

Ahora, si  ²%³ ~ %² c %³ ²  %  ³Á entonces  es continua en [0,1] y B

B

~

~

  ~  À Puesto que  no es continua en [0,1] el corolario implica que   no converge uniformemente en [0,1]À Aquí es famoso el criterio para la convergencia uniforme llamado «criterio 4 de Weierstrass » B

Teorema 2. (4 ³: Sea   una serie de funciones a valor real sobre un ~

conjunto , . Si

existen números positivos 4 Á 4 Á Ã con

convergente tal que

B

B

~

~

B

 4 ~

  ‡  4 ²D%  ,³ ²Esto es, existe 5  o tal

que para cada  ‚ 5 tenemos

O ²%³O  4 para todo

%  ,³ entonces

B

  converge uniformemente en ,À ~

B

+ !ó ¢ Sean

 B

O

 ²%³

c

 ²%³O

B

~   Á ! ~  4 À Entonces, para  €  ‚ 5 ~

~ O  ²%³O  ~b B

B

~

 O ²%³O  ~b

B

 4 ~ ! c !

²³

~b

para todo %  , . Puesto que  4 es convergente, ¸! ¹B ~ es una sucesión convergente ~

y por lo tanto es una sucesión de Cauchy. Así dado  € , existe 5 ‚ 5 tal que O! c ! O   ²Á  ‚ 5 ³. Pero entonces (1) implica O  ²%³ c  ²%³O   ²Á  ‚ 5  %  ,³. Se sigue que ¸  ²%³¹B ~ es una sucesión de Cauchy y por lo tanto converge B

uniformemente (veáse el teorema 8 del §3). Esto indica que

  converge ~

uniformemente en , y la demostración es ahora completa. … B B B Ejemplo: Para todo % la serie  % ‡   y   es convergente. Por lo B

~

~

~

tanto por el teorema (M)  % converge uniformemente en

c B  %  BÀ Del

~

B corolario se sigue que la suma de  % es una función continua en ² c BÁ B³À ~

Enfatizamos que en el criterio 4 de Weierstrass los números 4 deben ser independientes de %À El criterio 4 nos facilita probar un importante resultado en series de potencias.

Teorema 3 . Sea ¸ ¹B ~ Á una sucesión de números reales. Entonces

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71

B

 lim " j O O ~ Á la serie   % converge absolutamente para

²³ Si

¦B

~

todo %  s. B

 lim " j O O ~ 3 € Á entonces   % converge absolutamente

²³ Si

¦B

~

para todo % tal que O%O 

 3

y diverge para O%O € B

 3

 ²³ Si lim "j O O ~ BÁ entonces   % converge absolutamente para

¦B

~

% ~  y diverge para cualquier otro valor de %À   j O % O ~ O%Oj O O À para cualquier %Á

D !ó ¢ Usando el teorema 13 del §2 tenemos Así

 lim "j O O ~ 

si

¦B

entonces

B

 lim "j O % O ~ O%O h 0 ~    luego tenemos la convergencia de   % sugún

¦B

().

Ahora

si

 lim "j O O ~ 3 € 

¦B

~

entonces

 lim "j O % O ~ O%O h 3   ¯ O%O  3 Á y tenemos la convergencia según se afirma

¦B

en ²³. La parte ²³ se obtiene en forma análoga. … B Corolario: Si la serie de potencias   % converge para % ~ % , entonces ~

es absolutamente convergente para todo % tal que O%O  O% O. + !ó ¢ Por los criterios de convergencia dominada se tiene que B O % O  O % OÁ luego la convergencia absoluta de   % implica la convergencia ~

B

absoluta de   % (vea teorema 9 del §2). ~

…

B

Teorema 4. Si la serie de potencias   % converge para % ~ % ²donde B

% £ ³ entonces la serie   %

~

converge uniformemente en ´ c % Á % µ

~

donde % es cualquier número tal que   %  O% OÀ B

+ !ó ¢ Por el corolario anterior, si la serie   % converge para ~

B

% ~ % Á entonces   % converge absolutamente para cualquier x tal que O%O  O% OÁ ~

B

en particular, si   %  O% O entonces   % es absolutamente convergente. Esto B

es,  | |%  BÀ Pero ~

B

~ B

~

~

  % ‡  | |% ²O%O  % ³À Por el criterio 4 de

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72

B

  % converge uniformemente para

Weierstrass (con 4 ~ O O% ³Á la serie

~

O%O  % Á lo cual es lo que deseábamos mostrar. … B  Ejemplo: La serie  % converge ( a e% ³ para todo real %À Estas series no convergen ~

[

uniformemente en ² c BÁ B³ (Verificarlo!). Pero el teorema 4, sin embargo, nos afirma B

 que para 9 € , la serie  %[ converge uniformemente en ´ c 9Á 9µÀ

~

B

Torema 5. (Dini) Sea   una serie de funciones contínuas a valor real ~1

positivo en el espacio, ´ c 4 Á 4 µ ~ 2À

Si

B

  converge en 2 a una ~

B

función continua  Á entonces   converge uniformemente en 2À ~

+ !ó ¢ Para   o sea

 ~  b  b Ä b  À Puesto que cada  ²%³ ‚  para todo %  2Á tenemos  ²%³   ²%³  Ä   ²%³  IJpara cada %  2³. Puesto que  ²%³ es acotado y dado que  es continua en 2 , que es compacto, entonces  es acotada.. Entonces se sigue que lim  ²%³ existe; así tenemos ¦B

que lim

¦B

 ²%³

~  ²%³ ²%  2³ . Se puede ahora aplicar el teorema M para concluir que B

  converge la sucesión ¸  ¹B ~ converge uniformemente hacia  en K. Por lo tanto ~1

uniformemente hacia  en 2À Esto completa la demostración. …

4.2. Integración y diferenciación de series de funciones  Denotaremos con H[a,b] ~ ¸ :´Á µ ¦ s°  ²%³% existe ¹. B

Teorema 5. Sea   una serie de funciones de H[a,b] la cual converge ~1

uniformemente hacia  en ´Á µÀ Entonces   H´Á µ y B

  ²%³% ~    ²%³% Á ¯ Á ~

B

B

~

~

   ²%³% ~    ²%³%

~  b  b Ä b  À Entonces   H´Á µ y ¸  ¹B ~ converge uniformemente hacia  en ´Á µÀ Por el teorema 1 del §3 se tiene   lim   ²%³% ~   ²%³% Á entonces   H´Á µ

+ !ó ¢ Sea



¦B

²³ pero por la linealidad de la integral



  ²%³% ~  ´ ²%³ b  ²%³ b Ä b  ²%³µ% ~    ²%³% ~

Por lo tanto 

lim 

¦B



B

   ²%³% ~ lim    ²%³% ~    ²%³% %¦B ~

~

²³

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73

El teorema se sigue de (1) y (2). … Este teorema dice que una serie uniformemente convergente puede ser integrada término por término. Esto es, si  b   b Ä b   b Ä ²³ converge uniformemente en ´Á µ, entonces la integral sobre ´Á µ en (3) es igual a

  ²%³% b   ²%³% b Ä b   ²%³% b Ä Ejemplo. Tenemos   c % b % c % b Ä ~ b% convergiendo en c   %  À Si O&O  , entonces la convergencia es uniforme en ´Á &µ ²ó en ´&Á µ si &  ³. Por el teorema anterior podemos integrar de 0 a & término a término para obtener & % c & %% b & % % c Ä ~ &  % b% Así &

&

& c  b  c Ä ~ ² b &³ ²O&O  ³À

Teorema 6. Si  Á  Á ÄÁ  Á Ä son funciones cada uno de las cuales tiene derivada en cada punto de ´Á µÁ si B

Z es continua en ´Á µ para B

 ~ Á Á Á Ã si   converge hacia  en ´Á µ y si  Z ~

converge

~

uniformemente, entonces B

 Z ²%³ ~  Z ²%³

²  %  ³

~

+ !ó: Sea  en ´Á µ. Puesto que

 Z 

~  b  b Ä b  À Entonces ¸  ¹B ~ converge hacia Z Z Z ~  b  b Ä b  Á la sucesión ¸ Z ¹B ~ converge B

uniformemente hacia  en ´Á µ donde  ~  Z ²%³ À Así  Z ²%³ ~ ²%³ ²  %  ³ lo ~

cual deseabamos mostrar. (vea teorema 3 del §3) … Así, bajo las condiciones del teorema anterior, la derivada de  b   b Ä b   b Ä es Z b Z b Ä b Z b Ä Ejemplo: Sabemos que   b % b % b % b Ä b % b Ä ~ c% ²³ es una serie convergente para O%O  . Por el teorema 6 si   %   Á podemos derivar término a término para obtener   b % b % b Ä b %c b Ä ~ ²c%³ ²³  ² c   %  ³ probemos que la serie en (2) converge uniformemente en [ c Á µ . Pero por el criterio de la razón podemos mostrar que la serie (2) converge para c   %  À Por lo tanto por el teorema 4 la serie (2) converge uniformemente en ´ c Á µ así que nuestra derivada

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74

término a término de (1) es justificada. Note que, puesto que  será cualquier número entre 0 y 1, se sigue que   b % b % b Ä b %c b Ä ~ ²c%³  para todo % tal que O%O   este último ejemplo ilustra el siguiente teorema general en series de potencias. B Teorema 7. Si   % converge en ² c Á ³ para algún € Á y si ~

B

 ²%³ ~   %

²c % ³

²³

~

entonces  Z ²%³ existe para c  % 

y

B

 Z ²%³ ~   %c

²c % ³

²³

~

+ !ó ¢ Por el criterio de la raíz la serie (1) diverge para O%O € 3 donde  3 ~ lim "j O O ²ó será divergente para todo real % si 3 ~ B³. Por lo tanto, si

¦B

3 € Á

 3 À Por el criterio de la raíz aplicado a B

  %c

²³

~

demuestra que (3) será convergente para O%O  3 si 3 € , y para todo % si 3 ~ . Por lo tanto (3) converge para O%O  À Por el teorema 4, (3) convergerá uniformemente en ´c; Á ; µ donde ; es cualquier número positivo menor que . Así la derivación término por término es ahora justificada para O%O  ; À Obteniendose que B

 Z ²%³ ~   %c

² c ;  %  ; ³À

²4³

~

La conclusión de (2) se sigue por tanto de (4) siempre y cuando ; sea menor que À … Aplicando el teorema 7 a  Z se obtiene B  ZZ ²%³ ~  ² c ³ %c ² c  %  ³À ~

Y procediendo en esta forma podemos aplicar recurrentemente el teorema 7 para obtener B  ²³ ²%³ ~  ² c ³² c ³Ä² c  b ³ %c ~

Si calculamos en particular cuando % ~  de está última expresión se obtiene  ²³ ²³ ~ [ . Así obtenemos el siguiente corolario. B Corolario: Si  ²%³ ~   % ² c  %  ³ se tiene, para algún ~

entonces para cada   o existe  ²³ ²%³ para c  %  B

y

 ²³ ²%³ ~  ² c ³² c ³Ä² c  b ³ %c ~

Además  ~

 ²³ ²³ [

²  o³

€

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75

B

Esto es, si  ²%³ ~   % ² c  %  ³Á entonces ~

B

  % es conocida como la ~

serie de Maclaurin para  . B Dadas dos sucesiones de funciones ¸ ¹B ~ y ¸ ¹~ definidas en un conjunto + , sea 

s ²%³ ~   ²%³ ~  ²%³ b  ²%³ b Ä b  ²%³ ~

entonces b

b

~b

~b

  ²%³g ²%³ ~  ¸  ²%³ c b

~ 

b

 ²%³ ²%³ c 

~b b

~ 

c ²%³¹ ²%³

c ²%³ ²%³

~b bc

 ²%³ ²%³

c

~b

 ²%³b ²%³

~

b

~

 ²%³¸ ²%³

c b ²%³¹ b

b ²%³bb ²%³

c

 ²%³b ²%³

²³

~b

Teorema 8 (Criterio de Dirichlet). Si ¸  ¹B ~ es uniformemente acotada en + y ¸ ²%³¹B ~ es una sucesión decreciente que tiende a cero uniformemente en + , entonces la serie B

  ²%³ ²%³ ~

converge uniformemente en +À 

  ²%³¹B + !ó ¢ Sea 4 la cota uniforme de ¸  ¹B ~ ~ ¸ ~ en +Á ~

como  ˜˜˜˜˜˜˜— ¦B  uniformemente en + , dado  € Á existe 5  o tal que para todo  ‚ 5 tenemos  | ²%³ O  4 para todo %  +À De la fórmula (1) obtenida arriba se tiene que b

b

~b

~b

O   ²%³g ²%³O   O  ²%³¸ ²%³ c b ²%³¹O b O b

b ²%³bb ²%³O

b O  ²%³b ²%³ O

~  O  ²%³O¸ ²%³ c b ²%³¹O b O

b ²%³OObb ²%³O

b O  ²%³OOb²%³O

~b b



b

 4 ¸  ²%³ c b ²%³¹ b 4 Obb ²%³O b 4 Ob ²%³O

~b

~ 4 ´b ²%³ c bb ²%³µ b 4 Obb ²%³O b 4 Ob ²%³O  4 Ob ²%³O b 4 Obb ²%³O b 4 Obb ²%³O b 4 Ob ²%³O    ~ 4 ´Ob ²%³O b Obb ²%³Oµ  4 ² 4 b 4 ³ ~ 4 h 4 ~ Por el criterio de Cauchy se sigue el resultado. …

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76

Teorema 9. (Criterio de Abel).Sea ¸ ²%³¹B ~ una sucesión decreciente de ¸ ²%³¹B ~ es

funciones a valor real definidas en un conjunto + . Si B

uniformemente acotada y si   ²%³ converge uniformemente en + ~

entonces la serie B

  ²%³ ²%³ ~

converge uniformemente en +À B

  ²%³ converge + !ó ¢ Sea 4 una cota uniforme de ¸ ¹B ~ Á como ~

uniformemente entonces



s ²%³ ~   ²%³ — ²%³ uniformemente en +Á ~

o sea dado  € Á existe N  o tal que para todo  ‚ 5 tenemos  |s ²%³ c ²%³O  4 De (1) tenemos b

b

~b

~b

|  ²%³g ²%³| ~ | ~ ´

 ²%³¸ ²%³

c b ²%³¹ b

b ²%³bb ²%³

b

b

~b

~b

²³

c

 ²%³b ²%³ |

O  ´  ²%³ c ²%³µ¸ ²%³ c b ²%³¹ b ²%³ ¸ ²%³ c b ²%³¹ b

b ²%³ c ²%³µbb ²%³ c ´  ²%³ c ²%³µb ²%³ b ²%³´bb ²%³ c b ²%³µO b



 O  ²%³ c ²%³OO ²%³ c b ²%³O b O

b ²%³

c ²%³OObb²%³O b

~b b

b O  ²%³ c ²%³OOb ²%³O b O ²%³<  ¸ ²%³ c b ²%³¹ b bb²%³ c b²%³=O ~b

  4

b

 ¸ ²%³ c b ²%³¹ b

~b

 4 Obb ²%³O

 b 4 Ob ²%³O b

O ²%³¸b ²%³ c bb ²%³¹ b bb ²%³ c b ²%³O    ~ 4 ²b ²%³ c bb ²%³³ b 4 Obb ²%³O b 4 Ob ²%³O     4 4 b 4 4 b 4 4~

 

b

 

~ À

Por el criterio de Cauchy se sigue la afirmación deseada. … EjemploÀ Supongamos que b ²%³   ²%³ D%  +Á D ~ Á Á Á à si  —  B

cuando  ¦ B uniformemente en +Á demostremos que  ² c ³c  ²%³ converge ~

uniformemente en +À

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77

 si  es impar 0   es par aplicando el criterio de Dirichlet la serie converge uniformemente en +À

En efecto tomemos  ²%³ ~ ² c ³c Á entonces



~F

B

Ejemplo 2. Sea   una serie convergente, entonces tenemos que la serie B

~

  % ~  ²%³ converge uniformemente en ´Á µÀ 

~

Esto es debido a que si tomamos %  ´Á µ entonces %b  %   así estamos en la B

hipótesis del critero de Abel y nos garantiza que   % converge uniformemente en ~

B

[0,1]. Nótese que  ²%³ ~   % es continua en [0,1], luego 

~

B

B

 ²³ ~   ~ limc   % . %¦ ~

~

4.3. Ejercicios 1. Demostrar que cada una de las siguientes series convergen uniformemente en el intervalo indicado: B B ()     ²  %  B ³²³  c% % ²  %  ³ ~ B

( )

 b%

 % ~   B

~

para todo %  s 

% À ¿Será la serie  ²b%  ³ uniformemente convergente en ² c BÁ B³ ? ~

B

B

3. Si  O O es convergente, pruebe que   % converge uniformemente para ~

~

0  x  1.

B

B

~

~

4. Si la serie   converge y  ²%³ ~   % continua en ( c ,³.

B

² c   %  ³ Á pruebe que  es



5. Demostrar que la serie  %  b% es uniformemente convergente en ´Á (µ para algún ~ B

( € . Pruebe que ¸ ¹B ~

B



  lim ² %  b% ³ ~  b

%¦ ~

~

6. Sea una sucesión de funciones en s tal que O: ²%³O  4 ²  o %  s³ donde : ~  b  b Ä b  À Sea ¸ ¹B ~ una sucesión decreciente de números B

reales positivos la cual es convergente hacia cero. Pruebe que

   converge ~

uniformemente en s.

B

7. Usando el ejercicio 6 demuestre que  ~

algún  € À B

À Si  O O  BÁ probar que ~

 % converge uniformemente en ´ Á  µ para 

B B   ²  % ³ ~   

~

~

b

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

9. Usando el teorema 7 deduzca la igualdad   cos x = 1 c %[ b %[ c Ä Análogamente deduzca la igualdad  sen x ~ % c %[ b % [ c Ä 10. Halle la suma  ²%³ de la serie %



78

² c B  %  B³ ² c B  %  B³



 b %[ b [ b Ä b %[ b Ä ² c B  %  B³ Demuestre además que  Z ²%³ ~ % ²%³À B

11. Demostrar que la serie  % ² c %³ converge absolutamente en ´Á µ pero no ~

B

uniformemente, mientras que la serie  ² c ³ % ² c %³ converge uniformemente en ~

´Á µÀ

B



12. Demostrar que  ² c ³ % b converge uniformemente en cualquier intervalo  ~

acotado, pero no converge absolutamente para ningún valor de %À 13. Sea  ²%³ ~ % Á  ~ Á Á Á Ã B

²³ Demostrar que la serie   ²%³ converge para todo %. ~

B

²³ Demostrar que la serie   ²%³ converge uniformemente en cualquier intervalo ~

cerrado que no contenga a los puntos Á f Á f Á Ã B

²³ Demostrar que la serie   ²%³ no converge uniformente en (0,]. ~ B

²#³ Demostrar que la serie  Z ²%³ nunca converge. 14. Sea  ²%³ ~ 

 

~

 %



demostrar que lim   ²%³% ~ . ¦B

15. Sea ¸ ¹B una sucesión de funciones integrables en ´Á µ , si  converge ~ % % uniformemente hacia  , demostrar que   ²!³! —   ²!³! uniformemente en %  ´Á µ. B

16. ²³ Demostrar que  ² c ³ % converge uniformemente en ´ c Á µÁ donde ~

    À

B



²³ Demostrar que ² b %³ ~  ² c ³c %

si O%O  À

~

À Sea  ²%³ ~ b % Á demostrar que ¸ ²%³¹B ~ converge puntualmente en ´Á µ pero no uniformemente ¿ Es posible integrar término por término esta sucesión ? B 18. Demostrar que   %  converge uniformemente en todo intervalo finito de s si €

 

~

 ²b% ³

¿ La convergencia es uniforme en s ? B



% 19. Demostrar que la serie  ² ²c³ j ³  ² b ²  ³³ converge uniformemente en s ~

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

B

b

79

b

% % 20 Demostrar que la serie  ² b c b ³ converge puntualmente pero no ~

uniformemente en ´Á µÀ B

B

~

~

21. Demostrar que    % y    % son uniformemente convergentes en s B

si  O O es convergente. ~

22. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión decreciente de términos positivos. Demostrar que la serie B

   % converge uniformemente en s si ~

lim  ~  y recíprocamente.

¦B

B

B

23. Dada la serie convergente   À Demostrar que la serie de Dirichlet   c ~

~

converge uniformemente en el semi-intervalo infinito   B

B

 b BÀ Utilizando este

resultado probar que limb   c ~   À ¦ ~

~

B

24.Demostrar que la serie (s) ~  c converge uniformemente en todo semi-intervalo ~

infinito  b  

B

 

 b BÁ siendo  € À Demostrar que la igualdad Z (s) ~ c   ~

es válida para cada

²³ ² ³À

€  y obtener una fórmula parecida para la derivada de orden  B

 25. Considere  ²%³ ~  b % ~

²³ ¿Para que valores de % ésta serie converge absolutamente? ²³ ¿En qué intervalo ésta serie converge uniformemente ? ²³ ¿En qué intervalo falla la convergencia uniforme ? ²#³ ¿Es  continua donde quiera que la serie converge ? ²#³ ¿Es  acotada ? B



% 26. Demostrar que las serie  b%  converge uniformemente y absolutamente para ~

  O%O  *Á donde * es cualquier número tal que convergencia no es uniforme en   %  À

  *  À + emostrar que la

B

 À Demostrar que la serie   c%  converge absolutamente y uniformemente en ~

cualquier intervalo cerrado el cual no contiene números enteros. |  %  b   28. Sea  ²%³ ~ }  % b  %     ~   % ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge a una función continua, pero no uniformemente. B

²³ Considere la serie   ²%³ y demuestre que la serie converge absolutamente para ~

cada valor de %, pero no uniformemente

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

80

Fin del cuarto bloque

§5À SERIES DE POTENCIAS B

Si %Á % y  ² ~ Á Á Á Á Ã ³ son números reales, a la serie

  ²%c% ³ se le ~

llama serie de potencias de ²%c% ³À Las constantes  Á  Á  Á à Á  Á à son llamadas coeficientes. El conjunto B ¸%  s°   ²%c% ³ es convergente ¹ ~

como lo hemos establecido en el teorema 4 del §4, es un intervalo llamado « intervalo de convergencia ». B B  % Por ejemplo las series  ²[³ y  %b tienen a ² c BÁ B³ y ² c Á ³ como  ~

~

intervalos de convergencia respectivamente. En s los intervalos de la forma ²% c Á % b ³ ~ 5 ²% ³ Á siendo  € Á son llamados «entornos » de % À Supongamos dada una función real  definida en algún entorno de %  s ~ , Á y supongamos que  admite derivadas de cualquier orden en este entorno. Podemos entonces con seguridad formar la serie de potencias B ²³   ²% ³ ²%c% ³ ~

[

Nos preguntamos ¿converge esta serie para algún % además de % ~ % ? . Si es así ¿ su suma es igual a  ²%³ ? En general la respuesta a ambas preguntas es « no ». Una condición necesaria y suficiente para contestar afirmativamente ambas preguntas la encontramos en la fórmula de Taylor.

5.1. Fórmula de Taylor con resto b

El teorema de valor medio ha sido interpretado geométricamente, pero existe otro aspecto del teorema que también

nos b b ____b_____________  % %

ayuda a comprender su significado. Si  es continua en ´Á µ y tiene derivada en cada punto de ²Á ³Á dado %  ²Á µ podemos escribir  ²%³ ~  ²³ b  Z ²% ³²% c ³ donde   %  % Esta igualdad dice que la cantidad  Z ²% ³²% c ³ mide el E%  ²Á %³ ! " ²³ error cometido cuando  ²%³ es aproximado a  ²³À  Z ²% ³ ~  ²%³c %c Desgraciadamente, el teorema del valor medio no nos indica como puede calcularse % : dice simplemente que   %  %À

Darío Sánchez

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81

 ²%³c ²³

Si % no está muy alejado de , será aproximadamente  Z ²³À Esto es,  Z ²% ³ %c será aproximadamente igual a  Z ²³ y por consiguiente la igualdad  ²%³ ~  ²³ b  Z ²³²% c ³ debe ser aproximadamente correcta cuando % c  es pequeña. Esto significa que  es aproximadamente una función lineal en las proximidades de . El teorema de Taylor nos dice, con generalidad, que  puede aproximarse mediante un polinomio de grado  c  si  ²³ existe en ²Á ³À La importancia de este teorema radica en el hecho de que nos proporciona una expresión útil del error cometido por esa aproximación.

Teorema 1. (Taylor) Sea  una función que tiene derivada -ésima finita  ²³ en todo intervalo ²Á ³ y supongamos que  ²c³ es continua en el

intervalo cerrado ´Á µ. Consideremos un punto %  ´Á µÀ Entonces para todo % de ´Á µ, % £ % Á existe %  ²%Á % ³ tal que c

 ²%³ ~  ²% ³ b   ~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³  b

 ²³ ²% ³ [ ²%

c % ³

La demostración de este teorema se deduce de otro más general que daremos a continuación y el cual es una generalización del teorema del valor medio, y el cual recordaremos a continuación.

Teorema 2. (del valor medio). Sean  y  funciones continuas en el intervalo cerrado ´Á µ con ²³ £ ²³À Si ambas funciones  y  son funciones derivables en cualquier punto del intervalo abierto ²Á ³Á  Z ²!³ y Z ²!³ no son ambas iguales a cero para cada !  ²Á ³Á entonces existe   ²Á ³ tal que  Z ²³  ²³c ²³ Z ²³ ~ ²³c²³

Teorema 3. Sean  y  dos funciones que poseen derivadas -ésimas  ²³ y ²³ en el intervalo ²Á ³ y las derivadas de orden  c  son continuas en el intervalo cerrado ´Á µ. Entonces, para todo % de ´Á µ, % £ % Á existe % interior al intervalo que une % con % tal que c

´ ²%³ c   ~

²³

²% ³ [ ²%

c

c % ³ µ²³ ²% ³ ~  ²³ ²% ³´²%³ c   ~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ µ

NotaÀ En el caso especial en el cual ²³ ²%³ ~ ²% c % ³ Á tenemos ²³ ²% ³ ~  para 0     c  y ²³ ²%³ ~ [À Est teorema 3 se reduce al teorema 1, ya que c

´ ²%³ c   ~

²³

²% ³ [ ²%

c

c % ³ µ[ ~  ²³ ²% ³´ ²% c % ³ c   µ ~

Darío Sánchez

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82

+ !ó ¢ Para simplificar, supongamos que %   y que % € % À Mantenemos fijo % y definamos dos nuevas funciones - y . de la siguiente forma: c

- ²%³ ~  ²!³ c   .²%³ ~ ²!³

²³

²!³ [ ²%

~ c ²³ c   ²!³ ²% ~

c !³

c !³

para cada ! en ´% Á %µÀ Estas funciones - y . son continuas en el intervalo cerrado ´% Á %µ y tiene derivadas finitas en el intervalo abierto ²Á %³À Por lo tanto, podemos aplicar el teorema del valor medio y escribir - Z ²% ³´.²%³ c .²% ³µ ~ . Z ²% ³´- ²%³ c - ²% ³µ donde %  ²%Á %³ Esta igualdad se transforma en la siguiente: - Z ²% ³´²%³ c .²% ³µ ~ . Z ²% ³´ ²%³ c - ²% ³µ ²³ ya que .²%³ ~ ²%³ y - ²%³ ~  ²%³À Si ahora calculamos la derivada de - ²!³ tenemos c

- Z ²!³ ~  Z ²!³ b  ´  ~ c

²b³

²!³

[

²% c !³ c

²³

 ²³ ²!³ ²c³[ ²%

 ²!³ ~  Z ²!³ c  ´ ²c³[ ²% c !³c c Z

~  ²!³

~ Z c  [²!³ ²%

c !³ b

c !³c µ

 ²b³ ²!³ ²% [

 ²³ ²!³ ²c³[ ²%

c !³ µ

c !³c

resultando que ²%c!³c

- Z ²!³ ~ ²c³[  ²³ ²!³ Análogamente, obtenemos ²%c!³c

.Z ²!³ ~ ²c³[ ²³ ²!³ Si suponemos ! ~ % y sustituimos en (1), deducimos c ²³ ²%c% ³c ²³   ²% ³ ²% c % ³ µ ,  ²% ³´²%³ c ²% ³ c   ²c³[ [

~

~

~

c ²³ ²%c% ³c ²³   ²% ³ ²% c % ³ µ ,  ²% ³´ ²%³ c  ²% ³ c   ²c³[ [ ~

De donde se recibe c ²³  ²% ³

 ²³ ²% ³´²%³ c 

~0

[

c ²³  ²% ³

²% c % ³ µ ~ ²³ ²% ³´ ²%³ c 

~0

[

²% c % ³ µ

…

Definición. Sea  una función real definida en un intervalo 0 de s ~ , À Si  admite derivadas de cualquier orden en cada punto de 0 , escribimos   * B en 0À ²Á  es de clase * B ³. B

Si   * B en algún entorno de un punto % Á la serie de potencias   ~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ es

llamada serie de Taylor engendrada por  en un entorno de % À Para indicar que  genera la serie, escribimos B ²³  ²%³ —   ²% ³ ²% c % ³ . ~

[

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83

La pregunta que aquí nos hacemos es : ¿Cuándo podemos reemplazar el símbolo — por el símbolo = ?. La fórmula de Taylor establece que   * B en un intervalo cerrado ´Á µ y si %  ²Á ³ entonces para todo %  ´Á µ y para todo , tenemos c

 ²%³ ~  

²³

~

²% ³ [ ²%

c % ³  b

 ²³ ²% ³ [ ²%

c % ³ 

donde % es algún punto comprendido entre % y % . El punto % depende de %Á % y . Luego una condición necesaria y suficiente para que la serie de Taylor converja hacia  es que ²³ lim  [²% ³ ²% c % ³ ~  ¦B

En la práctica puede ser muy difícil manejar este límite a causa de la posición desconocida de % À En algunos casos, no obstante, puede obtenerse una cota inferior convergente para  ²³ ²% ³ y puede demostrarse que este límite es .Ya que B

²%c% ³ [



²%c% ³ ¦ Á cuando  ¦ B 4esto se tiene, pues la serie  [  es convergente ~

para todo %  sÁ ya que ²%c% ³b

 c ²b³[

B

O%c% O

[  d ²%c%  c ~ b ³



˜˜˜˜˜˜˜— ¦ B   À

²%c% ³ [ ¦B

²%c% ³ Como  [ 

es convergente, entonces lim

~

 ²³ ²% ³ ²% ¦B [

igualdad

lim

c % ³ ~ ,

~  5. De donde tenemos la

siempre y cuando la sucesión de

funciones ¸  ²³ ¹B sea uniformemente acotada en ´Á µ. Así pues podemos ~ establecer la siguiente condición suficiente para representar una función mediante una serie de Taylor.

Teorema 4. Supongamos que   * B en ´Á µ y además que %  ´Á µÀ Consideremos además que existen un entorno 5 ²% ³ y una constante 4 ²La cual podría depender de % ³ tal que O ²³ ²%³O  4 para todo %  5 ²% ³ q ´Á µ y para todo  ~ Á Á Á à En estas condiciones para cada %  5 ²% ³ q ´Á µ tenemos B

 ²%³ ~   ~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ Á si %  %  À

Teorema 5À (De Bernstein) Supongamos que   * B

en un intervalo abierto de la forma ² c  Á ³Á siendo  €  y consideremos que  y todas sus derivadas son positivas en el intervalo semi-abierto ´Á ³. Entonces, para todo % en ´Á ³Á tenemos B

 ²%³ ~  

+ !ó: B

Entonces

 ~

²³

²% ³ [ ²%

~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ Á si %  %   .

Consideremos %  ´Á ³ y supongamos que %  ´Á ³. c % ³

tiene los términos positivos y a causa de que

Darío Sánchez

c

 ²%³ ~  

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

²³

²% ³ [ ²%

~

c % ³  b

 ²³ ²% ³ [ ²%

84

c % ³ , sus sumas parciales están acotadas B

superiormente por  ²%³À Luego la serie  

²³

²% ³ [ ²%

~

c % ³ converge y tiene una suma

  ²%³. Aplicando el mismo razonamiento a  ²³ Á encontramos que la -ésima derivada B

de   ~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ converge y tiene una suma   ²³ ²%³À

Por consiguiente si escribimos

B

²%³ ~  ²%³ c  

²³

~

²% ³ [ ²%

c % ³ 

²%³ y todas sus derivadas ²³ ²%³ son no negativas si %  %  À A continuación, demostremos que ²%³ ~  si %  %  %b Á esta restricción impuesta a % implica %  %  % c %   . Por lo tanto podemos elegir un número & que satisface % c %  &   y hacer uso de la fórmula de Taylor para escribir c

 ²&³ ~  

²³

²% ³ [ ²&

~

c % ³ b

 ²³ ²& ³ [ ²&

c % ³

²³

en donde %  &  &À Ahora bien,  ²³ es una función creciente, (¿por que?) por consiguiente  ²³ ²& ³ ‚  ²³ ²%³À Por lo tanto (1) nos da ²³ ²³  ²&³ ‚  [²& ³ ²& c %³ ‚  [²%³ ²& c %³ o bien de los extremos se tiene  ²³ ²%³  ²&³  ²&c%³  [ c

Volviendo al resto de



²³

~  ²³ ²% ³ [ ²%

0  ™

²% ³ [ ²&

c % ³ b

 ²³ ²& ³ [ ²&

 ²³ ²%³ [ ²%

c % ³  

c % ³ , podemos escribir

  c % ³   ²&³² %c% &c% ³

 

% % %

Pero

0  ™

%c% &c%



debido a la manera como fue escogido &À

%c% &

Luego  ²³ ²% ³ ²% ¦B [

lim

Y esto significa que

B

 ²%³ ~   …

~

²³

²% ³ [ ²%

c % ³ ~ 

c % ³ Á si

%  % 

% b 

5.2. La serie binomial. Como un ejemplo del teorema de Bernstein, obtemos el desarrollo siguiente, conocido con el nombre de la serie binomial. B ² b %³ ~  2  3% Á si c   %   ~

donde  es un número real cualquiera y



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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

2  3 ~

85

²c³²c³Ä²cb³ [

El teorema de Bernstein no puede aplicarse directamente en este caso. Sin embargo, podemos razonar así: Consideremos  ²%³ ~ ² c %³c Á siendo  €  y %  À Entonces  ²³ ²%³ ~ ² b ³² b ³Ä² b  c ³² c %³cc ---------------------------------------------------------------------



B

 



 4 %c% 5 es convergente, luego tenemos lim 4 %c% 5 ~  &c% &c% ¦B

~

y por lo tanto  ²³ ²%³ ‚  para cada Á con tal que %  . Por consiguiente podemos aplicar el teorema de Bernstein, poniendo % ~ Á  ~ c  y  ~ À Entonces  ²c%³

B

  3 ~  2 c  ² c ³ %

si c   %  

~

sustituyendo  por c  y % por c %, encontramos B ² b %³ ~  2  3% ~



B

es cierto para cada   À Pero ahora la validez de ² b %³ ~  2  3%

puede

~

extenderse a cualquier valor de  por integración sucesiva. Naturalmente, si  es un 3 entero positivo, por ejemplo  ~ Á entonces 2  para  €  y  ~  B

² b %³ ~  2  3% se reduce a una suma finita ( fórmula del binomio de Newton) . ~

5.3. Teoria de Abel.

B  Si c   %   , la integración de la serie geométrica c% ~  % nos da el desarrollo B

en serie de ² c %³ ~ c  B

~

~

% 

también válida para c   %  À B



Si

ponemos b

²c³ % ~ c  en c  % , obtenemos la serie alternada convergente   ~

;

nos

~

preguntamos. ¿Podríamos también poner % ~ c  en el primer miembro de ² c %³?. El teorema siguiente contesta afirmativamente esta pregunta. B

Teorema 6. (Abel) Supongamos que  ²%³ ~   % , si c   %   À Si la ~

serie converge también en

% ~  Á entonces el límite

lim  ²%³ existe y

%¦c

tenemos B

limc  ²%³ ~    À

%¦

~

+ !ó ¢ Para simplificar, suponiendo que  ~  (esto equivale a un B

cambio de escala). Entonces nuestra hipótesis es que  ²%³ ~   % se tiene definida ~

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86

B

B

~

~

para c   %   y que   es convergente. Escribimos  ²³ ~   . Tenemos que demostrar que limc  ²%³ ~  ²³ Á óÁ de otra manera, que  es continua a la izquierda %¦

de % ~   c%

B

B

B



~

~

~

~

h  ²%³ ~ ²  % ³ h ²  % ³ ~   % donde c ~  

Luego tenemos

B

 ²%³ c  ²³ ~ ² c %³ ´ c  ²³µ% Á si c   %  

²³

~

Esto se tiene por que  ²%³ c  ²³ ~  ²%³ c

²c%³ ²³ ²c%³

B

B

~

~

~ ² c %³  % c ² c %³ ²³ % ~

B

~ ² c %³  ´ c  ²³µ% ~

B

lim  ~  ²³ ~  . Por consiguiente dado  €  podemos encontrar

Por hipótesis,

¦B

~

5  o tal que si  ‚ 5 implica que O c  ²³O   À Si dividimos la suma (1) en dos partes , obtenemos 5 c

B

~

~5

 ²%³ c  ²³ ~ ² c %³ ´ c  ²³µ% b ² c %³ ´ c  ²³µ Designemos con 4 ~ %¸O c  ²³OÁ  ~ Á Á Á Ã Á 5 c ¹ Así si   %   tenemos B

B

O ²%³ c  ²³O  ² c %³4 5 b ² c %³   % ² ~  %b5 ³ ~ b 

~5

%5 b ² c %³  c%

~ ² c %³4 5  ² c %³4 5  Escogiendo ahora  ~ 4 5 À Entonces    c %   se tiene que O ²%³ c  ²³O  À Lo anterior es equivalente a que limc  ²%³ ~  ²³À Esto completa la demostración. ¦

…

B



Ejemplo. Podemos suponer en ² c %³ ~ c  % Á % ~ c  para obtener B

 ~  ~

~

²c³b À  B

B

~

~

Teorema 7. Sean   y   dos series convergentes y designemos con 

 ~   c

su producto de Cauchy.

Si

B

  converge entonces ~

~

tenemos B

B

B

~

~

~

  ~ ²   ³²   ³

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87

B

+ !ó ¢ Las dos series de potencias   % y ~

B

  x son ambas ~

convergentes para % ~  y por lo tanto, convergen en el intervalo ²Á ³À Mantengamos O%O   y escribamos B

B

B

~

~

~

  % ~ ²   % ³²   % ³ 

donde  ~   c es el producto de Cauchy y ya demostramos en el corolario del ~

B

teorema 22 del §3, sobre convergencia absoluta que,

  % es convergente. ~

Consideremos ahora el % ¦ c y apliquemos el teorema 6 de Abel, para concluir la convergencia de B B  B B   ~  ²  c ³ ~ ²  ³²  ³À ~

~ ~

~

~

…

5.3. Ejercicios. 1. Hallar la serie de Taylor alrededor de % ~  para  ²%³ ~ % b % b  ² c B  %  B ³ Probar que la serie de Taylor converge a  ²%³ para todo %. 2. Si  es una función a valor real en ´Á  b µ tal que  ²b³ ²%³ existe para todo %  ´Á  b µ y  ²b³ es continua en ´Á  b µÁ entonces 

 ²%³ ~  ²³ b   ~

²³

²³ [ ²%

c ³ b

 % [  ²%

c !³  ²b³ ²!³!

Este resultado es conocido como “ ó"  ; &   ! !”. Halle la fórmula de Taylor con resto integrable de  ²%³ ~  % ² c B  %  B³ y  ~  . Demuestre además que % O%Ob O [  ²% c !³  ²b³ ²!³! O  ²b³[ ² c B  %  B³ 3. Demuestre que la serie de Taylor alrededor de % ~  para  ²%³ ~  % converge para  % para todo % À 4. Halle la fórmula de Taylor para las siguientes funciones: (a)  ²%³ ~ ² b %³ ² c   %  B³Á % ~ Á  ~  ²³ ²%³ ~  ! % ² c   %   ³Á % ~ Á  ~   ²³ ²%³ ~ ² c %³  ² c   %  ³Á % ~ Á  cualquier entero B

5. Supóngase que la serie  ²% ³ ~   % converge, y sea  un número cualquiera tal ~

B

que     O% OÀ Probar que sobre el intervalo ´ c Á µ la serie  ²%³ ~   % ~

converge uniformemente

B

(y absolutamente). Además probar que la serie   ~1

 %c ~ ²%³ converge uniformemente. Finalmente pruebe que  es derivable y que  Z ²%³ ~ ²%³ para todo % con O%O  % À

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CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

88

6. Halle la fórmula de Taylor de cada una de las siguientes funciones. Use el teorema 3 ó, el teorema de Bernstein para obtener la serie de Taylor:  ³  ²%³ ~ %c Á ² £ ³Á % ~ À ³  ²%³ ~ ²% c ³ Á  £ %Á % ~  ³  ²%³ ~ j  ~ ² c %³c  Á % ~ À ³  ²%³ ~ j   , % ~  c% c% 7. Halle cada una de las siguientes sumas infinitas:    ³  c % b %[ c %[ b %[ c Ä ² ~  ²%³Á ¿ 8"é   ²%³ ? ³  c % b % c % b Ä 

 % % % ³ % c h b h c h bÄ     #³ h c h b h c h b Ä ²Recuerde el teorema de Abel)  #³  c  b  c  bÄ  % 8. Si  ²%³ ~ % para % £  y  ²³ ~ Á hallar  ²³ ²³Á (Use fórmula de Taylor)

B

9. Demostrar que la serie  2  3% converge para O%O   ~

²³ Demostrar que ² b %³ Z ²%³ ~  ²%³ para O%O   ²³ Demostrar ahora que cualquier función  que satisfaga la parte ²³ es de la forma  ²%³ ~ ² b %³ para cualquier constante  , y utilizar este hecho para establecer  ²%³

la serie binomial ²0ó ¢ *  é  ²%³ ~ ²b%³ ³ B À ²³ Supóngase que  ²%³ ~   % converge para todo % de algún intervalo ~

² c 9Á 9³ y que  ²%³ ~  para todo % de ² c 9Á 9³. Demostrar que cada  ~ À ²³ Supóngase que sólo sabemos que  ²% ³ ~  para alguna sucesión ¸% ¹B ~ con lim % ~ À Demostrar de nuevo que cada  ~ 

¦B

B

B

~

~

²³ Supóngase que  ²%³ ~   % y ²%³ ~   % convergen para cada % en algún intervalo que contiene a  y que  ²% ³ ~ ²% ³ para alguna sucesión ¸% ¹B ~ que converge hacia . Demostrar que  ~  para todo À En particular, “una función tiene una representación única como serie de potencias centradas en  ”. B

11. Demostrar que si  ²%³ ~   % es una función continua par, entonces,  ~  para ~

todo  impar y si  es una función impar, entonces  ~  para todo  parÀ 12. La sucesión de Fibonacci ¸ ¹B ~ está definida por  ~  ~ Á b ~  b c b ²³ Demostrar que   B

²³ Sea  ²%³ ~   %



c

~  b % b % b % b Ä . Utilizar el criterio del cociente

~

para demostrar que  ²%³ converge si O%O   c ²³ Demostrar que si O%O   Á entonces  ²%³ ~ % b%c ²0ó ¢ Esta ecuación  se puede escribir como  ²%³ c % ²%³ c %  ²%³ ~  ³  ²³ Utilizar la descomposición en fracciones simples para % b%c , y la serie de  potencias de %c para obtener otra serie de potencias para  À

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

89

²³ Se sigue del ejercicio 1 anterior, que las dos series de potencias obtenidas para  deben ser idénticas. Utilizar este hecho para demostrar que  ~

4

  bj cj  5 c4  5

j

À

13. Demostrar que la serie de potencias para  ²%³ ~ ² c %³ converge solamente para c   %  Á y que la serie de potencias para ²%³ ~  b% c% converge solamente para los % de ² c Á ³À B

À Demostrar que la serie binómica ² b %³ ~  2  3% presenta el siguiente ~

comportamiento en los puntos % ~ f  ²³ Si % ~ c , la serie converge para  ‚  y diverge para   À (b) Si % ~ Á la serie diverge para   c , converge condicionalmente para c     Á y converge absolutamente en [0,1] B

B

15. Demostrar que   % converge uniformemente en ´Á µ si   converge. ~

B

B

~

16. Si cada  ‚  y   diverge, demostrar que   % diverge a +B cuando x —

c

~ B

~

² Supóngase que   % converge para O%O  ³. 

~ B

B

17. Si cada  ‚  y limc   % existe y es igual a (. Demostrar que la serie   %¦ ~

~

converge y tiene por suma a (À 

c O%O

% £  À  % ~  ³ Demuestre que existe  ²³ ²³ para todo % 18 . Sea

 ²%³ ~ H

B ²³  ²³ ³ Demostrar que la serie  [ % converge para todo %, pero no es igual a  ²%³ ~

si % £ À 

 c %

% £   % ~  B ³ Demuestre que   9 en ² c BÁ B³

19. Sea

 ²%³ ~ H

B

³ Demostrar que la serie   ~

²³

²³  [ %

converge para todo %, pero no es igual a  ²%³

si % £ À 20. Demostrar que los siguientes desarrollos se tienen para O%O   ¢   ³   % ~ % b  % b   % b   % b Ä ³  ! % ~ % c  % b  % c Ä   ³  ¸  ² b j b %³¹ ~  % c   % b   % c Ä

21. Si % ~ &² b &³ ² ‚ ³ demostrar que:    % c ²c³[ % & ~ % c % b h  c IJ c ³ [²c³[ c b Ä

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B

22. Sea ² b %³ ~  2  3% el desarrollo binomialÀ Investigar el compotamiento del ~

desarrollo binomial en % ~ f . B

B

24 Sea   % ² ‚ ³ una serie de potencias convergente en O%O  . Si limc   % ~

%¦ ~

B

existe y es igual a (Á demostrar que   ~ (À ~

§6.

SERIES DE FOURIER

6.1. Ortogonalidad 6.1.1 Funciones pares e impares ´ definida en S, Sea S ‹ s , S £  tal que si t  S entonces c t  S, y sea  una funcion se dice que ´ « par » si  ( c t) ~  (t) para todo t  S a)  es una funcion ´ « impar » si  ( c t) ~ c  (t) para todo t  S. b)  es una funcion

Ejemplo  (t) ~ t , t  s,  ( c t) = t ~  ²!³, luego  es par. ²!³ ~ ! Á !  sÁ ² c !³ ~ ² c !³ ~ c ! ~ c ²!³Á por lo tanto  es impar.

Propiedades. 

i³ Si  y  son funciones pares definidas en S, entonces  ,  +,  con  £ 0 son funciones pares.  ii ³ Si  y  son funciones impares definidas en S, entonces  b  es impar ,  h Á  con  £ 0 son funciones pares.   iii³ Si  es par y  impar definidas en S,  £ 0,  £ 0 se tiene que  h ,  ,  son funciones impares. iv³ Si  es par e integrable en [ c ,] se cumple que:    (t) dt = 2   (t) dt c

0

v³ Si  es impar e integrable en [ c ,], se tiene que    (t) dt = 0 c

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91

6.À2. Funciones periódicas. ´ cuyo dominio de definicion ´ S £  esta´ en s. La funcion ´  se dice Sea  una funcion ´ « periodica » si existe To tal que si t  S se tiene que t + To  S y  (t + To ) ~  (t) para todo t  S. To se llama « período » de  . El período positivo mínimo de  se ´ denomina período fundamental. Cuando se hable de funciones periodicas, mientras no se diga lo contrario, se trabaja con el período fundamental. ´ periodica ´ con período To ~ 2 Ejemplo:  ²!³ ~ ! es una funcion  (! b   ) ~

(! b 2) ~ ! 2 b  !  2 ~ ! ~  ²!³

Propiedades. i) Si  es de período To y   { entonces  ²! b To ³ ~  ²!³ ii) Si es de período To > 0 , e integrando en [0,To ] se tiene que: To b



  ²!³! =   ²!³!

(a) (b) 



To b +To

To  ²!³! ~   ²!³!



0

6.1.3 Producto hermitiano. Sea w un espacio vectorial sobre d. El producto º,» sobre w se llama « hermitiano » si º,» : w d w — d (",#) ª º",#» satisface las condiciones: H : º",#» = º#,"» , para todo ",#  w H : Si ",#,$ estan en w, º",# +$» = º",#» + º",$» H : Si   d, ºu,v» = º",#» H : Para todo "  w, º","» ‚ 0

Ejemplo: Sea w ~ ¸ :[,] — d*   ²%³% existe ¹. Para todo Á   w se define 

 º Á » =   ²%³ ²%³ %. Entonces º,» cumple con H ,H ,H ,H así es un producto 

hermitiano sobre w. El producto hermitiano no garantiza que si º Á  » = 0 entonces  – 0, como se ve en el siguiente ejemplo Á si ! ~  Á si ! ~   ²!³ ~ F Á O ²!³O ~ F Á si   !   Á si   !     ahora º Á  » =  | ²!)| ! ~ 0, pero  £ 0 

´ es la que lo distingue del producto escalar. La siguiente definicion ´ da la Esta situacion ´ entre producto hermitiano y producto escalar relacion

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92

H5 : El producto hermitiano se llama « definido positivo » si para todo " £ 0 º","» € 0 Es claro que si el producto hermitiano es definido positivo entonces se tiene que º","» = 0 si y sólo si " ~ À Se observa que un producto, es hermitiano definido positivo si y ´ si, es un producto escalar. solo

PropiedadesÀ i³ º" + #,$» = º",$» + º#,$» –º",#» ii³ º",#» = 

Definición: Sea

w espacio vectorial, la funcion ´ que asigna a cada

elemento   w el numero ”  ”  s tal que ´ ²³ ”  ” ‚ , y ”  ” = ¯  –  ²³ ”  b  ”  ”  ” b ”  ” ²³ ”  ” ~ || ”  ” , es llamada una «norma» sobre w. Sea w un espacio vectorial con producto hermitiano º,» dos vectores ",# de w se dicen « ortogonales » si º","» € 0 , º#,#» € 0 y º",#» ~ 0 . Un conjunto — en w es « ortogonal » si sus vectores son ortogonales dos a dos, es decir, todo par de vectores diferentes son ortogonalesÀ

Ejemplo: El conjunto — = { e2ifo t :   t   , fo = b º ,» =   ²!³²!³ ! Á es ortogonal.

 c

  { } con el producto

a

Sea w un espacio vectorial en el cual se tiene definido un producto hermitiano º,» , si   w, puesto que º Á  » ‚ 0 se define « longitud » de  al número real positivo definido por ”  ” = jº , » lo cual equivale a ”  ”  = º , » . Se sabe que si ´ es la que hace que ”  ” no ´ ”  ” = 0 no necesariamente  = 0. Esta ultima afirmacion ´ propiedades de la norma se cumplen, por esta razon ´ es sea una norma, pues las demas llamada una seminorma .

Resultado: Sea w un espacio vectorial con producto hermitiano º,», entonces D", D#  w |º",#»|  ” " ” ” # ” . Esta desigualdad es llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz Un conjunto numerable ¸" ," ," ,Ä,"n ,Ä ¹ en un espacio vectorial w se dice « linealmente independiente » , si para todo , cada vez que  " +  " + Ä+ m "m ~ 0 entonces  ~  ~ Ä ~ m ~ 0 ´ es llamada una sucesion ´ linealmente independiente. tambien

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Resultado: Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente. ´ linealmente independiente es una «base aproximada» de w si Se dice que una sucesion ´ lineal  " +  " + Ä + n "n para cada   w y cada  > 0, existe una combinacion tal que ”  c ( " +  " + Ä + n "n ) ”  À

Resultado : Si  ,  ,  ,à es una base aproximada ortogonal de w y   w, entonces la serie   +   + Ä donde k =

º , » º , »

, converge a

À ´ Si — = ¸ ¹B ~ es una base ortogonal de w, entonces para todo   w, existe n unico,    S tal que  ~ n n À nS

En efecto sea m  —, º ,m » = º n n ,m » =  n ºn ,m » = m ºm ,m» nS

nS

de donde º , »  = º para   S   » Los números n son llamados « coeficientes de Fourier » .

´  para la base ortogonal Ejemplo: Hallar los coeficientes de Fourier de una funcion  2ifo t — = ¸e °   t   , fo = c ,   { ¹ Puesto que ºn ,n » ~  c , los n quedan así n =

º Án » ºn ,n »

=

1  c





1  (t)ec2info t dt , fo = c ,{

Para justificar las afirmaciones anteriores hacemos referencia a un resultado del análisis funcional el cual es la piedra ángular en el estudio de las series de Fourier.

Teorema 1. Sea w un espacio funcional con producto hermitiano dado por º,K y sea ¸ ¹B ~ un conjunto ortogonal en w. Entonces las siguientes

afirmaciones son equivalentes, unas con las otras; B

SF ¢   w ¬  ~    ~

SF ¢ º%, K ~  D  o ¬ % ~  B

º Á »

SF ¢ Si   w entonces  ~  º , »  ~

B

 SF : Si   w entonces OO OO ~  b ººnÁ,nn»» b . ~

Se deduce del teorema 1 que el estudio de las series de Fourier se reduce al hecho de hallar conjuntos ortogonales en los distintos espacios funcionales con el producto hermitiano que se tenga. Un frabricante de conjuntos ortogonales lo hallamos al estudiar las funciones propias de un operador autoadjunto de segundo orden. Por esta razón

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94

damos un breve estudio de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de segundo orden con coeficientes constantes.

6.2. Solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Una ecuación de la forma & ZZ b &Z b & ~  donde Á   s son constantes, es llamada ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Para hallar una solución rápida de esta ecuación es frecuente suponer que & ~ % es una solución de prueba (o un modelo de solución), dado que &Z ~ % y & ZZ ~  % entonces se va tener que & ~ % es solución de prueba de & ZZ b &Z b & ~  ¯ % ² b  b ³ ~  y esto solamente es posible si  b  b  ~  ya que % £ 0, Dx y D . Así se tiene que & ~ % es solución de prueba de & ZZ b &Z b & ~  si y sólo si  b  b  ~  Por esta razón basta hallar los ceros del polinomio ²³ ~  b  b  , frecuentemente llamado polinomio característico , los cuales estan dados por cfj c

 ~  Teniendose así los siguientes tipos de solución dependiendo del signo del discriminante  c  ¢ 1)  c  € Á en este caso el polinomio ²³ tiene dos raíces reales distintas cbj c

ccj c

 ~ w  ~    %   % En ese caso se tiene que el conjunto ¸ Á  ¹ forman lo que se conoce como un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación & ZZ b &Z b & ~ . Paralelamente se demuestra en un curso de ecuaciones diferenciales que el conjunto ¸ ¢ 0 ¦ s°  ZZ b  Z b  ~ ¹ llamado conjunto solución es un espacio vectorial de dimensión dos . Por esta razón la solución de la ecuación & ZZ b &Z b & ~  es en este caso dado por & ~   % b   % 2)  c  ~ À Se tiene en este caso que las raíces de ²³ se reducen a una sola dada por  ~ c 2 y se obtiene una primera solución fundamental la cual denominaremos & dado así: c & ~  2 % Para la obtención de una segunda solución que sea linealmente independiente con & se hace uso de una táctica conocida con el nombre de variación de la constante, suponiendo que la nueva solución de prueba tiene la forma c & ~ #²%³& ~ #²%³ 2 % donde #²%³ es una función por determinar; así  c c c c c &Z ~ #Z  2 % c 2 # 2 % w & ZZ ~ # ZZ  2 % c #Z  2 % b 4 #  % sustituyendo en & ZZ b &Z b & ~  se llega # ZZ 

c 2 %



b ² c b ³#

c 2 %

~  ¯ # ZZ 

c 2 %

~ w



c 2 %

£  ¯ # ZZ ~ .

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En esta forma se sigue que #²%³ ~ % obteniéndose la segunda solución linealmente c c independiente se halla el conjunto fundamental de soluciones ¸  2 % Á % 2 % ¹ y en este caso la solución es la combinación lineal dada por c & ~  2 % ² % b  ³ 3) Cuando  c    entonces los ceros del polinomio característico ²³ son números complejos dados por jc

jc

 ~ c  w  ~ c   b   c  Denotando con  la parte real de estos números y con  la parte imaginaria tenemos que  ~  b   w  ~  c   En esta forma la base fundamental será el conjunto ¸b Á c ¹À Por ser el conjunto solución un espacio lineal se puede tomar una combinación adecuada de los elementos de la anterior base para obtener una nueva base equivalente dada por ¸%   %Á %  %¹ La solución en este caso será la siguiente combinación lineal & ~ % ´   % b   %µ Una mayor información se puede hallar en un curso común de ecuaciones diferenciales ordinarias.

6.3 El operador autoadjunto de segundo orden. A continuación consideramos una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables y de segundo orden la cual va a depender de un parámetro .

Definición. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden se dice una forma autoadjunta si y solamente si se tiene ²%³& ZZ b Z ²%³& Z b ´²%³ b ²%³µ& ~ Á %  %  %

donde ²%³ €  y ²%³ €  en ²% Á % ³ y Z ²%³Á ²%³ y ²%³ son todas funciones definidas en el intervalo ´% Á % µÀ Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden dada por ( ²%³& ZZ b ( ²%³&Z b ´( b µ& ~  donde (  *  ²´Á µ³ y A Á (  *²´Á µ³Á ( ²%³ £ À Hallemos la forma autoadjunta asociada a esta ecuación. Para esto introduzcamos una función   *  ²´Á µ³ de tal manera que se tenga ²%³¸( ²%³& ZZ b ( ²%³&Z b ´( b µ&¹ ~ ¸²%³&Z ¹Z b ´²%³ b ²%³µ& La función ²%³ es llamada “factor integrante” y por lo tanto debe esperarse que satisfaga al siguiente sistema de ecuaciones ²%³( ²%³ ~ ²%³ ²%³( ²%³ ~ Z ²%³ ²%³²( ²%³ b ³ ~ ²%³ b ²%³ es decir, se debe tener que ´²%³( ²%³µZ ~ ²%³( ²%³ lo cual es lo mismo que

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Z ²%³( ²%³ b ²%³(Z ²%³ ~ ²%³( ²%³ de donde se obtiene que Z ²%³ ~

²%³´( ²%³c(Z ²%³µ ( ²%³

Cualquier solución no nula de esta ecuación diferencial nos sirve como factor integrante; así resolvemos la ecuación diferencial para ²%³ como sigue: Z ²%³ ²%³

~

( ²%³c(Z ²%³ ( ²%³

~

( ²%³ ( ²%³

c

(Z ²%³ ( ²%³

Integrando se obtiene % ( ²!³

 ²%³ b ( ²%³ ~  ( ²!³ !  o en forma equivalente se tiene % ( ²!³

( ²%³²%³ ~  ( ²!³ !  de donde % ( ²!³

( ²%³²%³ ~ %¸ ( ²!³ !¹  El factor integrante deseado será dado por % ( ²!³

²%³ ~ ( ²%³ %¸ ( ²!³ !¹À  

Ejemplo. Hallar la forma autoadjunta asociada a la siguiente ecuación %& ZZ b ² c %³&Z b & ~  Aquí ( ²%³ ~ %Á ( ²%³ ~  c %Á ( ²%³ ~  El factor integrante estará dado por Z ²%³ ²%³

así,

  % ! ~ c % ~ c% % c % ¯ ²%³ ~ c

²%³ ~ c%

ahora tenemos

²%³ ~ ²%³( ²%³ ~ %c% ²%³ ~ ²%³( ²%³ ~  ²%³ ~ ²%³ ~ c% La forma autoadjunta deseada será %& ZZ b ² c %³&Z b & ~ ²%c% &Z ³Z b c% & ~ 

Definición. Sean ²%³Á ²%³ funciones definidas de ´Á µ en s tales que ²!³ € Á óÁ ²!³   en ²Á ³, Z ²!³ y ²!³ son continuas. Si &²!³ tiene segunda

derivada continua en ²Á ³Á se define el operador autoadjunto por 3& ~ ²²!³& Z ²!³³Z b ²!³&²!³À 3 es claramente lineal. Sea  un escalar tal que exista & £ Á en el espacio funcional, tal que 3& ~ &À Este escalar es llamado “valor propio” de 3 y la correspondiente función & £  es llamada “función propia”.

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Puede suceder que dada una base aproximada para un espacio vectorial w la cual no es ortogonal con el producto hermitiano allí definido, sin embargo puede existir una función ²%³ continua en ´Á µ tal que con el siguiente producto hermitiano,  º Á K ~  ²!³ ²!³²!³ ! la base, resulte ortogonal. A la función ²!³ se le llama “función de peso”.

Identidad de Lagrange : Sean  ,  valores propios del operador 3 y & , & sus respectivas funciones propias, entonces se tiene que & 3& c & 3& = ´²!³²& &Z c &Z & ³µZ ´ inmediata. + !ó: Se trata simplemente de una verificacion

Teorema 2À²de Sturm-Liouville³:

Sean  y  valores propios diferentes y & , & sus respectivas funciones propias, sea ²!³ una funcion ´ continua en ´Á µ y positiva en ²Á ³ tal que 3& ~  ²!³& , 3& ~  ²!³& À Si !~

²!³<& ²!³&Z ²!³ c &Z ²!³& ²!³=

!~

~

entonces 

 ²!³& ²!³& ²!³ ! ~  

+ !ó ¢ Haciendo uso de la identidad de Lagrange y cuentas adecuadas tenemos: & ²!³ ²!³& ²!³ c &2 ²!³1 ²!³&1 ²!³ ~ & ²!³3´&²!³µ c &²!³3´&²!³µ ~ ´²!³²& ²!³&2Z ²!³ c &1Z ²!³& ²!³³µZ Luego & ²!³²!³& ²!³² c  ³ ~ ²²!³´& ²!³&2Z ²!³ c &1Z ²!³&²!³µ³Z de donde integrando y usando el teorema fundamental del cálculo se recibe 

!~

² c 1 ³  ²!³& ²!³& ²!³ ! ~ ²!³:& ²!³&2Z ²!³ c &1Z ²!³&²!³;!~ ~  



Como  £  entonces  ²!³& ²!³& ²!³ ! ~  que equivale a º& ,& » ~  o sea que 

´ de peso ²!³. & Á & son funciones ortogonales para el producto con funcion …

Teorema 3. Los autovalores de un operador autoadjunto son todos reales. ´ ´ autovalor complejo k con respecto + !ó ¢ Supongase que existe algun ´ k (%), es decir a una autofuncion 3[k (%)] + k (%)k (%) = 0 – Puesto que el operador 3 esta´ formado de funciones reales su conjugado complejo 3 es igual a 3. Tomando el conjugado complejo a los dos lados, se obtiene

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– 3[k (%)] + k (%)k (%) = 3[k (%)] + k r(%)k (%) = 0. – Se sigue ahora que k (%) y k (%) corresponden a autovalores diferentes, k y k respectivamente, y por lo tanto son necesariamente ortogonales debido a que 3 satisface las hipótesis del teorema 2 . Esto indica que x2

x2

 (%) k (%) k (%) d% =  (%) | k (%)| d% = 0 x

x

pero puesto que el integrando es positivo, esta integral jamás es cero, con lo cual ´ Nuestra afirmacion ´ de que existe un autovalor complejo es obtenemos una contradiccion. falsa y el teorema esta demostrado. …

Ejemplo 1: Ortogonalidad de los polinomios de Legendre . De [²! c 1)PZ ²!³µZ + P ²!³ ~ 0 ,  ~ ² b ³  ~ 0,1,2,3,Ä se tiene ´²! c 1³PZ µZ b 0 h P ²!³ ~ c  P ²!³ ²!³ ~ ! c 1, c 1  !  1 ,( c 1) ~ ²³ ~  , ²!³ ~  , ²!³ ~ 1 así entonces, ²!³´P ²!³PZ ²!³ c PZ ²!³P ²!³µc11 ~  con  £ , luego  1 P ²!³P ²!³ ! ~  para  £  -1

así ² b ³ £ ² b ³ de donde  £  À En los libros de ecuaciones diferenciales se demuestra que  1 [P ²!³] ! ~ 2 2+1 c1

 b

, si  ~  Á si  £  Por lo tanto ¸P ²!³Á P ²!³, à ,P ²!³, à ¹ es una base aproximada ortogonal de 1 w ~ ¸ ¢ [ c 1,1] — d°   ²!³ ! existe¹ para el producto hermitiano De esta forma

ºP Á P » ~ F

-1 1

º ,» ~   ²!³ ²!³ ! c1

B

por lo tanto s i   w entonces  ²!³ ~   P ²!³ donde n=0 1 cn ~ 22+1   ²!³P ²!³ ! ,

º ,P »

 ~ ºP ,Pn » n n

o sea

en estas condiciones se dice que  esta´ desarrollada en

c1

« serie generalizada de Fourier-Legendre » .

Ejemplo 2. Hallemos los valores y las funciones propias para el siguiente problema & ZZ b & ~  Á &²³ ~ &² c ³Á &Z ²³ ~ &Z ² c ³ En este ejemplo y en los problemas propuestos es necesario el conocimiento a fondo del numeral 6.2. Así para resolver el problema, sea & ~  % la cual hemos llamado una solución de prueba, entonces & ZZ b & ~ % ² b ³ de donde tenemos el polinomio

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característico dependiendo ahora de dos parámetros ²³ ~  b À Por el teorema 3,  debe ser real, por lo tanto cumple con la propiedad de tricotomía esto esÁ  puede ser:   Á óÁ  ~ Á óÁ  €  Con estas posibilidades de  , entonces  puede ser determinada como en efecto así lo haremos 1) Si  ~  Á el polinomio característico se reduce a ²³ ~  cuya raíz es  ~  Á repetida, en este caso el conjunto fundamental de soluciones es dado por ¸Á %¹ y cualquier solución será dada por & ~  % b  ²esta solución también se puede hallar integrando dos veces la ecuación & ZZ ~ ³. Por las condiciones en la frontera se tiene que &²³ ~   b  ~  ² c ³ b  ~ &² c ³ w & Z ²³ ~  ~ & Z ² c ³ de donde se obtiene que  ~  y  toma cualquier valor, en particular  ~  , así para el valor propio  ~  se halla la función propia & ~ . 2) Si    es frecuente tomar por comodidad  ~ c   , donde  s y se puede determinar con la ayuda del polinomio característico ²³ ~  b  ~  c  cuyas raíces estan dadas por  ~ f en esta forma el conjunto fundamental de soluciones estará dado por ¸ % Á c % ¹ en esta forma la solución de la ecuación & ZZ c  & ~  será: & ~   % b   c % como &²³ ~    b  c  ~  c  b    ~ &² c ³ & Z ² ³ ~   c  c  ~  c  c   ~ & Z ² c  ³ de donde se deduce que  ~  ~ Á en cuyo caso no hay funciones propias. 3) Finalmente, si  €  como en 2), podemos tomar,  ~   €  Á en este caso el polinomio característico toma la forma ²³ ~  b   cuyas raíces estan dadas por  ~ f  Á este caso como lo dijimos en el numeral 6.2 el conjunto fundamental estará dado por ¸  %Á   %¹ y la solución de la ecuación & ZZ b   & ~  será entonces &²%³ ~    % b    %. Ahora tenemos por otra parte &²³ ~    b    ~    ² c ³ b    ² c ³ ~ &² c ³ & Z ²³ ~ c     b     ~ c     ² c ³ b     ² c ³ ~ & Z ² c ³. De aquí se tienen dos posibilidades : ²³ 26   ~  y  toma cualquier valor en particular  ~  y  ~   {Á en ese caso la solución estará dada por &²%³ ~  %. ²³ 2  ~  y  toma cualquier valor, en este caso  ~  y  ~   {Á teniendose entonces que la solución será &²%³ ~  %À En resumen se tiene para  ~  — & ~ ,  % para  ~  — & ~ F con c   %   . % Ahora por ser & ZZ b & ~  Á una forma autoadjunta se sigue del teorema 2 que las funciones propias forman un conjunto ortogonal en el intervalo ´ c Á µ para el  producto hermitiano dado por (¿ por que? muestre que ² & &Z c &Z &  bc ~ ³  º ,» ~ c  ²!³²!³!. (1)

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100

Además por el teorema 1 se sigue que para toda función  ¢ ´ c Á µ ¦ s y como  w ~ ¸ ¢ ´ c Á µ ¦ s ° c  ²%³% existe¹ es un espacio vectorial con producto hermitiano dado por (1) entonces B  ²%³ ~  b  ´  % b  %µ 

~

donde   º Á» º Á  %»  ~ ºÁ» ~  c  ²%³ %Á  ~ º %Á  %» ~  c  ²%³  % %  º Á %»  ~ º %Á %» ~  c  ²%³ % %

En esta forma se dice que  ha sido desarrollada en serie de Fourier trigonométrica.

Teorema 4. (de Fourier)À Si una función periódica  ²%³ con período  es seccionalmente continua en el intervalo c   %   yÁ tiene derivada izquierda y derecha en cada punto de ese intervalo, entonces la serie de Fourier trigonométrica   b   % b  % b   % b  % b Ä b   % b  % b Ä donde Á» º Á  %»    ~ º ºÁ» ~  c  ²%³ %Á  ~ º %Á  %» ~  c  ²%³  % % Á %»   ~ º º %Á %» ~  c  ²%³ % % es convergente y su suma es  ²%³ excepto en los puntos % donde la función es discontinua y en estos puntos se tiene b ²%c ³  ²% ³ ~ lim  ²% ³b  %¦%

en ese caso se dice que  ²%³ está representada en serie de Fourier. + !ó ¢ Veamos primero la convergencia de la serie B  b  ´  % b  %µ 

~

cuando   *  ²´ c Á µ³ . Integrando dos veces por partes la fórmula de  se obtiene Z    ²%³ %  %  b b  ²%³ b c    ZZ ²%³  %.  ~  c  ²%³  % % ~ c c      c Pero Z  ²%³ %  %  b ~ 0 y  ²%³ b ~ ,  

así

 

c

c



 ~ c   c  ZZ ²%³  %. Ahora como  ZZ ²%³ es continua en [-,] , entonces es uniformemente acotada, así existe 4 €  tal que O ZZ ²%³ O  4 , además O %O  À Se concluye que   O O ~   b c  ZZ ²%³   %b    c 4 % ~ 4  De modo totalmente semejante se tiene que O O  4  en esta forma se tiene que

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101

B b  b  ´  % b  %µb  |  O b 4 ² b  b  b  b  b  b ij       ~ B

~ |  O b 4   ~

De donde la convergencia de la serie de Fourier. Y por el criterio 4 de Weierstrass la convergencia es uniforme. Dado que ¸Á  %Á %¹B ~ es un conjunto ortogonal en  el espacio vectorial w ~ ¸ ¢ ´ c Á µ ¦ s° c  ²%³ % existe¹, entonces el teorema B 1 implica que  ²%³ ~  b  ´  % b  %µÀ ~

… Supongamos ahora que  ²!³ tiene período ; € . Entonces puede introducirse una variable % tal que  ² ³ como función de %, tenga período 2. Para eso consideremos la siguiente transformación  [-,] — [ c ; Á ; ]; —s ²%³ ~  % %

ª

Así  ¢ ´ c ; Á ; µ — s es tal que  k ¢ ´ c Á µ — s resulta de período 2, pues  ² ²% b ³³ ~  ² ; ²% b  ³³ ~  ² ; % b ; ³ ~  ²! b ; ³ ~  ²!³ ~  ² ²%³³À Así B  ²!³ ~  ² ; %³ ~  b  ²  % b   %³Á 



~

donde     ~  c  ² ; %³%Á  ~  c  ² ; %³ % %Á  ~  c  ² ; %³  % % Ahora como % ~ ; !Á ¬ % ~ ; !À Por lo tanto ;

 ~  c ;  ²!³ h 

;

 ~ 

 ; !

~

     c ;  ²!³ ; !² ; !³ ;

 ;  ;

~

 ~  c ;  ²!³  ; !² ; !³ ~  ; !Á

Para ver que ¸Á 



 ; !Á Ã Á 

 ; !Á

;

c;  ²!³!  ;  c ; ;  c ;



 ; !

 ²!³



  ²!³  ; ! ;  ; !Á Ã ¹ es un conjunto

ortogonal en

; 

el intervalo ( c ; Á ; ³ con el producto hermitiano º Á » ~ c ;  ²!³²!³ !Á basta ver 

que ellas son las funciones propias de problema S-L siguiente & ZZ b & ~ Á &² c ; ³ ~ &² ; ³Á &Z ² c ; ³ ~ & Z ² ; ³ À ; Así si   ¸ ¢ ´ c ; Á ; µ — d°   ;  ²!³! existe¹ ~ w entonces 



 ²!³ ~ donde  ~

 ~ ;

 ;Á

c

  



B

b  ´   ! b   !µ, ~

y

  ; c ;  ²!³ !Á

 ~

;

  ; c ;  ²!³ ! !Á

 ~

Por lo general  ²!³ es en este caso una función real.

;

  ; c ;  ²!³

! !À Fin del quinto bloque

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102

Teorema 5 (de Parseval). Si dada  ²!³,  ,  , son los coeficientes de Fourier del desarrollo anterior entonces se tiene  ;

;

 | ²!³| ! ~ 

| | 

B

b  [| | b | | ] ~

Si  es real la expresion ´ queda así : ;  ; 

² ²!³³ ! ~

2 

B

+  [ +  ] ~

+ !ó ¢ Se sabe de la hipótesis que   

 ²!³ ~

multiplicando los dos lados por  ;  ²!³ ²!³

~

    ;  ²!³

B

b  ´   ! b   !µ ~  ;  ²!³ B

tenemos

b  ´ ;  ²!³  ! b  ;  ²!³ !µ. ~

Integrando en el intervalo ´Á ; µ se tiene: ; ;   ²!³ ²!³! ~     ;

B

0;  ²!³! b  ´ ; 0;  ²!³  !! b  ; 0;  ²!³ ! !µ. ~

De donde  ;

B

0; O ²%³O ! ~    b  ´ ; 0;  ²!³  ! ! b  ; 0;  ²!³ ²!³!µ. ~

Así ;  ;  O ²!³O !

B

~  O O b  ´  b   µ ~ ~

O O 

B

b  ´O O b OOµ. ~

Si  ²!³ es real necesariamente,  y  son reales teniéndose entonces que  ;

0; ² ²!³³ ~

 

B

b  ´ b  µ ~

… El teorema 5 nos dice que el conjunto ortogonal   ¸Á  ; !Á  ; !Á à Á   ; !Á  ; !Á à ¹ satisface la propiedad SF de teorema 1.

6.4. Desarrollos de medio rango. Hemos mostrado que si   w donde ;

w ~ ¸ ¢ ´ c ; Á ; µ ¦ d°c;  ²!³ ! % ! &  ²! b ; ³ ~  ²!³¹ 

entonces se obtiene el desarrollo

B

 ²!³ ~  o +  [  2 ! b   2 ! ] ~

donde  ~

 ;

;

;

;

c ;  ²!³ !Á  ~ ; c ;  ²!³ ! !Á  ~ ; c ;  ²!³ ! !À 





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103

Si  ²!³ es par entonces tenemos que  ~   ²!³ ~

 

B

 b    2 ! ~

donde ;

o = ;4    ²³  ,  ~ 0

4 ;

;

   ²³ 2    0

Si  ²!³ es impar entonces  ~ 0,  ~ 0 y tenemos B

 ²!³ ~   2 ! , donde

 ~

~

4 ;

;

   ²³ 2    À 0

´ periodica ´ Sea  ²!³ una funcion de período ; ~  . Si  es par se obtiene la llamada « serie de Fourier cosenoidal » B  ²!³ ~   b    l ! (2 ~ 22l ) ~

con coeficientes  ~

2 l

 l  ²!³ ! ,  ~ 0

2 l

 l  ²!³ 

 l ! !

0

Si f es impar se obtiene la « serie de Fourier senoidal » B  ²!³ ~     ! ~

l

con coeficientes  ~

2 l

 l  ²!³  l ! ! ,  ~ 1,2,Ã 0

´ ´ real  ²!³ definida en el intervalo [0, l ], se Supongase que se da una funcion ´ periodica ´ desea una extension con período T = 2 l a todo s, esta puede hacerse de dos formas:

´ extendida es par, entonces obtenemos el llamado « desarrollo de La funcion medio par » de  ²!³ y es dado por una serie de Fourier cosenoidal ´ (ii) Si la funcion extendida es impar, entonces obtenemos el llamado « desarrollo de ´ definida es [0,l] tiene dos medio rango impar » de  ²!³. Es de notar que toda funcion desarrollos de medio rango, el uno par y el otro impar. ´ Ejemplo : Encontrar los desarrollos de medio rango de la funcion

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 ²!³ ~ H  

104

cuando   !   cuando   !  

Calculemos los coeficientes   

l/2 l ~ 1l @ 2l  !! b 2l  (l c !) ! A ~ 2 0

l/2  ~ 2l @ 2l  !  0

l/2

 l

l ! ! b 2l  (l c !³

~ 4   (2

l/2

 2

 l ! !

A ~

c   c 1)

Así  c16 c16  = c16  ,  =   , a0 =   Á Ä mientras que  ~ 0 cuando  £ 2,6,10,14,Ã . De aquí que el primer desarrollo de medio rango par de  ²!³ es  1 2 1 6  ²!³ ~ 2 c 16  ( 2  l ! + 6  l ! + Ä )  De modo semejante,  = 8    2 y el otro desarrollo de medio rango impar  ²!³ es  ²!³ ~ 8 ( 11  l ! c 31  3l ! + 51  5l ! c +Ä )

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105

6.5. Ejercicios 1. Demuestre que todo conjunto ortogonal en un espacio lineal con producto hermitiano es un conjunto linealmente independiente. 2. Tome un libro de Algebra Lineal, por ejemplo el de Serge Lang , y estudie el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt 3. Sea w ~ ¸ ¢ ´Á µ — s°  ²!³ tiene segunda derivada continua en ´Á µ¹Á se define el operador auto-adjunto por 3& ~ ´²!³&Z ²!³µZ b ²!³&Á demostrar que 3 es lineal. 4. Sea w el mismo espacio de ejercicio anterior. Demostrar la identidad de Lagrange o sea demostrar que & 3& c & 3& ~ ´²!³²& &Z c &Z & ³µZ 5. Demostrar que  ²%³ ~  % y ²%³ ~  % son ortogonales con respecto a la función de peso ²%³ ~ . 6À Demostrar que  ²%³ ~  y ²%³ ~  c % son ortogonales en ²Á B³ con respecto a la función de peso ²%³ ~ c% À 7. Compruebe que cada uno de los siguientes conjuntos finitos o infinitos de funciones forman un sistema ortogonal en el intervalo dado y con la función de peso ²%³ ~ À ³¸  %¹Á  ~ Á Á Á à Á   %   ³ ¸ % ¹ Á  ~ Á Á Á à Á   %   ³ % b Á % c Á % c % b Á % ³ %Á  %Á  %Á c% 8. Compruebe que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones forman un sistema ortogonal en el intervalo dado y con la función de peso dada: ³ Á %Á % c Á ²%³ ~  c % Á c%   c  ³ Á %Á % c Á ²%³ ~ ² c % ³ Á c%  c% ³ Á  c %Á % c % b Á ²%³ ~ % Á %B B  c%  Sugerencia: Muestre que  %  % ~ [ %

³ Á %Á % c Á ²%³ ~ c  Á c B  %  B.  9. Sea Jf,gK ~   ²%³²%³%À Demuestre que J,K es un producto hermitiano para las funciones definidas en el intervalo [0,1]. Sea ahora  ²%³ ~ %Á  ²%³ ~ % Á  ²%³ ~ % À Evalúe: a) J , K ³ J , K ³OO OO ³ OO OO ³ J b  , b  K f³ J c  , c  K 10. Halle los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville siguiente: & ZZ b & ~ Á &² c ³ ~ &²³Á & Z ²³ ~ & Z ² c ³ 1. Hallar las funciones propias y los valores propios de los siguientes problemas de Sturm-Liouville: a) & ZZ b 4& Z b ² b ³& ~ Á &²³ ~ Á &²³ ~  ³ & ZZ b & ~ Á & Z ²³ ~ Á & Z ²³ ~  ³ & ZZ b & ~ Á &²³ ~ Á &Z ²³ ~  ZZ ³& b & ~ Á   %  Á &²³ ~ Á & Z ²³ ~  ³ & ZZ b & ~ Á   %  Á &²³ ~ Á &²³ b & Z ²³ ~ 

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106

 ³ & ZZ b & ~ Á   %  Á &²³ b & Z ²³ ~ Á & Z ²³ ~  12. Halle la forma auto-adjunta asociada a cada una de las siguientes ecuaciones: . a) %& ZZ b & ~ Á %€ ZZ Z ³ & c & b & ~ Á ³ % & ZZ b ² c %³ & Z b & ~ Á %€ ³² c % ³ & ZZ c % & Z b & ~ Á c   %    ³ % & ZZ b % & Z b ²% c  ³& ~ Á % €  ³ % ² b % ³ & ZZ b % & Z b & ~ Á % €  . La ecuación ² c % ³ & ZZ c %& Z b  & ~  es llamada ecuación de Chebyshev cuya solución son los polinomios de Chebyshev ; ²%³ ~  ´   %µ para c   %  À Demostrar que los polinomios de Chebyshev forman un conjunto ortogonal. 14. La ecuación %& ZZ b ² b  c %³& Z b & ~  es conocida como la ecuación de  % c   Laguerre cuya solución es dada por 3 ²%³ ~ [  % % c% %b  para   %  BÁ estas funciones son llamadas los polinomios de Laguerre. Demostrar que los polinomios de Laguerre forman un conjunto ortogonal. 15. La ecuación & ZZ c %& Z b & ~  es conocida como ecuación de Hermite y tiene por  %   c % solución a las funciones /b ²%³ ~ ² c ³   %  6 7, llamadas polinomios de

Hermite. Demostrar que los polinomios de Hermite forman un conjunto ortogonal en c B  %  BÀ  . Expresar las siguientes funciones en serie de Fourier trigonométrica: Á    !   ³  ²!³ ~ F ³  ²!³ ~ !Á  c   !   Á    !   ³  ²!³ ~  ! Á c   !   ³  ²!³ ~  c ! Á  c   !   |  Á    !   c !Á  c   !   ³ ³ ²!³ ~ } Á    !    ³ ²!³ ~ F !Á    !    ~ Á    !   Á  c   !    !Á  c   !   ³  ²!³ ~ F ³ F   !Á    !   ! Á    !   17. Expresar las siguientes funciones en serie de Fourier trigonométrica: | Á  c   %  c   ³  ²%³ ~ } O%OÁ  c   %   ~  Á    %   % b Á  c   %   ³ ²%³ ~ F % c Á    %    ³  ²%³ ~ % Á c   %  Á ³  ²%³ ~ cO%O Á c   %   % Á c   %   c % Á c   %   ³ ²%³ ~ F %  ³  ²%³ ~ H     Á %  Á   %  ³  ²%³ ~ % Á c   %   ³ ²%³ ~ O%OÁ c   %   Á c   %   %Á c   %  ³ ²%³ ~ F ³ ²%³ ~ F c Á   %    c %Á   %  

 

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107

Á c % Á c % ³ ²%³ ~ F   %Á   %   % Á % ³  ²%³ ~ %² c %³Á c   %   ³  ²%³ ~ c Á c   %   o³  ²%³ ~ ² b % ³Á c  %   ³ ²%³ ~  c % Á c   %    À Cuales de las funciones siguientes ¿ son pares , impares, o ni impares ni pares ?  a) % Á % Á  %Á %  %Á % % Á %Á  % Á  % ³ O%OÁ % %Á  % b  %Á ²constante)Á ² b % ³ c % 19. Las siguientes funciones se suponen son periódicas, de período 2, ¿ cuáles son pares, impares o ni impares ni pares ? ³  ²%³ ~ % ² c   %  ³ ³ ²%³ ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ %O%O ² c   %  ³ ³  ²%³ ~ O%O ² c   %  ³ %Á % c % Á  c% ³ ²%³ ~ F  ³ ²%³ ~ F  Á    %   %Á  % %Á ²-   %   ³ % Á ²-   %   ³ ³ ²%³ ~ F ³ ²%³ ~ F Á ²   %   ³ c % Á ²   %   ³ . Si  ²%³ es impar, entonces mostrar que O ²%³O y   ²%³ son pares 21. Si  ²%³ es par, entonces mostrar que O ²%³OÁ   ²%³ y   ²%³ son pares. 22. Si ²%³ está definida para toda %, entonces demostrar que la función ³ ²%³F

²%³b²c%³

²%³c²c%³

²%³ ~ es par y la función ²%³ ~ es impar.   23. Usando 22, representar las siguientes funciones como suma de una función par y una función impar   % ³ c% ³ c% ³ % ³ %b  24. Hallar las series de Fourier de las funciones siguientes que se suponen tienen período 2. Á c   %   %Á % ³  ²%³ ~ F ³ ²%³ ~ F    c %Á   %   Á   %  % ³ ²%³ ~  ² c   %  ³ ³ ²%³ ~ O  % O ² c   %  ³  À Usando series de Fourier de algunas funciones de los ejercicios anteriores o usando la identidad de Parseval demuestre que ³  c  b  c  b Ä ~  ²<  ³³    ³  b  b  b 

b  b Ä ~  ²<  ³   ³  c  b  c 

b c Ä ~   d) 1 b  b  b  b Ä ~  26. Hallar los desarrollos de medio rango de las siguientes funciones: ³  ²%³ ~  ²  %  ³ ³  ²%³ ~  c % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~  ²  %  ³  ³  ²%³ ~ % ²  %  ³   %Á   %     %   Á ³  ²%³ ~ F  ³  ²%³ ~ F   c %Á   %   Á   %    %Á   %    c%   %  ³  ²%³ ~ F  ³  ²%³ ~ F Á     c%  %    % 

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108

³  ²%³ ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~  % ²  %  ³ ³  ²%³ ~  % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ % ~ % ²  %  ³ ³  ²%³ ~  % ²  %  ³ ³  ²%³ ~  % ²  %  ³ ³  ²%³ ~ % ²  %  ³ !³  ²%³ ~  c % ²  %  ³ "³  ²%³ ~ c% ²  %  ³ À Dada la función  ²%³ ~  c %Á   %   Á hallar a) El desarrollo senoidal b) El desarrollo cosenoidal c) La serie de Fourier completa en forma trigonométrica.

§7.

TRABAJOS DIRIGIDOS EN FORMA DE TALLER

Taller No.1 ." À  (³Hallar 5  o tal que si  ‚ 5 Á entonces | b c O   À  ²³ Pruebe que lim b ~ À ¦B

." À Si ¸  ¹B ~ es una sucesión de números reales Á



 4 y lim

¦B



~ 3 probar que

34

." À Si ¸  ¹B ~ es una sucesión de números reales y si pruebe que lim

¦B



lim

¦B



~ 3 Á lim

¦B

c

~ 3Á

~ 3. ²Esto es, si las subsucesiones de ¸  ¹B ~ de términos pares y

de términos impares convergen a 3, entonces la sucesión ¸  ¹B ~ también converge a 3³.

." À ²³ Halle 5  o tal que si  ‚ 5 entonces j   À b  ²³ Pruebe que lim j ~ ¦B

Taller No.2 ." À

b

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109

Halle el límite superior y el límite inferior para las siguientes sucesiones ²³ Á Á Á Á Á Á Á Á Á à ²³ ¸ ²  ³¹B ~ ²³ ¸² b  ³  ¹B ~

B ²³¸ ² b  ³ ¹~

." À ¿Cuales de las siguientes sucesiones son monótonas?  B B  B ²³ ¸  ¹B ²³ ¸! ¹~ ²³¸ b  ¹~ ²³¸ b ² c ³ ¹~ ~

." À Sea



~ j y sea b ~ jj  para  ‚  ²³ Pruebe, por inducción que    para todo  ²³ Pruebe que b ‚  para todo  ²³ Pruebe que ¸  ¹B ~ es convergente ²³ Pruebe que lim  ~  ¦B

." À Supóngase que  €  €  y sea b ~  ² ²³  Á  Á Á à es decreciente ²³ s Á  Á Á à es creciente ²³ ¸  ¹B ~ es convergente.



b

c ³²

‚ ³À Pruebe que

." 5. Demuestre que :   ²³ lim  ~  (donde  es el logaritmo natural) ¦B

²³ ~  ¦B  lim  ~  ¦B 

²³ lim ²³

 ²  es una constante) ² € ³À

." À  Para   o sea ! ~  b [ b [ b [ b Ä b [ ²³ Probar que ¸! ¹B ~ es creciente. ²³ Usando solamente hechos establecidos en la prueba de   B B lim ¸² b  ³ ¹~ Á para probar que ¸! ¹~ es acotada por encima y probar que

¦B

lim ! ‚ lim ² b  ³ À

¦B

¦B

Taller No.  ." À 

1. Probar que  b [

b

 [

b



[

bÄ

es convergente.

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110

B

2. Si      ² ‚ ³ y si   %  Á entonces probar que   % converge y que ~

 su suma no es más grande que c% À

." À

B

 1. Mostrar que  ² c ³b c es divergente. ~

2. Clasifique como divergente, condicionalmente convergente ó absolutamente convergente a cada una de las siguientes series:  ²³  c [ b [ c [ b Ä ²³  c  b  c  b Ä ²³  c  b  c  b Ä

." À

B

1. Mostrar que   

²³  c  b  c  b  c  b Ä

converge si y sólo si para cada  €  existe 5  o tal que

~

c   c  À Esta propiedad es conocida como condición de Cauchy para las series. ~b

2. Pruebe que si  b   b   b Ä converge a ( , entonces     ² b  ³ b  ² b  ³ b  ² b  ³ b Ä es convergente. ¿Cual es el valor de la suma de la segunda serie?.

." À 1.¿Para que valores de  la serie  c  b  c  b Ä es convergente?     2. Si % no es un número entero, probar que %b c %b b %b c %b b Ä es convergente.

." 5.

B

1. ¿ Es la serie  ² b  ³ convergente ó divergente? ¿ cuál es la razón de su ~

afirmación?À 2. Pruebe que para cualesquiera Á   s la serie  b ² b ³ b ² b ³ b ² b ³ b Ä diverge a menos que  ~  ~ À

." À À Pruebe que la serie ² c  ³ b ² c  ³ b ² c  ³ b Ä es convergente si y sólo si ¸ ¹B ~ es convergente. La serie así obtenida es llamada serie telescópica y se tiene que B

 ² c b ³ ~  c lim  À ~

¦B

À ¿ Para que valores de % la serie ² c %³ b ²% c % ³ b ²% c % ³ b ²% c % ³ b Ä

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111

es convergente?.

." À B B  b 3 À ¿  2 b converge ó diverge ? ¿ b  ²b³ converge ó diverge ? ~

~

2. Mostrar que si la serie  b  b  b Ä converge a 3Á entonces también  b  b  b  b  b  b Ä converge a 3À Más generalmente mostrar que cualquier número de términos con 0 pueden ser insertados en una serie convergente sin alterar su convergencia ó suma.

Taller No.4 ." À

B

1.Pruebe si es verdad ó de un contra-ejemplo en caso de ser falso: Si   es una serie ~

B

convergente de números reales positivos y   es una serie divergente de términos B

B

~

~

~

positivos, entonces   ‡   À 2. ¿ cuales de las siguientes series son convergentes ? B  B B ²³   ²³  b ²³    À ~

[

~

b

~

b

." À 1. ²³ ¿El criterio de la razón da alguna información acerca de la convergencia de la serie 2  3 b 2  3 b 2  3 b 2  3 b 2  3 b Ä ?. ²³ ¿Es esta serie convergente?  2. Si ¸ ¹B lim O b O ~ 3   pruebe que ~ es una sucesión de números reales, y si ¦B



lim  ~ À

¦B

." À À Use el criterio de la raíz en las siguientes series y que puede concluir en B

B



²³  % ~

²³  ²³ B

~

B ²b  ³ 

²³ 

~



. Mostrar que  % converge para todo %  sÀ ~ B

3. ¿ Para qué valores de % la serie  % es convergente ?. ~

." À



À

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B

112



 1. Pruebe que  % ~  c% À ~

B



j% 2. Estudie la convergencia de la serie   b% %À ~

." À

  B  ³ bµ  ´²b jÀ b ~  

1. Pruebe que

~ ² ³´b B % b%   

% ~

2. Pruebe que

~

c%

." À

µ

À

B

1. Mostrar que si O%O   entonces   % converge absolutamente. ~

  2. Para cada % €  probar que las series  c %[ b %[ c Ä y convergen absolutamente.

 % c %[ b % [ c Ä

." 7À 1.¿ Para que valores de % la serie  b % b % b % b Ä converge ?   2. ¿ Para que valores de % la serie % c % b % c % b Ä converge ? B B  b  O O  BÀ 3. Si  O O  B y para cada   oÁ O b O  O O Á probar que   

~



~

Taller No. ." À 1. Sea  la función característica del intervalo abierto (0,  ³ ²  %  ³ ²³ Probar que ¸ ¹B ~ converge hacia 0 en ´Á µ (b) ¿Existe 5  o tal que si  ‚ 5 entonces | ²%³ c O   para todo %  ´Á µ ? (c) Calcular



lim   ²%³%

¦B

(d) Compare () con (c). (: ( ‰ sÁ ! (   función característica  ( &  !á    í ¢  %( ( ~ F  %¤( ³ B

% 2.¿ Será la serie  b%   uniformemente convergente en ² c BÁ B³ ? ~

." À Z 1. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones en [Á µ tal que  ²%³ existe para cada %  [a,b] ²  o y

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113

²³ ¸ ²% ³¹B ~ converge para algún %  ´Á µ Z B ²³ ¸ ²%³¹~ converge uniformemente en ´Á µ Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente en ´Á µ. 2. Demostrar que la serie

B   ² c ³ % b converge uniformemente en cualquier 

~

intervalo acotado, pero no converge absolutamente para ningún valor de %À

." À

% . Consideremos  ~ b%  si %  sÁ  ~ Á Á Á à Encontrar la función límite  de B B la sucesión ¸ ¹~ la función límite de la sucesión ¸Z ¹~ . Z Z ²³ Demostrar que  ²%³ existe para todo % pero  ²³ £ ²³ À¿ Para qué valores de % es  Z ²%³ ~ ²%³ ? ²³ ¿ En qué subintervalo de s,  —  uniformemente ? ²³ ¿ En qué subintervalo de s, Z —  uniformemente ?

2. Si

B

B

~

~

 O O es convergente, pruebe que   %

converge uniformemente para

%À

." À 1. Sea  ²%³ ~ %² b  ³Á %  s ~ ² c BÁ B³   % ~  Á óÁ %     ²%³ ~ H  b   %  r ²% ~   € ³ B ²³ Demostrar que ¸ ¹B y ¸ ¹~ convergen uniformemente en cualquier ~ intervalo acotado. ²³ Demostrar que ¸ h  ¹B ~ no converge uniformente en ningún intervalo. B



²c³ 2. Demostrar que la serie  j ² b 2 % 3³ converge uniformemente en s. ~

." À

À Sea  ²%³ ~ % ²  %  ³À Demuestre que ¸ ¹B ~ converge uniformemente Z B a  en ´ Á µ , pero que ¸ ¹~ no converge puntualmente a  en ´ Á µÀ 2.Usando en teorema de Taylor deduzca la serie  % ó sea, muestre que    % ~  c %[ b %[ c Ä ² c B  %  B³ Análogamente deduzca que   % ~ % c %[ b % [ c Ä ² c B  %  B³

." À

%

1. Sea  ²%³ ~ % c  ²  %  B³ ²³¿ Convergerá ¸ ¹B ~ uniformemente a 0 en ´Á B³ ? ²³ ¿ Convergerá ¸ ¹B ~ uniformemente a 0 en ´Á µ ?

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114

2. Sea ¸ ¹B ~ una sucesión de funciones en s tal que O: ²%³O  4 ²  o %  s³ donde : ~  b  b Ä b  À Sea ¸ ¹B ~ una sucesión decreciente de números B

reales positivos la cual es convergente hacia cero. Pruebe que

   converge ~

uniformemente en s.

." À

À Sea  ²%³ ~  c% ²  %  B³À Probar que ¸ ¹B ~ converge uniformemente a  en ´Á B³À À Demostrar que cada una de las siguientes series convergen uniformemente en el intervalo indicado: B B ()     ²  %  B ³²³  c% % ²  %  ³ ~ B

( )

 b%

 % ~  

~

para todo %  s.

Taller No. 6 ." À À Si  es una función a valor real en ´Á  b µ tal que  ²b³ ²%³ existe para todo %  ´Á  b µ y  ²b³ es continua en ´Á  b µÁ entonces 

 ²%³ ~  ²³ b   ~

²³

²³ [ ²%

c ³ b

 % [  ²%

c !³  ²b³ ²!³!

Este resultado es conocido como “ ó"  ; &   ! !”. Halle la fórmula de Taylor con resto integrable de  ²%³ ~  % ² c B  %  B³ y  ~  . Demuestre además que % O%Ob O [  ²% c !³  ²b³ ²!³! O  ²b³[ ² c B  %  B³ ZZ Z À La ecuación %& b ² b  c %³& b & ~  es conocida como la ecuación de  % c   Laguerre cuya solución es dada por 3 ²%³ ~ [  % % c% %b  para   %  BÁ estas funciones son llamadas los polinomios de Laguerre. Demostrar que los polinomios de Laguerre forman un conjunto ortogonal.

." À

B

À ²³ Supóngase que  ²%³ ~   % converge para todo % de algún intervalo ² c 9Á 9³ ~

y que  ²%³ ~  para todo % de ² c 9Á 9³. Demostrar que cada  ~ À ²³ Supóngase que sólo sabemos que  ²% ³ ~  para alguna sucesión ¸% ¹B ~ con lim % ~ À Demostrar de nuevo que cada  ~ 

¦B

B

B

~

~

²³ Supóngase que  ²%³ ~   % y ²%³ ~   % convergen para cada % en algún intervalo que contiene a  y que  ²% ³ ~ ²% ³ para alguna sucesión ¸% ¹B ~ que

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115

converge hacia . Demostrar que  ~  para todo À En particular, “una función tiene una representación única como serie de potencias centradas en  ”. À Hallar las series de Fourier de las funciones siguientes que se suponen tienen período 2. Á c   %   %Á % ³  ²%³ ~ F ³  ²%³ ~ F À      %   c %Á Á  %   

." À

B

1. Demostrar que la serie binómica ² b %³ ~  2  3% presenta el siguiente ~

comportamiento en los puntos % ~ f  ²³ Si % ~ c , la serie converge para  ‚  y diverge para   À (b) Si % ~ Á la serie diverge para   c , converge condicionalmente para c     Á y converge absolutamente en [0,1] 2.Dada la función  ²%³ ~  c %Á   %   Á hallar a) El desarrollo senoidal b) El desarrollo cosenoidal c) La serie de Fourier completa en forma trigonométrica.

." À 

c O%O

% £  À  % ~  ³ Demuestre que existe  ²³ ²³ para todo %. À Sea

 ²%³ ~ H

B ²³  ²³ ³ Demostrar que la serie  [ % converge para todo %, pero no es igual a  ²%³ ~

si % £ À . La ecuación & ZZ c %&Z b & ~  es conocida como ecuación de Hermite y tiene por  %   c % solución a las funciones /b ²%³ ~ ² c ³   %  6 7, llamadas polinomios de

Hermite. Demostrar que los polinomios de Hermite forman un conjunto ortogonal en c B  %  BÀ

." À 1. La sucesión de Fibonacci ¸ ¹B ~ está definida por  ~  ~ Á b ~  b c. b ²³ Demostrar que   . B

²³ Sea  ²%³ ~   % ~



c

~  b % b % b % b Ä . Utilizar el criterio del cociente

para demostrar que  ²%³ converge si O%O   c ²³ Demostrar que si O%O   Á entonces  ²%³ ~ % b%c ²0ó ¢ Esta ecuación  se puede escribir como  ²%³ c % ²%³ c %  ²%³ ~  ³

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116

²³ Utilizar la descomposición en fracciones simples para  %c

 % b%c ,

y la serie de

potencias de para obtener otra serie de potencias para  À ²³ Se sigue por un ejercicio anterior, que las dos series de potencias obtenidas para  deben ser idénticas. Utilizar este hecho para demostrar que  ~

4

  bj cj  5 c4  5

j

À

2. La ecuación ² c % ³ & ZZ c %&Z b  & ~  es llamada ecuación de Chebyshev cuya solución son los polinomios de Chebyshev ; ²%³ ~  ´   %µ para c   %  À Demostrar que los polinomios de Chebyshev forman un conjunto ortogonal.

." À

B

1. Demostrar que la serie  2  3% converge para O%O  . ~

²³ Demostrar que ² b %³ Z ²%³ ~  ²%³ para O%O   ²³ Demostrar ahora que cualquier función  que satisfaga la parte ²³ es de la forma  ²%³ ~ ² b %³ para cualquier constante  , y utilizar este hecho para establecer la serie  ²%³

binomial ²0ó ¢ *  é  ²%³ ~ ²b%³ ³ 2. Hallar las funciones propias y los valores propios del siguiente problema de SturmLiouville: & ZZ b & Z b ² b ³& ~ Á &²³ ~ Á &²³ ~ À

7.1. Evaluación final B 1. a) Se considera una sucesión ¸" ¹B ~ creciente y una sucesión ¸# ¹~ decreciente y se supone que "  # cualquiera que sea el número entero . Mostrar que las B B sucesiones ¸" ¹~ y ¸# ¹~ son convergentes y que lim "  lim # À Si además la sucesión ¸# c

" ¹B ~

¦B

¦B

tiene por límite a 0, las dos sucesiones tienen el mismo límite.

B ³ Aplicar el resultado de la parte a) a las sucesiones ¸" ¹B ~ y ¸# ¹~ definidas por

" y # dados ²  "  # ³ y por  "b ~ j" # Á #b ~ " b#  B

c%  À Muestre que la serie   b converge uniformemente si % ‚  y diverge si %  À

~

B

c%

Para valores positivos de % , se define una función  por  ²%³ ~   b À Usando los ~

teoremas de continuidad y derivabilibad para la convergencia uniforme demuestre que  ²%³ es continua para % ‚  y derivable para % € À

 À Sean  un número real dado, ! y % dos variables reales. ³ Determine la serie de Fourier trigonométrica de la función  definida por

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 ²!³ ~  ! si c   !  À ³Explique por qué la suma de la serie obtenida es igual a  ²!³ si c   !   y determine el valor de la suma para ! ~ . B ³ Deducir de la parte ³ que : ! % ~  b   %  ² :": Tome % ~ ! %

~

% c 

en la parte ³³.

7.2. Solución de la evaluación 1.a) Las hipótesis entrañan que "  "  #  # ²D ~ Á Á Á à ³ La sucesión es creciente acotada superiormente por # , por lo tanto # es una cota superior del conjunto ¸" Á " Á " Á à ¹  la sucesión ¸# ¹B ~ es decreciente minorada B por " , por lo tanto " es una cota inferior del conjunto ¸# ¹~ . Recordando el teorema 5 del §1(No.1.7) (respectivamente el teorema 4 de la misma sección) tenemos que las B sucesiones ¸" ¹B ~ y ¸# ¹~ son convergentes digamos a " y # respectivamente. Así existen " ~ lim " y # ~ lim # À ¸" ¹B ~

¦B

¦B

Si  y  son dos enteros arbitrarios "  "b  #b  # . Un minorante del conjunto ¸# Á # Á # Á à Á # Á à ¹ es inferior a #² ~  # ³ , por su parte # es un mayorante del conjunto ¸" Á " Á " Á à Á " Á à ¹ y por lo tanto mayor a "² ~ " " ³À En consecuencia "  "  #  # ¬   # c "  " c # À Si # c " £  y si lim ²# c " ³ ~  , por la definición de límite, es posible hallar un ¦B

número 5 tal que  € 5 ¬ # c "  # c "À Esto es imposible por la hipótesis y entonces, por contradicción # c " ~  si lim ²# c " ³ ~ .

¦B

b) Por recurrencia, se verifica comodamente que " €  y # € À

c  c  # c " ~ ² "c b# ³ c "c #c ~ ² #c c" ³ ‚ .   Puesto que " y # son positivos, se puede escribir "b ~ j" # ‚ " # c " ‚  ¬ # ‚ " entonces H # ~ " b#  #

b

¸" ¹B ~

B ¸# ¹~





La sucesión es creciente, la sucesión es decreciente y además "  # À Los resultados precedentes implican que: "  "b  #b  # # c"   #b c "b  #b c " ~  ™ #b ~

" b# 

De donde por recurrencia sobre  ¢ # c"   # c "    # c" En efecto, # c "     # c " 

# c" 



# c" 



~

# c " 

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# c " 

Suponiendo por hipótesis de inducción  #b c "b  # c" 

118

# c"  ,

 ™

# c" 



ahora # c"

~ b 

hipótesis de inducción

Así la sucesión # c " tiene por se han verificado y las sucesiones o sea lim " ~ lim # À ¦B

lim ²# c " ³ ~ À Todas las hipótesis de la parte a)

¦B ¸" ¹B ~

B y ¸# ¹~ convergen hacia el mismo límite,

¦B

ÀLos términos de la serie son positivos

c% % ‚  ¬  b  b

B

c%

Usando el criteio M de Wierstrass (ver teorema 2 §4.) la serie   b converge ~ uniformemente.

B

c% c% Si %  Á entonces lim  b ~ b B, así   b es divergente.

¦B

~

Por lo tanto para % ‚ Á se ha visto que el término general de la serie es mayorado por  la serie  b Á término general de una serie convergente; este resultado entraña que c%  converge uniformemente en ´Á b B³À Según el teorema 1 del §4. como ¸  b ¹B ~ es B

c%

una sucesión de funciones continuas, entonces   b ~  ²%³ es continua, ya que la ~ convergencia es uniforme. B c% La serie derivada  c   b tiene su término general ~1

B

cc%  b

B

 c  b no convergente

  tenemos para % ~ , puesto que al comparar  c  b con  ~ ~ Pero

c b  ¦B 

lim

B c%  c  b converge para todo % positivo: La sucesión

~

c%

 Oc% O  , luego c  b c   b y B

(2) ~   ³. Como % ¦ ~

B   ~

 b

es convergente

c% es una función creciente de %,

~ c .

c — 

así

(compare con

es evidente que

c% c % ‚  €  ¬ c%  c entonces c c  c b   b .

B

c

Como la serie   b es convergente; se sigue la convergencia uniforme de la serie ~ B

c%

derivada  c  b en el intervalo ´Á b B³À Se dice entonces que la función  ²%³ es ~ B

derivable si % ‚  y que

c%

 Z ²%³ ~  c  b À ~

Si % € Á se puede tomar un número  tal que     %  À el resultado precedente es también valido y la función  es derivable para el valor % À La función  es así derivable en todo valor % € À

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3. (a) La función  es par, los coeficientes  son nulos para los coeficientes  se puede hacer las integrales en el intervalo ´Á µ y doblar el resultado obtenido   ~    ! ! ~   

    ! !  !  !  ~    !  ! ! ~  ²  , c b    !  ! !³ c c        ²

       ³   ³   !  ! ! ~  ² c     ²c³     c   ²   ³   !  ! ! ~ c  

c



¯



así  ²c³    ~    !  ! ! ~ ² c  ³

Obteniéndose

B     ²c³    ²!³ ~  b h  !    c 

²³

~

³ En la teoría de series de Fourier, las funciones consideradas son supuestas periódicas; falta así prolongar la función  y tomar  ² c ³ ~  ²³ ~  Á  ² b ³ ~  ²!³ La función  es entonces continua en ´ c Á µ y derivable en este intervalo, es decir ella es derivable a derecha en c  y derivable a izquerda en . Se deduce que la función periódica  es continua y admite derivada a derecha y a izquierda en cualquier punto % del intervalo ´ c Á ); pero ella no admite derivada para el valor  pues  Z ² c ³ ~ c  Á  Z ² b ³ ~  . Se dice entonces que la serie de Fourier converge hacia  ²!³ para todo valor de ! y por lo tanto hacia  ! para todos los valores de ! de ´ c Á µÁ el valor  está comprendido y posee el valor  ²³ ~   c) En particular, si ! ~  en ²³ se tiene: B

   ~ <  b

~

 < 

B

b ~

~

²c³     ² c  ³ =

  ² c  ³ =.Tomando

B % !% ~ % b  % c   ~

…

BIBLIOGRAFIA

 ~ % se tiene

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[1] Apostol Tom M.: Calculus. Volumen 0 . Blaisdell Publishing Company. 1962 [2] Apostol Tom MÀ: Análisis Matemático. Editorial Reverte, S.A 1960 [3] Kaplan Wilfred : Matemáticas avanzadas .Addison-Wesley Iberoamericana. 1986 [4] Kreyszig Erwin: Matemáticas avanzadas para Ingeniería. Volumen 1. Limusa. 1979 [5] Kuntzmann Jean: Séries. Hermann Collection. Paris 1967. [6] Lefort G.: Algébre et Analyse. Exercices. Dunod . Paris 1961 [7] Muñoz Quevedo José M.: Introducción a la teoría de conjuntos. U . Nal. 1979. [8] Sánchez H. JÀ D.:Teoría general de Ecuaciones Diferenciales lineales. C.D. 1985. [9] Sánchez H. J.D.: Elementos de operadores autoadjuntos de segundo orden.C.D Bogotá 1995. [10] Sánchez H. J.D.: Matemáticas V. U.Nal 1998. [11] Spivak Michael : Calculus . Volumen II. Editorial Reverte S.A. 1978. [12] Takeuchi Yu : Sucesiones y series. Tomos 1 y 2. U. Nal. 1971.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a: [email protected]

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