Razones

Clase Experimental Razones y Proporciones

Luis Arancibia Morales Departamento de Matemática Instituto Nacional de Chile

Julio 2008

Razón

Su definición

Razón

Su definición Una razón es el cociente entre dos cantidades

Razón

Su definición Una razón es el cociente entre dos cantidades La naturaleza de las cantidades no es importante, sólo importa el número

Razón

Su definición Una razón es el cociente entre dos cantidades La naturaleza de las cantidades no es importante, sólo importa el número Por ejemplo

peras =3 manzanas

Razón

Su definición Una razón es el cociente entre dos cantidades La naturaleza de las cantidades no es importante, sólo importa el número Por ejemplo

peras =3 manzanas

Esto indica que hay 3 peras cada una manzana, ya que 3 =

3 1

Ejemplos

Una razón

Ejemplos

Una razón En un canasto hay 12 frutas, 5 de ellas son naranjas y las otras son duraznos

Ejemplos

Una razón En un canasto hay 12 frutas, 5 de ellas son naranjas y las otras son duraznos ¿En qué razón están las naranjas y los duraznos?

Ejemplos

Una razón En un canasto hay 12 frutas, 5 de ellas son naranjas y las otras son duraznos ¿En qué razón están las naranjas y los duraznos? La respuesta es

naranjas 5 = duraznos 7

Ejemplos

Una razón En un canasto hay 12 frutas, 5 de ellas son naranjas y las otras son duraznos ¿En qué razón están las naranjas y los duraznos? La respuesta es

naranjas 5 = duraznos 7

Esto indica que de mantenerse la razón, al haber 15 naranjas, deben haber 21 duraznos

Ejemplos

Una razón

Ejemplos

Una razón En un curso de un colegio mixto hay 40 alumnos, 10 de los cuales son señoritas

Ejemplos

Una razón En un curso de un colegio mixto hay 40 alumnos, 10 de los cuales son señoritas ¿En qué razón está el número de las señoritas respecto al número de los jóvenes?

Ejemplos

Una razón En un curso de un colegio mixto hay 40 alumnos, 10 de los cuales son señoritas ¿En qué razón está el número de las señoritas respecto al número de los jóvenes? La respuesta es

señoritas 10 1 = = jóvenes 30 3

Ejemplos

Una razón En un curso de un colegio mixto hay 40 alumnos, 10 de los cuales son señoritas ¿En qué razón está el número de las señoritas respecto al número de los jóvenes? La respuesta es

señoritas 10 1 = = jóvenes 30 3

Esto indica que las señoritas son a los jóvenes como 1 es a 3

Para memorizar

Una razón

Para memorizar

Una razón ¿Cualquier división puede ser considerada como una razón?

Para memorizar

Una razón ¿Cualquier división puede ser considerada como una razón? Si, el resultado de una división se llama cociente (algunos lo llaman cuociente, afrancesado)

Para memorizar

Una razón ¿Cualquier división puede ser considerada como una razón? Si, el resultado de una división se llama cociente (algunos lo llaman cuociente, afrancesado) Se puede registrar también así:

a : b = λ, λ es una constante

Para memorizar

Una razón ¿Cualquier división puede ser considerada como una razón? Si, el resultado de una división se llama cociente (algunos lo llaman cuociente, afrancesado) Se puede registrar también así:

a : b = λ, λ es una constante

La razón se determina dividiendo, aún cuando no sea exacta.

Proporciones

Una proporción se define como

Proporciones

Una proporción se define como La igualdad entre dos razones

Proporciones

Una proporción se define como La igualdad entre dos razones a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc

Proporciones

Una proporción se define como La igualdad entre dos razones a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc a y d son los extremos, b y c son los medios

Proporciones

Una proporción se define como La igualdad entre dos razones a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc a y d son los extremos, b y c son los medios Existe la proporción, si y sólo si, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración:

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad = cb

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad = cb ∴ a : c :: b : d

Demostrando Teoremas con Proporciones En un teorema hay una Hipótesis y una Tésis Consideraremos como hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : c :: b : d

Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad = cb ∴ a : c :: b : d

La tésis indica que se pueden permutar los medios en toda proporción

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración:

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ bc = ad

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ bc = ad ⇒ cb = da

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ bc = ad ⇒ cb = da ∴ c : d :: a : b

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema Consideraremos como en el caso anterior la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis c : d :: a : b Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ bc = ad ⇒ cb = da ∴ c : d :: a : b

La tésis indica que la proporción es recíproca

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración:

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad + bd = bc + bd

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad + bd = bc + bd ⇒ (a + b)d = b(c + d )

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad + bd = bc + bd ⇒ (a + b)d = b(c + d ) ∴ (a + b) : b :: (c + d ) : d

Demostrando Teoremas con Proporciones Otro teorema más Consideraremos como en los casos anteriores la hipótesis, que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis (a + b) : b :: (c + d ) : d Demostración: Usando la hipótesis tenemos que:

ad = bc ⇒ ad + bd = bc + bd ⇒ (a + b)d = b(c + d ) ∴ (a + b) : b :: (c + d ) : d

La tésis indica que hay proporción si componemos los antecedentes

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta Recuerde usar la hipótesis, donde es válido que ad=bc

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta Recuerde usar la hipótesis, donde es válido que ad=bc debe deducir la tésis de modo adecuado, en dos proporciones

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta Recuerde usar la hipótesis, donde es válido que ad=bc debe deducir la tésis de modo adecuado, en dos proporciones Hay una gran cantidad de teoremas que tú puedes plantear

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta Recuerde usar la hipótesis, donde es válido que ad=bc debe deducir la tésis de modo adecuado, en dos proporciones Hay una gran cantidad de teoremas que tú puedes plantear lo más relevante es que puedes además demostrarlos

Demostrando Teoremas con Proporciones Y aún, otro teorema más Como siempre la hipótesis es que hay proporción Es decir a : b :: c : d ⇐⇒ ad = bc y como tésis a : b :: (λa + µc) : (λb + µd ) :: c : d La demostración quedará propuesta Recuerde usar la hipótesis, donde es válido que ad=bc debe deducir la tésis de modo adecuado, en dos proporciones Hay una gran cantidad de teoremas que tú puedes plantear lo más relevante es que puedes además demostrarlos Pon a prueba tus capacidades, no importa que después no seas matemático de profesión, con este trabajo adquiriras una poderosa herramienta intelectual muy útil para validar argumentos.

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa Si esperamos hacer un mapa de una ciudad, y queremos que quede como si fuese una fotografía aerea,

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa Si esperamos hacer un mapa de una ciudad, y queremos que quede como si fuese una fotografía aerea, entonces debemos recurrir a las proporciones.

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa Si esperamos hacer un mapa de una ciudad, y queremos que quede como si fuese una fotografía aerea, entonces debemos recurrir a las proporciones. Si construyesemos ese plano, usando las diferencias, perderemos la forma.

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa Si esperamos hacer un mapa de una ciudad, y queremos que quede como si fuese una fotografía aerea, entonces debemos recurrir a las proporciones. Si construyesemos ese plano, usando las diferencias, perderemos la forma. Veremos esto con un teorema geométrico.

La relevancia del tema Proporciones Es una buena herramienta para hacer comparaciones entre cantidades Otro modo de comparar es por diferencia, sin embargo es menos representativa Si esperamos hacer un mapa de una ciudad, y queremos que quede como si fuese una fotografía aerea, entonces debemos recurrir a las proporciones. Si construyesemos ese plano, usando las diferencias, perderemos la forma. Veremos esto con un teorema geométrico. Un teorema debido a Thales de Mileto (Es posible encontrar en algunos libros serios, Tales de Mileto)

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros?

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops.

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops. Hazaña imposible para cualquiera en esa época y para muchos ahora también.

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops. Hazaña imposible para cualquiera en esa época y para muchos ahora también. Observando con rigor, descubrió que las sombras son proporcionales a la altura de los objetos.

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops. Hazaña imposible para cualquiera en esa época y para muchos ahora también. Observando con rigor, descubrió que las sombras son proporcionales a la altura de los objetos. En cierta hora del día, la sombra de la cúspide cae de modo "perpendicular" a la pared de la pirámide.

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops. Hazaña imposible para cualquiera en esa época y para muchos ahora también. Observando con rigor, descubrió que las sombras son proporcionales a la altura de los objetos. En cierta hora del día, la sombra de la cúspide cae de modo "perpendicular" a la pared de la pirámide. En esa hora estableció la proporción con otro objeto que si podía medir la altura y la sombra.

Teorema de Thales ¿Qué vio Thales y no otros? Estando en Egipto, se le pidió diese la altura de la pirámide de Keops. Hazaña imposible para cualquiera en esa época y para muchos ahora también. Observando con rigor, descubrió que las sombras son proporcionales a la altura de los objetos. En cierta hora del día, la sombra de la cúspide cae de modo "perpendicular" a la pared de la pirámide. En esa hora estableció la proporción con otro objeto que si podía medir la altura y la sombra. En la página siguiente veremos un esquema

Teorema de Thales Un ejemplo geométrico

Teorema de Thales Un ejemplo geométrico

Teorema de Thales Un ejemplo geométrico

Teorema de Thales Un ejemplo geométrico

Teorema de Thales Un ejemplo geométrico

Teorema de Thales

¿Un mito?

Teorema de Thales

¿Un mito? Dicen que esperó hasta el día y hora en que objeto y sombra miden igual

Teorema de Thales

¿Un mito? Dicen que esperó hasta el día y hora en que objeto y sombra miden igual ¿Será algún Chaquetero para quitarle rigor matemático?

Teorema de Thales

¿Un mito? Dicen que esperó hasta el día y hora en que objeto y sombra miden igual ¿Será algún Chaquetero para quitarle rigor matemático? Aunque así fuese, el razonamiento es de primer orden, toda una genialidad, igual a la invención de la rueda

Teorema de Thales

¿Un mito? Dicen que esperó hasta el día y hora en que objeto y sombra miden igual ¿Será algún Chaquetero para quitarle rigor matemático? Aunque así fuese, el razonamiento es de primer orden, toda una genialidad, igual a la invención de la rueda Si tienes una idea propia, que nadie, ni tú mismo, te menosprecien

Teorema de Thales El enunciado por Thales

Teorema de Thales El enunciado por Thales Un sistema de paralelas, AA′ , BB ′ , CC ′

Teorema de Thales El enunciado por Thales Un sistema de paralelas, AA′ , BB ′ , CC ′ cortada por dos secantes D y D ′ ,

Teorema de Thales El enunciado por Thales Un sistema de paralelas, AA′ , BB ′ , CC ′ cortada por dos secantes D y D ′ , determinan segmentos proporcionales,

Teorema de Thales El enunciado por Thales Un sistema de paralelas, AA′ , BB ′ , CC ′ cortada por dos secantes D y D ′ , determinan segmentos proporcionales, es decir,

Teorema de Thales El enunciado por Thales Un sistema de paralelas, AA′ , BB ′ , CC ′ cortada por dos secantes D y D ′ , determinan segmentos proporcionales, es decir, que el cociente entre las longitudes de los segmentos AB y AC es igual al cociente entre las longitudes de A′ B ′ y A′ C ′

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales?

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos ii) lo mismo para A′ , B ′ , y C ′ que son puntos y D ′ una recta

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos ii) lo mismo para A′ , B ′ , y C ′ que son puntos y D ′ una recta iii) A, B, C ∈ D y A′ , B ′ , C ′ ∈ D ′

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos ii) lo mismo para A′ , B ′ , y C ′ que son puntos y D ′ una recta iii) A, B, C ∈ D y A′ , B ′ , C ′ ∈ D ′ ¡Muchos supuestos previos en este enunciado!

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos ii) lo mismo para A′ , B ′ , y C ′ que son puntos y D ′ una recta iii) A, B, C ∈ D y A′ , B ′ , C ′ ∈ D ′ ¡Muchos supuestos previos en este enunciado! Al parecer, no es mito, para entrar a las academias antiguas, había que saber geometría.

Teorema de Thales ¿Qué debo dar por sabido para entender a Thales? i) A, B y C son puntos, D es una recta o conjunto de puntos ii) lo mismo para A′ , B ′ , y C ′ que son puntos y D ′ una recta iii) A, B, C ∈ D y A′ , B ′ , C ′ ∈ D ′ ¡Muchos supuestos previos en este enunciado! Al parecer, no es mito, para entrar a las academias antiguas, había que saber geometría. El desafío es Estudiar la Historia de la Matemática

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D

D′

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D

D ′ las secantes

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D

A•

D ′ las secantes

′ •A

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D

B• A•

D ′ las secantes

•B

′

′ •A

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D C• B• A•

D ′ las secantes ′ •C

•B

′

′ •A

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D C• B•

D ′ las secantes ′ •C

•B

′

las paralelas A•

′ •A

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D ′ las secantes

D

′ •C

C• B•

•B

′

las paralelas ′ •A

A• AB AC

=

A′ B ′ A′ C ′

Teorema de Thales

La figura pertinente, de acuerdo al enunciado D ′ las secantes

D

′ •C

C• B•

•B

′

las paralelas ′ •A

A• AB AC

=

A′ B ′ A′ C ′

Hay otras proporciones además

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile

,

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales

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Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto

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Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación.

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Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias ,

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos ,

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos EL PRIMER FOCO DE LUZ DE LA NACIÓN,

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos EL PRIMER FOCO DE LUZ DE LA NACIÓN, en presente, no en pasado.

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos EL PRIMER FOCO DE LUZ DE LA NACIÓN, en presente, no en pasado. El trabajo está hecho en Latex, si desean aprender, coordinemos algunas sesiones

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos EL PRIMER FOCO DE LUZ DE LA NACIÓN, en presente, no en pasado. El trabajo está hecho en Latex, si desean aprender, coordinemos algunas sesiones Mi correo electrónico es [email protected]

Saludos Jóvenes Institutanos, el presente de Chile El profesor: Luis Arancibia Morales Agradece que trabajen este material, preparado con afecto y dedicación. Se pide ahora colaboración, estudien el material y en lo posible hagan sugerencias Manden correciones, la idea es que seamos EL PRIMER FOCO DE LUZ DE LA NACIÓN, en presente, no en pasado. El trabajo está hecho en Latex, si desean aprender, coordinemos algunas sesiones Mi correo electrónico es [email protected] Para imprimir, seleccione las páginas finales de cada tema, de otro modo son 230 páginas