Proceso 2010

Proceso de admisi´on 2010 Juan A. Rojas Valencia 4 de junio de 2009

Resuelto Observaci´ on 1 1. Tener presente que los ejercicios tienen distintas maneras de ser resueltos. 2. Realizar comentarios sobre los ejercicios,en lo posible entregar otros m´etodos de soluci´ on. Fasc´ımil. 1

1.

1

1+ 1+

1 1+1

1

= 1+

=

1 1+

1 2

1 1+

1 3 2

=

1 1+

2 3

=

1 3 = 5 5 3

D 2. Al ordenar los datos,de menor a mayor tenemos que: 11, 02 ↑ ART U RO

11, 2 ↑ M ARCELO

11, 3 ↑ JAV IER

Por lo tanto, I. Javier lleg´o despu´es que Marcelo. es verdad. II. Entre Arturo y Marcelo hay 18 cent´esimas de segundo de diferencia al llegar a la meta. 11, 2 − 11, 02 = 0, 18 Es decir,18 cent´esimas. III. Arturo lleg´o primero.Es verdad. E 1

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3. En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de az´ ucar.Por lo ucar (200 : 6) tanto,se necesitan para una persona se necesitan 33, 3 gramos de az´ Si se desea preparar dicho postre para n personas,el n´ umero por cu´al se debe multiplicar n para obtener cu´antos gramos de az´ ucar se necesitan es 33, 3. A 4. Hay que tener presente que son 10 horas el itinerario de un veh´ıculo al ir y volver. En las tres primeras horas recorre 180 kil´ometros (para ir al lugar de destino). Entre la tercera y s´eptima hora el veh´ıculo est´a estacionado (0 kil´ometros). Entre la s´eptima y d´ecima hora recorre 180 kil´ometros (para regresar). I) La cantidad de kil´ometros recorridos por el veh´ıculo fue de 360 Km.Por lo tanto la afirmaci´on es falsa. II) El veh´ıculo estuvo 4 horas detenido.verdad III) El veh´ıculo se demor´o m´as en ir al lugar que en volver de ´el.Falso, por que el tiempo fue el mismo. B 5. En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas.Es decir 1 T p= T = 5 5 I) Las gallinas que no son blancas son

4 T. 5

Sean: x :gallinas que no son blancas. y :gallinas que son blancas. T T 4 =T ⇒x=T− = T 5 5 5 Por lo tanto, la afirmaci´on es verdadera. x+y =T ⇒x+

II) El 20 % de las gallinas son blancas. Es verdad,pues la quinta parte del total corresponde al 20 %. III) El n´ umero total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el n´ umero de gallinas blancas. Es verdad. E

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6. Si p = 5, 2 · 10−3 y q = 2 · 10−3 I) p + q = 5, 2 · 10−3 + 2 · 10−3 = (5, 2 + 2) · 10−3 = 7, 22 · 10−3 verdad II) p · q = 5, 2 · 10−3 · 2 · 10−3 = 10, 4 · 10−6 = 1,04 · 10−5 verdad III) p − q = 5, 2 · 10−3 − 2 · 10−3 = (5, 2 − 2) · 10−3 = 3, 2 · 10−3 falsa D 7. En un supermercado trabajan reponedores, cajeros y supervisores. El 60 % corresponde a reponedores los supervisores son 18 (´estos son un tercio de los cajeros). Los cajeros son 54 Entre los supervisores y los cajeros son 72, lo que corresponde al 40 %. Sea x :total de trabajadores. As´ı, x 100 72 40 72 · 100 = 180 40 ¿Cu´antos trabajadores tiene el supermercado? 180

Entonces x =

E 8. En una tienda se decide subir todos los precios en un 15 %. ¿Por cu´al n´ umero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? nuevo precio 100 % + 15 % = 115 % 115 % ⇒

115 = 1, 15 100

D 9. En un tri´angulo equil´atero de lado 1,000 se unen los puntos medios de cada lado,por 1,000 definici´on es la mediana y la mediana siempre mide la mitad . 2 1,000 Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del tri´angulo que se obtiene es . 26 C

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10. Si el ´ındice de crecimiento C de una poblaci´on es inversamente proporcional al ´ındice D de desempleo. Por definici´on de inversamente proporcional: C · D = k k : constante. As´ı,si en un instante en que C = 0, 5 se tiene que D = 0, 25 entonces C · D = 0, 5 · 0, 25 = 0, 125 ⇒ k = 0, 125 C · D = 0, 125 ⇒ D

0, 125 C

E 11. Si n = 3, entonces n2 −

n + 3n es igual a 3 n2 −

n 3 + 3n = 32 − + 3 · 3 3 3 = 9−1+9 = 17

D 12. Si 3 · 2(2x + 4) = 24, entonces x es igual a

3 · 2(2x + 4) = 24 6(2x + 4) = 24 24 2x + 4 = 6 2x + 4 = 4 2x = 4 − 4 2x = 0 0 x = 2 x = 0

B 13. Si 6 − 2x = 14, entonces x − x2 es igual a 6 − 2x = 14 ⇒ −2x = 14 − 6 ⇒ −2x = 8 ⇒ x = −4 Si x = −4 entonces x − x2 = −4 − (−4)2 = −4 − 16 = −20 A

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14. La suma de tres n´ umeros impares consecutivos es siempre 1o impar: 2n − 1 2o impar: 2n + 1 3o impar: 2n + 3 Entonces, (2n − 1) + (2n + 1) + (2n + 3) = 6n + 3 I) Es verdad,debido a que 6n + 3 divisible por 3. II) Es falso,debido a que 6n + 3 no es divisible por 6. III) Es falso,debido a que 6n + 3 no es divisible por 9. A 15. 

2 x+y 3



2 x−y 3



 =

2 x 3

2

4 − y 2 = x2 − y 2 9

B 16. Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm m´as larga que la otra. 1o parte:x 2o parte: x + 50 Entonces

x + (x + 50) x + (x + 50) 2x + 50 2x

3mt 300cm 300 250 250 x = 2 x = 125

Por lo tanto, 1o parte:x = 125 2o parte: x + 50 = 125 + 50 = 175 C

= = = =

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17. El largo de un rect´angulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rect´angulo es x metros. Ancho: x Largo: x + 8 Recordar que la f´ormula del per´ımetro es: 2(largo + ancho) . 2(largo + ancho) = 2(x + x + 8) = 2(2x + 8) = 4x + 16 A 18. Si a =

1 1 1 ,b = yc= , entonces x − (a + b + c) es 2x 4x 6x 

x − (a + b + c) = = = =

1 1 1 x− + + 2x 4x 6x   6+3+2 x− 12x 11 x− 12x 12x2 − 11 12x



C 19. √ √ √ √ (5 2 − 3)( 3 + 5 2) = = = = =

√ √ √ √ (5 2 − 3)(5 2 + 3) √ √ (5 2)2 − ( 3)2 25 · 2 − 3 50 − 3 47

D 20. El n´ umero

√

216 es igual a √

E

216 = 216/2 = 28

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21. Si 3x + 3−x = P , entonces 9x + 9−x es igual a

3x + 3−x = P/()2 (3x + 3−x )2 = P2 (3x )2 + 2 · 3x · 3−x + (3−x )2 = P2 9x + 2 · 3x−x + 9−x = P2 9x + 2 · 30 + 9−x = P2 9x + 2 · 1 + 9−x = P2 9x + 2 + 9−x = P2 9x + 9−x = P 2 − 2

C 22. Los lados de la figura achurada son: y − z y x. Por lo que el ´area de la regi´on achurada se expresa como: x(y − z) B 23. Observaci´ on 2 Las alternativas D) y E) no pueden ser porque no hay una suma,sino un producto. La suma de los cuadrados de tres n´ umeros enteros consecutivos es igual a 291. tres n´ umeros enteros consecutivos: x − 1, x, x + 1 los cuadrados de tres n´ umeros enteros consecutivos: (x − 1)2 , x2 , (x + 1)2 La suma de los cuadrados de tres n´ umeros enteros consecutivos: 2 2 2 (x − 1) + x + (x + 1) Entonces, La suma de los cuadrados de tres n´ umeros enteros consecutivos es igual a 291. (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 Observaci´ on 3 La alternativa A) corresponde a: El cuadrado de la suma de tres n´ umeros enteros consecutivos es 291

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24.

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3x − 6 < 3 4 − 2x ≤ 6 Hay que resolver cada inecuaci´on por separado. 9 ⇒x<3 3 4 − 2x ≤ 6 ⇒ −2x ≤ 6 − 4 ⇒ −2x ≤ 2 ⇒ 2x ≥ −2 ⇒ x ≥ −1

3x − 6 < 3 ⇒ 3x < 3 + 6 ⇒ 3x < 9 ⇒ x <

As´ı, tenemos que x < 3 y x ≥ −1, o bien −1 ≤ x < 3 Importante: En los simbolos ≤, ≥ los puntos son negros. En los simbolos <, > los puntos son blancos. E 25. x+y x−y x+y 1+ x−y

1−

=

=

=

= =

x − y − (x + y) x−y x − y + (x + y) x−y x−y−x−y x−y x−y+x+y x−y −2y x−y 2x x−y −2y x − y · x−y 2x −y x

−y Para que la expresi´on sea positiva, se debe cumplir > 0. Entonces x o bien y, uno x de ellos debe ser negativo,por lo que la alternativa que nos indica esto es la A.

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26.

x+y x−y

9 = 7a + 3b = 7a − 3b

Para resolver el sistema, ocuparemos el sistema reducci´on. As´ı x+y x−y

= 7a + 3b = 7a − 3b / · − 1

x+y −x + y

⇒

= 7a + 3b = −7a + 3b

Por lo tanto 2y = 6b ⇒ y =

6b = 3b 2

B 27. Una f´abrica de l´amparas tiene un costo fijo de producci´on de $1000000 mensuales y costos varios por l´ampara de $5000. Si x representa el n´ umero de l´amparas producidas en un mes, ¿cu´al de las siguientes expresiones representa la funci´on costo C(x)? Sea C(x) = m·x ↑ ↑ costo m : costo por unidad

+n ↑ n : costo f ijo

Como m = 5000 y n = 1000000 Entones, C(x) = 5000x + 1000000 D 28. El conjunto soluci´on (o ra´ıces) de la ecuaci´on x2 + 1 = x + 1 es

x2 + 1 = x + 1 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

C

x2 − x = 1 − 1 x2 − x = 0 x(x − 1) = 0 x = 0 ∨ (x − 1) = 0 x1 = 0 ∨ x2 = 1

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29. ¿En cu´al(es) de las siguientes expresiones el valor de x es −3? En cada afirmaci´on vamos a reemplazar x = −3 y por lo tanto, si la igualdad se cumple,esta es verdad. I) 4x =

1 64

1 1 = 43 64 Por lo tanto la igualdad es verdadera. Si x = −3 entonces 4x = 4−3 =

II) 43 · 4x = 1 Si x = −3 entonces 43 · 4x = 43 · 4−3 = 43+−3 = 40 = 1 Por lo tanto la igualdad es verdadera. III) (4−1 )x = 64 Si x = −3 entonces (4−1 )x = (4−1 )−3 = 4−1·−3 = 43 = 64 Por lo tanto la igualdad es verdadera. E 30. Dada la funci´on f (x) = 2|1 − x| − x, ¿cu´al(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) f (−2) ↓ 2|1 − −2| − −2 2|1 + 2| + 2 2|3| + 2 2·3+2 6+2 8

= f (−1) ↓ = 2|1 − −1| − −1 = 2|1 + 1| + 1 = 2|2| + 1 = 2·2+1 = 4+1 = 5

Por lo tanto la igualdad es falsa.   1 1 = II) f 2 2   1 1 1 1 1 1 1 1 1 f = 2 1 − − = 2 − = 2 · − = 1 − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Por lo tanto la igualdad es verdad. III) f (2) = 0 f (2) = 2|1 − 2| − 2 = 2| − 1| − 2 = 2 · 1 − 2 = 2 − 2 = 0 Por lo tanto la igualdad es verdad. E