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CÁLCULO 4 SESIÓN 2: LA SERIE DE FOURIER

COMPLEJA

LA EXPONENCIAL Y LOS COMPLEJOS

 ¿Se puede extender la definición de la función exponencial a los complejos?  ¿Qué relación hay del seno y coseno con la exponencial?

2

LOGRO DE SESIÓN

Al concluir la sesión, el estudiante resuelve problemas haciendo uso de la Series de Fourier Complejas.

10/01/2018

3

Teoría y ejemplos

Forma Compleja de la Serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0. f (t ) 

1 a 2 0



  [a n cos(nw0 t )  b nsen (nw0 t )] n 1

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: cos(nw0 t )  12 (e jnw0 t  e  jnw0 t ) sen (nw0 t ) 

Donde Series de Fourier. 5

j  1

1 2j

(e jnw0 t  e  jnw0 t )

Forma Compleja de la Serie de Fourier Sustituyendo 

f ( t )  12 a 0  [a n 12 (e jnw0 t  e  jnw0 t )  b n n 1

1 2j

(e jnw0 t  e  jnw0 t )]

Y usando el hecho de que 1/j=-j 

f ( t )  12 a 0  [ 12 (a n  jb n )e jnw0 t  12 (a n  jb n )e  jnw0 t ] n 1

Y definiendo:

c0  12 a 0 , cn  12 (a n  jb n ), cn  12 (a n  jb n ) Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar. Series de Fourier. 6

Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como 

f ( t )  c0   (c n e jnw0 t  c n e  jnw0 t ) n 1

O bien,



f (t )  c0   c n e

jnw0 t

n 1

Es decir,

f (t) 

Series de Fourier. 7

  cn e n  1



c e

n  



n

jnw0 t

jnw0 t

Forma Compleja de la Serie de Fourier A la expresión obtenida

f (t) 



c e

n  

jnw0 t

n

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T cn 

1 T

 f ( t )e 0

Para n=0, 1, 2, 3, ... Series de Fourier. 8

 jnw0 t

dt

Forma Compleja de la Serie de Fourier Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar: c n  c n e jn c n  c*n  c n e  jn

Obviamente,

Donde cn  a  b , Para todo n0, 1 2

2 n

2 n

bn n  arctan( ) an

Para n=0, c0 es un número real: c0  12 a 0 Series de Fourier. 9

Forma Compleja de la Serie de Fourier Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: 1 ... ..

-T/

2

f(t)

0

T/

2

T .

t

-1

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn): an=0 para todo n n 2 b n  np [1  (1) ] para todo n y Series de Fourier. 10

Forma Compleja de la Serie de Fourier Podemos calcular los coeficientes cn de: cn  [a n  jb n ]   j 1 2

1 2 2 np

[1  (1) ] n

cn   j [1  (1) ] n

1 np

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda f ( t )  p2 j(...  15 e  j5w0 t  13 e  j3w0 t  e  jw0 t e Series de Fourier. 11

jw0 t

 e 1 3

j3w0 t

 e 1 5

j5w0 t

 ...)

Forma Compleja de la Serie de Fourier Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral T

cn 

1 T

 f ( t )e

 jnw0 t

dt

0 T/2

 T1 (  e  jnw0 t dt  0

 T1 (  jn1wo e  jnw0 t

T

 jnw0 t  e dt )  T/2

T/2

  jn1wo e  jnw0 t

0

 Series de Fourier. 12

1  jnwo T

[(e

 jnw0T / 2

 1)  (e

T

) T/2

 jnw0T

e

 jnw0T / 2

)]

Forma Compleja de la Serie de Fourier Como w0T=2p y además e j  cos   jsen cn 

1  jnwo T

[(1)  1)  (1  (1) )]

 j

n

2 nwo T

n

[1  (1) ] n

  j [1  (1) ] 1 np

n

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

Series de Fourier. 13

Forma Compleja de la Serie de Fourier Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente función de periodo 2p. a) A partir de los coeficientes an,bn b) Directamente de la integral Senoidal rectificada de media onda 1

f(t)

0.8 0.6 0.4

0.2 0 -0.2 Series de Fourier. 14

-6

-4

-2

0

t

2

4

6

Medidores Digitales El Fluke 123 scope meter

Series de Fourier. 15

Medidores Digitales Tektronix THS720P (osciloscopio digital)

Series de Fourier. 16

Medidores Digitales Analizador de potencia PP-4300

Es un equipo especializado en monitoreo de la calidad de la energía: permite medición de 4 señales simultáneas (para sistemas trifásicos)

Series de Fourier. 17

Bibliografía