Regla De Tres

ARITMÉTICA REGLA DE TRES Es un método empleado para resolver problemas, en donde los datos y la incógnita pertenecen a magnitudes que se relacionan entre sí de manera proporcional. Clases:

Directa Simple Inversa Regla de tres Compuesta REGLA DE TRES SIMPLE: Son problemas donde las cantidades datos y/o incógnitas pertenecen a dos y solamente dos magnitudes proporcionales entre sí. La regla de Tres Simple puede ser Directa ó Inversa. a) REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Intervienen dos magnitudes: directamente proporcionales A y B Enunciado del Problema:

Cuando A vale

a1 ;

B vale b1.

Hallar el valor

x de A cuando B vale b2

Disposición:

A D.P. B

a1 . . . b1 x ...

b2

Determinación de x: Como A DP B, entonces por definición:

A = constante. B

a1 x = = cociente constante. b1 b2

O sea: De donde:

x=

a1 b 2 b1

b) REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales: P y Q. Enunciado del Problema:

ING. EDGAR NORABUENA

Cuando P vale

p1 ;

Hallar el valor

x de P cuando Q vale q2

Q vale q1.

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ARITMÉTICA Disposición:

P

I.P.

Q

p1 . . . q1 x ...

q2

Determinación de x: Como P y Q son inversamente proporcionales, por definición: P • Q = constante, p1 q1 = x q 2

O sea: De donde:

x=

p1 q1 q2

c) REGLA DE TRES COMPUESTA: Son problemas donde las cantidades datos y/o incógnitas pertenecen a más de 2 magnitudes proporcionales entre sí. INTERVIENEN LAS MAGNITUDES: A; B, C; D …. Enunciado del Problema: Cuando A vale a1,

Hallar el valor Disposición:

B vale b1, C vale c1; D vale d1 ……

x de A, si B vale b2; C vale c2; D vale d2…..

Supuesto

A a1

Pregunta

x

B b1 b2

C c1 c2

D d1 d2

Ahora, aplicando los métodos aprendidos para reconocer la relación directa o inversa determinaremos la relación proporcional que existe entre la magnitud donde esta la incógnita y cada una de las otras magnitudes que intervienen en el problema. Debemos recordar que al comparar dos magnitudes para determinar su relación, las demás magnitudes del problema deben permanecer constantes. Supongamos que resultó que: A D.P. B (cuando C y D son constantes) A I.P. C (cuando B y D son constantes) A D.P. D (cuando B y C son constantes) Determinación de x: Aplicando el Teorema de la Proporcionalidad Compuesta a las relaciones anteriores, se obtiene que: B×D A D.P. (cuando todas las magnitudes varían) C y como por definición, dos magnitudes directamente proporcionales mantienen constante el cociente de sus valores correspondientes: ING. EDGAR NORABUENA

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ARITMÉTICA A = K ⎛B× D⎞ ⎜ ⎟ ⎝ C ⎠ A×C = K B×D Reemplazando los valores datos de las magnitudes dados en el cuadro para el supuesto y la pregunta se tendría que: a1 × c1 x × c2 = =K b 1 × d1 b 2 × d2 Y despejando x y ordenando:

de donde:

x = a1 ×

b2 c d × 1 × 2 b1 c2 d1

Problema de aplicación: Si 9 obreros pueden hacer 120 m de una zanja en 20 días. ¿Cuántos obreros se necesitarán para que en 15 días hagan: 200 m de la misma zanja? 1. Método de reducción a la unidad: Consiste en “reducir” a la unidad las cantidades de las magnitudes donde están los datos, una por una, obteniendo el nuevo valor de la cantidad que correspondería a la magnitud incógnita, multiplicando o dividiendo su valor original según sea la relación, como se muestra a continuación: Para hacer 120 m de zanja en 20 días se necesitan: 9 obreros ⎛ 9 ⎞ Para hacer 1 m de zanja en 20 días se necesitarán: ⎜ 120 ⎟ obreros ⎝ ⎠ ⎛ 9 ⎞ ⎜ 120 × 20 ⎟ obreros ⎝ ⎠ Luego: realizando el procedimiento inverso se determina el valor de la incógnita para los nuevos valores de la pregunta, así: ⎛ 9 ⎞ Para hacer 200 m de zanja en 1 día se necesitarán: ⎜ 120 × 20 × 200 ⎟ obreros ⎝ ⎠

Para hacer 1 m de zanja en 1 día se necesitarán:

20 × 200 ⎞ ⎛ 9 Para hacer 200 m de zanja en 15 días se necesitará: ⎜ × obreros 15 ⎟⎠ ⎝ 120 9 20 × 200 Respuesta: = 20 obreros × 120 15 2. Método por proporciones: Equivale a formar tantas regla de tres simple como sean necesarias para que la magnitud incógnita se compare con cada una de las otras magnitudes que intervienen en el problema. Luego se reúnen en una sola operación OBREROS 9 obreros x obreros

TIEMPO 20 días 15 días

OBRA 120 m 200 m

Como el (N° obreros) y el (tiempo que demoraron en hacer la obra), son magnitudes inversamente proporcionales, el producto de los valores correspondientes es constante.

ING. EDGAR NORABUENA

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ARITMÉTICA

Obrero Tiempo

9

20

x

15

Ahora como el (N° de obreros) y el (volumen de obra realizado) son directamente proporcionales, el cociente entre los valores correspondientes es constante, o lo que es lo mismo el producto en cruz es constante. Obrero 9

Luego Uniendo:

Obra 120

x

200

Obrero 9

Tiempo 20

x

15

Obra 120 m 200 m

De donde siguiendo las flechas que indican el producto obtenemos que:

∴

x=

9 × 20 × 200 = 20 obreros 15 × 20

3. Método práctico:

Como la mayoría de problemas de regla de tres compuesta se refieren a obreros que tienen cierto rendimiento cada uno y que en cierta cantidad de días de cierto número de horas por día realizan un cierto volumen de obra de cierta dificultad, se puede obtener la siguiente relación aplicando el Teorema de la proporcionalidad compuesta: (N° de obreros)(Rendimiento de cada obrero)(N° de días)(N° de horas por día) = K (constante (Volumen de obra)(Dificultad de la obra por unidad de volumen)

Reemplazando en esta última relación los valores del supuesto y de la pregunta obtenemos: 9 × 20 x . 15 =K= 120 200

Y despejando: x=

ING. EDGAR NORABUENA

9 × 20 × 200 = 20 obreros 120 × 15

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