Rendre Rationnel

Opérations sur les radicaux Vocabulaires et Nombres Entiers naturels : Les entiers naturels sont les nombres qu’on utilise pour compter des éléments comme le nombre d’élèves dans une classe. Ils sont des nombres entiers et positifs Ils sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8……….. Entiers relatifs : Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs ou négatifs. Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés. Chaque entier naturel est un entier relatif. Ils sont : ……. …., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…….. Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre avec virgule tel que la partie après la virgule appelée la partie décimale contient un nombre de chiffres limités. (Ou) Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit sous la forme d’une fraction telle que le dénominateur est une puissance de 10 (10 , 10 2 , 10 3 , 10 4........ ) Les entiers naturels et les entiers relatifs sont des nombres décimaux. Exemple : 2 ; -14 ; 376 ; 0,123 ; -432,347 ;

3 ; 8

−9 ; 25

7 20

Rationnel : Un nombre rationnel c’est un nombre sans radical. D’autre part par définition, un nombre rationnel c’est un nombre qui peut être écrit sous la forme d’une fraction

a et

b sont des entiers relatifs avec b ≠ 0

a tel que b

Les entiers naturels, les entiers relatifs et les nombres décimaux sont des nombres rationnels. Les nombres périodiques illimités sont des nombres rationnels. Irrationnel : Un nombre irrationnel c’est un nombre qui contient toujours le radical après la simplification

C) Conjugué d’un nombre irrationnel (avec radical)

« a » est un entier naturel « m » et « n » sont des entiers relatifs Le conjugué d’un nombre irrationnel un nombre rationnel ( sans radical)

x c’est le nombre y tel que le produit de x par y est

•

Par quel nombre doit –on multiplier a pour avoir un nombre sans radical ? On peut multiplier a par a ou m a Il suffit de multiplier a par a car a × a = a Donc le conjugué de a est a

•

Par quel nombre doit –on multiplier m On peut multiplier m a par a ou m a Il suffit de multiplier m a par a car m Donc le conjugué de m a est a

a

pour avoir un nombre sans radical ?

a × a = m ×a

•

Par quel nombre doit –on multiplier a + b pour avoir un nombre sans radical ? 2 2 On multiplie a + b par a − b car ( a + b )( a − b ) = ( a ) − ( b ) = a − b Donc le conjugué de a + b est a − b

•

Par quel nombre doit –on multiplier On multiplie a − b par a + b car Donc le conjugué de a − b est a +

•

a− b

pour avoir un nombre sans radical ?

)(

)(

) (

a +n b m a −n b = m a

Donc le conjugué de

m a +n b

) − (n b ) 2

est

2

)(

) (

a −n b m a +n b = m a

Donc le conjugué de

m a −n b

2

= a −b

b

pour avoir un nombre sans radical ?

m a −n b

) − (n b ) 2

est

2

= m 2 a − n 2b

Par quel nombre doit –on multiplier m a − n On multiplie m a − n b par m a + n b car

(m

) ( a) −( b)

a+ b =

b

Par quel nombre doit –on multiplier m a + n On multiplie m a + n b par m a − n b car

(m

•

(

a− b

2

b

pour avoir un nombre sans radical ?

= m 2 a − n 2b

m a +n b

D) Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction Pour rendre rationnel le dénominateur d’une fraction, on effectue les étapes suivantes : 1) Simplifier les radicaux si c’est possible.

2) Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour avoir une fraction équivalente. 3) Performer les calculs au dénominateur et au numérateur. Essayer de simplifier la fraction si c’est possible. Exemple : Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes : A)

B)

C)

D)

E)

F)

2

2 7

=

7

2 3 6 5 3 3

=

=

7× 7

=

2 3× 6

5× 3 3 3× 3

3+ 5

=

7 +2 3 7 −2 3 2+ 5 2 3 + 12

(

3+ 5

( (

=

9 ×2 3 2 = = 2 3 3

15 9

=

2 3− 5

(

=

2 18 = 6

=

6× 6

2

2 7 7

)(

)

3− 5

)( 3 )(

)

=

(

)=( 3)

7 +2 3

7 +2 3

7 −2

7 +2

2+ 5 2 3 + 4 ×3

=

)

(

)

(

)

2 3− 5 2 3− 5 = =− 3− 5 =− 3+ 5 3−5 −2

7 +2 3 7 − 4 ×3

2+ 5 2 3 +2 3

=

)

2

2+ 5 4 3

=

=

7 + 4 21 + 12 19 + 4 21 − 19 − 4 21 = = 7 − 12 −5 5

(2 + 5 )( 3 ) = 2 4 3× 3

3 + 15 12

Attention dans cette partie, si avant de simplifier on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur alors on aura une fraction impossible car le conjugué est nul. Rappel : Pour avoir des fractions équivalentes, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non-nul.

G)

2 3 12 + 27

=

2 3 4 ×3 + 9 ×3

=

2 3 2 3 +3 3

=

2 3 5 3

=

2 5

Attention dans cette partie, comme vous trouvez après la simplification du dénominateur on a pas eu besoin de multiplié par le conjugué car on simplifie les radicaux.