11.3 Límite De Una Función.pdf

Fundamentos para el Cálculo

Unidad 4: Límite de una función Clase 10.3: Límite de una función Límites laterales

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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LOGRO Al finalizar la sesión, el alumno calcula el límite puntual y los límites laterales de funciones, haciendo uso de aproximaciones y también gráficamente.

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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DISCUSION DEL CASO FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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Veamos el comportamiento de la función g(x) = 2x + 1 para valores de x próximos a 2. x

g(x)

2,1

5,2

2,01

5,02

2,001

5,002

2,0001

5,0002

2

5

x

g(x)

1,9

4,8

1,99

4,98

1,999

4,998

1,9999

4,9998

2

5

Observamos que a medida que el valor de x se acerca a 2, el valor g(x) se acerca a 5. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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Ejercicio 1. Determine el valor de los siguientes límites usando aproximaciones: x3  1 a. lim x 1 x  1

1 b. lim 2 x 0 x

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FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Límites laterales Consideremos la función f definida por:

Cuando x se aproxima a 3 con valores mayores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha.

Vemos que f (x) tiende a 4. Esto se puede escribir matemáticamente como: x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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Límites laterales

Cuando x se aproxima a 3 con valores menores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda. Vemos que f (x) en este caso también tiende al valor 4. Esto se simboliza por:

x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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Existencia de límites Si realizamos ambas aproximaciones a la vez vemos que

f (x) tiende a 4 y se simboliza por

x Decimos que

x

Se aprecia que cuando x3 ya sea por la izquierda o por la derecha, f (x)  4 existe si y sólo si

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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VOLVAMOS AL CASO FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

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Analicemos el comportamiento de la función g cuando x se aproxima a 3:  x  1, si x  3 g ( x)   8  x, si x  3

¿qué ocurre con el valor de g (x) cuando x  3 ? Se aprecia que

lim g ( x)  5

x 3

lim g ( x)  4

x 3

Por lo tanto, lim g ( x) no existe x

x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

x3

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Ejercicio: (a) De la gráfica de la función f, determine el límite de f (x) cuando x tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5. 5

y

4 3

2

f

1 −6 −5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

x

−1 −2 −3 −4 11