Seminario Ee615-2018-1.docx

SEMINARIO P1) La Figura 1; muestra esquemáticamente el sistema de control de posición angular (ángulo de azimut) de una antena de comunicaciones. Así mismo, se muestran literalmente los parámetros del sistema. Halle el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema. (5P)

Antena

Potenciómetro

Kp

JA; BA

𝜃𝑖 (𝑡) Ángulo azimut deseado

𝜃0 (𝑡) Ángulo azimut de salida

N1

N2

N2

Amplificador diferencial de Potencia.

KA Potenciómetro

Kp Motor DC controlado por armadura

Jm; Bm; Tm; Km; Kb: Ra; La Figura 1.

SOLUCIÓN P1 El circuito electromecánico del sistema es:

Ra +

Amplificador

e

KA

+

m

+ vb

va

N1

0

ia

Kp i

El diagrama de bloques del sistema es:

V

Km Kb

J A , BA

N2

Antena

0 N2

Ѳi(t)

+

Kp

Tm

+ b

Y la función de transferencia del sistema es: 𝜃0 (𝑆) 𝜃𝑖 (𝑆)

=

𝐾𝑝 𝐾𝐴 𝐾𝑚 𝑛 3 𝐿𝑎 𝐽𝑒𝑞 𝑆 +(𝑅𝑎 𝐽𝑒𝑞 +𝐿𝑎 𝐵𝑒𝑞 )𝑆 2 +(𝑅𝑎 𝐵𝑒𝑞 +𝐾𝑏 𝐾𝑚 )𝑆+𝐾𝑝 𝐾𝐴 𝐾𝑚 𝑛

Donde:

𝐽𝑒𝑞 = (𝐽𝑚 + 𝑛2 𝐽𝐴 );

𝐵𝑒𝑞 = (𝐵𝑚 + 𝑛2 𝐵𝐴 );

𝑁

𝑛 = 𝑁1 2

Rpta.

m

Ѳ0(t)

P2) Escriba las ecuaciones que describen al sistema térmico de la Figura 2 y halle la función de transferencia

𝑇1 (𝑠) 𝑄(𝑠)

.

Figura 2.

SOLUCIÓN P2 Variación de calor en el interior de la cámara:

𝑞−

𝑇1 −𝑇2 𝑅1

= 𝐶1

𝑑𝑇1

(1)

𝑑𝑡

Variación de calor en la pared: 𝑇1 −𝑇2 𝑅1

−

𝑇2 −𝑇𝑎 𝑅2

−= 𝐶2

𝑑𝑇2

(2)

𝑑𝑡

Hallando la transformada de Laplace a (1) y (2) con condiciones iniciales nulas tendremos: (𝑅1 𝐶1 𝑆 + 1)𝑇1 (𝑆) − 𝑇2 (𝑆) = 𝑅1 𝑄(𝑆)

(3)

−𝑅2 𝑇1 (𝑆) + (𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝑆 + 𝑅1 + 𝑅2 )𝑇2 (𝑆) = 𝑅1 𝑇𝑎 (𝑆)

(4)

En el sistema tenemos que la salida es 𝑇1 (𝑆) y existen dos entradas, la fuente de calor q y la entrada perturbadora 𝑇𝑎 . Finalmente, por superposición, hacemos 𝑇𝑎 (𝑆) = 0 en (4), luego hallar 𝑇2 (𝑆) y la reemplazamos en (3), de donde obtenemos:

𝑇1 (𝑆) 𝑄(𝑆)

= (𝑅

𝑅1 (𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝑆+𝑅1 +𝑅2 )

1 𝐶1 𝑆+1)(𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝑆+𝑅1 +𝑅2 )−𝑅2

Rpta.

P4) Halle el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de control de velocidad siguiente.

N1

Wr Velocidad de referencia

N2

Kp Motor DC controlado por armadura

Wo Velocidad de salida controlada

Tacómetro electromagnético

Parámetros del sistema: Jm y JL: Masa inercial del motor y carga, respectivamente. Bm y BL: Fricción viscosa del motor y carga, respectivamente. Ra y La: Resistencia e inductancia de armadura del motor. Km: Constante del motor. Kb: Constante de fuerza contra electromotriz del motor. Kt: Constante del tacómetro electromagnético. Kp: Constante del controlador proporcional.

n=N2/ N1: Relación del tren de engranajes.

SOLUCIONARIO

En el detector de error

𝑒 = 𝜔𝑟 − 𝑏

Donde b es la medición de la salida controlada mediante el tacómetro electromagnético y es

(1)

𝑏 = 𝐾𝑡 𝜔0

(2)

(2) en (1)

𝑒 = 𝜔𝑟 − 𝐾𝑡 𝜔0

(3)

𝐸(𝑠) = 𝑊𝑟 (𝑠) − 𝐾𝑡 𝑊0 (𝑠)

(4)

A la salida del controlador (Amplificador) 𝑣𝑎 = 𝐾𝑝 𝑒

(5)

𝑉𝑎 (𝑠) = 𝐾𝑝 𝐸(𝑠)

(6)

En el circuito de armadura del motor DC (controlado por armadura)

𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑡

+ 𝑣𝑏

(7)

Donde 𝑣𝑏 es la fuerza contra-electromotriz y es igual a

𝑣𝑏 = 𝐾𝑏 𝜔𝑚

(8)

(6) en (5)

𝑣𝑎 = 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑡

+ 𝐾𝑏 𝜔𝑚

𝑉𝑎 (𝑠) = 𝑅𝑎 𝐼𝑎 (𝑠) + 𝐿𝑎 𝑠𝐼𝑎 (𝑠) + 𝐾𝑏 𝑊𝑚 (𝑠)

𝐼𝑎 (𝑠) = 𝑅

1

𝑎 +𝐿𝑎 𝑠

[𝑉𝑎 (𝑠) − 𝐾𝑏 𝑊𝑚 (𝑠)]

(9)

(10)

(11)

El torque motor es

𝑇𝑚 = 𝐾𝑚 𝑖𝑎

(12)

𝑇𝑚 (𝑠) = 𝐾𝑚 𝐼𝑎 (𝑠)

(13)

En la parte mecánica, asumiendo que no existe torque perturbador y que el torque motor es igual solo al torque de carga, además reflejando la carga al eje del motor, empleando la relación de engranajes n

𝑇𝑚 = 𝐽𝑚

𝑑𝜔𝑚 𝑑𝑡

1

+ 𝐵𝑚 𝜔𝑚 + 𝑛2 𝐽𝐿

𝑑𝜔𝑚 𝑑𝑡

1

+ 𝑛2 𝐵𝑚 𝜔𝑚

(14)

1

1

𝑇𝑚 (𝑠) = 𝐽𝑚 𝑠𝑊𝑚 (𝑠) + 𝐵𝑚 𝑊𝑚 (𝑠) + 𝑛2 𝐽𝐿 𝑠𝑊𝑚 (𝑠) + 𝑛2 𝐵𝑚 𝑊𝑚 (𝑠)

𝑊𝑚 (𝑠) =

1 1

1

(𝐽𝑚 + 2 𝐽𝐿 )𝑠+(𝐵𝑚 + 2 𝐵𝑚 ) 𝑛 𝑛

(15)

𝑇𝑚 (𝑠)

(16)

La relación de la velocidad angular de salida con la del motor, mediante la relación de engranajes n es

1

𝜔0 = 𝑛 𝜔𝑚

(17)

1

𝑊0 (𝑠) = 𝑛 𝑊𝑚 (𝑠)

(18)

Empleando las ecuaciones (4), (6), (11), (13), (16) y (18) dibujamos el diagrama de bloques del sistema

𝑊𝑟 (𝑠) +

−

𝐸(𝑠)

𝐾𝑝

𝑉𝑎 (𝑠) +

−

𝑊𝑚 (𝑠) 1 𝑇𝑚 (𝑠) 1 𝐼𝑎 (𝑠) 1 𝐾𝑚 1 1 𝑛 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑠 (𝐽𝑚 + 2 𝐽𝐿 ) 𝑠 + (𝐵𝑚 + 2 𝐵𝑚 ) 𝑛 𝑛 𝐾𝑏

𝐾𝑡

𝑊0 (𝑠) 𝑊𝑟 (𝑠)

=

𝐾𝑚 𝐾𝑝 /𝑛 1

1

𝐾𝑏 𝐾𝑚+𝐾𝑚𝐾𝑝 𝐾 𝑡 𝑛

(𝑅𝑎 (𝑠)+𝐿𝑎 𝑠)[(𝐽𝑚 + 2 𝐽𝐿 )𝑠+(𝐵𝑚 + 2 𝐵𝐿 )]+ 𝑛 𝑛

Rpta.

𝑊0 (𝑠)

P3) Para el sistema mostrado en la Figura 3, halle la salida total Y(S).

Figura 3

(5P)

Solución P3

N=0

R=0

Y  Y1  Y2  T1R  T2 N

Y  Y1  Y2  YN 0  YR0

Y1  YN 0  T1R

Y2  YR 0  T2 N

INTERCAMBIANDO LOS PUNTOS DE SUMA A Y B

HACIENDO N=0

HACIEND O R=0

ELIMINANDO EL LAZO II Y SIMPLIFICANDO

DE ACUERDO AL PRINCIPIO DE LA SUPERPOSICION