Razones Trigonometricas

TEOREMA DE PITÁGORAS A HIPOTENUSA CATETO

B

(CATETO)  (CATETO) 2

5

3

4

C

CATETO 2

12 13

 (HIPOTENUSA)

2

5

21

29 20

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

CATETO

HIPOTENUSA

 CATETO ADYACENTE A SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

CatetoOpuestoaq senq= Hipotenusa

CatetoOpuestoa tan   CatetoAdyacentea

Hipotenusa sec   CatetoAdyacentea

OPUESTO A





CatetoAdyacentea cos   Hipotenusa

CatetoAdyacentea cot   CatetoOpuestoa Hipotenusa csc   CatetoOpuestoa

EJEMPLO :

TEOREMA DE PITÁGORAS

H



sen  cos  

12

H  1369  37

35

12 37 35 37

H2  122  35 2

tan   cot  

12 35 35 12

sec   csc  

37 35 37 12

EJEMPLO : Sabiendo que

θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3..... 3



2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

1 sen  csc  sen csc   1

1 cos   sec  cos  sec   1

EJEMPLOS

1 tan   cot  tan  cot   1

1 o A)  csc 36 sen36 o

1 o B)  sec17 cos17o

C) tan 49o cot 49o  1

D)sen2 csc 2  1

E) cos 63o sec   1

  63o

F) tan 2 cot   1

2  

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD :

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO” A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

b



c a



sen  cos 

cot   tan 

cos   sen

sec   csc 

tan   cot 

csc   sec 

EJEMPLOS

A)sen25 o  cos 65 o ............... 25 o  65 o  90O B) tan 43o  cot 47o ............... 43o  47o  90O

C) sec 60o  csc 30o ............... 60o  30o  90O D)sen  cos 20o o   20o  90O   70 E) tan 5  cot 

5    90

  F)sen    5     5 2

o

  15

o

cos      2 5

3  rad 10

TRIÁNGULOS NOTABLES

3 )

3

53

o

30o (

5 4

37o (

)

)

1

2

60O

1

2

45 o

45 o(

1 1 sen30  2 o

tan 60o 

3

4 sec 45  2 cot 37  3 1 3 3 tan 30o  x  3 3 3 1 2 2 o x  sen45  2 2 2 o

o

CALCULAR :

cot 

3 3 o 37 ) ) 30o

4 3

8

o 45 ( 3 3

4

( 

3 3 cot   4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO 

H

Hsen

5 

H cos 

5sen62o

62o

5 cos 62o

CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO

L tan 

L sec 

L



8 sec 



8

8 tan



CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO

L csc 

L

 L cot 

k csc 24 o

k

24 o

k cot 24

o

EJEMPLO

) L



)

Calcular L en términos de m ;  y 



m

SOLUCIÓN



m



L

m tan 

L  m tan   cot  m L  m cot   m tan 

L  m tan   m cot 

L  m (cot   tan )

NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR Y

F 

Fx

Fy X

Fx  F cos  Fy  Fsen

ÁREA DEL TRIÁNGULO

C

a

b

A

c

EJEMPLO

(5)(8) S sen60o 2

5m

60O

B

ab S senC 2 bc S senA 2 ac S senB 2

8m

(5)(8) 3 S ( )  10 3m2 2 2

ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

V

)

L

A ISU

)

VIS

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

HORIZONTAL

ÁNGULO DE DEPRESIÓN UA L

EJEMPLO : Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? SOLUCIÓN 70

12k

12k O o 53 37 ) )

9k

+ 16k

9k +70 = 16k

k = 10

H = 120

=H

ÁNGULOS HORIZONTALES Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). DIRECCIÓN

La dirección de B respecto de A es N30 o E o E60 o N La dirección de C respecto de A es S56 o O o O34 o S

N

B

RUMBO

El rumbo de Q respecto de P

47o al oeste del norte

El rumbo de M respecto de P 27o al este del sur

Q

30O

)

47o

(

C

A

O

E

P

)

56

O

E

(

O

N

27o

S

S

M

ROSA NÁUTICA Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección o ' forma entre ellas un ángulo cuya medida es 11 15 En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 22o 30' NNO

N

NNE

NE

NO ONO

ENE

E

O OSO

ESE

SO

SE SSO

S

SSE

Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior. N 1 4 NO NO 1 4 N

NNO NO 1 4 O

O 1 4 NO

N 1 4 NE NE 1 4 N

N

NNE

NO

NE

NE 1 4 E

ONO

ENE

O

E

¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones NE1/ 4N y NO1/ 4O ?

Rpta.

90

o

E 1 4 NE

EJEMPLO : Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 40 2 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ? SOLUCIÓN

OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR ROJO ES NOTABLE

45 o

40 2

X = 20

N

24

40

)

53o 37o

O 16

45 o

40

32 20

60

x

F E

16

12 S

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico) 

c

)) 2 2 

c

+

)

2

(

a

ca  b  tan      2 b ca

b

EJEMPLO :

Sabiendo que : tan 8θ=24/7, calcula SOLUCIÓN

25

4

25

5

3 4

4

8

7

24 tan 4  25  7 24 tan 4  24 32 3 tan 4  4

3 tan 2  9 2( 5

tan2θ

1 tan 2  3