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P.S.U 2007 Juan A. Rojas Valencia 3 de febrero de 2009

Resuelto Observaci´ on 1 1. Tener presente que los ejercicios tienen distintas maneras de ser resueltos. 2. Realizar comentarios sobre los ejercicios,en lo posible entregar otros m´etodos de soluci´ on. 1. Materia:Conjuntos n´ umericos. Resolver 40 − 20 · 2, 5 + 10

40 − 20 · 2, 5 + 10 = 40 − 50 + 10 = −10 + 10 = 0

Por lo que la alternativa correcta es A. 2. Luego de comprender el enunciado, tendriamos que escribir

5 1 − 6 3

5 1 5 2 5−2 3 1 − = − = = = 6 3 6 6 6 6 2 Por lo que la alternativa correcta es B. 3. Materia:Conjuntos n´ umericos. Al dividir la cantidad de golosinas por la de ni˜ nos (237 : 31) tenemos que sobran 20 golosinas.As´ı el n´ umero m´ınimo que se necesita agregar para que cada ni˜ no reciba la misma cantidad de golosinas es de 11. Por lo que la alternativa correcta es A. 1

Juan Rojas V.

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4. Materia:Miscelanio,Conjuntos n´ umericos. I) Es falsa,pues el volumen m´aximo se mantiene por 6 seg. El volumen m´aximo se mantiene por 0, 1 minutos,lo que equivale a 6 seg.(regla de tres simple) II) Verdadera,por la representaci´on de la gr´afica. III) Verdadera,por la representaci´on de la gr´afica. Por lo que la alternativa correcta es D. 5. Materia:Proporci´ on. Resolveremos el problema aplicando la regla de tres simple,mencionada anteriormente. Cm 2 5, 4

Km 25 x

Obtenemos que 2 · x = 25 · 5, 4 ⇒ x = 67, 5. Por lo que la alternativa correcta es C. 6. Materia:Proporcionalidad inversa. Recordar que: si dos variables son inversamente proporcionales,su producto es constante.Es decir, Si M es inversamente proporcional a N entonces M · N = k As´ı,si M aumenta el doble (2M ) · N = k, resulta que N debe disminuir a la mitad,para N = k. mantener la constante (2M ) · 2 En conclusi´ on:Entre dos variables inversamente proporcionales, Si una variable aumenta el doble,la otra disminuye a la mitad. Por lo que la alternativa correcta es B. 7. Materia:Notaci´ on cient´ıfica. Para poder ordenar M, N y P debemos reescribirlos, como sigue: M = 4, 51 · 10−6 N = 4, 51 · 10 · 10−5 = 4, 51 · 10−4 P = 4, 51 · 102 · 10−7 = 4, 51 · 10−5 S´olo comparando los exponentes,tendremos que M < P < N Por lo que la alternativa correcta es E.

Juan Rojas V.

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8. Materia:Proporcionalidad Directa. Recordar que: si dos variables son directamente proporcionales,su cuociente es constante.Es decir, Si M es directamente proporcional a N entonces

M =k N

1 z entonces = k o mejor a´ un z · y = k . 1 y y Analizando la tabla adjunta,en particular la tercera fila,si z = 1 y y = 16 entonces podemos deducir que k = 16,pues z · y = k. As´ı, Si z es directamente proporcional a

Por lo que z · y = 16 . De la segunda fila:z = a y y = 14 ⇒ a · 4 = 16 ⇒ a = 4. 1 1 De la cuarta fila:z = y y = b ⇒ · b = 16 ⇒ b = 64. 4 4 a 4 1 = = b 64 16 Por lo que la alternativa correcta es C.

Luego

9. Materia:Porcentaje. Sean z: pares de zapatos y p: pantalones. Lo primero es que z + 2p = 70000. Juan paga por tres pantalones $38250, con el 15 % de descuento en cada pantal´on tenemos que:       15 15 15 p− p + p− p + p− p = 38250 ⇒ p = 15000 100 100 100 Cada pantal´on tiene un valor de $15000.Recordando que z + 2p = 70000 se tiene que z + 2 · 15000 = 70000 ⇒ z = 40000 Cada par de zapatos tiene un valor de $40000. Juan pag´o por dos pares de zapatos     10 10 40000 − 40000 + 40000 − 40000 = 72000 100 100 Por lo que la alternativa correcta es D.

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10. Materia:Lenguaje Algebraico. 4p −

4p + 3 · 4p | {z } 2 |{z} deposit´ o el triple retir´o la mitad 4p − 2p + 12p 14p

Por lo que la alternativa correcta es E. 11. Materia:Lenguaje Algebraico. 1 Un n´ umero real n. Rec´ıproco: . n 1 As´ı, un n´ umero real n sumado con su Rec´ıproco se obtine n + y todo al cuadrado se n  2 1 obtine n + . n Por lo que la alternativa correcta es A. 12. Materia:Productos notables,problema de aplicaci´ on. Factorizando x2 + 5x − 6 se obtiene que: x2 + 5x − 6 = (x + 6)(x − 1) Por lo que la alternativa correcta es C. ´ 13. Materia:Area de cuerpos geom´ etricos. La f´ormula para poder calcular el ´area de un circulo es: π(radio)2 Si el radio es r y aumenta en ,entonces el nuevo radio es r + . Por lo que el ´area del nuevo c´ırculo se expresa,como: π(radio)2 = π(r + )2 Por lo que la alternativa correcta es E. 14. Materia:Lenguaje Algebraico. Sea j : Edad de Juan. El enunciado del problema se traduce como: j + 10 | {z } Juan en 10 a˜ nos m´as

= 2(j − 5) |{z} | {z } tendr´a doble de la edad que ten´ıa hace 5 a˜ nos

Luego; j + 10 = 2(j − 5) ⇒ j + 10 = 2j − 10 ⇒ j = 20 Por lo tanto la edad de Juan en un a˜ no m´as ser´a de 21. Por lo que la alternativa correcta es A.

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15. Materia:Productos Notables. Recordar que los factores son los t´erminos que uno obtiene al factorizar una expresi´on: por ejemplo,al factorizar 6, 6 = 3 · 2 entonces 3 y 2 son los factores. x2 y 2 + x2 y + xy + x . . . Factorizando por x x(xy 2 + xy + y + 1) . . . Factorizando por xy x(xy(y + 1) + (y + 1)) . . . Factorizando por y + 1 x(xy + 1)(y + 1) Por lo que la alternativa correcta es D. 16. Materia:Potencias.

(2a)3 (3a)2 = 8a3 · 9a2 . . . ordenando los t´erminos = 8 · 9 · a3 · a2 = 72a5

Por lo que la alternativa correcta es B. 17. Materia:Fracciones algebraicas. Para suma de fracciones debemos calcular el M´ınimo com´ un Multiplo (m.c.m) entre los denominadores. 1 1 1 + + x x} |x {z

=

1+1+1 x

=

3 x

m.c.m(x,x,x)=x

Por lo que la alternativa correcta es C. 18. Materia:Miscelanios. x 4 8 24

4 9

20

13 16 55

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Paso 1:Como la u ´ltima fila suma 55,resulta que: x 4

8 13 24 15 16 55

20 22 8 13 24 15 16 55

Paso 3:Como la segunda fila suma 22,resulta que:

Paso 4:Como la primera columna suma 24,resulta que:

x 4

4 9

Paso 2:Como la u ´ltima columna suma 55,resulta que:

20

x 4

4 9

20 9 22 8 13 24 15 16 55

4 9

7 x 4 20 9 4 9 22 8 13 24 15 16 55

Como la primera columna suma 20,resulta que x = 9 Por lo que la alternativa correcta es D. 19. Materia:Lenguaje Algebraico. 1 Si P = RH entonces 2 2P = RH ⇒ H =

2P R ⇒ H −1 = R 2P

Por lo que la alternativa correcta es E. 20. Materia:Lenguaje Algebraico. a c Si P = + b d ad + bc ,por lo que I) es falsa. bd II) El inverso aditivo de P es −P (inverso aditivo P − P = 0),por lo que II) es verdadera. 1 1 III) El inverso multiplicativo de P es (inverso multiplicativo P · = 1),por lo que P P III) es falsa. I) P =

Por lo que la alternativa correcta es B. 21. Materia:N´ umeros(Lenguaje algebraico). I) a + b < a − b a + b < a − b ⇔ a − a + b < −b ⇔ b < −b Lo que es verdad,pues b es un n´ umero negativo (−b ser´a positivo).

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II) a + b < b − a a + b < b − a ⇔ a + a < b − b ⇔ 2a < 0 ⇔ a < 0 Lo que es verdad. III) a − b < b − a a − b < b − a ⇔ a + a < b + b ⇔ 2a < 2b ⇔ a < b Lo que es falso,pues a > b Por lo que la alternativa correcta es D. 22. Materia:Ra´ıces.

r

1 6+ − 4

r

1 5+ + 16

r

r r 25 81 196 − + 4 16 25 5 9 14 − + = 2 4 5 61 = 20

4 8− = 25

r

Por lo que la alternativa correcta es A. 23. Materia:Ra´ıces y potencias.

√ 3

a2x+2 ·

√ 3

ax+1

Por lo que la alternativa correcta es E.

2x + 2 x + 1 = a 3 ·a 3 2x + 2 + x + 1 3 = a 3x + 3 = a 3 = ax+1

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24.

La intersecci´on de las dos regiones,es: ] − 12, −6[∪]6, 28[ Por lo que la alternativa correcta es C. 25. Materia:sistemas de ecuaciones. Con las dos ecuaciones podemos formar un sistema: x+y x−y

= 8 = 2

Por el m´etodo de reducci´on,tenemos que 2x = 10 ⇒ x = 5,por lo que y = 3. As´ı,x · y = 5 · 3 = 15 Por lo que la alternativa correcta es B. 26. Materia:Funciones. 5f (5x) = 5(5 · 5x) = 125x

Juan Rojas V.

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Por lo que la alternativa correcta es A. 27. Materia:Ec. de la recta. Si (−2, 8) pertenece a la recta x − my − 2 = 0 entonces,reemplazando el punto en la recta,tenemos que:

−2 − m8 − 2 −2 − 8m − 2 −8m − 4 −8m 8m

= = = = =

0 0 0 4 −4 4 1 m = − =− 8 2

Por lo que la alternativa correcta es C. 28. Materia:Funci´ on valor absoluto. | − 2 · x − 3| Si f (x) = −2 | − 2 · 7 − 3| −2 | − 14 − 3| = −2 | − 17| = −2 17 17 = =− −2 2

f (7) =

Por lo que la alternativa correcta es E. 29. Materia:Funci´ on parte entera. Primer d´ıa:152 min. equivale 2, 53 hrs, entonces el automovilista debe cancelar $600. Segundo d´ıa:180 min. equivale 3 hrs, entonces el automovilista debe cancelar $600 (por que $600 y no $700,la pelota negra indica el valor). Tercer d´ıa:90 min. equivale 1, 5 hrs, entonces el automovilista debe cancelar $400. Cuarto d´ıa:210 min. equivale 3, 5 hrs, entonces el automovilista debe cancelar $700.

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En total, el automovilista debe cancelar durante los cutro dias,$2300. Por lo que la alternativa correcta es B. 30. Materia:Ecuaci´ on de segundo grado,problemas de aplicaci´ on. Si el a´rea es de 24 cm2 y el rect´angulo tiene las siguientes dimensiones x x+2 Resulta que: ´area = largo · ancho ´area = largo · ancho ↓ = ↓ 24 = (x + 2) · x

Por lo tanto,(x + 2) · x = 24 o bien x(x + 2) = 24 ⇒ x(x + 2) − 24 = 0 Por lo que la alternativa correcta es A. 31. Materia:Fc. ra´ız cuadrada y valor absoluto. I) Falsa,pues supongamos que x = 1 √

x2 ↓ √ 12 1

= = = =

−x ↓ −1 −1

lo que es falso. II) verdad,es una propiedad (f´ormula) III) Falsa,pues supongamos que x = −1 √

x2 ↓ p (−1)2 √ 1 1 lo que es falso.

= x = ↓ = −1 = −1 = −1

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Por lo que la alternativa correcta es B. 32. Materia:Fc. cuadr´ atica. Importante:Toda funci´on Cuadr´atica tiene la siguiente forma f (x) = ax2 + bx + c. Para calcular el menor (o eventualmente el mayor) valor que alcanza la funci´on,necesitamos   −b calcular: f 2a −b . 2a Si f (x) = 2x2 + 4x + 5 ⇒ a = 2, b = 4, c = 5 Por lo que necesitamos primero conocer:

As´ı,

−b −4 = = −1. 2a 2·2 f (x) ↓   −b f 2a f (−1)

= 2x2 + 4x + 5 = ↓    2 −b −b +4 = 2 +5 2a 2a = 2(−1)2 + 4(−1) + 5 = 2 · (1) − 4 + 5 = 3

Por lo que la alternativa correcta es B. 33. Materia:Fc. Logar´ıtmica. (a + b)2 (a + b) = log(a + b)

log(a + b)2 − log(a + b) = log

Aplicando las prop. de los logar´ıtmos Simplificando

Por lo que la alternativa correcta es E. 34. Las alternativas D) y E) no pueden ser,pues son funciones lineales. La alternativa B) no es,pues no cumple la condici´on: Si abri´o una cuenta con $50000 el a˜ no 1980 La alternativa C) no es,pues la gr´afica nos indica que la variable independiente es el capital.Lo que es falso. Por lo que la alternativa correcta es A.

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35. Materia:Funciones. I) Falsa, que ocurre si x = 4 resulta que f (4) = g(4).(notar que la afirmaci´on dice:para todo n´ umero real, y hemos encontrado uno donde la desigualdad no se cumple) II) verdadera.pues si f (x) = h(x)

f (x) ↓ 4x2 4x2 − x4 x2 (4 − x2 )

= = = = =

h(x) ↓ x4 0 0 . . . (∗)

De (∗) x2 (4 − x2 ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 4 ∨ x = −4,por lo tanto para alg´ un n´ umero real x distinto de cero, f (x) = h(x),en particular para x = 4. III) falsa,pues que ocurre si x = 0, se tiene que f (0) = g(0) = h(0) por lo tanto no se cumple la desigualdad indicada. Por lo que la alternativa correcta es B. 36. Materia:Transformaciones isom´ etricas. Por lo que la alternativa correcta es C. 37. Por lo que la alternativa correcta es A. 38. Materia:Congruencia de tri´ angulos. como la figura es un paralelogramo,tenemos las siguientes relaciones: Referente a los LADOS: a) SR = P Q

c) ST = T Q

b) SP = RQ

d) P T = T R

´ Referente a los ANGULOS: a) ∠QP R = ∠SRP

d ) ∠P QS = ∠QSR

b) ∠P RQ = ∠RP S

e) ∠ST P = ∠QT R

c) ∠P SQ = ∠SQR

f ) ∠ST R = ∠P T Q

Por los criterios de congruencias (LLL,LAL,...) I) Es falsa,ning´ un criterio lo asegura. II) Por el criterio LAL,los tri´angulos son congruentes.

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III) Por el criterio LAL,los tri´angulos son congruentes. Por lo que la alternativa correcta es D. 39. Materia:Transformaciones isom´ etricas. I) El cuadrado tiene 4 ejes de simetr´ıa. II) El rombo tiene 1 ejes de simetr´ıa. III) El u ´nico trapecio que tiene un eje de simetr´ıa,es el trapecio is´osceles. Por lo que la alternativa correcta es C. 40. Materia:Transformaciones isom´ etricas. Si al punto (2, 3) se le aplica una traslaci´on,obteni´endose el punto (5, 2). Por lo tanto, la traslaci´on es T (3, −1). Si al punto (−2, −1) se le aplica la traslaci´on,obtendremos el punto (−2, −1) + T (3, −1) = (−2 + 3, −1 + −1) = (1, −2) Por lo que la alternativa correcta es A. ´ 41. Materia:Area de figuras geom´ etricas. I) El ´area de F CGI es 12. √ √ √ Es falso,pues el ´area del cuadrado es: (3 + 3)2 = 9 + 6 3 + 3 = 12 + 6 3. II) El ´area de EBF I es 6. √ √ √ Es verdad,pues el ´area del rect´angulo es: (3+ 3)(3− 3) = 9−( 3)2 = 9−3 = 6. III) El ´area de AEIH es 3. √ √ √ √ √ Es falso,pues el ´area del rect´angulo es: 3(3 − 3) = 3 3 − ( 3)2 = 3 3 − 3. Por lo que la alternativa correcta es B. 42. Materia:Transformaciones isom´ etricas. El ´area del piso es:

100 ·360 = 36000. |{z} ´area(cer´amica lado 10)

Si queremos teselar el piso con una cer´amica de lado 30 cm.El ´area de esta cer´amica ser´a de 900 cm. Luego si queremos calcular el n´ umero de cer´amicas de lado 30 cm para teselar el piso,debemos realizar la siguiente operaci´on (divisi´on). 36000 : 900 = 40 Por lo que la alternativa correcta es C.

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43. Materia:Teorema de Pit´ agoras. Al trazar el segmento AC,formamos dos tri´angulos rect´angulos. Por teo. de pit´agoras (AC)2 = (AD)2 + (DC)2 = (3)2 + (4)2 = 25

Por lo tanto,AC = 5. Nuevamente,por teo. de pit´agoras (AC)2 (5)2 25 − 1 24 √ 2 6

= = = = =

(AB)2 + (BC)2 (AB)2 + (1)2 (AB)2 (AB)2 AB

√ Por lo tanto,AB = 2 6. ´area ABCD = a´rea 4ABC + ´area 4ACD = ↓ ↓ √ 3·4 2 6·1 + = 2 √ 2 = 6+6

Por lo que la alternativa correcta es B. 44. Materia:Geometr´ıa Proporcional. Sea el segmento AB,que ser´a dividido en tres partes,tal como indica el problema: A |{z} a

|{z} b

|{z} B c

Como la raz´on es 1 : 3 : 5,tenemos que a = 1k,b = 3k y c = 5k. La medida del segmento mayor es 75 cm,as´ı c = 75 ⇒ 5k = 75 ⇒ k = 15. La longitud del segmento del medio es b,por lo tanto b = 3k = 3 · 15 = 45 Por lo que la alternativa correcta es A.

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45. Materia:Tri´ angulos. Supongamos que la medida del lado del tri´angulo F ED es a.

√ L2 · 3 Ocupando la siguiente f´ormula para calcular el ´area de un tri´angulo equilatero . 4 √ a2 · 3 . As´ı,´area 4F ED = 4 La medida del lado del tri´angulo ABC es 3a. √ √ (3a)2 · 3 9a2 · 3 As´ı,´area 4ABC = = . 4 4 I) De lo anterior,la afirmaci´on es falsa. II) El lado F E es paralelo al lado AB,es verdad. III) El lado F E es perpendicular al lado AC,es falso. Por lo que la alternativa correcta es B. 46. Materia:Geometr´ıa de Proporci´ on (Semejanza de tri´ angulos). Dos tri´angulos son semejantes,si tienen dos ´angulos iguales. (hay que tener cuidado con el orden de nombrar los tri´angulos,en este caso no es necesario) I) La afirmaci´on es verdad. II) La afirmaci´on es verdad. III) La afirmaci´on es verdad. Por lo que la alternativa correcta es E. 47. Materia:Circunferencia(´ angulos). Notaci´ on 1 ∼ = s´ımbolo de congruencia,es decir,IGUALDAD. Como AB ∼ = BC,tenemos que el tri´angulo ABC es is´osceles.Por lo tanto,∠BAC = 20o . Adem´as,si AB//DE, tenemos que ∠AED = 20o . d = 40o ,por lo tanto α = 40o (recordar que un S´ı ∠AED = 20o ,entonces el arco AD ´angulo del centro es igual al medida del arco que subtiende). Por lo que la alternativa correcta es B.

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48. Materia:Circunferencia(´ angulos). d = 180o . Debido a que AD es di´ametro,resulta que el arco AD

d = 180o AD d + BD d = 180o AB (3x + 20) + (x + 40) = 180o 4x + 60 = 180o x = 30o

Como x = 30o ,resulta que BD = x + 40 = 30 + 40 = 70o .Entonces ∠DAB = 35o . Debido a que ∠ABC = 2∠DAB

∠ABC = 2∠DAB ∠ABC = 2 · 35 ∠ABC = 70o

Por lo que la alternativa correcta es E. 49. Materia:Teorema de thales. Debido a que tenemos dos segmentos paralelos,podemos utilizar el teorema de thales.As´ı, h−g 1 = x h h = x(h − g) h x = h−g

Por lo que la alternativa correcta es C. 50. Materia:Teorema de thales. Como AB = 4x + 5 y EB = x + 5,resulta que AE = AB − EB = (4x + 5) − (x + 5) = 3x Debido a que ED//BC,podemos utilizar el teo. de thales,

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AE ED 3x 2 18x 18x − 8x 10x x

= = = = = =

AB BC 4x + 5 6 8x + 10 10 10 1

Los metros que separan a la persona (punto A) del poste ED,es decir,AE. AE = 3x = 3 · 1 = 3. Por lo que la alternativa correcta es D. 51. Materia:Teorema de Euclides. Como BC = 5 y BD = 4,por teo. de pit´agoras, CD = 3. Aplicando el teo. de Euclides (CD)2 = AD · DB

(CD)2 (3)2 9 9 4

= AD · DB = AD · 4 = AD · 4 = AD

Por lo que la alternativa correcta es B. 52. Materia:Funciones Trigonom´ etricas. cateto opuesto BC Necesitamos calcular tan α.Recordar que: tan α = = . cateto adyacente AB p Por teo. de Pit´agoras,BC = 1 − p2 . Luego, BC tan α = = AB Por lo que la alternativa correcta es A. 53. Materia:Geometr´ıa en el espacio. I) verdad.

p

1 − p2 p

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II) falso. III) verdad. Por lo que la alternativa correcta es D. 54. Materia:Transformaciones isom´ etricas. Por lo que la alternativa correcta es C. 55. Materia:Probabilidad. No de casos favorables P (A) = No de casos posibles No de varones 390 I) P (var´on) = = ,por lo que la afirmaci´on es verdadera. total de personas 750 No de mujeres 360 II) P (mujer) = = ,por lo que la afirmaci´on es falsa. total de personas 750 No de universitarios 475 III) P (universitario) = = ,por lo que la afirmaci´on es vertotal de personas 750 dadera. Por lo que la alternativa correcta es D. 56. Materia:Probabilidad. P (vocal) =

4 2 No de vocales = = o N de letras 10 5

Por lo que la alternativa correcta es B. 57. Materia:Probabilidad. El Espacio Muestral al lanzar cuatro monedas es de 24 = 16(elementos). El u ´nico suceso que no pertenece a la frase a lo m´ as tres caras,es el caso cuando todas son caras. (De los 16 elementos del E.M s´olo uno no pertenece).Por lo tanto P (a lo m´as tres caras) = Por lo que la alternativa correcta es E. 58. Materia:Probabilidad. El Espacio Muestral tiene 6(elementos). P (verde opaco) = Por lo que la alternativa correcta es A.

1 6

15 16

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59. Materia:Probabilidad. El Espacio Muestral tiene 12(cantidad de f´abricas). P (menos de tres m´aquinas el´ectricas) =

8 2 = 12 3

Por lo que la alternativa correcta es E. 60. Materia:Estad´ıstica. I) Para encontrar el total de alumnos,s´olo basta sumar las frecuencias.As´ı, 6 + 8 + 12 + 5 + 9 = 40.Por lo tanto la afirmaci´on es verdadera. II) Para encontrar la mediana,es necesario utilizar la siguientes f´ormula M o = (que indica la posici´on de la mediana),donde n :suma de las frecuencias.

n+1 2

40 + 1 = 20, 5. 2 Por lo que podemos decir que la mediana se encuentra entre la posici´on 20 y 21. Ya sabemos que n = 40,por lo tanto,M o =

1.-La posici´on 20 se encuentra en el intervalo 30 − 40. 2.-La posici´on 21 se encuentra en el intervalo 30 − 40. De las dos condiciones anteriores,deducimos que la posici´on 20, 5 se encuentra en el intervalo 30 − 40.Por lo tanto la afirmaci´on es falsa. III) Recordemos que la moda es el elemento que m´as se repite (el elemento con mayor frecuencia).As´ı, como la mayor frecuencia es 12, nos indica que la moda se encuentra en el intervalo 30 − 39(aunque no sabemos en realidad cual es el elemento que m´as se repite).Por lo tanto la afirmaci´on es verdadera. Por lo que la alternativa correcta es D. 61. Materia:Porcentaje. El total de alumnos es de 30 I) Calculemos el 30 % del total de los alumnos. 30 · 30 = 9 100 lo que no corresponde al n´ umero de alumnos que le gusta chatear. II) La cantidad de alumnos que le gusta ver TV o jugar es de 15,lo que corresponde a la mitad de los alumnos.

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III) Calculemos el 30 % del total de los alumnos. 30 · 30 = 9 100 lo que corresponde al n´ umero de alumnos que le gusta leer o jugar. Por lo que la alternativa correcta es D. 62. Materia:Estad´ıstica. S´olo por la materia de estad´ıstica. Por lo que la alternativa correcta es E. 63. Materia:Miscelanios. I) La afirmaci´on es verdadera,pues corresponde a un menor porcentaje. II) La afirmaci´on es falsa,pues la suma de los porcentajes no corresponde al 100 %. III) La afirmaci´on es verdadera,pues el porcentaje de los que no ven los noticiarios centrales es de un 24, 9.Lo que aproximadamente es un cuarto de la muestra. Por lo que la alternativa correcta es D.

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21 SUFICIENCIA DE DATOS

Observaci´ on 2 En este tipo de problemas no es necesario resolverlos,sino indicar con que informaci´on se podr´ıa resolver. Aqu´ı s´olo estan resueltos para argumentar la respuesta,pero recuerden que no es necesario resolverlos. 64. Sea x:Monto de la deuda. Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : 5 x. La cuota m´ımina a pagar es el 5 % de la deuda,es decir, 100 S´olo con esta informaci´on,no podemos encontrar un valor para x. Se descarta la alternativa A) y D) Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : La cuota m´ınima es de $12000,¿Qu´e relaci´on hay entre el monto y la cuota m´ınima? no hay ninguna relaci´on establecida.Por lo que no podemos encontrar un valor para x. Se descarta la alternativa B) Intentemos resolver el problema utilizando la informaci´on (1)y (2): 5 Si la cuota m´ımina a pagar es el 5 % de la deuda,es decir, x y la cuota m´ınima 100 es de $12000,entonces 5 x = 12000 ⇒ x = 240000 100 Hemos encontrado un valor para x. Por lo que la alternativa correcta es C. 65. ¿Cu´anto vale m? Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7 1 1 m + 2 = 7 ⇒ m = 5 ⇒ m = 15 3 3 Hemos encontrado un valor para m. Se descarta la alternativa B),C) y E) Error Com´ un:Responder la alternativa A). Pero hay que tener cuidado,pues dentro de las alternativas aparece la siguiente:Cada una por s´ı sola(Es decir,con la informaci´on (1) y (2),de manera independiente se puede resolver el problema)

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Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : Al restarle 1 al 20 % de m resulta 2 20 20 m−1=2⇒ m = 3 ⇒ m = 15 100 100 Hemos encontrado un valor para m. Por lo que la alternativa correcta es D. 66. Sea j:Edad de juanita y m:Edad de la madre. Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : Actulamente la suma de sus edades es 44 j + m = 44 S´olo con esta informaci´on,no podemos encontrar un valor para j ni para m. Se descarta la alternativa A) y D) Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : Dentro de 11 a˜ nos,la edad de juanita ser´a la mitad de la edad de su madre j + 11 =

m 2

S´olo con esta informaci´on,no podemos encontrar un valor para j ni para m. Se descarta la alternativa B) Intentemos resolver el problema utilizando la informaci´on (1)y (2): m Si j + m = 44 y j + 11 = ,podemos formar un sistema de ecuaciones.Por lo 2 tanto,podemos encontrar un valor para j y para m. Por lo que la alternativa correcta es C. 67. Si n = 7,se puede saber cu´antas unidades es x mayor que y.Es decir,x−y = alg´ un n´ umero Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : x=7+y ⇒x−y =7 Por lo que sabemos cu´antas unidades es x mayor que y. Se descarta la alternativa B),C) y E)

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Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : x = y − 5 ⇒ x = 7y − 35 ⇒ x − 7y = 35 7 Por lo que sabemos cu´antas unidades es x mayor que 7y.Pero no sabemos cu´antas unidades es x mayor que y. Por lo que la alternativa correcta es A. 68. AB =? Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : Con la informaci´on s´olo podriamos decir que los tri´angulos son semejantes,pero nada m´as. Se descarta la alternativa A) y D) Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : Si conocemos la medida del trazo AC,no podriamos encontrar un valor para AC. Se descarta la alternativa B) Intentemos resolver el problema utilizando la informaci´on (1) y (2) : Por semejanza de tri´angulos, podemos encontrar el valor de AC Por lo que la alternativa correcta es C. ´ 69. ¿Area 4P BC? P B · BC ´ Area 4P BC = 2 Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : Si conocemos que el cuadrado es de lado 8,no podriamos conocer la medida de P B.Por lo tanto no podemos calcular el ´area. Se descarta la alternativa A) y D) Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : Si M es punto medio,no podriamos conocer la medida de P B.Por lo tanto no podemos calcular el ´area. Se descarta la alternativa B) Intentemos resolver el problema utilizando la informaci´on (1) y (2) : Si conocemos que el cuadrado es de lado 8 y M es punto medio. √ √ Entonces el 4CDM es rect´angulo.Por lo tanto CM = 80 = 2 10 Al conocer la medida de ∠P CB (verificar que realmente se conoce o se puede calcular),tambi´en conocemos tan ∠P CB As´ı, PA + 8 tan ∠P CB = 8 Tenemos un valor para P A y por lo tanto, la medida de P B.Por lo que podemos calcular la medida del ´area.

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Por lo que la alternativa correcta es C. 70. ¿Probabilidad de sacar una ficha roja? P (roja) =

No fichas rojas total de fichas

Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (1) : Esta informaci´on,no indica el n´ umero de fichas rojas ni menos la cantidad total de fichas.No se puede calcular la probabilidad pedida. Se descarta la alternativa A) y D) Intentemos resolver el problema s´ olo utilizando la informaci´on (2) : Conocemos el total de fichas,pero no el de rojas.No se puede calcular la probabilidad pedida. Se descarta la alternativa B) Intentemos resolver el problema utilizando la informaci´on (1) y (2) : Conocemos el total de fichas,pero no el de rojas (s´olo sabemos que hay m´as fichas rojas que de verdes).No se puede calcular la probabilidad pedida. Por lo que la alternativa correcta es E.